2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專項(xiàng)培優(yōu)訓(xùn)練-專項(xiàng)十八三點(diǎn)共線與三線共點(diǎn)

專項(xiàng)十八三點(diǎn)共線與三線共點(diǎn)

關(guān)鍵詞一三點(diǎn)共線

思路：①如圖①，在幾何圖形中，要證明A,B,C三點(diǎn)共線，只需證明NAB。+ZCBD=

180°；②如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，可先求出直線A8的解析式，再把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，

若點(diǎn)C的坐標(biāo)滿足直線AB的解析式，即可說明三點(diǎn)共線(或證kAC=kBC).

速型題訓(xùn)級(jí)

1.如圖，在矩形ABC。中，AB=a,8C=b,且6=(4+l)a.

(1)在BC邊上求作一點(diǎn)M,使得NAMB=30。；(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)在(1)的條件下，AN平分NBAM,AN=2a,連接MN,MD,求證：MN三點(diǎn)共線.

A.-----------

R--------------------V

（第1題）

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A,3分別是y軸正半軸和x軸正半軸上的點(diǎn)，C是矩形

AOBC的頂點(diǎn)，M是03的中點(diǎn)，A，是A關(guān)于龍軸的對(duì)稱點(diǎn).求證：4,M,。三點(diǎn)共線.

A-----iC

~0M~~Bx

4

(第2題)

3.如圖，在等邊三角形ABC中，。是邊3C上一點(diǎn)，連接ADE是線段AO上一點(diǎn)，且滿足

BD2=DEAD,已知線段AP是由線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到的.

(1)在圖中作出線段AP；(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)連接BE,EP,求證：B,E,P三點(diǎn)共線.

(第3題)

關(guān)鍵詞二三線共點(diǎn)

思路：要證明AB、CD、EF三線共點(diǎn)，可以先設(shè)AB與CD的交點(diǎn)為P,再去證明EF經(jīng)過點(diǎn)

P,即轉(zhuǎn)化為E、F、P共線問題，因此三線共點(diǎn)問題實(shí)質(zhì)是三點(diǎn)共線問題.

項(xiàng)繭沛錮

'------

4.如圖，QA8CD中，M,N分別是A8,CD的中點(diǎn)，求證：直線MMAC,8。相交于同一

點(diǎn).

（第4題）

AMCN

5.如圖,在四邊形ABC。中，AB//CD,M,N分別是邊AB,CO上的點(diǎn)，且滿足前=麗.

求證:直線AC,BD,MN相交于同一點(diǎn).

（第5題）

答案

1.(1)解：如圖，點(diǎn)M即為所求.

(2)證明：如圖.,四邊形ABCD是矩形，.?.NB=NC=90。,

VZAMB=30°,AZBAM=60°,AM=2AB=2a,

「AN平分NBAM,AZMAN=|zBAM=30°,

VAN=2a,/.AM=AN,

,ZAMN=1(180°-30°)=75°,

VCD=CM,ZC=90°,ZCMD=1(180°-90°)=45°,

ZAMD=180°-30°-45°=105°,

AZAMN+ZAMD=180°,AD,M,N三點(diǎn)共線.

2.證明：設(shè)A(0,a),B(b,0).

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為S，a),

點(diǎn)M的坐標(biāo)為修0),

點(diǎn)4的坐標(biāo)為(0,—a),

設(shè)直線A'C的解析式為y=依+〃?(原0),

=,2a

—am9"b，

則_,一解得'

cikb~~?〃2,

m=-a,

...直線4c的解析式為丫=箓一%

當(dāng)y=0時(shí)，丫=號(hào)

.?.點(diǎn)M在直線4c上，

...A，，M,C三點(diǎn)共線.

3.(1)解：如圖，線段AP即為所求.

A

(2)證明：如圖.:△ABC是等邊三角形，/.ZABC=60°.

oBDDE

VBD2=DEAD,???］百=萬百，

ADDU

又YNBDE=NADB,AABDE^AADB,

/.ZBED=ZABC=60°,

.,.ZAEB=180°-ZBED=120°.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=AP,ZEAP=60°,

.?.△AEP是等邊三角形，.，.ZAEP=60°,

AZAEB+ZAEP=120°+60°=180°,

AB,E,P三點(diǎn)共線.

4.證明：設(shè)AC,BD交于點(diǎn)P,直線MP交CD于點(diǎn)N,如圖.

?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AP=CP,AB=CD,AB//CD,

：.ZPAM=ZPCN',ZPMA=ZPN'C,

：.AAPM^△CPM(AAS),/.AM=CN'.

,：M,N分別是AB,CO的中點(diǎn)，

：.AM=^AB,CN=3CD,

:.AM=CN,：.CN=CN',即MV重合，

直線MN,AC,8D相交于同一點(diǎn).

5.證明：如圖，設(shè)AC交8。于點(diǎn)尸，AC交MN于點(diǎn)P.

?.?AB〃CD,.,.△ABP^ACDP,△AMP,<^ACNP,,

.APABAP'AM

,,CP=CD'CP7=CN,

,.AM_CN.g^AB-