湖南省長(zhǎng)沙市清水塘中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析

湖南省長(zhǎng)沙市清水塘中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在等差數(shù)列{an}中，a1+a5=8，a4=7，則a5等于（）A．3 B．7 C．10 D．11參考答案：C【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專(zhuān)題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】設(shè)出等差數(shù)列的公差，由已知條件列式求出公差，則a5可求．【解答】解：設(shè)公差為d，則，解得，a1=﹣2，d=3，∴a5=a1+4d=﹣2+3×4=10．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)的運(yùn)算題．2.如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)（陰影部分，包括邊界）若目標(biāo)函數(shù)，取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)窮個(gè)，則的最大值是（

）A、

B、

C、

D、參考答案：B略3.在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)量有兩個(gè)臨界值：3.841和6.635；當(dāng)＞3.841時(shí)，有95%的把握說(shuō)明兩個(gè)事件有關(guān)，當(dāng)＞6.635時(shí)，有99%的把握說(shuō)明兩個(gè)事件有關(guān)，當(dāng)3.841時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)事件無(wú)關(guān).在一項(xiàng)打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了2000人，經(jīng)計(jì)算的=20.87，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，認(rèn)為打鼾與患心臟病之間（

）A．有95%的把握認(rèn)為兩者有關(guān) B．約有95%的打鼾者患心臟病C．有99%的把握認(rèn)為兩者有關(guān)

D．約有99%的打鼾者患心臟病參考答案：C略4.若m,n是兩條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題不正確的是()A．若α∥β，m⊥α，則m⊥β

B．C．若m∥α，m⊥β，則α⊥β

D．若m∥n，m⊥α，則n⊥α參考答案：B略5.下列命題中正確的是（）①若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且am+an=as+at（m、n、s、t∈N*），則m+n=s+t；②若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等差數(shù)列；③若Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比數(shù)列；④若Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，且；（其中A、B是非零常數(shù)，n∈N*），則A+B為零．A．①② B．②③ C．②④ D．③④參考答案：C【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；等差數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】①取數(shù)列{an}為常數(shù)列，即可推出該命題是假命題；②根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，推出2（S2n﹣Sn）=Sn+（S3n﹣S2n），即可得到Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…為等差數(shù)列；③利用等比數(shù)列an=（﹣1）n，判斷選項(xiàng)是否正確；④根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)的和減去第n﹣1項(xiàng)的和得到數(shù)列的第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，即可得到此等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，根據(jù)首項(xiàng)和公比，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式表示出前n項(xiàng)的和，即可得到結(jié)論．【解答】解：①取數(shù)列{an}為常數(shù)列，對(duì)任意m、n、s、t∈N*，都有am+an=as+at，故錯(cuò)；②設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，則Sn=a1+a2+…+an，S2n﹣Sn=an+1+an+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+an+nd=Sn+n2d，同理：S3n﹣S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=an+1+an+2+…+a2n+n2d=S2n﹣Sn+n2d，∴2（S2n﹣Sn）=Sn+（S3n﹣S2n），∴Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n是等差數(shù)列，此選項(xiàng)正確；③設(shè)an=（﹣1）n，則S2=0，S4﹣S2=0，S6﹣S4=0，∴此數(shù)列不是等比數(shù)列，此選項(xiàng)錯(cuò)；④因?yàn)閍n=Sn﹣Sn﹣1=（Aqn+B）﹣（Aqn﹣1+B）=Aqn﹣Aqn﹣1=（Aq﹣1）×qn﹣1，所以此數(shù)列為首項(xiàng)是Aq﹣1，公比為q的等比數(shù)列，則Sn=，所以B=，A=﹣，∴A+B=0，故正確；故選C．6.若等差數(shù)列滿足，，則的值是

（

）A．20

B．24

C．36

D．72參考答案：B7.設(shè)，且x+y=5,則的最小值為（

）

A．0

B．

C．

D．參考答案：D略8.平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A、B、C、D，滿足(－)·(－)＝0，則三角形ABC是()A．直角三角形

B．等腰三角形C．等腰直角三角形

D．等邊三角形參考答案：B9.為了解某校高三學(xué)生的視力狀況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力狀況，得到頻率分布直方圖，如右，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道后5組的頻率成等比數(shù)列，設(shè)視力在到之間的學(xué)生數(shù)為，最大頻率為，則的值分別為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B10.設(shè)函數(shù)f（x）=x2﹣4x+3，g（x）=3x﹣2，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，N={x∈R|g（x）＜2}，則M∩N為（）A．（1，+∞） B．（0，1） C．（﹣1，1） D．（﹣∞，1）參考答案：D【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算；二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】由f（x）與g（x）解析式，根據(jù)M與N中的不等式分別求出x的范圍，確定出M與N，找出兩集合的交集即可．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=x2﹣4x+3，g（x）=3x﹣2，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，N={x∈R|g（x）＜2}，∴M={x|g（x）＞3或g（x）＜1}={x|3x﹣2＞3或3x﹣2＜1}={x|x＞log35或x＜1}，N={x|3x﹣2＜2}={x|3x＜4}={x|x＜log34}，∴M∩N={x|x＞log35或x＜1}∩{x|x＜log34}={x|x＜1}．故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)，為的內(nèi)心，使，則該橢圓的離心率等于

.參考答案：12.（4分）已知函數(shù)f（x）=，對(duì)任意的x∈[0，1]恒有f（x﹣a）≤f（x）（a＞0）成立，則實(shí)數(shù)a=_________．參考答案：13.圖中陰影部分的集合表示正確的有________.ABCD參考答案：C略14.已知定義在R上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____參考答案：【分析】先根據(jù)構(gòu)造差函數(shù)，再根據(jù)條件化為一元函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性解不等式，解得結(jié)果.【詳解】由，可得，即.因?yàn)?，所以?wèn)題可轉(zhuǎn)化為恒成立，記，所以在上單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.15.設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)在雙曲線上，且，則

參考答案：略16.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知4sin2－cos2C＝，且a＋b＝5，c＝，則△ABC的面積為_(kāi)_______．參考答案：17.已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值____________．參考答案：【分析】根據(jù)條件可得，然后利用基本不等式求解即可．【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式及其應(yīng)用，關(guān)鍵掌握“1“的代換，屬基礎(chǔ)題．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.阿基米德是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，對(duì)幾何學(xué)、力學(xué)等學(xué)科作出過(guò)卓越貢獻(xiàn).為調(diào)查中學(xué)生對(duì)這一偉大科學(xué)家的了解程度，某調(diào)查小組隨機(jī)抽取了某市的100名高中生，請(qǐng)他們列舉阿基米德的成就，把能列舉阿基米德成就不少于3項(xiàng)的稱為“比較了解”，少于三項(xiàng)的稱為“不太了解”.他們的調(diào)查結(jié)果如下：

0項(xiàng)1項(xiàng)2項(xiàng)3項(xiàng)4項(xiàng)5項(xiàng)5項(xiàng)以上理科生（人）110171414104文科生（人）08106321

（1）完成如下2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為，了解阿基米德與選擇文理科有關(guān)？

比較了解不太了解合計(jì)理科生

文科生

合計(jì)

（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.（i）求抽取的文科生和理科生的人數(shù)；（ii）從10人的樣本中隨機(jī)抽取3人，用X表示這3人中文科生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

，.參考答案：(1)見(jiàn)解析；(2)（i）文科生3人，理科生7人（ii）見(jiàn)解析【分析】（1）寫(xiě)出列聯(lián)表后可計(jì)算，根據(jù)預(yù)測(cè)值表可得沒(méi)有的把握認(rèn)為，了解阿基米德與選擇文理科有關(guān).（2）（i）文科生與理科生的比為，據(jù)此可計(jì)算出文科生和理科生的人數(shù).（ii）利用超幾何分布可計(jì)算X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（1）依題意填寫(xiě)列聯(lián)表如下：

比較了解不太了解合計(jì)理科生422870文科生121830合計(jì)5446100

計(jì)算，沒(méi)有的把握認(rèn)為，了解阿基米德與選擇文理科有關(guān).（2）（i）抽取的文科生人數(shù)是（人），理科生人數(shù)是（人）.（ii）的可能取值為0,1,2,3，則，，，.其分布列為0123

所以.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、分層抽樣及超幾何分布，注意在計(jì)算離散型隨機(jī)變量的概率時(shí)，注意利用常見(jiàn)的概率分布列來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算（如二項(xiàng)分布、超幾何分布等）．19.(12分)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是離心率為的橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，拋物線與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)到的距離為．設(shè)A，B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M在直線上，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在點(diǎn)M，使以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2，若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。參考答案：（Ⅰ）由離心率可設(shè)橢圓C的方程為：，設(shè)拋物線和橢圓C的交點(diǎn)為則：，代入橢圓方程：，解得∴橢圓C的方程為．（Ⅱ）當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，直線AB的方程為，此時(shí)，，，不合題意．當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)存在點(diǎn)，.設(shè)直線AB的斜率為k，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，則，故，此時(shí)，直線PQ的斜率為k1=﹣4m，PQ的直線方程為y﹣m=﹣4m（x+），即y=﹣4mx﹣m．聯(lián)立，消去y，整理，得（32m2+1）x2+16m2x+2m2﹣2=0．∴，x1x2=，由題意=0，

∴=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+（4mx1+m）（4mx2+m）=（1+16m2）x1x2+（4m2﹣1）（x1+x2）+1+m2=++1+m2==0，∴m=．∵M(jìn)在橢圓內(nèi)，∴，∴m=符合條件．綜上所述，存在兩點(diǎn)M符合條件，坐標(biāo)為M（﹣，﹣）和M（﹣，）．20.（12分）已知過(guò)曲線上任意一點(diǎn)作直線的垂線，垂足為,

且.⑴求曲線的方程；⑵設(shè)、是曲線上兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時(shí)，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).參考答案：(1)設(shè)，則，由得，即所以軌跡方程為（2）如圖，設(shè)，由題意得（否則）且所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，顯然，將與聯(lián)立消去，得由韋達(dá)定理知①（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，所以，所以由①知：所以因此直線的方程可表示為，即所以直線恒過(guò)定點(diǎn)（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，得==將①式代入上式整理化簡(jiǎn)可得：，所以，此時(shí)，直線的方程可表示為即所以直線恒過(guò)定點(diǎn)ks5u所以由（Ⅰ）（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直線恒過(guò)定點(diǎn).21.(Ⅰ）證明：；（Ⅱ）已知：a，b，c均為實(shí)數(shù)，且，，，求證：a，b，c中至少有一個(gè)大于0.參考答案：略22.（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足：，其中為的前n項(xiàng)和．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和．參考答案：解：（1）①當(dāng)n=1時(shí)，，得

……1分②當(dāng)時(shí)，