北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三 專題1.2 整式的乘法-重難點題型（舉一反三）（原卷版+解析）

專題1.2整式的乘法-重難點題型【北師大版】【知識點1整式的乘法】單項式×單項式：系數(shù)相乘，字母相乘．單項式×多項式：乘法分配律．多項式×多項式：乘法分配律．【題型1整式乘法中的求值問題】【例1】(2023?開平區(qū)一模）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q為正整數(shù)），則m的值不可能是（）A．37 B．13 C．20 D．36【變式1-1】(2023春?濰坊期末）若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，則ab﹣a+b的值是（）A．﹣11 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣55【變式1-2】(2023秋?播州區(qū)期末）若x+y＝2，xy＝﹣1，則（1﹣2x）（1﹣2y）的值是．【變式1-3】(2023春?江都區(qū)期中）在計算（2x+a）（x+b）時，甲錯把b看成了6，得到結(jié)果是：2x2+8x﹣24；乙錯把a看成了﹣a，得到結(jié)果：2x2+14x+20．（1）求出a，b的值；（2）在（1）的條件下，計算（2x+a）（x+b）的結(jié)果．【題型2整式乘法中的不含某項問題】【例2】(2023春?蜀山區(qū)校級期中）關(guān)于x的代數(shù)式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化簡后不含有x2項和常數(shù)項．（1）分別求m，n的值．（2）求m2020n2021的值．【變式2-1】(2023春?通川區(qū)校級月考）若多項式x2+mx﹣8和x2﹣3x+n的的乘積中不含x2和x3的項，求m+n的值．【變式2-2】(2023春?金牛區(qū)校級月考）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展開式中不含x3和x2項．（1）求m、n的值；（2）當m、n取第（1）小題的值時，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【變式2-3】(2023春?太湖縣期末）【知識回顧】七年級學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時，遇到這樣一類題“代數(shù)式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值與x的取值無關(guān)，求a的值”，通常的解題方法是：把x、y看作字母，a看作系數(shù)合并同類項，因為代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x項的系數(shù)為0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，則a＝﹣3．【理解應(yīng)用】（1）若關(guān)于x的多項式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值與x的取值無關(guān)，求m值；（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值與x無關(guān)，求y的值；【能力提升】（3）7張如圖1的小長方形，長為a，寬為b，按照圖2方式不重疊地放在大長方形ABCD內(nèi)，大長方形中未被覆蓋的兩個部分（圖中陰影部分），設(shè)右上角的面積為S1，左下角的面積為S2，當AB的長變化時，S1﹣S2的值始終保持不變，求a與b的等量關(guān)系．【題型3整式乘法的計算】【例3】(2023秋?河北區(qū)期末）計算：（1）?12（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）【變式3-1】(2023春?九龍坡區(qū)校級期中）計算：（1）2x2y（x?12（2）（x﹣2y）（y﹣x）．【變式3-2】(2023春?海陵區(qū)校級月考）計算：（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．【變式3-3】(2023春?未央?yún)^(qū)月考）小奇計算一道整式的混合運算的題：（x﹣a）（4x+3）﹣2x，由于小奇將第一個多項式中的“﹣a”抄成“+a”，得到的結(jié)果為4x2+13x+9．（1）求a的值．（2）請計算出這道題的正確結(jié)果．【題型4整式乘法的應(yīng)用】【例4】(2023春?鐵西區(qū)期中）有一電腦程序：每按一次按鍵，屏幕的A區(qū)就會自動減去a，同時B區(qū)就會自動加上3a，且均顯示化簡后的結(jié)果．已知A，B兩區(qū)初始顯示的分別是25和﹣16（如圖所示）．例如：第一次按鍵后，A，B兩區(qū)分別顯示：25﹣a，﹣16+3a．（1）那么第二次按鍵后，A區(qū)顯示的結(jié)果為，B區(qū)顯示的結(jié)果為．（2）計算（1）中A、B兩區(qū)顯示的代數(shù)式的乘積，并求當a＝2時，代數(shù)式乘積的值．【變式4-1】(2023春?碑林區(qū)校級期中）為迎接十四運，某小區(qū)修建一個長為（3a﹣b）米，寬為（a+2b）米的長方形休閑場所ABCD．長方形內(nèi)筑一個正方形活動區(qū)EFGH和連接活動區(qū)到矩形四邊的四條筆直小路（如圖），正方形活動區(qū)的邊長為（a﹣b）米，小路的寬均為2米．活動區(qū)與小路鋪設(shè)鵝卵石，其它地方鋪設(shè)草坪．（1）求鋪設(shè)草坪的面積是多少平方米；（2）當a＝10，b＝4時，需要鋪設(shè)草坪的面積是多少？【變式4-2】(2023春?成都期末）（1）如圖是小穎家新房的戶型圖，小穎的爸爸打算把兩個臥室以外的部分都鋪上地磚，至少需要多少平方米的地磚？如果某種地磚的價格為每平方米a元，那么購買地磚至少需要多少元？（2）如果房屋的高度是h米，現(xiàn)在需要在客廳和兩個臥室四周的墻上貼墻紙，那么至少需要多少平方米的墻紙？如果某種墻紙的價格為每平方米b元，那么購買所需的墻紙至少要多少元？（計算時不扣除門、窗所占的面積，忽略墻的厚度）【變式4-3】(2023春?蓮湖區(qū)期末）已知有甲、乙兩個長方形，它們的邊長如圖所示，面積分別為S1，S2．（1）S1與S2的大小關(guān)系為：S1S2．（2）若一個正方形的周長與甲的周長相等．①求該正方形的邊長（用含m的代數(shù)式表示）．②若該正方形的面積為S3，試探究：S3與S2的差（即S3﹣S2）是否為常數(shù)？若為常數(shù)，求出這個常數(shù)，如果不是，請說明理由．【知識點2整式的除法】單項式÷單項式：系數(shù)相除，字母相除．多項式÷單項式：除法性質(zhì)．多項式÷多項式：大除法．【題型5整式除法的應(yīng)用】【例5】(2023春?上城區(qū)期末）一個長方形的面積是15x3y5﹣10x4y4+20x3y2，一邊長是5x3y2，則它的另一邊長是（）A．2y3﹣3xy2+4 B．3y3﹣2xy2+4 C．3y3+2xy2+4 D．2xy2﹣3y3+4【變式5-1】(2023?臺灣）計算2x2﹣3除以x+1后，得商式和余式分別為何？（）A．商式為2，余式為﹣5 B．商式為2x﹣5，余式為5 C．商式為2x+2，余式為﹣1 D．商式為2x﹣2，余式為﹣1【變式5-2】(2023秋?袁州區(qū)校級期中）已知一個長方形的面積是6a2﹣4ab+2a，且它的一條邊長為2a，則長方形的周長為．【變式5-3】(2023春?濰坊期末）若多項式A除以2x2﹣3，得到的商式為3x﹣4，余式為5x+2，則A＝．【題型6整式乘法中的規(guī)律探究】【例6】(2023秋?鄒城市期末）觀察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1…（1）分解因式：x5﹣1＝；（2）根據(jù)規(guī)律可得（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝（其中n為正整數(shù)）；（3）計算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）．【變式6-1】(2023春?包河區(qū)期末）探究規(guī)律，解決問題：（1）化簡：（m﹣1）（m+1）＝，（m﹣1）（m2+m+1）＝．（2）化簡：（m﹣1）（m3+m2+m+1），寫出化簡過程．（3）化簡：（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1）＝．（n為正整數(shù)，mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1為n+1項多項式）（4）利用以上結(jié)果，計算1+3+32+33+…+3100的值．【變式6-2】(2023春?合肥期中）觀察以下等式：（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216…（1）按以上等式的規(guī)律，填空：（a+b）（）＝a3+b3（2）利用多項式的乘法法則，證明（1）中的等式成立．（3）利用（1）中的公式化簡：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）【變式6-3】(2023秋?石獅市校級月考）探究應(yīng)用：（1）計算：（x﹣1）（x2+x+1）＝；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝．（2）上面的乘法計算結(jié)果很簡潔，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律（公式）？用含字母a、b的等式表示該公式為：．（3）下列各式能用第（2）題的公式計算的是．A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）C．（3﹣n）（9+3n+n2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）設(shè)A＝109﹣1，利用上述規(guī)律，說明A能被37整除．專題1.2整式的乘法-重難點題型【北師大版】【知識點1整式的乘法】單項式×單項式：系數(shù)相乘，字母相乘．單項式×多項式：乘法分配律．多項式×多項式：乘法分配律．【題型1整式乘法中的求值問題】【例1】(2023?開平區(qū)一模）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q為正整數(shù)），則m的值不可能是（）A．37 B．13 C．20 D．36分析：利用多項式乘多項式的法則，把等式的左邊進行運算，再根據(jù)條件進行分析即可．【解答】解：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，∵（x+p）（x+q）＝x2+mx+36，∴p+q＝m，pq＝36，∵36＝4×9，則p+q＝13，36＝1×36，則p+q＝37，36＝2×18，則p+q＝20，36＝3×12，則p+q＝15，36＝6×6，則p+q＝12，∴p+q不可能為36，即m不可能為36．故選：D．【變式1-1】(2023春?濰坊期末）若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，則ab﹣a+b的值是（）A．﹣11 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣55分析：先利用多項式乘多項式法則計算等式的左邊，根據(jù)等式得到a、b的值，代入計算出代數(shù)式ab﹣a+b的值．【解答】解：∵（x+a）（x﹣5）＝x2+（a﹣5）x﹣5a，又∵（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，∴x2+（a﹣5）x﹣5a＝x2+bx﹣10．∴a﹣5＝b，﹣5a＝﹣10．∴a＝2，b＝﹣3．∴ab﹣a+b＝2×（﹣3）﹣2﹣3＝﹣11．故選：A．【變式1-2】(2023秋?播州區(qū)期末）若x+y＝2，xy＝﹣1，則（1﹣2x）（1﹣2y）的值是．分析：根據(jù)多項式乘以多項式的法則展開，整理后整體帶入求值即可．【解答】解：（1﹣2x）（1﹣2y）＝1﹣2y﹣2x+4xy＝1﹣2（x+y）+4xy，當x+y＝2，xy＝﹣1時原式＝1﹣2×2+4×（﹣1）＝﹣7．故答案為：﹣7．【變式1-3】(2023春?江都區(qū)期中）在計算（2x+a）（x+b）時，甲錯把b看成了6，得到結(jié)果是：2x2+8x﹣24；乙錯把a看成了﹣a，得到結(jié)果：2x2+14x+20．（1）求出a，b的值；（2）在（1）的條件下，計算（2x+a）（x+b）的結(jié)果．分析：（1）根據(jù)題意得出（2x+a）（x+6）＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，（2x﹣a）（x+b）＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，得出12+a＝8，﹣a+2b＝14，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根據(jù)多項式乘以多項式法則求出即可．【解答】解：（1）甲錯把b看成了6，（2x+a）（x+6）＝2x2+12x+ax+6a＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，∴12+a＝8，解得：a＝﹣4；乙錯把a看成了﹣a，（2x﹣a）（x+b）＝2x2+2bx﹣ax﹣ab＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，∴2b﹣a＝14，把a＝﹣4代入，得b＝5；（2）當a＝﹣4，b＝5時，（2x+a）（x+b）＝（2x﹣4）（x+5）＝2x2+10x﹣4x﹣20＝2x2+6x﹣20．【題型2整式乘法中的不含某項問題】【例2】(2023春?蜀山區(qū)校級期中）關(guān)于x的代數(shù)式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化簡后不含有x2項和常數(shù)項．（1）分別求m，n的值．（2）求m2020n2021的值．分析：（1）先展開整理原式，再根據(jù)題意建立關(guān)于m、n的等式，分別求解即可得出結(jié)論．（2）同底數(shù)冪乘法的逆運算，使n2021變?yōu)閚2020?n，再利用積的乘方逆運算即可求出原式的值．【解答】解：（1）原式＝2mx2+mx﹣4x﹣2+x2+n，＝（2m+1）x2+mx﹣4x+n﹣2，由題意2m+1＝0，n﹣2＝0，∴m=?12，（2）原式＝m2020?n2020?n，＝（m?n）2020?n，由（1）得m=?12，原式＝（?12×＝2．【變式2-1】(2023春?通川區(qū)校級月考）若多項式x2+mx﹣8和x2﹣3x+n的的乘積中不含x2和x3的項，求m+n的值．分析：利用多項式的乘法法則將兩個多項式的乘積展開，令x2項和x3項的系數(shù)為0，結(jié)論可得．【解答】解：由題意：（x2+mx﹣8）（x2﹣3x+n）＝x4﹣3x3+nx2+mx3﹣3mx2+mnx﹣8x2+24x﹣8n＝x4+（m﹣3）x3+（n﹣3m﹣8）x2+（mn+24）x﹣8n．∵乘積中不含x2和x3的項，∴m﹣3＝0，n﹣3m﹣8＝0．∴m＝3，n＝17．∴m+n＝20．【變式2-2】(2023春?金牛區(qū)校級月考）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展開式中不含x3和x2項．（1）求m、n的值；（2）當m、n取第（1）小題的值時，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．分析：（1）利用多項式乘以多項式法則計算得到結(jié)果，根據(jù)展開式中不含x2和x3項列出關(guān)于m與n的方程組，求出方程組的解即可得到m與n的值；（2）先利用多項式乘以多項式的法則將（m+n）（m2﹣mn+n2）展開，再合并同類項化為最簡形式，然后將（1）中所求m、n的值代入計算即可．【解答】解：（1）（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）＝x5﹣3x4+（m+4）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n，根據(jù)展開式中不含x2和x3項得：m+4=0n?3m=0解得：m=?4n=?12即m＝﹣4，n＝﹣12；（2）∵（m+n）（m2﹣mn+n2）＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3＝m3+n3，當m＝﹣4，n＝﹣12時，原式＝（﹣4）3+（﹣12）3＝﹣64﹣1728＝﹣1792．【變式2-3】(2023春?太湖縣期末）【知識回顧】七年級學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時，遇到這樣一類題“代數(shù)式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值與x的取值無關(guān)，求a的值”，通常的解題方法是：把x、y看作字母，a看作系數(shù)合并同類項，因為代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x項的系數(shù)為0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，則a＝﹣3．【理解應(yīng)用】（1）若關(guān)于x的多項式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值與x的取值無關(guān)，求m值；（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值與x無關(guān)，求y的值；【能力提升】（3）7張如圖1的小長方形，長為a，寬為b，按照圖2方式不重疊地放在大長方形ABCD內(nèi)，大長方形中未被覆蓋的兩個部分（圖中陰影部分），設(shè)右上角的面積為S1，左下角的面積為S2，當AB的長變化時，S1﹣S2的值始終保持不變，求a與b的等量關(guān)系．分析：（1）由題可知代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x項的系數(shù)為0，故將多項式整理為（2m﹣3）x﹣3m+2m2，令x系數(shù)為0，即可求出m；（2）根據(jù)整式的混合運算順序和法則化簡3A+6B可得3x（5y﹣2）﹣9，根據(jù)其值與x無關(guān)得出5y﹣2＝0，即可得出答案；（3）設(shè)AB＝x，由圖可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），即可得到S1﹣S2關(guān)于x的代數(shù)式，根據(jù)取值與x可得a＝2b．【解答】解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x＝2mx﹣3m+2m2﹣3x＝（2m﹣3）x+2m2﹣3m，∵其值與x的取值無關(guān)，∴2m﹣3＝0，解得，m=3答：當m=32時，多項式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值與（2）∵A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，∴3A+6B＝3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）＝3（2x2﹣2x+x﹣1﹣x+3xy]﹣6x2+6xy﹣6＝6x2﹣6x+3x﹣3﹣3x+9xy﹣6x2+6xy﹣6＝15xy﹣6x﹣9＝3x（5y﹣2）﹣9，∵3A+6B的值與x無關(guān)，∴5y﹣2＝0，即y=2（3）設(shè)AB＝x，由圖可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），∴S1﹣S2＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab，∵當AB的長變化時，S1﹣S2的值始終保持不變．∴S1﹣S2取值與x無關(guān)，∴a﹣2b＝0∴a＝2b．【題型3整式乘法的計算】【例3】(2023秋?河北區(qū)期末）計算：（1）?12（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）分析：（1）根據(jù)單項式與多項式相乘的法則計算即可；（2）根據(jù)多項式與多項式相乘的法則計算即可．【解答】解：（1）?12=?12x＝﹣4x5y3+9x4y2﹣2x2y；（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）＝2x2+x﹣2x﹣1﹣2（x2+2x﹣5x﹣10）＝2x2﹣x﹣1﹣2x2+6x+20＝5x+19．【變式3-1】(2023春?九龍坡區(qū)校級期中）計算：（1）2x2y（x?12（2）（x﹣2y）（y﹣x）．分析：（1）單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加．（2）多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加．【解答】解：（1）原式＝2x3y﹣x2y2+2x2y；（2）原式＝xy﹣x2﹣2y2+2xy＝3xy﹣x2﹣2y2．【變式3-2】(2023春?海陵區(qū)校級月考）計算：（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．分析：（1）根據(jù)多項式乘多項式，多項式乘單項式進行計算即可；（2）根據(jù)多項式乘多項式，多項式乘單項式進行計算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣6x3+12x2y+2x3﹣2x2y＝﹣4x3+10x2y；（2）原式＝6x2﹣9xy+4xy﹣6y2﹣9x2+6xy＝﹣3x2+xy﹣6y2．【變式3-3】(2023春?未央?yún)^(qū)月考）小奇計算一道整式的混合運算的題：（x﹣a）（4x+3）﹣2x，由于小奇將第一個多項式中的“﹣a”抄成“+a”，得到的結(jié)果為4x2+13x+9．（1）求a的值．（2）請計算出這道題的正確結(jié)果．分析：（1）根據(jù)題意列出關(guān)系式，根據(jù)多項式相等的條件即可求出a的值；（2）列出正確的算式，計算即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：（x+a）（4x+3）﹣2x＝4x2+（3+4a﹣2）x+3a＝4x2+13x+9；∴1+4a＝13，解得：a＝3；（2）正確的算式為（x﹣3）（4x+3）﹣2x＝4x2﹣9x﹣9﹣2x＝4x2﹣11x﹣9．【題型4整式乘法的應(yīng)用】【例4】(2023春?鐵西區(qū)期中）有一電腦程序：每按一次按鍵，屏幕的A區(qū)就會自動減去a，同時B區(qū)就會自動加上3a，且均顯示化簡后的結(jié)果．已知A，B兩區(qū)初始顯示的分別是25和﹣16（如圖所示）．例如：第一次按鍵后，A，B兩區(qū)分別顯示：25﹣a，﹣16+3a．（1）那么第二次按鍵后，A區(qū)顯示的結(jié)果為，B區(qū)顯示的結(jié)果為．（2）計算（1）中A、B兩區(qū)顯示的代數(shù)式的乘積，并求當a＝2時，代數(shù)式乘積的值．分析：（1）根據(jù)題意列出代數(shù)式即可；（2）利用多項式乘多項式法則進行計算，然后將a＝2代入求值．【解答】解：（1）A區(qū)顯示的結(jié)果為：25﹣a﹣a＝﹣2a+25；B區(qū)顯示的結(jié)果為：﹣16+3a+3a＝6a﹣16；（2）（﹣2a+25）（6a﹣16）＝﹣12a2+32a+150a﹣400＝﹣12a2+182a﹣400，當a＝2時，原式＝﹣12×22+182×2﹣400＝﹣84．【變式4-1】(2023春?碑林區(qū)校級期中）為迎接十四運，某小區(qū)修建一個長為（3a﹣b）米，寬為（a+2b）米的長方形休閑場所ABCD．長方形內(nèi)筑一個正方形活動區(qū)EFGH和連接活動區(qū)到矩形四邊的四條筆直小路（如圖），正方形活動區(qū)的邊長為（a﹣b）米，小路的寬均為2米．活動區(qū)與小路鋪設(shè)鵝卵石，其它地方鋪設(shè)草坪．（1）求鋪設(shè)草坪的面積是多少平方米；（2）當a＝10，b＝4時，需要鋪設(shè)草坪的面積是多少？分析：（1）用大長方形的面積減去小正方形的面積和四個長方形的面積即可；（2）將a＝10，b＝4代入（1）中結(jié)果計算可得答案．【解答】解：（1）草坪的面積為：（3a﹣b）（a+2b）﹣（a﹣b）2﹣[3a﹣b﹣（a﹣b）]×2﹣[a+2b﹣（a﹣b）]×2＝3a2+5ab﹣2b2﹣a2﹣b2+2ab﹣2a×2﹣3b×2＝2a2+7ab﹣3b2﹣4a﹣6b（平方米）；（2）當a＝10，b＝4時，草坪的面積為：2×102+7×10×4﹣3×42﹣4×10﹣6×4＝368（平方米）．【變式4-2】(2023春?成都期末）（1）如圖是小穎家新房的戶型圖，小穎的爸爸打算把兩個臥室以外的部分都鋪上地磚，至少需要多少平方米的地磚？如果某種地磚的價格為每平方米a元，那么購買地磚至少需要多少元？（2）如果房屋的高度是h米，現(xiàn)在需要在客廳和兩個臥室四周的墻上貼墻紙，那么至少需要多少平方米的墻紙？如果某種墻紙的價格為每平方米b元，那么購買所需的墻紙至少要多少元？（計算時不扣除門、窗所占的面積，忽略墻的厚度）分析：（1）求出衛(wèi)生間，廚房，以及客廳的面積之和即可得到需要地磚的面積；根據(jù)每平方米地磚的價格是a元錢，求出需要的錢數(shù)即可；（2）求出客廳與臥室的面積，乘以高h，即可得到需要的壁紙數(shù)；根據(jù)壁紙的價格是b元/平方米，求出需要的錢數(shù)即可．【解答】解：（1）由題意知，兩個臥室以外的部分面積為：3y?y+2y?（3x﹣x﹣y）＝3y2+4xy﹣2y2＝y(tǒng)2+4xy（平方米）．∴購買地磚所需的費用為：（y2+4xy）a＝ay2+4axy（元）．（2）客廳貼墻紙的面積為：（2y+6y）h＝8yh，兩個臥室貼墻紙的面積為：（4x+6y）h＝4xh+6yh，∴貼墻紙的總面積為：8yh+4xh+6yh＝14yh+4xh（平方米），∴購買墻紙所需的費用為：（14yh+4xh）b＝14yhb+4xhb（元）．【變式4-3】(2023春?蓮湖區(qū)期末）已知有甲、乙兩個長方形，它們的邊長如圖所示，面積分別為S1，S2．（1）S1與S2的大小關(guān)系為：S1S2．（2）若一個正方形的周長與甲的周長相等．①求該正方形的邊長（用含m的代數(shù)式表示）．②若該正方形的面積為S3，試探究：S3與S2的差（即S3﹣S2）是否為常數(shù)？若為常數(shù)，求出這個常數(shù)，如果不是，請說明理由．分析：（1）根據(jù)長方形的面積公式列式，然后根據(jù)整式的混合運算法則進行計算求解；（2）①根據(jù)正方形和長方形的周長公式計算求解；②根據(jù)正方形和長方形的面積公式列式，然后利用整式的混合運算法則進行計算求解．【解答】解：（1）由題意：S1＝（m+2）（m+6）＝m2+6m+2m+12＝m2+8m+12，S2＝（m+5）（m+3）＝m2+5m+3m+15＝m2+8m+15，∵S1﹣S2＝（m2+8m+12）﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+12﹣m2﹣8m﹣15＝﹣3＜0，∴S1＜S2，故答案為：＜，（2）①甲的周長為2（m+2+m+6）＝4m+16，∵正方形的周長與甲的周長相等，∴正方形的邊長為4m+164②由①可得，正方形的面積S3＝（m+4）2，∴S3﹣S2＝（m+4）2﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+16﹣m2﹣8m﹣15＝1，∴S3與S2的差（即S3﹣S2）是常數(shù)，這個常數(shù)是1．【知識點2整式的除法】單項式÷單項式：系數(shù)相除，字母相除．多項式÷單項式：除法性質(zhì)．多項式÷多項式：大除法．【題型5整式除法的應(yīng)用】【例5】(2023春?上城區(qū)期末）一個長方形的面積是15x3y5﹣10x4y4+20x3y2，一邊長是5x3y2，則它的另一邊長是（）A．2y3﹣3xy2+4 B．3y3﹣2xy2+4 C．3y3+2xy2+4 D．2xy2﹣3y3+4分析：利用長方形的面積公式，列出相應(yīng)的式子，結(jié)合整式的除法法則進行運算即可．【解答】解：（15x3y5﹣10x4y4+20x3y2）÷（5x3y2）＝15x3y5÷（5x3y2）﹣10x4y4÷（5x3y2）+20x3y2÷（5x3y2）＝3y3﹣2xy2+4．故選：B．【變式5-1】(2023?臺灣）計算2x2﹣3除以x+1后，得商式和余式分別為何？（）A．商式為2，余式為﹣5 B．商式為2x﹣5，余式為5 C．商式為2x+2，余式為﹣1 D．商式為2x﹣2，余式為﹣1分析：先將被除式2x2﹣3補0，再列豎式計算即可．【解答】解：∵被除式2x2﹣3缺項，∴補0后變?yōu)?x2+0x﹣3，長除法計算為：故選：D．【變式5-2】(2023秋?袁州區(qū)校級期中）已知一個長方形的面積是6a2﹣4ab+2a，且它的一條邊長為2a，則長方形的周長為．分析：直接利用整式的除法運算法則分別計算得出答案．【解答】解：∵一個長方形的面積是6a2﹣4ab+2a，且它的一條邊長為2a，∴長方形的另一邊長為：（6a2﹣4ab+2a）÷2a＝3a﹣2b+1，故長方形的周長為：2（3a﹣2b+1+2a）＝10a﹣4b+2．故答案為：10a﹣4b+2．【變式5-3】(2023春?濰坊期末）若多項式A除以2x2﹣3，得到的商式為3x﹣4，余式為5x+2，則A＝．分析：根據(jù)題意列出關(guān)系式，計算即可得到結(jié)果．【解答】解：∵多項式A除以2x2﹣3，得到的商為3x﹣4，余式為5x+2，∴A＝（2x2﹣3）（3x﹣4）+5x+2＝6x3﹣8x2﹣9x+12+5x+2＝6x3﹣8x2﹣4x+14．故答案為：6x3﹣8x2﹣4x+14．【題型6整式乘法中的規(guī)律探究】【例6】(2023秋?鄒城市期末）觀察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1…（1）分解因式：x5﹣1＝；（2）根據(jù)規(guī)律可得（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝（其中n為正整數(shù)）；（3）計算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）．分析：（1）觀察各式，得到因式結(jié)果即可；（2）利用得出的規(guī)律計算即可；（3）利用得出的規(guī)律計算即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）原式＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）＝xn﹣1；（3）原式＝351﹣1．故答案為：（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）xn﹣1【變式6-1】(2023春?包河區(qū)期末）探究規(guī)律，解決問題：（1）化簡：（m﹣1）（m+1）＝，（m﹣1）（m2+m+1）＝．（2）化簡：（m﹣1）（m3+m2+m+1），寫出化簡過程．（3）化簡：（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1）＝．（n為正整數(shù)，mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1為n+1項多項式）（4）利用以上結(jié)果，計算1+3+32+33+…+3100的值．分析：（1）（2）根據(jù)多項式乘多項式的運算法則進行計算即可；（3）根據(jù)（1）（2）得出的規(guī)律可直接得出答案；（4）根據(jù)（3）的出的規(guī)律可直接代數(shù)進行計算即可．【解答】解：（1）（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1；（m﹣1）（m2+m+1）＝m3﹣1；故答案為：m2﹣1；m3﹣1；（2）（m﹣1）（m3+m2+m+1）＝m4+