云南省昆明市自平實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析

云南省昆明市自平實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知全集，則正確表示集合和關(guān)系的韋恩（Venn）圖是

（）參考答案：B

2.如圖，AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，PC=3，PB=1，則⊙O的半徑為

(

)A.4

B.8

C.9

D.12參考答案：A略3.若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,1)，a與b的夾角為60°，則λ的值為A.17或－1

B.－17或1

C.－1

D.1參考答案：B略4.已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)（0，2）的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為（）A． B．3 C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由拋物線的定義可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．【解答】解：依題設(shè)P在拋物線準(zhǔn)線的投影為P'，拋物線的焦點(diǎn)為F，則，依拋物線的定義知P到該拋物線準(zhǔn)線的距離為|PP'|=|PF|，則點(diǎn)P到點(diǎn)A（0，2）的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和．故選A．5.已知{an}是等差數(shù)列，a1=-9,S3=S7,那么使其前n項(xiàng)和Sn最小的n是(

)A．4

B．5

C．6

D．7參考答案：B略6.化簡方程=10為不含根式的形式是

A.

B.

C.

D.參考答案：C

略7.某工廠對一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測．如圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96，106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是（）A．90 B．75 C．60 D．45參考答案：A考點(diǎn)： 頻率分布直方圖；收集數(shù)據(jù)的方法．

專題： 概率與統(tǒng)計(jì)．分析： 根據(jù)小長方形的面積=組距×求出頻率，再根據(jù)求出頻數(shù)，建立等式關(guān)系，解之即可．解答： 解：凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)設(shè)為N2，產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)設(shè)為N1=36，樣本容量為N，則，故選A．點(diǎn)評： 用樣本估計(jì)總體，是研究統(tǒng)計(jì)問題的一個基本思想方法．對于總體分布，總是用樣本的頻率分布對它進(jìn)行估計(jì)，頻率分布直方圖：小長方形的面積=組距×，各個矩形面積之和等于1，，即，屬于基礎(chǔ)題．8.“a＝b”是“直線y＝x＋2與圓(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的(

)．A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A略9.下列方程中表示圓的是

（）A．

B．C．

D．參考答案：C略10.已知F是橢圓+=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，A為右頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且PF⊥x軸，若|PF|=|AF|，則該橢圓的離心率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】令x=﹣c，代入橢圓方程，解得|PF|，再由|AF|=a+c，列出方程，再由離心率公式，即可得到．【解答】解：由于PF⊥x軸，則令x=﹣c，代入橢圓方程，解得，y2=b2（1﹣）=，y=，又|PF|=|AF|，即=（a+c），即有4（a2﹣c2）=a2+ac，即有（3a﹣4c）（a+c）=0，則e=．故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過拋物線y2=8x焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4，則|AB|=

．參考答案：12【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：x1+x2=2×4，則丨AA1丨+丨BB1丨=x1++x2+=x1+x2+p=8+4=12，則丨AA1丨+丨BB1丨=丨AF丨+丨BF丨=丨AB丨，即可求得|AB|．【解答】解：拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F（2，0），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（4，y0），過A，B，M做準(zhǔn)線的垂直，垂足分別為A1，B1及M1，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：x1+x2=2×4=8，∴丨AA1丨+丨BB1丨=x1++x2+=x1+x2+p=8+4=12∴丨AA1丨+丨BB1丨=12由拋物線的性質(zhì)可知：丨AA1丨+丨BB1丨=丨AF丨+丨BF丨=丨AB丨，∴丨AB丨=12，故答案為：12．12.在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,則此三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)等于__.參考答案：120013.設(shè),是純虛數(shù),其中是虛數(shù)單位,則

.參考答案：-2略14.如果橢圓+=1的弦被點(diǎn)（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是．參考答案：x+2y﹣8=0【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】若設(shè)弦的端點(diǎn)為M（x1，y1）、N（x2，y2），代入橢圓方程得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；作差①﹣②，并由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得直線斜率k，從而求出弦所在的直線方程．【解答】解：設(shè)弦的端點(diǎn)為M（x1，y1）、N（x2，y2），代入橢圓方程+=1，得9x12+36y12=36×9①，9x22+36y22=36×9②；①﹣②，得9（x1+x2）（x1﹣x2）+36（y1+y2）（y1﹣y2）=0；由中點(diǎn)坐標(biāo)=4，=2，代入上式，得36（x1﹣x2）+72（y1﹣y2）=0，∴直線斜率為k==﹣，所求弦的直線方程為：y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故答案為：x+2y﹣8=0．【點(diǎn)評】本題考查了圓錐曲線的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，通過作差的方法，求得直線斜率k的應(yīng)用模型，屬于中檔題．15.設(shè)曲線y=xn+1（n∈N+）在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值為

．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】要求log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014，需求x1?x2?…?x2014的值，只須求出切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．【解答】解：對y=xn+1（n∈N*）求導(dǎo)，得y′=（n+1）xn，令x=1得在點(diǎn)（1，1）處的切線的斜率k=n+1，在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為y﹣1=k（xn﹣1）=（n+1）（xn﹣1），不妨設(shè)y=0，，則x1?x2?x3…?xn=×…×=，從而log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014=log2015（x1?x2…x2014）=．故答案為：﹣1．16.已知是雙曲線上的一點(diǎn)，是C的兩個焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是

．參考答案：由題意，,.

17.如圖,某人在高出海面600米的山上P處，測得海面上的航標(biāo)在A正東，俯角為30°，航標(biāo)B在南偏東60°，俯角為45°，則這兩個航標(biāo)間的距離為

米。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某種商品每件進(jìn)價9元，售價20元，每天可賣出69件．若售價降低，銷售量可以增加，且售價降低x（0≤x≤11）元時，每天多賣出的件數(shù)與x2+x成正比．已知商品售價降低3元時，一天可多賣出36件．（Ⅰ）試將該商品一天的銷售利潤表示成x的函數(shù)；（Ⅱ）該商品售價為多少元時一天的銷售利潤最大？參考答案：【考點(diǎn)】6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；36：函數(shù)解析式的求解及常用方法；5D：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）由題意設(shè)出每天多賣出的件數(shù)k（x2+x），結(jié)合售價降低3元時，一天可多賣出36件求得k的值，然后寫出商品一天的銷售利潤函數(shù)；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn)，求得極值，比較端點(diǎn)值后得到利潤的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由題意可設(shè)每天多賣出的件數(shù)為k（x2+x），∴36=k（32+3），∴k=3．又每件商品的利潤為（20﹣9﹣x）元，每天賣出的商品件數(shù)為69+3（x2+x）．∴該商品一天的銷售利潤為f（x）=（11﹣x）[69+3（x2+x）]=﹣3x3+30x2﹣36x+759（0≤x≤11）．（Ⅱ）由f′（x）=﹣9x2+60x﹣36=﹣3（3x﹣2）（x﹣6）．令f′（x）=0可得或x=6．當(dāng)x變化時，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：x06（6，11）11f′（x）

﹣0+0﹣

f（x）759↘極小值↗極大值975↘0∴當(dāng)商品售價為14元時，一天銷售利潤最大，最大值為975元19.已知等比數(shù)列首項(xiàng)為3，公比，對給定的，設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，(Ⅰ)求的前10項(xiàng)之和；(Ⅱ)設(shè)為數(shù)列的第項(xiàng)，，求參考答案：解析：（1）,即數(shù)列的前10項(xiàng)之和為155.(2)===，（錯位、分組）20.設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）ex，已知曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線與直線ex﹣y=0平行．（1）求a的值；（2）求y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）根據(jù)兩直線平行的條件，求出曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線的斜率k，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），令x=1，f′（1）=k，求出a；（2）將（1）中的a代入原式，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），令f′（x）＞0，得出y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間，令f′（x）＜0，得出y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間．【解答】解：（1）∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線與直線ex﹣y=0平行，直線ex﹣y=0的斜率為e，∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線的斜率為k=e．∵函數(shù)f（x）=（x+a）ex的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=ex（1+x+a），令x=1，∴f′（1）=k=e，即e（2+a）=e，解得a=﹣1；（2）f（x）=（x﹣1）ex，∴f′（x）=ex?x，令f′（x）＞0，解得x＞0；令f′（x）＜0，解得x＜0，∴y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（﹣∞，0），單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．21.（本小題滿分8分）如圖，PCBM是直角梯形，，，，，又，，面ABC，直線AM與直線PC所成的角為，求二面角的平面角的余弦值。參考答案：在平面ABC內(nèi)，過C作CDCB，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）

由題意有A（，，0），設(shè)（0，0，），（），

則M（0，1，），=，，

由直線AM與直線PC所成的角為，得，即，解得（0，1，1），，設(shè)平面MAC的一個法向量為，則，取，得=（1，，－）。

6分平面ABC的法向量為，，又二面角M－AC－B為銳角，二面角M－AC－B的平面角余弦值為。8分22.已知橢圓C滿足：過橢圓C的右焦點(diǎn)且經(jīng)過短軸端點(diǎn)的直線的傾斜角為.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)A在直線上，點(diǎn)B在橢圓C上，且，求線段AB長度的最小值.參考答案：（I）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）設(shè)出短軸端點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)過右焦點(diǎn)與短軸端點(diǎn)