角動量定理天體運動

關(guān)于角動量定理天體運動2慣性系S中的一個運動質(zhì)點在運動過程中相對某參考點O的徑矢r會相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)在dt時間質(zhì)點位移為vdt，轉(zhuǎn)過角度dθr便會掃過面積dS面積速度O第2頁,共84頁，2024年2月25日，星期天3質(zhì)點在

S

系中相對參考點O的角動量L角動量隨時間的變化與什么有關(guān)呢？其中第3頁,共84頁，2024年2月25日，星期天4質(zhì)點所受力相對參考點

O

的力矩質(zhì)點角動量定理：質(zhì)點所受力相對某參考點的力矩等于質(zhì)點相對該參考點角動量的變化率。處理轉(zhuǎn)動的所有公式都是從這個公式導(dǎo)出第4頁,共84頁，2024年2月25日，星期天5h力矩力臂

h：點O到力F作用線的距離。在直角坐標(biāo)系中，M

可用行列式表述成它的三個分量：第5頁,共84頁，2024年2月25日，星期天6質(zhì)點所受各分力Fi相對同一參考點的力矩之和，

等于合力F相對該參考點的力矩。兩質(zhì)點之間一對作用力與反作用力相對于同一參考點力矩之和必為零。12第6頁,共84頁，2024年2月25日，星期天7若過程中

M

恒為零，則過程中

L

為守恒量若過程中

Mz恒為零，則過程中

Lz為守恒量有心力：質(zhì)點所受力F若始終指向一個固定點O，O為力心。第7頁,共84頁，2024年2月25日，星期天8例1相對不同參考點A、B，計算重力矩和角動量AB參考點A：重力矩角動量參考點B：重力矩角動量第8頁,共84頁，2024年2月25日，星期天9例2勻速圓周運動O選擇圓心O為參考點力矩角動量R⊙其它任何點則沒有這種情況角動量守恒第9頁,共84頁，2024年2月25日，星期天10例3地球繞太陽公轉(zhuǎn)選擇太陽為參考點萬有引力的力矩為零第10頁,共84頁，2024年2月25日，星期天11例4圓錐擺如圖，擺線長l，小球質(zhì)量m，取懸掛點O為參考點，求擺球所受力矩和擺球角動量。擺球受張力和重力張力對O點力矩為零擺球所受力矩⊙擺球角動量方向如圖選另一參考點第11頁,共84頁，2024年2月25日，星期天12例5⊙z導(dǎo)出單擺的擺動方程力矩和角動量都只有z軸分量采用小角度近似利用角動量定理第12頁,共84頁，2024年2月25日，星期天13例6OA小球繞O作圓周運動，如圖所示。（1）求B端所受豎直向下的外力T0（2）T0極緩慢增到2T0，求v（3）用功的定義式求拉力所作的功。B分析物理過程以O(shè)為參考點，力矩為零，角動量守恒。T0極緩慢增大，徑向速度可略，中間過程近似為圓周運動。第13頁,共84頁，2024年2月25日，星期天14OAB解（1）（2）角動量守恒圓周運動第14頁,共84頁，2024年2月25日，星期天15（3）拉動過程中，小球作螺旋線運動它恰好等于小球的動能增量第15頁,共84頁，2024年2月25日，星期天161.2質(zhì)點系角動量定理角動量守恒定律在慣性系S中，質(zhì)點系相對O點的角動量

L質(zhì)點系角動量定理：質(zhì)點系各質(zhì)點所受外力相對同一參考點的力矩之和等于質(zhì)點系相對于該參考點角動量隨時間的變化率。第16頁,共84頁，2024年2月25日，星期天17質(zhì)點系角動量守恒定律若過程中M外恒為零，則過程中L為守恒量。若過程中M外x（或M外y，M外z）恒為零，則過程中Lx（或Ly，或Lz）為守恒量。非慣性系中質(zhì)點系的角動量定理第17頁,共84頁，2024年2月25日，星期天18例7llh質(zhì)量可略、長2l的蹺蹺板靜坐著兩少年，左重右輕，左端少年用腳蹬地，獲得順時針方向角速度ω0。求ω0至少多大時，右端少年可著地？O力矩系統(tǒng)角動量第18頁,共84頁，2024年2月25日，星期天19角動量定理積分此即機械能守恒第19頁,共84頁，2024年2月25日，星期天20例8水平大圓盤繞中心豎直軸以角速度ω旋轉(zhuǎn)，質(zhì)量m的小球從中心出發(fā)，沿阿基米德螺線運動，角動量L守恒。試求小球所受真實力的橫向分量和徑向分量。阿基米德螺線O角動量L守恒⊙ω第20頁,共84頁，2024年2月25日，星期天21圓盤系中小球所受合力合力的橫向分量合力的徑向分量角動量

L

守恒，橫向力為零徑向力應(yīng)合成mar第21頁,共84頁，2024年2月25日，星期天221.3外力矩重心對稱球的外引力分布中心外力矩是質(zhì)點系角動量變化的原因合力為零的外力矩質(zhì)點系所受外力的合力為零時，外力矩與參考點無關(guān)。O第22頁,共84頁，2024年2月25日，星期天23一對力偶大小相同、方向相反且不在同一直線上的兩個力力偶的力矩不依賴于參考點的選擇12第23頁,共84頁，2024年2月25日，星期天24重心位于rG的幾何點稱為質(zhì)點系的重心質(zhì)量均勻分布，幾何結(jié)構(gòu)具有對稱性的物體，重心位于其幾何中心第24頁,共84頁，2024年2月25日，星期天25質(zhì)點系各質(zhì)點重力的沖量和等于質(zhì)點系重力的沖量質(zhì)點系各質(zhì)點重力作功之和等于質(zhì)點系重力作用于重心處所作的功重力勢能重力的力矩重心是質(zhì)點系重力分布中心貓的空中轉(zhuǎn)體第25頁,共84頁，2024年2月25日，星期天26對稱球的外引力分布中心P球心是對稱球的外引力分布中心第26頁,共84頁，2024年2月25日，星期天27例9

質(zhì)量M的均勻麥管放在光滑桌面上，一半在桌面外。質(zhì)量m的小蟲停在左端，而后爬到右端。隨即另一小蟲輕輕地落在該端，麥管并未傾倒，試求第二個小蟲的質(zhì)量。麥管長L，小蟲相對麥管速度u，麥管相對桌面左行速度v系統(tǒng)動量守恒麥管移入桌面長度第27頁,共84頁，2024年2月25日，星期天28分兩種情況討論：（1）麥管全部進(jìn)入桌面，第二個小蟲可取任何值。（2）麥管和二個小蟲相對桌邊的重力矩應(yīng)該滿足第28頁,共84頁，2024年2月25日，星期天29§2對稱性與守恒律2.1對稱性第29頁,共84頁，2024年2月25日，星期天30德國數(shù)學(xué)家魏爾（H.Weyl）對稱性：系統(tǒng)在某種變換下具有的不變性。例左右對稱，上下對稱，也稱鏡面對稱第30頁,共84頁，2024年2月25日，星期天31空間變換對稱性xOzy系統(tǒng)相對點、線、面的變換第31頁,共84頁，2024年2月25日，星期天32鏡面反演對稱性鏡面反演：對平面直角坐標(biāo)系，僅取x到-x（或y到-y，或z到-z）的變換。一個系統(tǒng)若在鏡面反演變換下保持不變，則稱這一系統(tǒng)具有鏡面反演對稱性。第32頁,共84頁，2024年2月25日，星期天33第33頁,共84頁，2024年2月25日，星期天34空間平移對稱性系統(tǒng)在空間平移，即在變換下具有的不變性。第34頁,共84頁，2024年2月25日，星期天35軸轉(zhuǎn)動對稱性（軸對稱性）系統(tǒng)在繞著某直線軸作任意角度旋轉(zhuǎn)的變換下具有的不變性。第35頁,共84頁，2024年2月25日，星期天36空間反演對稱性（點對稱性）系統(tǒng)在空間反演，即在變換下具有的不變性。第36頁,共84頁，2024年2月25日，星期天37點轉(zhuǎn)動對稱性（球?qū)ΨQ性）系統(tǒng)在繞著某點作任意旋轉(zhuǎn)的變換下具有的不變性。RR電場強度半徑均勻帶電球體相對球心具有球?qū)ΨQ性，它的空間場強分布也具有此種對稱性。第37頁,共84頁，2024年2月25日，星期天38時間變換對稱性一維的時間只能改變方向和平移，所以只有兩種變換：時間反演對稱性時間平移對稱性第38頁,共84頁，2024年2月25日，星期天39時間反演對稱性時間反演即時間倒流O過去未來過去未來12第39頁,共84頁，2024年2月25日，星期天40牛頓第二定律具有時間反演對稱性經(jīng)典力學(xué)中，與牛頓第二定律平行的是力的結(jié)構(gòu)性定律胡克定律、引力定律、庫侖定律具有時間反演對稱性阻尼性作用定律給出的空氣阻力、摩擦力等不具有時間反演對稱性時間倒流在真實世界是不可能發(fā)生的第40頁,共84頁，2024年2月25日，星期天41時間平移對稱性系統(tǒng)在時間平移，即在變換下具有的不變性。牛頓第二定律和力的結(jié)構(gòu)性定律都具有時間平移對稱性自然界中除了與時空變換有關(guān)的對稱性以外，還有其它的對稱性，物理學(xué)的后續(xù)課程中將會討論。第41頁,共84頁，2024年2月25日，星期天42§2.2

對稱性原理第42頁,共84頁，2024年2月25日，星期天43法國物理學(xué)家皮埃爾.居里（Pierre.Curie）在1894年指出對稱性原理因中若有某種對稱性，果中也有此種對稱性，因果間的這種對稱性是普遍存在的。第43頁,共84頁，2024年2月25日，星期天44§2.3

對稱性與守恒律EmmyNoether(1882-1935)諾特最偉大的女?dāng)?shù)學(xué)家第44頁,共84頁，2024年2月25日，星期天45諾特定理：論證了對稱性與守恒律之間存在的普遍聯(lián)系連續(xù)變換的對稱性都對應(yīng)一條守恒定律時間平移對稱性能量守恒定律空間轉(zhuǎn)動對稱性角動量守恒定律空間平移對稱性動量守恒定律第45頁,共84頁，2024年2月25日，星期天46小結(jié)牛頓定律慣性系非慣性系質(zhì)點質(zhì)點系我們周圍的世界第46頁,共84頁，2024年2月25日，星期天47§3天體運動太陽系中太陽是質(zhì)量最大的天體，行星中質(zhì)量最大的木星太陽近似處理成不動的質(zhì)點，行星運動由太陽引力支配。衛(wèi)星距大行星很近，圍繞著行星的運動由行星引力支配。第47頁,共84頁，2024年2月25日，星期天48§3.1

天體運動天體運動的開普勒三定律第一定律（軌道定律）：行星圍繞太陽的運動軌道為橢圓，

太陽在橢圓的一個焦點上。第二定律（面積定律）：行星與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。第三定律（周期定律）：各行星橢圓軌道半長軸A的三次方與軌道運動周期T的二次方之比值為相同的常量，即第48頁,共84頁，2024年2月25日，星期天49牛頓力學(xué)結(jié)合萬有引力定律推導(dǎo)天體運動的開普勒三定律極坐標(biāo)系角動量守恒能量守恒第49頁,共84頁，2024年2月25日，星期天50太陽質(zhì)量記為M，待考察的行星質(zhì)量記為m，某時刻M至m的徑矢r和m的速度v。建立極坐標(biāo)系在徑矢r和速度v確定的平面上，建立以M為原點的極坐標(biāo)系。第50頁,共84頁，2024年2月25日，星期天51利用角動量L和能量E守恒首先可得到角向速度和徑向速度第51頁,共84頁，2024年2月25日，星期天52行星軌道方案1：參數(shù)方程方案2：軌道方程第52頁,共84頁，2024年2月25日，星期天53確定軌道方程引入?yún)⒘康?3頁,共84頁，2024年2月25日，星期天54作變量代換積分后可得總可選取第54頁,共84頁，2024年2月25日，星期天55行星的軌道方程這是太陽位于焦點的圓錐曲線第55頁,共84頁，2024年2月25日，星期天56三種可能的軌道：都與行星質(zhì)量無關(guān)行星的軌道方程第56頁,共84頁，2024年2月25日，星期天57大行星受太陽引力束縛，E

<

0，軌道是橢圓Mm橢圓偏心率時，為圓軌道。第57頁,共84頁，2024年2月25日，星期天58例10太陽質(zhì)量M，行星橢圓軌道半長軸A、半短軸B。行星的軌道運動周期T，試導(dǎo)出開普勒第三定律。Mm12選擇長軸的兩點：近日點1和遠(yuǎn)日點2，速度與徑矢垂直的唯一的兩點。第58頁,共84頁，2024年2月25日，星期天59機械能守恒角動量守恒面積速度行星的軌道運動周期開普勒第三定律第59頁,共84頁，2024年2月25日，星期天60解法二軌道1處的曲率半徑牛頓第二定律面積速度行星的軌道運動周期開普勒第三定律第60頁,共84頁，2024年2月25日，星期天61例11對于太陽和某個行星構(gòu)成的兩體引力系統(tǒng)，若考慮到引力對太陽的影響，開普勒三定律將作哪些修正？引入約化質(zhì)量和行星相對太陽的加速度將引力公式代入第61頁,共84頁，2024年2月25日，星期天62上式可改寫為除了將太陽質(zhì)量M換成M+m以外，所有結(jié)果保持不變。開普勒第一、第二定律不依賴于太陽質(zhì)量，保持不變。開普勒第三定律依賴太陽質(zhì)量，嚴(yán)格意義下不再成立。即使是行星中質(zhì)量最大的木星確實是小到可以忽略第62頁,共84頁，2024年2月25日，星期天63例12計算第一、第二、第三宇宙速度略去地球大氣層的影響地球半徑地球軌道半徑太陽質(zhì)量地表重力加速度第63頁,共84頁，2024年2月25日，星期天64第一宇宙速度：在地球引力作用下，貼近地面沿圓軌道運動的飛行器速度v1。飛行器質(zhì)量m第64頁,共84頁，2024年2月25日，星期天65第二宇宙速度：從地面向上發(fā)射太空飛行器，為使它能遠(yuǎn)離地球而去的最小發(fā)射速度v2。地球質(zhì)量ME第65頁,共84頁，2024年2月25日，星期天66第三宇宙速度：從地面向上發(fā)射太空飛行器，為使它能相繼脫離地球和太陽的引力束縛遠(yuǎn)離太陽系而去的最小發(fā)射速度v3。相對地球的最小發(fā)射速度v3需沿著地球軌道的運動方向。地球軌道速度在地心參考系中，飛行器距地球足夠遠(yuǎn)時，它相對于地球從v3降為（1）第66頁,共84頁，2024年2月25日，星期天67轉(zhuǎn)到太陽系，飛行器相對太陽的速度為（2）為使飛行器恰好能脫離太陽的引力束縛，要求（3）第67頁,共84頁，2024年2月25日，星期天68例13

通過天文觀測，發(fā)現(xiàn)存在行星橢圓軌道，假設(shè)質(zhì)點間的萬有引力大小與距離r的關(guān)系為試就下面兩種情況分別確定α（1）太陽在橢圓軌道的一個焦點上；（2）太陽在橢圓的中心Mm12第68頁,共84頁，2024年2月25日，星期天69Mm12面積速度不變對于橢圓從開普勒第一、第二定律，導(dǎo)出了引力的平方反比律（1）第69頁,共84頁，2024年2月25日，星期天70（2）Mm123對于1、3兩處對于橢圓引力具有彈性力的特點第70頁,共84頁，2024年2月25日，星期天71§3.2

有心力場中質(zhì)點的運動存在有心力的空間稱為有心力場，以力心為坐標(biāo)原點，在有心力場中質(zhì)點所受力可表述成：第71頁,共84頁，2024年2月25日，星期天72有心力場中，質(zhì)點初速度沿徑向或為零時，運動軌道是直線。對于吸引性有心力場，質(zhì)點初速度沿角向并滿足運動軌道是圓。一般情況下，質(zhì)點的運動軌道都是平面曲線，這一平面由質(zhì)點初位矢和初速度確定。第72頁,共84頁，2024年2月25日，星期天73有心力場中，在由質(zhì)點初位矢和初速度確定的平面上，以力心為坐標(biāo)原點，建立極坐標(biāo)系。系統(tǒng)的角動量和機械能都是守恒量：角向和徑向速度第73頁,共84頁，2024年2月25日，星期天74為獲得r-t，這是關(guān)于r-t的一階微分方程，原則上可解出r-t關(guān)系。軌道微分方程給定V(r)，積分上式，得軌道方程：第74頁,共84頁，2024年2月25日，星期天75對r-t關(guān)系的定性討論了解r隨t的變化范圍，確定軌道是有限的，還