初中數(shù)學(xué)120大招-32 等角存在性問題

等角存在性問題一、方法突破除了特殊幾何圖形存在性問題外，相等角存在性也是今年二次函數(shù)壓軸題中常見的題型，根據(jù)題目給的不同的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆绞饺?gòu)造相等角，是此類問題的關(guān)鍵．回顧一下在幾何圖形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：（1）平行：兩直線平行，同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等；（2）角平分線：角平分線分的兩個(gè)角相等；（3）等腰三角形：等邊對(duì)等角；（4）全等（相似）三角形：對(duì)應(yīng)角相等；（5）三角函數(shù)：若兩個(gè)角的三角函數(shù)值相等，則兩角相等；（6）圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等．也許還有，但大部分應(yīng)該都在此了，同樣，在拋物線背景下亦可用如下思路構(gòu)造相等角．想得到相等角，先考慮如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函數(shù)值，因此在以上6種方案當(dāng)中，若無明顯條件，可考慮求出角的三角函數(shù)值來構(gòu)造相等角．選擇較多未必是好事，挑出關(guān)鍵性條件確定恰當(dāng)方法才是更重要的~二、典例精析例一：如圖，已知拋物線過點(diǎn)A（4，0），B（-2，0），C（0，-4）．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)C和點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)P在拋物線上，且，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．【分析】（1）拋物線：；（2）由題意得：坐標(biāo)為（2，-4），考慮到A、C、三點(diǎn)坐標(biāo)均已知，故可求的三角函數(shù)值．思路1：構(gòu)造直角三角形過點(diǎn)作⊥AC交AC于H點(diǎn)，不難求得H點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），故，，∴，則．轉(zhuǎn)化“”為“”，即．①當(dāng)時(shí)，設(shè)PA解析式為，將A（4，0）代入，得：，聯(lián)立方程：，解得：，，故坐標(biāo)為；②當(dāng)時(shí)，設(shè)PA解析式為，將A（4，0）代入，得：，聯(lián)立方程：，解得：，，故坐標(biāo)為．綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為或．思路2：發(fā)現(xiàn)特殊角．如圖構(gòu)造等腰直角三角形AMC，易解M點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-4），故△AMC是等腰直角三角形．∠MAC=45°，考慮，可知，下同思路1求解P點(diǎn)坐標(biāo)．

例二：如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上一點(diǎn)D（1，-5），直線BD與y軸交于點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)M在線段BD上，當(dāng)∠BDC=∠MCE時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【分析】（1），解得：．拋物線：．（2）思路：化角度正切值為“k”令，解得：，，即A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）．考慮C（0，-4）、D（1，-5），連接BC，易證△BCD是直角三角形，，若∠MCE=∠BDC，則tan∠MCE=4，．設(shè)CE解析式為：，又BD解析式為：，聯(lián)立方程：，解得：，故M點(diǎn)坐標(biāo)為．例三：如圖，拋物線與兩坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是拋物線的頂點(diǎn)，E是線段AB的中點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式，并寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）F（x，y）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)：①當(dāng)x>1，y>0時(shí)，求△BDF的面積的最大值；②當(dāng)∠AEF=∠DBE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．【分析】（1）拋物線：，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）；（2）①鉛垂法可解，當(dāng)F坐標(biāo)為（2，3）時(shí)，△BDF面積最大，最大值為1；②思路1：構(gòu)造平行線．考慮到A、E、B三點(diǎn)均在x軸上，故可構(gòu)造EF∥BD即可得角相等．過點(diǎn)E作EF∥BD交拋物線與F點(diǎn)，考慮到BD解析式：，故可求EF的解析式為：，聯(lián)立方程：，解得：，（舍）．故F點(diǎn)坐標(biāo)為．將EF作關(guān)于x軸的對(duì)稱，如圖，交點(diǎn)亦為滿足條件的F點(diǎn)，且翻折后的直線解析式為：，聯(lián)立方程：，解得：，（舍）．故F點(diǎn)坐標(biāo)為．綜上，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為或．思路2：三角函數(shù)值．設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為，過F點(diǎn)作FH⊥x軸交x軸于H點(diǎn)，則H點(diǎn)坐標(biāo)為，，，解得：，（舍），，（舍）．故F點(diǎn)坐標(biāo)為或．三、中考真題對(duì)決1.【2019海南中考】如圖，已知拋物線經(jīng)過A（-5，0），B（-4，-3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，連結(jié)CD．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）拋物線：；（2）①當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，如圖，過點(diǎn)B作DC的平行線，與拋物線交點(diǎn)即為P點(diǎn)，不難求得直線BP解析式為：，聯(lián)立方程：，解得：，，故P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）．②當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時(shí)，思路1：利用三角函數(shù)值．連接BD，可得BD⊥BC，可得，若∠PBC=∠BCD，則需滿足，但鑒于BC并非水平或豎直直線，故這個(gè)條件并不好用．考慮到B、C點(diǎn)坐標(biāo)的特殊性，可以發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)B作BM⊥x軸，易得△BMC是等腰直角三角形，即有∠MBC=∠MCB，可轉(zhuǎn)化問題“∠PBC=∠BCD”為“∠PBC+∠CBM=∠BCD+∠BCM”，即∠PBM=∠DCM．由題意得：，故，轉(zhuǎn)化為直線BP的條件即為“”，可得直線BP解析式為：，聯(lián)立方程：，解得：，．故P點(diǎn)坐標(biāo)為．綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5）或．思路2：構(gòu)造對(duì)稱．不難發(fā)現(xiàn)，情況①中的直線BP和情況②中的直線BP是關(guān)于直線BC對(duì)稱，故兩個(gè)BP的k相乘為1，可知情況②中的．可知BP解析式：．同思路1求得P點(diǎn)坐標(biāo)．2．（2021?隨州）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)在拋物線上且滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo)；解：（1）頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入，得，解得：，，該拋物線的解析式為；（2）拋物線對(duì)稱軸為直線，，，設(shè)直線解析式為，，，，解得：，直線解析式為，過點(diǎn)作，交拋物線于點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，將代入，得，解得：，直線的解析式為，結(jié)合拋物線，可得，解得：（舍，，故，過點(diǎn)作軸平行線，過點(diǎn)作軸平行線交于點(diǎn)，，，四邊形是正方形，設(shè)與軸交于點(diǎn)，則，解得：，，，在軸下方作交于點(diǎn)，四邊形是正方形，，，，，即，，，，，設(shè)直線解析式為，，，，解得：，直線解析式為，結(jié)合拋物線，可得，解得：（舍，，，，綜上所述，符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為：，，；3．（2021?岳陽）如圖，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖2，直線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于軸的上方，點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，作，交拋物線于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），以，為鄰邊構(gòu)造矩形，求該矩形周長(zhǎng)的最小值；（3）如圖3，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，在（2）的條件下，當(dāng)矩形的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為，即，即，解得，故拋物線的表達(dá)式為；（2）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的表達(dá)式得：，解得，故直線的表達(dá)式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意得，點(diǎn)、關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，而拋物線的對(duì)稱軸為直線，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，設(shè)矩形周長(zhǎng)為，則，，故有最小值，當(dāng)時(shí)，矩形周長(zhǎng)最小值為；（3）當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，，由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，同理可得，，則，，故，在中，，故和重合，故點(diǎn)和點(diǎn)重合，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)在直線的上方時(shí)，，，，，，則點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，直線的解析式為，由，解得或，，，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或，4．（2021?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)的直線與拋物線交于另一點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，，且點(diǎn)位于軸上方，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示點(diǎn)的橫坐標(biāo)，并求出當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．解：（1）拋物線，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，,,即拋物線為,拋物線經(jīng)過，即的圖象過，,解得,拋物線表達(dá)為；（2）在中，令得,解得或,或,①當(dāng)時(shí)，過作交拋物線于，此時(shí)，如圖：在中，令,得，解得或,,設(shè)直線解析式為,將、代入得：,解得,直線解析式為,,設(shè)直線解析式為,將代入得,直線解析式為,由得（此時(shí)為點(diǎn)，舍去）或,；②當(dāng)時(shí)，過作軸于,過作軸于，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作直線交拋物線于,連接,如圖：,,，，中，,,,,,中，,,關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),,,即是滿足條件的點(diǎn)，設(shè),關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),，，,兩式相減變形可得,代入即可解得(此時(shí)為，舍去）或,,,設(shè)直線解析式為,將,,代入得；,解得,直線解析式為,解得或（此時(shí)為,舍去），,綜上所述，坐標(biāo)為或；（3）設(shè)交軸于，過作軸于，過作于,如圖：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，,又，,,,,,且，,,即,,,設(shè)直線解析式為,將代入得,,直線解析式為，由得,解得的橫坐標(biāo)）,,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，,時(shí)，最小值是12，此時(shí),當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是．5．（2021?自貢）如圖，拋物線（其中與軸交于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）直接寫出的度數(shù)和線段的長(zhǎng)（用表示）；（2）若點(diǎn)為的外心，且與的周長(zhǎng)之比為，求此拋物線的解析式；（3）在（2）的前提下，試探究拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）定義拋物線，令，可得或，，，令，得到