2024屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新題型專項(xiàng)（集合復(fù)數(shù)邏輯語言）練習(xí)（附答案）

2024屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新題型專項(xiàng)（集合，復(fù)數(shù)，邏輯語言）練習(xí)

一■、單選題

1.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）數(shù)系的擴(kuò)張過程以自然數(shù)為基礎(chǔ)，德國數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克1823-1891）

說“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其它一切都是人造的”設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z滿足Z=*2O0+2i）,則Z的共軌復(fù)數(shù)是

（）

A.2+zB.2-iC.l-2zD.l+2z

2.（2022秋?浙江溫州?高一樂清市知臨中學(xué)?？计谥校┠硣臻_展了大規(guī)模CO以0-19核酸檢測(cè)，并將數(shù)

據(jù)整理如圖所示，其中集合S表示（）

感染者未發(fā)病行

A.無癥狀感染者B.發(fā)病者C.未感染者D.輕癥感染者

3.（2021秋?湖北十堰?高一校聯(lián)考期中）必修一課本有一段話：當(dāng)命題“若P,則礦'為真命題，貝I“由P可

以推出牙‘，即一旦"成立，鄉(xiāng)就成立，。是鄉(xiāng)成立的充分條件.也可以這樣說，若4不成立，那么。一定不成

立，9對(duì)〃成立也是很必要的.王安石在《游褒禪山記》中也說過一段話：“世之奇?zhèn)ァ⒐骞?，非常之觀，常

在于險(xiǎn)遠(yuǎn)，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.從數(shù)學(xué)邏輯角度分析，“有志”是“能至”的（）

A.充分條件B.必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2022秋?云南曲靖?高一校考期中）杜甫在《奉贈(zèng)韋左丞丈二十二韻》中有詩句：“讀書破萬卷，下筆如

有神.”對(duì)此詩句的理解是讀書只有讀透書，博覽群書，這樣落實(shí)到筆下，運(yùn)用起來才有可能得心應(yīng)手，如有

神助一般，由此可得，“讀書破萬卷”是“下筆如有神”的（）

A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

5.（2020?陜西榆林?統(tǒng)考一模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=a+6i（。，beR）對(duì)應(yīng)向量應(yīng)（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），

設(shè)|無卜r,以射線Ox為始邊，OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為6,貝Uz=r（cosO+isin。），法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了

zr

棣莫弗定理：i=i（cos6>1+isin0X）,z2=r2（cos02+isin6>2）,貝ZR=牝［cos（q+幻+八M（4+幻］,由棣

莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式：\_r（cos0+isin61）］"=r"（cosnd+isinn0）,已知z=（G+",則口=（）

A.2百B.4C.8百D.16

6.（2021春?重慶沙坪壩?高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）在代數(shù)史上，代數(shù)基本定理是數(shù)學(xué)中最重要的定理之

一，它說的是：任何一元〃次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式/（x）在復(fù)數(shù)集中有〃個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)）那么/（力=/-1

在復(fù)平面內(nèi)使/卜）=0除了1和-g+這兩個(gè)根外，還有一個(gè)復(fù)數(shù)根為（）

A16.R1V3.「16.n1V5.

22222222

7.（2021春?安徽宣城?高一校聯(lián)考期中）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了公式e&=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位），

它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重

要的地位.根據(jù)歐拉公式可知，e親表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.（2022?全國?高三專題練習(xí)）“虛數(shù)”這個(gè)名詞是17世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾（&e“eOesca〃es）創(chuàng)制

的，直到19世紀(jì)虛數(shù)才真正聞人數(shù)的領(lǐng)域，虛數(shù)不能像實(shí)數(shù)一樣比較大小.已知復(fù)數(shù)z,目=1且z.（l+i）>0

（其中7?是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z=（）

A.V2-V2iB.V2+V2i

r4242.nV2V2.

2222

9.（2022?全國?高三專題練習(xí)）2022年1月，中科大潘建偉團(tuán)隊(duì)和南科大范靖云團(tuán)隊(duì)發(fā)表學(xué)術(shù)報(bào)告，分別獨(dú)

立通過實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了虛數(shù)i在量子力學(xué)中的必要性，再次說明了虛數(shù)i的重要性.對(duì)于方程+1=0,它的

兩個(gè)虛數(shù)根分別為（）

Al±V3in-l±V3i

22

C±l+6iD±1-?

'-2-'-2~

10.（2022?全國?高三專題練習(xí)）人們對(duì)數(shù)學(xué)研究的發(fā)展一直推動(dòng)著數(shù)域的擴(kuò)展，從正數(shù)到負(fù)數(shù)、從整數(shù)到

分?jǐn)?shù)、從有理數(shù)到實(shí)數(shù)等等.16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹和邦貝利在解方程時(shí)，首先引進(jìn)了i2=T，17世

紀(jì)法因數(shù)學(xué)家笛卡兒把i稱為“虛數(shù)”，用。+及（服6eR）表示復(fù)數(shù)，并在直角坐標(biāo)系上建立了“復(fù)平面”.若

復(fù)數(shù)z滿足方程Z2+2Z+5=0,貝I」Z=（）

A.-l+2iB.-2-iC.-l±2iD.-2±i

11.（2022?高一單元測(cè)試）中國古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》下卷有題：今有物，不知其數(shù)?三三數(shù)之,

剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二?問：物幾何？現(xiàn)有如下表示：己知/={x|x=3〃+2,"eN*},

8=卜卜=5〃+3,〃eN*},C={xk=7〃+2,〃eN*},若xe/cBcC,則下列選項(xiàng)中符合題意的整數(shù)x為

A.8B.127C.37D.23

12.（2022秋?浙江溫州?高一校考階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)漫長的發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)中存在著神秘的“黑

洞”現(xiàn)象.數(shù)學(xué)黑洞：無論怎樣設(shè)值，在規(guī)定的處理法則下，最終都將得到固定的一個(gè)值，再也跳不出去,

就像宇宙中的黑洞一樣.目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的數(shù)字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡爾黑洞”、“自戀性數(shù)字黑洞”等.定

義：若一個(gè)〃位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的〃次方和等于這個(gè)數(shù)本身，則稱這個(gè)數(shù)是自戀數(shù).已知所有一

位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合4集合8={x|-3<x<4,xeZ},則的子集個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

13.（2019?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）我國南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來

表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)x的不足近似值和過剩近似值分別為2和4（a,b,c,dcN+）,則

ac

處e是X的更為精確的不足近似值或過剩近似值.我們知道e=2.71828…，若令M<e<=，則第一次用“調(diào)

a+c105

日法”后得4號(hào)1是e的更為精確的過剩近似值，即2存7<e<41/，若每次都取最簡分?jǐn)?shù)，那么第三次用“調(diào)日法”

后可得e的近似分?jǐn)?shù)為

A109n68「19「87

A.B.—C.—D.—

4025732

14.（2022?上海?高一專題練習(xí)）古希臘科學(xué)家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理，

它是使用天平秤物品的理論基礎(chǔ)，當(dāng)天平平衡時(shí)，左臂長與左盤物品質(zhì)量的乘積等于右臀長與右盤物品質(zhì)

量的乘積，某金店用一桿不準(zhǔn)確的天平（兩邊臂不等長）稱黃金，某顧客要購買10g黃金，售貨員先將5g的

祛碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將5g的祛碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使

之平衡后又給顧客，則顧客實(shí)際所得黃金（）

A.大于10gB.小于10gC.大于等于10gD.小于等于10g

15.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）三國時(shí)期趙爽在《勾股方圓圖注》中，對(duì)勾股定理的證明可用現(xiàn)代數(shù)學(xué)表述為如

圖所示，我們教材中利用該圖作為幾何解釋的是（）

B.如果a>b>0,那么

C.如果。>b,c>0,那么qc>6c

D.對(duì)任意實(shí)數(shù)。和6,有當(dāng)且僅當(dāng)“=6時(shí)，等號(hào)成立

16.（2022秋?北京豐臺(tái)?高一統(tǒng)考期末）《幾何原本》卷II的幾何代數(shù)法成了后世西方數(shù)學(xué)家處理數(shù)學(xué)問題的

重要依據(jù).通過這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明現(xiàn)有如圖所示圖形，

點(diǎn)尸在半圓。上，點(diǎn)C在直徑48上，且。尸，48,設(shè)/C=a,BC=b,可以直接通過比較線段。尸與線段

CR的長度完成的無字證明為（）

22

A.a+b>2ab(a>0,b>0)B.a}>?^(a〉G,b>0)

2@b

C.(。>0,b>0)D.--<4ab(tz>0,6>0)

a+b

17.（2022?全國?高三專題練習(xí)）18世紀(jì)末,挪威測(cè)量學(xué)家維塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，使

復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義，例如H=|OZ],也即復(fù)數(shù)z的模的幾何意義為z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離.已

知復(fù)數(shù)z滿足忖=2,則|z-3-用的最大值為（）

A.3B.5C.7D.9

18.（2022?全國?高三專題練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并給出以下公式

ei=cosx+isinx,（其中i是虛數(shù)單位，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，XFR）,這個(gè)公式在復(fù)變論中有非常重要的

地位，被稱為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)此公式，有下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（）

（亞亞Y022

A.e,Jt-1=0B.2cosx=e-lx+ewC.2sinx=eu-e-ucD.—+—i=-1

22

7

19.（2020?天津?南開中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)，直到1872年，德國

數(shù)學(xué)家戴金德提出了“戴金德分割”才結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).所謂戴金德分割，是

指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空的子集M與N,且滿足MuN=Q,McN=0,M中的每一個(gè)元素都

小于N中的每一個(gè)元素，則稱（〃,N）為戴金德分割.試判斷，對(duì)于任一戴金德分割下列選項(xiàng)中一

定不成立的是（）

A.M沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素

B.M沒有最大元素，N也沒有最小元素

C.M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素

D.M有一個(gè)最大元素，N沒有最小元素

20.（2021春?安徽?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）不定方程的整數(shù)解問題是數(shù)論中一個(gè)古老的分支，其內(nèi)容極為豐

富，西方最早研究不定方程的人是希臘數(shù)學(xué)家丟番圖.請(qǐng)研究下面一道不定方程整數(shù)解的問題：已知

/02。+/=2了,（無€,yeZ）貝U該方程的整數(shù)解有（）組.

A.1B.2C.3D.4

21.（2022秋?四川成都?高一成期中）對(duì)于直角三角形的研究，中國早在商朝時(shí)期，就有商高提

出了“勾三股四弦五”這樣的勾股定理特例，而西方直到公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯才提出并證明了

勾股定理.如果一個(gè)直角三角形的斜邊長等于5,則這個(gè)直角三角形周長的最大值等于（）.

l/-25

A.IOA/2B.10C.5+5A/2D.—

22.（2017?湖北?校聯(lián)考一模）我國古代太極圖是一種優(yōu)美的對(duì)稱圖.如果一個(gè)函數(shù)的圖像能夠?qū)A的面積和

周長分成兩個(gè)相等的部分，我們稱這樣的函數(shù)為圓的“太極函數(shù)”.下列命題中錯(cuò)送命題的個(gè)數(shù)是

4：對(duì)于任意一個(gè)圓其對(duì)應(yīng)的太極函數(shù)不唯一；

鳥：如果一個(gè)函數(shù)是兩個(gè)圓的太極函數(shù)，那么這兩個(gè)圓為同心圓；

巴：圓（x-Ip+（尸I）?=4的一個(gè)太極函數(shù)為/（x）=x3-3無2+3x；

片：圓的太極函數(shù)均是中心對(duì)稱圖形；

月：奇函數(shù)都是太極函數(shù)；

E：偶函數(shù)不可能是太極函數(shù).

A.2B.3C.4D.5

二、多選題

23.（2021春?廣東梅州?高二統(tǒng)考期末）歐拉公式/=cosx+isinx（其中i為虛數(shù)單位，xeR）是由瑞士

著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在

復(fù)變函數(shù)論里而占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋，依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（）

A.復(fù)數(shù)d對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限B./為純虛數(shù)

C.復(fù)數(shù)鼻的模長等于;D./的共軌復(fù)數(shù)為,一直i

V3+i2e22

24.（2022春?廣東梅州?高一統(tǒng)考期末）歐拉公式陵=cosx+isinx（本題中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單

位）是由瑞士若名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常

重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，依據(jù)歐拉公式，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.e"+l=0

B.復(fù)數(shù)/在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

C.復(fù)數(shù)導(dǎo)的共軌復(fù)數(shù)為

e22

D.復(fù)數(shù)e'lOeR）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是圓

25.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）群論是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中具有重要地位，且群論的研究方法也對(duì)

抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識(shí)證明.群的概念

則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)G是一個(gè)非空集合，“?”是G上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，即對(duì)所有

的a、bGG,有如果G的運(yùn)算還滿足：①V。、b、cGG,有Qcrb）（6七）；②丸eG,使

得VoeG,有e-a=a-e=a,③VaeG,Bb&G,使a-6=Zra=e,則稱G關(guān)于“?"構(gòu)成一個(gè)群.則下列說法正

確的有（）

A.G={-1,0,1}關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群

B.G={X\X=Y,左GZ,k^O}U{x\x=m,m^Z,加加}關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群

k

C.實(shí)數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群

D.6={根+行"|私〃€2}關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群

26.（2020秋?江蘇鹽城?高二江蘇省東臺(tái)中學(xué)?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》中“勾股容方”問題：“今有勾五步，股

十二步，問勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問題

的一般解法：如圖1,用對(duì)角線將長和寬分別為，和。的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成

一個(gè)內(nèi)接正方形（黃）和兩個(gè)小直角三角形（朱、青）.將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩

形，該矩形長為a+6,寬為內(nèi)接正方形的邊長小由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3.設(shè)D

為斜邊3c的中點(diǎn)，作直角三角形48c的內(nèi)接正方形對(duì)角線過點(diǎn)A作工尸18c于點(diǎn)F,則下列推理

正確的是（）

①由圖1和圖2面積相等得d=--

a+b

②由/E24F可得

③由4DN/E可得

④由AD>AF可得a2+b2>2ab.

A.①B.②C.③D.④

27.（2022秋?黑龍江佳木斯?高一樺南縣第一中學(xué)?？计谥校稁缀卧尽肪鞨的幾何代數(shù)法（以幾何方法研

究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過

圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)。在半圓。上，點(diǎn)C在直徑43上，且CD_LN瓦設(shè)

AC^a,CB=b,CEVOD,垂足為￡,則該圖形可以完成的無字證明為（）

B.￡±^<

2

C.…D.a2+b2>2yl~ab

28.（2022秋?遼寧大連?高一大連八中?？茧A段練習(xí)）古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度

與肚臍至足底的長度之比是1二1二1。0.618,稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.

22

此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是1二L若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比

2

例，且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是（）

A.168cmB.172cmC.176cmD.180cm

29.（2021秋?全國?高一期末）早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和

中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定

義與今天大致相同.而今我們稱歲為正數(shù)6的算術(shù)平均數(shù)，為正數(shù)。力的幾何平均數(shù)，并把這兩者

結(jié)合的不等式，行4審（。>0,6>0）叫做基本不等式.下列與基本不等式有關(guān)的命題中正確的是（）

A.若ab=4,則Q+Z?24

B.若a>0,b>0,則+26），+「最小值為4行

C.若凡be（0,+co）,2a+6=1,1—24

2ab

212o

D.若實(shí)數(shù)a,b滿足。>0,b>0,a+6=4,則/—+—的最小值是：

fl+1b+13

30.（2022秋?遼寧大連?高一統(tǒng)考期末）十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”

作為等號(hào)使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用和“〉”符號(hào)，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深

遠(yuǎn).若a,b,ceR,則下列命題正確的是（）

A.若abwO且a<b,則!B.若a>b,0<c<l,則c"<（?

ab

C.若。>b>l,c>l,則10glicvlogbcD.^a<b<-\,c>0,貝彳2]

三、填空題

31.（2022?全國?高三專題練習(xí)）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了平方差公式，平方差公式是指兩

個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.若復(fù)數(shù)。=5+3i,6=4+3i（i為虛數(shù)單位），則/一"=

32.（2022?全國?高三專題練習(xí)）毛澤東同志在《清平樂?六盤山》中的兩句詩為“不到長城非好漢，屈指行

程二萬”，假設(shè)詩句的前一句為真命題，則“到長城”是“好漢”的條件

（填“充分不必要”“必要不充分”“充要’,“既不充分也不必要,,）

33.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）中國古代數(shù)學(xué)專著《孫子算經(jīng)》中有一問題“今有三女，長女五日一歸，中女四

日一歸，少女三日一歸，問：三女幾何日相會(huì)？”，則此三女前三次相會(huì)經(jīng)過的天數(shù)組成的集合用列舉法可

表示為,此三女相會(huì)經(jīng)過的天數(shù)組成的集合用描述法可表示為.

34.（2022秋?江蘇揚(yáng)州?高一?？茧A段練習(xí)）《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是指以幾何方法研究代數(shù)問題，這

種方法是后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)

證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有圖形如圖所示，C為線段上的點(diǎn)，且/C=a,BC=b,。為N3的中點(diǎn)，

以為直徑作半圓.過點(diǎn)C作N8的垂線交半圓于D,連接0。，AD,BD,過點(diǎn)。作8的垂線，垂足

為E,過點(diǎn)。作OD的垂線OG,使得0G=0C.該圖形完成也〈而＜如＜口五的無字證明.圖

a+b2V2

中線段的長度表示。，b的調(diào)和平均數(shù)線段的長度表示。，6的平方平均

35.（2022秋?浙江溫州?高三溫州中學(xué)校聯(lián)考期末）我國古代數(shù)學(xué)著作《田畝比類乘除捷法》中有這樣一個(gè)

問題：“給銀八百六十四兩，只云所得銀之兩數(shù)比總分人數(shù)，其銀多十二兩.問總是幾人，每人各得幾兩”，

其意思是：“現(xiàn)一共有銀子八百六十四兩，只知道每個(gè)人分到的銀子數(shù)目的兩倍比總?cè)藬?shù)多十二，則一共有

人,每個(gè)人分得兩銀子”.

36.（2023?全國?高三專題練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家棣莫佛（De加oivre,1667?1754）出生于法國香檳，他在概率論

和三角學(xué)方面，發(fā)表了許多重要論文.1707年棣莫佛提出了公式：［?cose+isin6）］〃=尸〃（cos〃夕+isin〃。）,

一~|4

其中—>0,〃EN*.已知r(cos—+isin—)=-16,根據(jù)這個(gè)公式可知尸=.

44

37.（2022秋?遼寧沈陽?高一沈陽市第八十三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”

是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)X的不足近似值和過剩近似值分別為2和

a

a，b,c,dwN,則士是x的更為精確的近似值.已知嶗＜兀（蹤，試以上述兀的不足近似值坐和

cQ+C*3637382036

過剩近似值II為依據(jù)，那么使用兩次“調(diào)日法”后可得兀的近似分?jǐn)?shù)為.

38.（2021?江蘇?高一專題練習(xí)）由于無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)，直到1872年，德國數(shù)學(xué)

家戴德金提出了“戴德金分割”才結(jié)束了持續(xù)200多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).所謂戴德金分割，是指將

有理數(shù)集0劃分成兩個(gè)非空的子集河與N,且滿足MuN=。，McN=0,M中的每一個(gè)元素都小于N

中的每一個(gè)元素，則稱（M,N）為戴德金分割.試判斷，對(duì)于任一戴德金分割（M,N）,下列選項(xiàng)中一定不成

立的是.

①M(fèi)沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素；

②/沒有最大元素，N也沒有最小元素；

③M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素；

④M有一個(gè)最大元素，N沒有最小元素；

四、解答題

39.（2022秋?江蘇鹽城?高?？茧A段練習(xí)）《見微知著》談到：從一個(gè)簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特

殊到一般，由簡單到復(fù)雜：從部分到整體，由低維到高維，知識(shí)與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，

是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法.閱讀材料一：利用整體思想解題，運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，使不

少依照常規(guī)思路難以解決的問題找到簡便解決方法，常用的途徑有：（1）整體觀察：（2）整體設(shè)元：（3）

整體代入：（4）整體求和等.例如，ab=\,求證：一匚+工=1.證明：原式=4^+工=—J+—[=1.

波利亞在《怎樣解題》中指出：“當(dāng)你找到第一個(gè)藤菇或作出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，他們總是成群生

長”類似問題，我們有更多的式子滿足以上特征.閱讀材料二:基本不等式而4等（。＞0乃＞0）,當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)等號(hào)成立，它是解決最值問題的有力工具.例如：在&＞0的條件下，當(dāng)X為何值時(shí)，X+工有最小值，最

小值是多少？

參考答案

一、單選題

1.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）數(shù)系的擴(kuò)張過程以自然數(shù)為基礎(chǔ)，德國數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克（Kro〃echr,1823-1891）

說“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其它一切都是人造的”設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z滿足Z=/°2o（i+2i）,則Z的共輾復(fù)數(shù)是

（）

A.2+zB.2-zC.l-2zD.l+2z

【答案】C

【要點(diǎn)分析】利用虛數(shù)單位的暴的運(yùn)算規(guī)律化簡即得Z=l+2z,，然后利用共軌復(fù)數(shù)的概念判定.

【答案詳解】解：嚴(yán)2。=（/廣=1,..%=1+2z,.-.Z=l-2i,

故選：C.

2.（2022秋?浙江溫州?高一樂清市知臨中學(xué)校考期中）某國近日開展了大規(guī)模CO以D-19核酸檢測(cè)，并將數(shù)

據(jù)整理如圖所示，其中集合S表示（）

感染者未發(fā)病并

A.無癥狀感染者B.發(fā)病者C.未感染者D.輕癥感染者

【答案】A

【要點(diǎn)分析】由S=/IB即可判斷S的含義.

【答案詳解】解：由圖可知，集合S是集合/與集合2的交集，

所以集合S表示：感染未發(fā)病者，即無癥狀感染者，

故選：A.

3.（2021秋?湖北十堰?高一校聯(lián)考期中）必修一課本有一段話：當(dāng)命題“若P,則牙’為真命題，貝I“由P可

以推出牙'，即一旦〃成立，鄉(xiāng)就成立，P是4成立的充分條件.也可以這樣說，若4不成立，那么P一定不成

立，9對(duì)〃成立也是很必要的.王安石在《游褒禪山記》中也說過一段話：“世之奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀，常

在于險(xiǎn)遠(yuǎn)，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.從數(shù)學(xué)邏輯角度要點(diǎn)分析，“有志”是“能至”的（）

A.充分條件B.必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【要點(diǎn)分析】本題可根據(jù)充分條件與必要條件的定義得出結(jié)果.

【答案詳解】因?yàn)椤胺怯兄菊卟荒苤烈病奔础坝兄尽辈怀闪r(shí)“能至”一定不成立，

所以“能至”是“有志”的充分條件，“有志”是“能至”的必要條件，

故選：B.

4.(2022秋?云南曲靖?高一?？计谥?杜甫在《奉贈(zèng)韋左丞丈二十二韻》中有詩句：“讀書破萬卷，下筆如

有神.”對(duì)此詩句的理解是讀書只有讀透書，博覽群書，這樣落實(shí)到筆下，運(yùn)用起來才有可能得心應(yīng)手，如有

神助一般，由此可得，“讀書破萬卷”是“下筆如有神”的()

A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【要點(diǎn)分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義要點(diǎn)分析判斷.

【答案詳解】杜甫的詩句表明書讀得越多，文章未必就寫得越好，但不可否認(rèn)的是，一般寫作較好的人，

他的閱讀量一定不會(huì)少，而且所涉獵的文章范疇也會(huì)比一般讀書人廣泛.

因此“讀書破萬卷”是“下筆如有神”的必要不充分條件.

故選：c

5.(2020?陜西榆林?統(tǒng)考一模)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=“+6i(。，beR)對(duì)應(yīng)向量無(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，

設(shè)|應(yīng)卜人以射線Ox為始邊，OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為。，貝壯=r(cos0+isin6),法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了

zr

棣莫弗定理：i=i(cos6>1+isin0t),z2=r2(cos02+isin02),貝|ZR=牝［cos(q+幻+isin(4+幻］,由棣

莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式：［r(cos0+isin=r"(cosnd+isinnd),已知z=(G+i),則口=()

A.273B.4C.85/3D.16

【答案】D

【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式：［r(cos6)+zsin^)］(，=r"(cosnd+zsinn0),直接求解即可.

4\1A4

1/兀..冗

【答案詳解】z=(V3+z)=2三=16cos——Fzsin—

66

=16cosf4x^j+zsinf4x^j=-8+8V3z,

F|=J(-8『+(8@216.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的新定義題目、同時(shí)考查了復(fù)數(shù)模的求法，解題的關(guān)鍵是理解棣莫弗定理，將復(fù)

數(shù)化為棣莫弗定理形式，屬于基礎(chǔ)題.

6.（2021春?重慶沙坪壩?高三重慶一中校考階段練習(xí)）在代數(shù)史上，代數(shù)基本定理是數(shù)學(xué)中最重要的定理之

一，它說的是：任何一元〃次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式/（X）在復(fù)數(shù)集中有〃個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)）那么/（尤）=尤3-1

在復(fù)平面內(nèi)使/卜）=0除了1和-g+'i這兩個(gè)根外，還有一個(gè)復(fù)數(shù)根為（）

A一一烏B.」_烏

cD.

2222-rf

【答案】B

16

【要點(diǎn)分析】利用方程根的意義，把-—H------1代入方程，經(jīng)化簡變形即可得解.

22

【答案詳解】叫+字是方程小）=。的根，

16.、31z1出.、21

門口(——+——iy=ln(——+——z)2二

即2222二+T22

22

?16、2(1V316.、1V3.

22222222

,16、3,1V3...16、,

222222

所以4是方程小)=。的根-

故選：B

7.（2021春?安徽宣城?高一校聯(lián)考期中）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了公式e'=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位）,

它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重

要的地位.根據(jù)歐拉公式可知，e青表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【要點(diǎn)分析】根據(jù)歐拉公式代入求解即可.

【答案詳解】解：根據(jù)歐拉公式建=cosx+isinx,

力爭3兀..3兀V2V2.

4422

即它在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為一芋三

故位于第二象限.

故選：B.

8.（2022?全國?高三專題練習(xí)）“虛數(shù)”這個(gè)名詞是17世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾（AseOescaWes）創(chuàng)制

的，直到19世紀(jì)虛數(shù)才真正聞人數(shù)的領(lǐng)域，虛數(shù)不能像實(shí)數(shù)一樣比較大小.己知復(fù)數(shù)z,目=1且z-（l+i）＞0

（其中7.是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z=（）

A.V2-V2iB.V2+V2i

「也歷.也+烏

C.--------1D.

22

【答案】C

【要點(diǎn)分析】根據(jù)條件，設(shè)z=a+bi,再列式求。也即可得到復(fù)數(shù).

【答案詳解】設(shè)2=〃+歷，“2+62=1,①

(a+Z)i)(l+i)=(〃—6)+(〃+Z))i>0,得Q+Z?=0,且。一6>0②,

由①②解得：a=,b=-^~

22

所以Z=立一&

22

故選：C

9.（2022?全國?高三專題練習(xí)）2022年1月，中科大潘建偉團(tuán)隊(duì)和南科大范靖云團(tuán)隊(duì)發(fā)表學(xué)術(shù)報(bào)告，分別獨(dú)

立通過實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了虛數(shù)i在量子力學(xué)中的必要性，再次說明了虛數(shù)i的重要性.對(duì)于方程無3+1=0,它的

兩個(gè)虛數(shù)根分別為（）

A1+V3iR-l±V3i

22

C±1+后D±1-4

'-2-'—-

【答案】A

【要點(diǎn)分析】根據(jù)方程根的定義進(jìn)行驗(yàn)證.

【答案詳解】首先實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式方程的虛數(shù)根成對(duì)出現(xiàn)，它們互為共軌復(fù)數(shù)，因此排除CD,

A選項(xiàng)，（1+石）3111+3-后+3.（后）2+（6。1]-8+3百i-3?u0

、‘（21一8一8-

因此選項(xiàng)A正確，則選項(xiàng)B錯(cuò)誤（因?yàn)?次方程只有3個(gè)根（包括重根））.

故選：A.

10.（2022?全國?高三專題練習(xí)）人們對(duì)數(shù)學(xué)研究的發(fā)展一直推動(dòng)著數(shù)域的擴(kuò)展，從正數(shù)到負(fù)數(shù)、從整數(shù)到

分?jǐn)?shù)、從有理數(shù)到實(shí)數(shù)等等.16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹和邦貝利在解方程時(shí)，首先引進(jìn)了12=一1,17世

紀(jì)法因數(shù)學(xué)家笛卡兒把i稱為“虛數(shù)”，用。+及（服6eR）表示復(fù)數(shù)，并在直角坐標(biāo)系上建立了“復(fù)平面”.若

復(fù)數(shù)z滿足方程22+2Z+5=0,則2=（）

A.-l+2iB.-2-iC.-l±2iD.-2±i

【答案】C

【要點(diǎn)分析】設(shè)出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，再利用復(fù)數(shù)為0列出方程組求解作答.

【答案詳解】設(shè)z=a+6i（a,6eR）,因z2+2z+5=0,貝I（。+歷>+2（。+歷）+5=0,

,,u~-b~+2（z+5=0=-1

即（/一6-+20+5）+26（°+1）1=0,而a,6eR,貝I，，,八，解得〈八口，

2b（a+1）=0[b=±2

所以z=-l±2i.

故選：C

11.（2022?高一單元測(cè)試）中國古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》下卷有題：今有物，不知其數(shù)?三三數(shù)之,

剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二?問：物幾何？現(xiàn)有如下表示：己知/={x|x=3〃+2,〃eN*},

8={xk=5〃+3,"eN*},C=,卜=7〃+2/eN*},若xe/cBcC,則下列選項(xiàng)中符合題意的整數(shù)x為

A.8B.127C.37D.23

【答案】D

【解析】將選項(xiàng)中的數(shù)字逐一代入集合A、B、C的表達(dá)式，檢驗(yàn)是否為A、8、C的元素，即可選出正確

選項(xiàng).

【答案詳解】因?yàn)?=7xl+l,貝|8任C,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

127=3x42+1,則127任/,選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

37=3x12+1,貝U37任/,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

23=3x7+2,故23c/；23=5x4+3,故xeB；23=7x3+2,故xeC,貝！123e/cBcC,選項(xiàng)D正確.

故選：D.

12.（2022秋?浙江溫州?高一?？茧A段練習(xí)）在數(shù)學(xué)漫長的發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)中存在著神秘的“黑

洞”現(xiàn)象.數(shù)學(xué)黑洞：無論怎樣設(shè)值，在規(guī)定的處理法則下，最終都將得到固定的一個(gè)值，再也跳不出去,

就像宇宙中的黑洞一樣.目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的數(shù)字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡爾黑洞”、“自戀性數(shù)字黑洞”等.定

義：若一個(gè)〃位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的〃次方和等于這個(gè)數(shù)本身，則稱這個(gè)數(shù)是自戀數(shù).已知所有一

位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合集合8={x|-3<x<4,xeZ},則的子集個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】D

【要點(diǎn)分析】根據(jù)自戀數(shù)的定義可得集合A,再根據(jù)交集的定義求出從而可得答案.

【答案詳解】解：依題意，-={1,2,3,4,5,6,7,8依},5={-2,-1,0,1,2,3},

故/CIB={1,2,3},故/c5的子集個(gè)數(shù)為8.

故選：D.

13.（2019?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）我國南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來

表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)x的不足近似值和過剩近似值分別為勺和4（a,b,c,deN.），則

ac

位是X的更為精確的不足近似值或過剩近似值.我們知道e=2.71828…，若令W<e<=，則第一次用“調(diào)

a+c105

日法”后得4苗1是e的更為精確的過剩近似值，即2不7<e<］41，若每次都取最簡分?jǐn)?shù)，那么第三次用“調(diào)日法”

后可得e的近似分?jǐn)?shù)為

109c68-19-87

A.B.—C.—D.—

4025732

【答案】C

【解析】利用“調(diào)日法”進(jìn)行計(jì)算到第三次，即可得到本題答案.

【答案詳解】第一次用“調(diào)日法”后得4葭1是e的更為精確的過剩近似值，即27〈管41；第二次用“調(diào)日法”

后得fl是e的更為精確的過剩近似值，即需第三次用“調(diào)日法”后得?是e的更為精確的不足近

NJLUNJ/

似值,即,1<9e喋6,8所以答案為19

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查“調(diào)日法”，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.（2022?上海?高一專題練習(xí)）古希臘科學(xué)家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理，

它是使用天平秤物品的理論基礎(chǔ)，當(dāng)天平平衡時(shí)，左臂長與左盤物品質(zhì)量的乘積等于右臀長與右盤物品質(zhì)

量的乘積，某金店用一桿不準(zhǔn)確的天平（兩邊臂不等長）稱黃金，某顧客要購買10g黃金，售貨員先將5g的

祛碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將5g的祛碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使

之平衡后又給顧客，則顧客實(shí)際所得黃金（）

A.大于10gB.小于10gC.大于等于10gD.小于等于10g

【答案】A

【要點(diǎn)分析】設(shè)天平左臂長為“，右臂長為6（不妨設(shè)。>5），先稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為犯，后稱得的黃

金的實(shí)際質(zhì)量為機(jī)2.根據(jù)天平平衡，列出等式，可得叫，利表達(dá)式，利用作差法比較叫+乃與10的大小，

即可得答案.

【答案詳解】解：由于天平的兩臂不相等，故可設(shè)天平左臂長為。，右臂長為6（不妨設(shè)。>6）,

先稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為叫，后稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為加2.

由杠桿的平衡原理：刎=ax5,a加，=6x5.解得叫=學(xué)，m,=—,

ba

n,,5b5a

ijiijm+m=F——.

x2ab

下面比較冽i+加2與10的大?。海ㄗ鞑畋容^法）

因?yàn)椋ń?嗎）-10=也+區(qū)一10=5修一"），

abab

因?yàn)闃?biāo)b,所以5e一）一>0，即叫+%>10.

ab

所以這樣可知稱出的黃金質(zhì)量大于10g.

故選：A

15.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）三國時(shí)期趙爽在《勾股方圓圖注》中，對(duì)勾股定理的證明可用現(xiàn)代數(shù)學(xué)表述為如

圖所示，我們教材中利用該圖作為幾何解釋的是（）

A.如果a>b,6>c,那么a>c

B.如果a>b>Q,那么a?〉/

C.如果a>6,c>0,那么ac>6c

D.對(duì)任意實(shí)數(shù)。和b,有a?+b?22ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立

【答案】D

【要點(diǎn)分析】直角三角形的兩直角邊長分別為。,6,斜邊長為c,則/=/+利用大正方形的面積與四

個(gè)直角三角形面積和的不等關(guān)系得結(jié)論.

【答案詳解】直角三角形的兩直角邊長分別為。力，斜邊長為C,則

在正方形的面積為02,四個(gè)直角三角形的面積和為2仍，因此有C?229，即/+62229，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，中間沒有小正方形，等號(hào)成立.

故選：D.

16.(2022秋?北京豐臺(tái)?高一統(tǒng)考期末)《幾何原本》卷II的幾何代數(shù)法成了后世西方數(shù)學(xué)家處理數(shù)學(xué)問題的

重要依據(jù).通過這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明現(xiàn)有如圖所示圖形，

點(diǎn)尸在半圓。上，點(diǎn)C在直徑上，且。尸，N5,設(shè)NC=a,BC=b,可以直接通過比較線段與線段

CF的長度完成的無字證明為()

OCB

A.a+b2>2ab(a>0,b>0)B.">0,6>0)

Q+6<2ab

(q>0,b>0)D.<4ab(<2>0,6>0)

2a+b

【答案】C

【要點(diǎn)分析】由圖形可知。尸=；/2=；(a+6),OC=g(a-b),在RtZ^OCF中，由勾股定理可求CK結(jié)

合。店。尸即可得出.

【答案詳解】解：由圖形可知，OF=^AB=^a+b),OC=^a+b)-b=^a-b),

在Rt^OC尸中，由勾股定理可得，

a+ba-b

CF>OF,

故選：C.

17.(2022?全國?高三專題練習(xí))18世紀(jì)末，挪威測(cè)量學(xué)家維塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，使

復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義，例如|z|=|O