高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

第一講：極限與連續(xù)

一.數(shù)列函數(shù)：

1.類型：

⑴數(shù)列：*4“=/(〃)；*。"+1=/(?！?

(2)初等函數(shù):

(3)分段函數(shù)：*;*;*

(4)復(fù)合(含/)函數(shù)：y=/(?),u=9(x)

(5)隱式(方程)：E(x,y)=O

⑹參式(數(shù)一，二)：

(7)變限積分函數(shù)：F(x')=['f(x,t)dt

(8)級(jí)數(shù)和函數(shù)(數(shù)一，三)：

2.特征(幾何)：

(1)單調(diào)性與有界性(判別);(/(x)單調(diào)=V%,(x-x0)(/(x)-/(x0))定號(hào))

(2)奇偶性與周期性(應(yīng)用).

3.反函數(shù)與直接函數(shù)：y=/(x)ox=/T(y)ny=/T(x)

二.極限性質(zhì)：

1.類型：*liman;*lim.f(x)c^xf±po);*lim/(x)(含xf/士)

X—>ooXT7,

2.無窮小與無窮大(注：無窮量):

3.未定型：—,—,1二00—00,0-00,0°,00°

000

4.性質(zhì)：*有界性，*保號(hào)性，*歸并性

三.常用結(jié)論：

_LJ.1

n〃—>1,an(a>0)—>1,(an+c")"—>max(〃,瓦c),

,lim=1,,,

x->0+

limxln"x=0,

XTO+

四.必備公式：

1.等價(jià)無窮?。寒?dāng)0時(shí)，

sinu(x)u(x);tanu(x)u(x)；

eM(x)-lw(x)；ln(l+u(x))u(x);(1+u(x))a-1au(x)；

arcsinw(x)u(x)；arctanu(x)u(x)

2.泰勒公式：

(l)e'=1+x+x2+o(x~);

(2)ln(l+x)=x-^x2+6>(x2);

(3);

(4)cosx=l--x2+—x4+o(d);

(5)(l+x)°=14-ax+^^-^-x2+o(x?).

五.常規(guī)方法：

前提：（1）準(zhǔn)確判斷（其它如:8-8,0.8,0°,8°）；（2）變量代換（如：,=f）

X

00

1.抓大棄小(一),

00

2.無窮小與有界量乘積(crM)(注：)

3.1"處理(其它如:0°,oo°)

4.左右極限(包括x—>±oo):

?

(1);(2)e*(x-8)；eYxfO)；(3)分段函數(shù)：W，[x],maxf(x)

5.無窮小等價(jià)替換(因式中的無窮小)(注：非零因子)

6.洛必達(dá)法則

(1)先"處理〃，后法貝I(，最前方法);(注意比照：與)

11IJ__

⑵基指型處理：u(x)'M=e'，M'nu(x)(如：6初一潟=e；(e7T7-1))

(3)含變限積分；

(4)不能用與不便用

7.泰勒公式(皮亞諾余項(xiàng))：處理和式中的無窮小

8.極限函數(shù)：/(x)=limF(x,〃)(n分段函數(shù))

“Too

六.非常手段

1.收斂準(zhǔn)則：

⑴4=/(〃)=Hm/(x)

Xf+00

(2)雙邊夾：*〃4/<%?,*",c“fa?

(3)單邊擠：an+l=f(a?)*|a,(|<M?*/'(x)>0?

2.導(dǎo)數(shù)定義(洛必達(dá))：

3.積分和：lim，"d)+/(2)++/(-)]

’18nnnn

4.中值定理:lim[f(x4-a)-f(x)]=alimf")

5.級(jí)數(shù)和（數(shù)一三）:

⑴收斂=>lima”=0,(如)⑵lim(a]+a,++4)=￡%,

n=\

(3){%}與同斂散

七.常見應(yīng)用：

1.無窮小比擬(等價(jià)，階)：*/(x)70)?

(1)/(0)=/'(0)==尸(0)=0,廣0(0)=40f{x}=-xn+a[xn)-xn

n\n\

⑵J("(Mj>"力

2.漸近線(含斜)：

(1)a=lim,b=lim[/(x)-ax]=/(x)ax+b+a

XT8xx->00

(2)f(x)=ax+b+a,0

3.連續(xù)性：(1)連續(xù)點(diǎn)判別(個(gè)數(shù))；(2)分段函數(shù)連續(xù)性(附:極限函數(shù)，/'(X)連續(xù)

性)

八.[a,切上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)

1.連通性：f([a,b])=[m,M](注：VO</1<1,“平均”

值:處3)+(1-//(3=/(尤0))

2.介值定理:(附：達(dá)布定理)

(1)零點(diǎn)存在定理：/(a)/(b)<0n/(x0)=0(根的個(gè)數(shù))；

⑵/(x)=0n(J：/(xgy=0.

第二講:導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用（一元）（含中值定理）

一.根本概念：

1.差商與導(dǎo)數(shù):1(x)=；f\x.)=

(l)/'(o)=lim」C(注:連續(xù))n/(0)=0J'(0)=A)

?90x

(2)左右導(dǎo)：f(%),￡(玉))；

(3)可導(dǎo)與連續(xù)；(在x=o處，區(qū)連續(xù)不可導(dǎo)；了國可導(dǎo))

2.微分與導(dǎo)數(shù)：.J=/(x+.x)—/(x)=/'(6x+oQx)n4=7'(x)公

⑴可微。可導(dǎo)；(2)比擬V，4與"0"的大小比擬(圖示)；

二.求導(dǎo)準(zhǔn)備：

1.根本初等函數(shù)求導(dǎo)公式;(注：(|/(到)')

2.法則：(1)四則運(yùn)算；(2)復(fù)合法則；(3)反函數(shù)

三.各類求導(dǎo)(方法步驟)：

1.定義導(dǎo)：⑴尸⑷與尸(X)|『；(2)分段函數(shù)左右導(dǎo)；(3)

(注:，求:1(%)"3及一(力的連續(xù)性)

2.初等導(dǎo)(公式加法則)：

(l)〃=/[g(x)],求:〃'(％)(圖形題)；

(2)尸(x)=1/Q)力，求：F\x)(注

Ja

”fbfb

(Jf(x,t)dt)\([f(x,t)dty,(]

JaJaJa

(3),求fM，￡(X。)及尸(x0)(待定系數(shù))

3.隱式(/(x,y)=0)導(dǎo):

(1)存在定理;

（2）微分法（一階微分的形式不變性）.

（3）對數(shù)求導(dǎo)法.

4.參式導(dǎo)（數(shù)一，二）:,求：

5.高階導(dǎo)公式:

（*嚴(yán)=優(yōu)*；（—1—）（”）=―8加.

a-bx（a-bx）n+

（sinox）""=a"sin（ax+—xny,（cosor）""=a"cos（ax+—xn）

22

（MV）（n）=M，n）V+C＞（，M）v'+C＞＜M_2，V"+

注：/"'（0）與泰勒展式：/（x）=4++

四.各類應(yīng)用：

1.斜率與切線（法線）；（區(qū)別：y=/（x）上點(diǎn)M。和過點(diǎn)場的切線）

2.物理:（相對）變化率-速度；

3.曲率（數(shù)一二）：（曲率半徑，曲率中心，曲率圓）

4.邊際與彈性（數(shù)三）：（附：需求，收益，本錢，利潤）

五.單調(diào)性與極值（必求導(dǎo)）

1.判別（駐點(diǎn)/'（%）=0）：

（i）/,（x）＞o=＞/（%）'；y（x）＜o(jì)=＞/（%）a；

（2）分段函數(shù)的單調(diào)性

（3）/'（x）＞0n零點(diǎn)唯一；/"（%）＞0=駐點(diǎn)唯一（必為極值,最值）.

2.極值點(diǎn)：

⑴表格（/'"）變號(hào)）；（由limU^wO,lim4^wO,lim41wOnx=o

XT與XXfqXXTX。X"

的特點(diǎn)）

⑵二階導(dǎo)(號(hào)(％)=0)

注(1)f與的匹配(f'圖形中包含的信息)；

(2)實(shí)例：由廣0)+為?/0)=8(》)確定點(diǎn)"％=尤0”的特點(diǎn).

(3)閉域上最值(應(yīng)用例：與定積分幾何應(yīng)用相結(jié)合，求最優(yōu))

3.不等式證明(/(x)20)

(1)區(qū)別：*單變量與雙變量*xe向與xe[a,+oo),%e(-oo,+oo)

(2)類型：*/'W0JS)20

*/*0J(a)J?>0;*/"(x)20,r(x°)=O,/(xo)>0

(3)注意：單調(diào)性十端點(diǎn)值十極值十凹凸性.(如：/(x)<M<=>fmm(x)=M)

4.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)：單調(diào)十介值

六.凹凸與拐點(diǎn)(必求導(dǎo)!)：

1.>"=>表格;(/'(%)=0)

2.應(yīng)用：⑴泰勒估計(jì)；(2)/'單調(diào)；(3)凹凸.

七.羅爾定理與輔助函數(shù)：(注：最值點(diǎn)必為駐點(diǎn))

1.結(jié)論：F(b)=F(a)nF紜)=,您)=0

2.輔助函數(shù)構(gòu)造實(shí)例：

⑴/e)nF(x)=[7w

Ja

⑵/C)gC)+f8g&)=0nF(x)=/(x)g(x)

(3)――)一/e)g&)=0nF(x)=翼

g(x)

(4)/,?)+〃—)=0=F(x)=;

3.75>G)=0=/(x)有〃+1個(gè)零點(diǎn)=f"T)(x)有2個(gè)零點(diǎn)

4.特例：證明/(">C)=a的常規(guī)方法：令尸(x)=/(x)—K(x)有"+1個(gè)零點(diǎn)

(勺(x)待定)

5.注：含06時(shí),分家!(柯西定理)

6.附(達(dá)布定理)：“X)在出㈤可導(dǎo),Vcw"'(a)"0)[,*e[a,L^:/&)=c

A.拉格朗日中值定理

1.結(jié)論：/3)一/(。=/e)S—a);(奴。)<。(力=三,37'(()>0)

2.估計(jì)：

九.泰勒公式(連接之間的橋梁)

23

1.結(jié)論：fM=f(x0)+fU0)(x-x0)+^f1Xx0Xx-x0)+^f''W(x-x0);

2.應(yīng)用：在73)或/S)值時(shí)進(jìn)展積分估計(jì)

十.積分中值定理(附:廣義)：[注:有定積分(不含變限)條件時(shí)使用]

第三講：一元積分學(xué)

一.根本概念：

1.原函數(shù)1(%):

⑴F\x)=f(x)(2)f(x)dx=dF(x)

⑶Jf{x)dx=F(x)+c

注⑴尸(x)=「/⑺力(連續(xù)不一定可導(dǎo))；

Ja

⑵[\x-t)f(t)dt=＞「f⑴dtn/(x)(f(x)連續(xù))

JaJa

2.不定積分性質(zhì)：

(1)(J/UW=/(x);d^f(x)dx)=f(x)dx

⑵J.f'(x)公=/(x)+c；j或(x)=f(x)+c

二.不定積分常規(guī)方法

1.熟悉根本積分公式

2.根本方法：拆(線性性)

J(^/(x)+k2g(x))dx=A：tJf{x}dx+k2^g(x)dx

3.湊微法(根底)：要求巧，簡，活(lusinO+cosn)

如：dx=-d(ax+b),xdx=—dx1,—=JInx,

a2x

,Xdx-djl+x)(1+Inx)dx=d(x\nx)

4.變量代換：

(1)常用(三角代換，根式代換，倒代換)：x=sint,y/ax+b=t,-

X

(2)作用與弓I伸(化簡)：yjx1±1—X=t

5.分部積分(巧用)：

(1)含需求導(dǎo)的被積函數(shù)(如Inx,arctanx,^'f(t)dt);

(2)”反對募三指"：辦，Jy1inxdx,

⑶特別：\xf{x)dx(*/(x)的原函數(shù)為尸(x)；*/'(x)=F(x))

6.特例:(1);(2)Jp(x)eL'dx,jp(x)sinaxdx快速法;⑶

三.定積分：

1.概念性質(zhì)：

(1)積分和式(可積的必要條件:有界，充分條件:連續(xù))

(2)幾何意義(面積，對稱性,周期性，積分中值)

*￡\lax-x2dx(a>0)=^a2■,

(3)附:，J：/(x)g(x)公<MJjg(x)")

(4)定積分與變限積分，反常積分的區(qū)別聯(lián)系與側(cè)重

2:變限積分①(無)=「/⑺力的處理(重點(diǎn))

Ja

(1)/可積0①連續(xù)，/連續(xù)=①可導(dǎo)

(2)(1/⑺力)'=/(%)；'⑺力

f(x)dt=(x-a)f(x)

(3)由函數(shù)尸(x)=J：/⑺力參與的求導(dǎo)，極限，極值，積分(方程澗題

3.N—L公式：r［b/(幻公=FS)—F(a)(b(x)在［。,句上必須連續(xù)!)

Ja

注:(1)分段積分，對稱性(奇偶)，周期性

(2)有理式，三角式，根式

(3)含⑺力的方程.

4,變量代換：『/(x)辦:'(f)山

JaJa

(1)￡f(x)dx=￡f(a-x)dx(x=a-t),

⑵^f(x)dx=f(-x)dx(x=-t)=￡[/(%)+f(-x)]dx(如:)

?n-1

(4)jj/(sinx)dx=￡2/(cosx)dx;￡/(sinx)dx=2/(sinx)dx,

(5)￡(sinx)dx=￡/(sinx)辦’

5.分部積分

⑴準(zhǔn)備時(shí)“湊常數(shù)”

⑵/3或/(x)=J：時(shí)，求f/(x)dx

6.附：三角函數(shù)系的正交性：

「2兀.2/r『2燈

sinnxdx=cosnxdx=sinnxcosnvcdx=0

JoJoJo

J。sinnxsinmxdx=J。cos〃xcosmxdx^nm)=0

.2乃.22

sirrnxdx-cosnxdx-兀

JoJo

四.反常積分：

廣+Xff-KO

1.類型：(1)If(x)dx,[f(x)dx,[f(x)dx(/(x)連續(xù))

JaJ—xJ-oo

(2)f(x)dx：(/(x)在X=Q,x=b,X=C(QVC<〃)處為無窮連

Ja

續(xù))

2.斂散；

3.計(jì)算：積分法十N-L公式十極限(可換元與分部)

4.特例：(1);(2)

五.應(yīng)用：（柱體側(cè)面積除外）

1.面積，

⑴S=J："(x)-g(x)]dr;⑵^二J：/T(y)dy；

(3);(4)側(cè)面積:S=[27vf(x)yli+f'2(x)dx

2.體積：

⑴匕=d'""x)-g2(x)a；(2)匕=;rJ："T(y)『辦=2萬J：V(x)公

⑶匕一與匕一

A--*oy->o

3.弧長：ds=?dx)2+(辦)2

(1)y=f(x),x^[a,b]s=￡-j\+f'2(x)dx

(2)s=『ylx'2(t)+y'2(t)dt

(3)r=r(6),0G[a,切：s-J”個(gè)產(chǎn)(8)+r”(8)d。

4.物理(數(shù)一，二)功，引力，水壓力,質(zhì)心，

5.平均值(中值定理)：

(l)/[a,Z?]=-----Jf(x)dx;

b-aJa

-[力)力

(2)/[0+8)=lim比-------，(/以T為周期:)

X->+00X

第四講：微分方程

一.根本概念

1.常識(shí)：通解，初值問題與特解(注：應(yīng)用題中的隱含條件)

2.變換方程：

⑴令X=x(0=>y'="分"(如歐拉方程)

⑵令u=u(x,y)=>y=y(x,u)=>y'(如伯努利方程)

3.建立方程(應(yīng)用題)的能力

二.一階方程：

1.形式：(Dy'=/(x,y)；(2)M(x,y)dx+N(x,y)dy=0;(3)y(a)=h

2.變量別離型:y'=f(x)g(y)

⑴解法：|■金=Jf(x)dxnG(y)=F(x)+C

Jg(y)

(2)“偏”微分方程:；

3.一階線性(重點(diǎn))：y'+p(x)y=g(x)

Vp{x}dx1f.v

(1)解法(積分因子法)：M(x)=e1*=>y=-----[|M(x)q(x)dx+y0]

M(x)乜

(2)變化：x'+〃(y)x=q(y);

(3)推廣：伯努利(數(shù)一)y'+p(x)y=q(x)ya

4.齊次方程：

⑴解法："=2=>〃+皿'=中(〃)，[—————=(―

xJ<!>(?)-?Jx

⑵特例：

5.全微分方程(數(shù)一)：/(工,丁)以+/7(工,丁)力=0且

dU=Mdx+Ndy=U=C

0v—cax

6.一階差分方程(數(shù)三)：>川一外\=vn-

WP(X)y；=x"Q(x)〃

三.二階降階方程

1.y"=f(x)：y=F(X)+C1X+C2

2.y"=f(x,y')：令y，=p(x)ny"=^=/(x,p)

ax

3.y"=f(y,y')：令y'=p(y)=>y"=p曰=/(y,p)

dy

四.高階線性方程：a(x)y-+b(x)y'+c(x)y=/(x)

1.通解構(gòu)造：

(1)齊次解：%。)=9)[*)+。2%(幻

(2)非齊次特解:y(x)=GX(x)+C2%(x)+y*(x)

2.常系數(shù)方程：ay''+by'+cy^f(x)

(1)特征方程與特征根：a^+bA+c^O

(2)非齊次特解形式確定：待定系數(shù)；(附：/(x)=h'"的算子法)

(3)由解反求方程.

2,

3.歐拉方程(數(shù)一)：axy'+bxy'+cy=f(,x),令

x=e'=>x2y"=D(D-l)y,xy'-Dy

五.應(yīng)用(注意初始條件)：

1.幾何應(yīng)用(斜率，弧長，曲率，面積，體積)；

注：切線和法線的截距

2.積分等式變方程(含變限積分)；

可設(shè)['f(x)dx=F(x),F(a)=0

Ja

3.導(dǎo)數(shù)定義立方程：

含雙變量條件/(x+y)=的方程

4.變化率（速度）

5.

6.路徑無關(guān)得方程（數(shù)一）：

7.級(jí)數(shù)與方程：

⑴幕級(jí)數(shù)求和；（2）方程的基級(jí)數(shù)解

2

法:y=a0+a]x+a2x+■■?,?（）=y（O）,q=y'（0）

8.彈性問題（數(shù)三）

第五講：多元微分與二重積分

二元微分學(xué)概念

1.極限，連續(xù)，單變量連續(xù)，偏導(dǎo)，全微分，偏導(dǎo)連續(xù)（必要條件與充分條件），

⑴V=/（x0+Ax,%+y）,△J=/（x0%）,△"=+J）

⑵limH，＜=lim*,/v=lim?

ArAy

O）fxAx+fy^ydf,lim/"一力=（判別可微性）

J（J）2+（Q）2

注：（0,0）點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的極限定義：

￡(0,0)=.巫女世叫《(0,0)=隔幽上

x->0x)y->0y

2.特例：

，7(0,0)

(1)f(x,y)=^x2+y2：(0,0)點(diǎn)處可導(dǎo)不連續(xù)；

,0,=(0,0)

[/72*30)

22

(2)f(x,y)yx+y:(0,0)點(diǎn)處連續(xù)可導(dǎo)不可微;

[0,=(0,0)

二.偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計(jì)算：

1.顯函數(shù)一，二階偏導(dǎo):z=f(x,y)

注:⑴/型；(2)zvl-(3)含變限積分

2.復(fù)合函數(shù)的一，二階偏導(dǎo)(重點(diǎn)):z=/[”(x,y),v(x,y)]

熟練掌握記號(hào)f,f2,/；,f；2,力；的準(zhǔn)確使用

3.隱函數(shù)(由方程或方程組確定)：

⑴形式：*F(x,y,z)=O；*(存在定理)

(2)微分法(熟練掌握一階微分的形式不變性)：Fxdx+Fydy+F:dz=Q(要求：二

階導(dǎo))

(3)注：(%,%)與z()的及時(shí)代入

(4)會(huì)變換方程.

三.二元極值(定義)；

1.二元極值(顯式或隱式)：

(1)必要條件(駐點(diǎn))；

(2)充分條件(判別)

2.條件極值(拉格朗日乘數(shù)法)(注：應(yīng)用)

⑴目標(biāo)函數(shù)與約束條件：z=/(x,y)十夕(x,y)=O,(或：多條件)

(2)求解步驟：L(x,y,A)=/(%,y)+A(p(x,y),求駐點(diǎn)即可.

3.有界閉域上最值(重點(diǎn)).

(1)z=f(x,y)十MGD={(X,y)%,y)<0)

⑵實(shí)例：距離問題

四.二重積分計(jì)算：

1.概念與性質(zhì)（“積"前工作）：

（1）,

（2）對稱性（熟練掌握）：*。域軸對稱；*/奇偶對稱；*字母輪換對稱；*重心坐

（3）“分塊"積分：4；*/*,，）分片定義；*/（尤,y）奇偶

2.計(jì)算（化二次積分）：

⑴直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)選擇（轉(zhuǎn)換）：以"D”為主；

（2）交換積分次序（熟練掌握）.

3.極坐標(biāo)使用（轉(zhuǎn)換）：f（x2+y2）

附：D:（x-a）2+（y-b）2<R2；;

雙紐線（x2+y2）2=a2（x2-y2）￡>:|x|+|y|<l

4.特例：

（1）單變量：/（幻或"y）

（2）利用重心求積分：要求：題型，且。的面積與重心（京?。?/p>

5.無界域上的反常二重積分（數(shù)三）

五:一類積分的應(yīng)用D;Q;L;r；S）：

1.“尺寸"：（1）；（2）曲面面積（除柱體側(cè)面）；

2.質(zhì)量，重心（形心），轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

3.為三重積分，格林公式，曲面投影作準(zhǔn)備.

第六講：無窮級(jí)數(shù)（數(shù)一，三）

一.級(jí)數(shù)概念

1.定義:(l){aj,(2)S“=4+4++an;(3)Um5?(如)

注:(l)liman;⑵(或)；(3)“伸縮"級(jí)數(shù)：W(4+i-a”)收斂=伍”}收斂.

2.性質(zhì)：(1)收斂的必要條件：lim%=0;

"TOO

(2)加括號(hào)后發(fā)散，則原級(jí)數(shù)必發(fā)散(交織級(jí)數(shù)的討論)；

⑶S2"fs,an->0=>52n+lfs=>snfs;

二.正項(xiàng)級(jí)數(shù)

1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)：⑴定義：20;⑵特征S“/;⑶收斂(有界)

2.標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù)：(1),(2),(3)

3.審斂方法:(注:2ab<a2+b2,a'nh=b'na)

(1)比擬法(原理)：(估計(jì)),如；

(2)比值與根值：**lim板(應(yīng)用：塞級(jí)數(shù)收斂半徑計(jì)算)

W->00Y

三.交織級(jí)數(shù)(含一般項(xiàng))：￡(一1)"%”(?！啊?)

1."審"前考察：(1)4>0?(2)a,f0?;(3)絕對(條件敞斂

注：假設(shè)，則發(fā)散

2.標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù)：(1);(2);(3)

3.萊布尼茲審斂法(收斂)

⑴前提：Z㈤發(fā)散；⑵條件：%、，4-0；⑶結(jié)論:Z(-l嚴(yán)％條件

收斂.

4.補(bǔ)充方法：

⑴加括號(hào)后發(fā)散，則原級(jí)數(shù)必發(fā)散；

(2)52“fs,%-0n52“+i-s=s“fs?

5.考前須知：比照?.；W?T）Z；Z㈤；Zd之間的斂散關(guān)系

四.幕級(jí)數(shù):

1.常見形式：

⑴3《盧”，⑵2X（x-』）"，⑶2X（xr（）產(chǎn)

2.阿貝爾定理：

（1）結(jié)論：x=x*斂=>7?之k*-4；x=x*散可

（2）注：當(dāng)x=x*條件收斂時(shí)=>7?=上一刀［

3.收斂半徑，區(qū)間，收斂域（求和前的準(zhǔn)備）

注（1）與同收斂半徑

⑵?“尤”與/產(chǎn)之間的轉(zhuǎn)換

4.某級(jí)數(shù)展開法:

⑴前提：熟記公式(雙向，標(biāo)明斂域)

1,1,

e'=1+xH—xH—x+,Q=R

2!3!

-(ex+e-v)=l+—x2+-x4+,Q=R

22!4!

35

l^-e^)=x+lx+lx+,Q=R

23!5!

11

,0=7?cosx=i-----x??H—x4+,Q=R；

3!5!2!4!

1.212\

-----—1+X4~X+,XG(—1,1)；------=1-X+廠一,,X￡(—1,1)

1-X1+九

1,1，

ln(l+x)=x-—+-x3-,XG(-1,1]

ln(l-x)=_1一萬廠一百/一,XG[—1,1)

arctanx-x——x3+—x5--,xe[-l,l]

35

(2)分解：/(x)=g(x)+/?(?(注:中心移動(dòng))(特別:)

(3)考察導(dǎo)函數(shù)：g(x)-f\x)=>f(x)=￡'g(x)dx+/(O)

JO

(4)考察原函數(shù)：g(x)「/(x)再nf(x)=g'(x)

5.幕級(jí)數(shù)求和法(注:*先求收斂域，*變量替換)：

(l)S(x)=Z+Z,

(2)S'(x)=，(注意首項(xiàng)變化)

⑶S(x)=(Z)',

(4)S(x)n"S(x)”的微分方程

n

(5)應(yīng)用:y^a?=>y^anx=S(x)=>^an=5(1).

6.方程的基級(jí)數(shù)解法

7.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用(數(shù)三)：

⑴復(fù)利：A(l+p)n；⑵現(xiàn)值：A(l+pYn

五.傅里葉級(jí)數(shù)(數(shù)一):(T=2萬)

1.傅氏級(jí)數(shù)(三角級(jí)數(shù))：S(x')=^-+'^jancosnx+bnsinnx

2n=\

2.n”c〃/々充分條件(收斂定理)：

⑴由f(x)=>S(x)(和函數(shù))

⑵S(x)=g"(x—)+/(x+)]

11

=—f(x)cosnxdx

1t冗TT

3.系數(shù)公式：a()=—\f(x)dx,<

兀j]產(chǎn).

h=-\/(x)sinnxdx

u萬,一不

4.題型：(注：/(x)=S(x),xe?)

⑴T=2乃且/（%）=,%￡（一肛4]（分段表示）

⑵XG（一匹乃]或X￡[0,24]

⑶XG[0,7T]正弦或余弦

*(4)xe[0,乃](T=〃)

*5.T=2l

6.附產(chǎn)品：f(x)=>S(x)=—+^d5/lcosrue+bnsinnx

2〃=i

Q0c

=>S(x0)=」+Zcosnx{}+bnsin〃叫)

2/?=1

第七講：向量，偏導(dǎo)應(yīng)用與方向?qū)В〝?shù)一）

一.向量根本運(yùn)算

1.kxa+k2h;（平行

2.p|;（單位向量（方向余弦）4°=pjfl=（cosa,cosft,cos/））

3.a,b;(投影:；垂直:a_LZ?=a"=0；夾角:)

4.axb；（法向:〃=axZ?_La,b；面積:S=|ax/?|）

-.平面與直線

n

⑴特征(根本量)：解(與，為，z。)十〃=(A,B,C)

(2)方程(點(diǎn)法式):

7t:A(x-x0)+5(y-y0)+C(z-z0)=0^>Ax+By+Cz+D=0

(3)其它：*截距式；*三點(diǎn)式

L

⑴特征(根本量)：%(/，為，Zo)十S=(辦〃,p)

(2)方程(點(diǎn)向式)：小上3=匕&==1

mnp

八、，fAx+4y+Gz+￡>|=0

(3)一般方程(交面式)：(?二二二八

B2y+C2z+D2=0

⑷其它：*二點(diǎn)式；*參數(shù)式；(附：線段A3的參數(shù)表

冗=q+(出一4)，

示：<丁=々+電一4)/,,0,1])

Z=q+?-C”

3.實(shí)用方法：

⑴平面束方程：兀：+C(z+￡>1+/L(A2x+4-C2z+D2)=0

A+B+Cz

(2)距離公式：如點(diǎn)M0(x0,y0)到平面的距離d=lV'-^o±2l

VA2+B2+C2

(3)對稱問題；

(4)投影問題.

三.曲面與空間曲線(準(zhǔn)備)

1.曲面

⑴形式E：F(x,y,z)=O或z=/(x,y)；(注：柱面/(x,y)=0)

⑵法向〃=(凡,&,￡)=>(cosa,cos0,cosy)(或〃=(-z*，-z>1))

2.曲線

⑴形式，或；

(2)切向：s={%'?),y'(f),z'(f)}(或5=勺*%)

3.應(yīng)用

(1)交線，投影柱面與投影曲線；

(2)旋轉(zhuǎn)面計(jì)算：參式曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)；

(3)錐面計(jì)算.

四.常用二次曲面

1.圓柱面:爐+y2=R?

2.球面：x2+y2+z2=R2

變形：x2+y2=R2-z2,z=7/?2-(x2+?),

2222222

x+y+z=2az,(x-x0)+(y-y0)+(z-z0)=R

3.錐面：z-yjx2+y2

222r~^7

變形：x+j=z,Z=Q_DJT+y-

4.拋物面：z=x2+y2,

變形：x2+y2=z,z=a-(x2+y2)

5.雙曲面：x2+y2=z2±1

6.馬鞍面：z=x2-y2,或z=j^y

五.偏導(dǎo)幾何應(yīng)用

1.曲面

(1)法向：￡(x,y,z)=On〃=(q,g,,￡),注

z=f(x,y)=>〃=4-1)

(2)切平面與法線：

2.曲線

(1)切向：x=x(f),y=y(f),z=z(f)ns=(xyz')

(2)切線與法平面

3.綜合：r：,s=4x%

六.方向?qū)c梯度(重點(diǎn))

i.方向?qū)?/方向斜率)：

⑴定義(條件)：I=(m,n,p)=>(cosa,cos/7,cos/)

(2)計(jì)算(充分條件:可微)：—=ucosa+ucos，+cosy

dlxy

?Az

附：z=f(x,y),/°={cos6,sin0}=>一=fxcos0+fsin0

dl

22

⑶附：*=九COS6>+2fxysin6cos，+fyysin0

2.梯度(取得最大斜率值的方向)G-.

⑴計(jì)算：

(a)z=/(x,y)=>G=gradz=(fx,fy);

(b)u=/(x,y,z)=G=gradu=(MV,uy,uz)

(2)結(jié)論

(。)穿=G./。；

dl

S)取/=G為最大變化率方向；

(C)|G(M0)|為最大方向?qū)?shù)值.

第八講：三重積分與線面積分(數(shù)一)

三重積分()

1.。域的特征(不涉及復(fù)雜空間域)：

(1)對稱性(重點(diǎn))：含：關(guān)于坐標(biāo)面；關(guān)于變量；關(guān)于重心

⑵投影法：Dxy={(x,y),+y24R2}十Z](x,y)<z<z2(x,y)

(3)截面法：D(z)={(x,j)|x2+y2<R2(z)}?a<z<b

(4)其它：長方體，四面體，橢球

2.7的特征：

⑴單變量/(z),(2)f(x2+y2),(3)f(x2+y2+z2)

(4)f=ax+by+cz+d

3.選擇最適合方法：