黑龍江省哈爾濱市呼蘭第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

黑龍江省哈爾濱市呼蘭第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若命題“p∧q”為假，且“￢p”為假，則（）A．p或q為假 B．q假C．q真 D．不能判斷q的真假參考答案：B【考點】復(fù)合命題的真假．【分析】根據(jù)復(fù)合命題的真值表，先由“?p”為假，判斷出p為真；再根據(jù)“p∧q”為假，判斷q為假．【解答】解：因為“?p”為假，所以p為真；又因為“p∧q”為假，所以q為假．對于A，p或q為真，對于C，D，顯然錯，故選B．2.定點到雙曲線的漸近線的距離為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略3.設(shè)P、A、B、C是球O表面上的四個點，PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA=3，PB=4，PC=5，則球的表面積為(

)A．π

B．25π

C．50π

D．100π參考答案：C4.正三棱柱底面邊長為6，側(cè)棱長為3，則正三棱柱的體積為(

)A.

B.

C.

D.27參考答案：C5.在空間中，a，b是兩不重合的直線，是兩不重合的平面，則下列條件中可推出a∥b的是(

)．A．a(chǎn)?，b?，?∥? B．a(chǎn)∥?，b?C．a(chǎn)⊥?，b⊥? D．a(chǎn)⊥?，b?參考答案：C6.已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足f（x）=2xf′（1）+lnx，則f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e參考答案：B【考點】導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則；導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則．【分析】已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），利用求導(dǎo)公式對f（x）進行求導(dǎo)，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：∵函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足f（x）=2xf′（1）+lnx，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故選B；7.為研究兩變量x和y的線性相關(guān)性，甲、乙兩人分別做了研究，利用線性回歸方法得到回歸直線方程m和n，兩人計算相同，也相同，則下列說法正確的是（）A．m與n重合 B．m與n平行C．m與n交于點（，） D．無法判定m與n是否相交參考答案：C【考點】線性回歸方程．【分析】根據(jù)回歸直線經(jīng)過樣本的中心點，得到直線m和n交于點（，）．【解答】解：兩個人在試驗中求出變量x的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是，變量y的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是，∴這組數(shù)據(jù)的樣本中心點是（，），∵回歸直線經(jīng)過樣本的中心點，∴m和n都過（，），即回歸直線m和n交于點（，）．故選：C．8.若正數(shù)x，y滿足x+3y=xy，則3x+4y的最小值為(

)

A．24

B．25

C．28

D．30參考答案：B9.空間四邊形ABCD中，AB=CD，邊AB．CD所在直線所成的角為30°，E、F分別為邊BC、AD的中點，則直線EF與AB所成的角為（）A．75° B．15° C．75°或15° D．90°參考答案：C【考點】異面直線及其所成的角．【分析】空間四邊形ABCD中，AB=CD，邊AB．CD所在直線所成的角為30°，E、F分別為邊BC、AD的中點，則取BD中點為G，聯(lián)結(jié)EG，F(xiàn)G，∵BG=GD，AF=FD，∠FGE的大小或補角等于異面直線AB與CD所成角的大?。窘獯稹拷猓河深}意：AB=CD，邊AB．CD所在直線所成的角為30°，E、F分別為邊BC、AD的中點，取BD中點為G，聯(lián)結(jié)EG，F(xiàn)G，∵BG=GD，AF=FD∴，．所以∠FGE的大小或補角等于異面直線AB與CD所成角的大小，即∠FGE=30°或150°又AB=CD，∴FG=EG∴△FGE為等腰三角形，∴∠GFE=75°，∴異面直線EF和AB所成角等于75°或15°．故選C．10.已知全集，集合，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知橢圓，過程作直線，與橢圓交于兩點，且點是線段的中點，則直線的斜率為_______________.參考答案：略12.已知是圓內(nèi)一點，則過點的最短弦所在直線方程是

．參考答案：略13.一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t、硝酸鹽18t。生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t、硝酸鹽15t?，F(xiàn)庫存磷酸鹽10t、硝酸鹽66t，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料，列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式。參考答案：設(shè)生產(chǎn)甲乙兩種混合肥料各x,yt則14.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為________.參考答案：【分析】由雙曲線漸近線方程得，從而可求，最后用離心率的公式，可算出該雙曲線的離心率，即可求解．【詳解】由題意，雙曲線的一條漸近線方程為，所以，所以，所以．故答案為：．【點睛】本題主要考查了雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標準方程、基本概念和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．15.一球內(nèi)切于底面半徑為，高為3的圓錐，則內(nèi)切球半徑是

；內(nèi)切球與該圓錐的體積之比為

．參考答案：1，．【考點】球的體積和表面積；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）．【分析】由等面積可得內(nèi)切球半徑，利用體積公式求內(nèi)切球與該圓錐的體積之比．【解答】解：設(shè)球的半徑為r，則由等面積可得，∴r=1．內(nèi)切球與該圓錐的體積之比為=．故答案為1，．16.某單位為了了解用電量y（度）與氣溫x（℃）之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當天氣溫（如表），并求得線性回歸方程為:xc914-1y184830d不小心丟失表中數(shù)據(jù)c，d，那么由現(xiàn)有數(shù)據(jù)知____________．參考答案：270由題意可得：，，回歸方程過樣本中心點，則：，即：，整理可得：.

17.下列命題正確的序號是①命題“若a＞b，則2a＞2b”的否命題是真命題；②若命題p：“＞0”，則；￢p：“≤0”；③若p是q的充分不必要條件，則￢p是￢q的必要不充分條件；④方程ax2+x+a=0有唯一解的充要條件是a=±．參考答案：①③【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】①根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；②寫出p的否命題即可；③根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可；④通過討論a=0，a≠0判斷即可．【解答】解：①命題“若a＞b，則2a＞2b”的否命題是：“若a≤b，則2a≤2b”是真命題，故①正確；②若命題p：“＞0”，則；￢p：“＜0”，故②錯誤；③若p是q的充分不必要條件，則￢p是￢q的必要不充分條件，故③正確；④方程ax2+x+a=0，當a=0時，方程也有唯一解，故④錯誤；故答案為：①③．【點評】本題考查了充分必要條件，考查命題之間的關(guān)系，考查方程思想，本題綜合性強，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，,且,O為中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在上是否存在一點，使得平面，若不存在，說明理由；若存在，確定點的位置.參考答案：解：(1)證明：因為，且O為AC的中點，

所以.

又由題意可知，平面平面，交線為，且平面，

所以平面.（2）如圖，以O(shè)為原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系.由題意可知，又所以得:則有：

設(shè)平面的一個法向量為，則有

，令，得

所以.

.因為直線與平面所成角和向量與所成銳角互余，所以.（3）設(shè)即，得所以得

令平面，得

，即得即存在這樣的點E，E為的中點.19.（本題滿分10分）過拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點F作直線l與拋物線C交于A，B兩點，當點A的縱坐標為1時，|AF|＝2．（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）若直線l的斜率為2，問拋物線C上是否存在一點M，使得MA⊥MB？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．參考答案：（Ⅰ）x2＝4y;（Ⅱ）存在一點或(1)由拋物線的定義得|AF|等于點A到準線y＝－的距離，∴1＋＝2，∴p＝2，∴拋物線C的方程為x2＝4y．(2)拋物線C的焦點為F(0,1)，直線l的方程y＝2x＋1，設(shè)點A、B、M的坐標分別為(x1，)、(x2，)、(x0，)，由方程組消去y得，x2＝4(2x＋1)，即x2－8x－4＝0，由韋達定理得x1＋x2＝8，x1x2＝－4．∵MA⊥MB，∴·＝0，∴(x1－x0)(x2－x0)＋(－)(－)＝0，∴(x1－x0)(x2－x0)＋(x1－x0)(x2－x0)(x1＋x0)(x2＋x0)＝0．∵M不與A，B重合，∴(x1－x0)(x2－x0)≠0，∴1＋(x1＋x0)(x2＋x0)＝0，x1x2＋(x1＋x2)x0＋x＋16＝0，∴x＋8x0＋12＝0，∵Δ＝64－48>0．∴方程x＋8x0＋12＝0有解，即拋物線C上存在一點或，使得MA⊥MB．

20.已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，且過點A（2，1）．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若P，Q是橢圓C上的兩個動點，且使∠PAQ的角平分線總垂直于x軸，試判斷直線PQ的斜率是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）由橢圓C的離心率為，且過點A（2，1），列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（Ⅱ）法一：由∠PAQ的角平分線總垂直于x軸，知PA與AQ所在直線關(guān)于直線x=2對稱．設(shè)直線PA的方程為y﹣1=k（x﹣2），直線AQ的方程為y﹣1=﹣k（x﹣2）．由，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0．由點A（2，1）在橢圓C上，求出．同理，由此能求出直線PQ的斜率為定值．法二：設(shè)點P（x1，y1），Q（x2，y2），則直線PA的斜率，直線QA的斜率．由∠PAQ的角平分線總垂直于x軸，知，再由點P（x1，y1），Q（x2，y2）在橢圓C上，能求出直線PQ的斜率為定值．法三：設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b，點P（x1，y1），Q（x2，y2），則y1=kx1+b，y2=kx2+b，直線PA的斜率，直線QA的斜率．由∠PAQ的角平分線總垂直于x軸，知=，由，得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣8=0，由此利用韋達定理能求出直線PQ的斜率為定值．【解答】解：（Ⅰ）因為橢圓C的離心率為，且過點A（2，1），所以，．…因為a2=b2+c2，解得a2=8，b2=2，…所以橢圓C的方程為．…（Ⅱ）解法一：因為∠PAQ的角平分線總垂直于x軸，所以PA與AQ所在直線關(guān)于直線x=2對稱．設(shè)直線PA的斜率為k，則直線AQ的斜率為﹣k．…所以直線PA的方程為y﹣1=k（x﹣2），直線AQ的方程為y﹣1=﹣k（x﹣2）．設(shè)點P（xP，yP），Q（xQ，yQ），由，消去y，得（1+4k2）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0．①因為點A（2，1）在橢圓C上，所以x=2是方程①的一個根，則，…所以．…同理．…所以．…又．…所以直線PQ的斜率為．…所以直線PQ的斜率為定值，該值為．…解法二：設(shè)點P（x1，y1），Q（x2，y2），則直線PA的斜率，直線QA的斜率．因為∠PAQ的角平分線總垂直于x軸，所以PA與AQ所在直線關(guān)于直線x=2對稱．所以kPA=﹣kQA，即，①…因為點P（x1，y1），Q（x2，y2）在橢圓C上，所以，②．③由②得，得，④…同理由③得，⑤…由①④⑤得，化簡得x1y2+x2y1+（x1+x2）+2（y1+y2）+4=0，⑥…由①得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0，⑦…⑥﹣⑦得x1+x2=﹣2（y1+y2）．…②﹣③得，得．…所以直線PQ的斜率為為定值．…解法三：設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b，點P（x1，y1），Q（x2，y2），則y1=kx1+b，y2=kx2+b，直線PA的斜率，直線QA的斜率．…因為∠PAQ的角平分線總垂直于x軸，所以PA與AQ所在直線關(guān)于直線x=2對稱．所以kPA=﹣kQA，即=，…化簡得x1y2+x2y1﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+4=0．把y1=kx1+b，y2=kx2+b代入上式，并化簡得2kx1x2+（b﹣1﹣2k）（x1+x2）﹣4b+4=0．（*）

…由，消去y得（4k2+1）x2+8kbx+4b2﹣8=0，（**）則，…代入（*）得，…整理得（2k﹣1）（b+2k﹣1）=0，所以或b=1﹣2k．…若b=1﹣2k，可得方程（**）的一個根為2，不合題意．…若時，合題意．所以直線PQ的斜率為定值，該值為．…21.(本小題滿分12分)已知方程的兩個根為，.(1)求的值.(2)求的值.參考答案：22.已知點，圓，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M,O為坐標原點．(Ⅰ)求M的軌跡方程；(Ⅱ)當（P，M不重合）時，求l的方程及△POM的面積．參考答案：（1）

（2）(或)

（1）圓C的方程可化為，∴圓心為，半徑為4，設(shè)，∴

由題設(shè)知，即.

由于點在圓的內(nèi)部，所以的軌跡方程是.........................................5分.（2）由（1）可知的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓.

由于，故在線段的垂直平分線上，又在圓上，從而.

∵的斜率為3∴的方程為