練習(xí)12：空間向量與距離、探究性問題-2023屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（含答案）

微專題強化練12空間向量與距離、探究性問題

1.(2022?山東聯(lián)考)如圖,在正四棱柱ABCD-AIBiGDl中，AB=},E為Ccl的中點.

⑴當(dāng)AAl=2時,證明：平面8DE_L平面AiBiE.

(2)當(dāng)AAi=3時，求Al到平面8。E的距離.

2.(2022.聊城質(zhì)檢)如圖，在正四棱柱ABC。-4B∣CQ∣中，AAl=2AB=2,E,尸分別為棱A4,

CG的中點，G為棱。。上的動點.

(1)求證：B,E,D?,廠四點共面；

⑵是否存在點G,使得平面GEFJ_平面BEF?若存在，求出DG的長度；若不存在，說明理

由.

3.(2022.湖北七市聯(lián)考)如圖所示，在四棱錐P-4BC。中，底面48CD為正方形，底面

ABCD,PA=AB,E,F分別為線段P8,BC上的動點.

(1)若E為線段PB的中點，證明：平面AEF，平面P3C；

⑵若BE=巾BF,且平面AEF與平面PBC夾角的余弦值為試確定點F的位置.

4.(2022?長沙十六校聯(lián)考)如圖，在四棱錐P-ABCQ中，是以AO為斜邊的等腰直角三

角形，BC//AD,AB1.AD,AD=2AB=2BC=2,PC=√2,E為尸。的中點.

(1)求直線PB與平面λ?C所成角的正弦值；

(2)設(shè)F是BE的中點，判斷點F是否在平面∕?C內(nèi)，并證明結(jié)論.

參考答案

1.(1)證明當(dāng)AAl=2時，BIE=也,BE=小,

所以B∣E2+B￡2=BBh

所以BlEl.BE

又AIBlJL平面BCCiBl,

則Alβl±BE.

因為A∣Bι∩SE=Bi,Alβl,

BiEc平面AiBlE,

所以BEI.平面A∣βlE,

又BEU平面BDE,

所以平面BOEl,平面A∣B1E.

(2)解以D為原點、,DA,DC,所在直線分別為X,y,Z軸，建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，

3

-

則D(0,0,0),B(l,l,0),4(1,0,3),￡(0,2

所以加=(1,1,0),OE=(0,1,學(xué)廚=(1,0,3).

設(shè)平面8。E的一個法向量為〃=(X,y9z),

n-DB=0,x+y=°,

則即?3n

Λ5E=O,卜+呼=0,

不妨令z=2,貝IIy=—3,x=3,得∕ι=(3,—3,2).

99√22

故Ai到平面BDE的距離＜1==赤=22-

2.(1)證明如圖所示，連接DIE,D1F,取BBl的中點為M,連接MG,ME,因為E為

44ι的中點,

所以EM∕∕A↑B?∕∕C?D?,

且EM=AlBl=CIDI,

所以四邊形EMeIDl為平行四邊形，所以O(shè)IE〃MC”

又因為F為CG的中點，

所以8M〃CiF,且BM=CI尸，

所以四邊形BMG尸為平行四邊形，

所以B尸〃MC1,所以BF〃/)∣E,

所以B,E,Di,尸四點共面.

(2)解以。為坐標(biāo)原點，DA,DC,分別為X軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如

假設(shè)存在滿足題意的點G(0,0,f)(0≤f≤2),由已知8(1,1,0),E(l,0,l).F(O/』),

則祥=(-1,1,0),EB=(0,l,-1),啟=(~l,0,Ll),

設(shè)平面BEF的一個法向量為“ι=(x∣,yι,z∣),

nι?EF=0,ClJ-Xl+?=0,

即，

(n∣?EB=0,Jl-Zl=O,

取Xi=I,則"1=(1,1,1)；

設(shè)平面GEF的一個法向量為"2=(X2,y2?Z2),

m-EF=0,

則J一

B2?EG=0,

f-X2÷y2=0,

即V

|一χ2+(Li)z2=0,

取X2=L1,則〃2=(L1,Ll,l)?

因為平面GE凡L平面BEF,

所以nm2=0,

即，-1+f—1+1=0,解得r=/.

所以存在滿足題意的點G,使得平面GEPL平面2EF,OG的長度為;.

3.(1)證明由徹，底面ABer>,可得力_LBC,

又在正方形ABCQ中，BC±AB,

KPAHAB=A,PA,ABU平面∕?8,

則BC，平面∕?B,又AEU平面∕?8,所以8C_LAE

由∕?=A8,E為PB中點，可得AE_LP8,

又PBCBC=B,PB,BCU平面PBC,

則AE_L平面PBC,又AEU平面AEF,從而平面AEF_L平面PBC.

⑵解以A為坐標(biāo)原點，AB,AD,AP分別為X,y,Z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系.

設(shè)AB=I,則4(0,0,0),B(1,O,O),C(l,l,0),D(0,1,0),P(0,0,l)?

由(1)可知〃1=G，0,，為平面PBC的一個法向量.

由BE=巾BF,可知EF//PC,

設(shè)標(biāo)=/1於，BE=λBP,

則訪=(0,λ,0),BE=(-λ,0,λ),

可得/=疝+而=(1,λ,0),

AE=AB+BE=(l-λ,0,2).

設(shè)平面AEF的一個法向量為"2=(x,y,Z),

In?-AF=O,

叫_

［篦2?AE=0,

∫x+Ay=O,

°[(1-2)x+2z=0,

取y=l,則x=—2,z=l-A,

即"2=(—A,1,1—2).

,,-?-,I/、I∣"∣?"2∣∣1~2Λ∣范

從而‘由即劭'〃"=麗=XM2-2=5

解得2=；或％=|,即尸在BC的三等分點處.

4.解(1)在直角梯形ABCo中，

由已知可得AC=&,CD=√2,

：.AC2+CD1=AD2,：.ACLCD,

又△?!￡>尸是以A。為斜邊的等腰直角三角形，；.用=PO=√5,

如圖，取AQ的中點。，連接OC,OP,

則OC=OA=Oz)=1,OP=1,

則

NPOA=NPoC=NPOD=90°,

ΛOPLAD,OPA.OC,

而OCelAO=。，OC,ADU平面ABC￡),ABCD,

因此以AB,AO為X軸、y軸，過點A作平行于O尸的直線為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如

圖，

則40,0,0)，B(1,0,0),C(1,1,O),Q(0,2,0),P(O,1,1),Λ>=(O,1,1),Ab=(1,1,0),

設(shè)平面B4C的一個法向量為"=(x,y,z),

In?ΛP=O,[y÷z=O,

則即二n

LrAC=O,Im，

取y=—1,則X=Z=1,即”=(1,—1,1),

又麗=(-1,1,1),

設(shè)直線PB與平面∕?C所成角為θ,

.'.sin0=∣cos〈BP,n't∣

|BP-n|_|-l-l+l|_l

∣B∕,∣∣∏∣小X#?'

，直線P8與平面∕?C所成角的正弦值為

(2)點尸在平面外C內(nèi)，證明如下:

由(1)可得40,,赤=&3η

4,4Jf

設(shè)崩=嬴+yA>,

則&4