新高考數(shù)學(xué)人教版一輪學(xué)案高考大題規(guī)范解答系列（六）-概率與統(tǒng)計(jì)含答案

需考大題規(guī)范解答糸列(今)——枷率與統(tǒng)計(jì)

考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的分布列與期望

?■例1(2021?山西聯(lián)考)已知甲盒中有三個(gè)白球和三個(gè)紅球，乙盒中僅裝有三個(gè)白球,

球除顏色外完全相同.現(xiàn)從甲盒中任取三個(gè)球放入乙盒中.

(1)求乙盒中紅球個(gè)數(shù)X的分布列與期望；

(2)求從乙盒中任取一球是紅球的概率.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】——規(guī)范答題步步得分

(1)由題意知X的可能取值為0,1,2,3.

P(X=0)=^^，=*,P(X=1)=^^3=4,2分得分點(diǎn)①

P(X=2)=7j=疝,尸(X=3)=疝'4分得分點(diǎn)②

所以X的分布列為

X0123

1991

P

20202020

5分|得分點(diǎn)③

1QQ13--------------

所以￡：(岀=0*砧+1*與+2*詬+3*而=字6分|得分點(diǎn)④'

(2)當(dāng)乙盒中紅球個(gè)數(shù)為0時(shí)，P=0,7分|得分點(diǎn)⑤

當(dāng)乙盒中紅球個(gè)數(shù)為1時(shí)，22=暴/=焉8分|得分點(diǎn)⑥

當(dāng)乙盒中紅球個(gè)數(shù)為2,/,3=20X6=20,9分|得分，反◎

當(dāng)乙盒中紅球個(gè)數(shù)為3時(shí),24=+義焉=擊，10分|得分點(diǎn)⑧

所以從乙盒中任取一球是紅球的概率為Pi+P2+P.+P^A2分|得分點(diǎn)⑨

【評(píng)分細(xì)則】

(1)第一問中，正確算出P(X=0),尸(X=l),尸(X=2),P(X=3)各得1分，列出分布列得

1分，求出期望得1分.

(2)第二問中，分類討論，每種情況各占1分.

(3)其他方法按步驟酌情給分.

?■例2(2019?課標(biāo)丨，21)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種

新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試

驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安

排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并

認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠

治愈且施以乙藥的白鼠未治愈，則甲藥得1分，乙藥得一1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施

以甲藥的白鼠未治愈，則乙藥得1分，甲藥得一I分；若都治愈或都未治愈，則兩種藥均得

0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和尸，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求*的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，pM=O,l,…，8)表示“甲藥的累計(jì)得分為

i時(shí),最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則po=O,p8=l，pi=api-i+bpi+cpi+i(i=\,2,…，

7),其中a=P(X=-l),b=P(X=O),c=P(X=\).假設(shè)a=0.5,^=0.8.

①證明：⑵+1一2}?=0,1,2,…，7)為等比數(shù)列；

②求P4,并根據(jù)P4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】——規(guī)范答題步步得分

(1)X的所有可能取值為-1,0,1.

P(X=-l)=(l-a)B，

P(X=0)=磔+(l-a>(l一份，

P(X=l)=a(l—用.

所以X的分布列為

X-101

p(1-a)pa￡+(l-a)(l一4)

4分|得分點(diǎn)①

(2)①由(1)得a=0.4,6=0.5,c=0.L5分函分點(diǎn)②

因此pi=0.4Pi1+0.5/?,+0.1p,+i,

故0.1(pi+1—pi)=0.4(p(—pi-1),

即Pi+l~Pi—4(Pi—Pi-1).6分得分點(diǎn)③

又因?yàn)閜i-po=pi#o,

所以加+1一0,}?=0,1,2一“，7)是公比為4,首項(xiàng)為日的等比數(shù)列.7分[g踵⑥

②由①可得

P8=P8-P7+P7-P6H-----卜PLPo+p()

48-1

=(P8—P7)+(P7—P6)H-----H(/71—po)=3pi.

3

由于P8=1'故Pl=48_]'

所以P4=。4—pi)+⑦3~P2)+(P2—pi)+(pi-po)

44-11---------------

=—/7|=257.10分I得分點(diǎn)⑤I

P4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率.由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5,乙藥

治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為網(wǎng)=擊-0.0039,11分|得分點(diǎn)⑥

此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗(yàn)方案合理.12分|得分點(diǎn)⑦|

【評(píng)分細(xì)則】

①每個(gè)式子1分，表格1分；給出X的可能取值給1分；

②得出a、b、c的值（有正確的）得1分；

③得到P,+LE=4（PLPLI）得1分；

④給出結(jié)論得1分；

⑤得出R,PA,PI的表達(dá)式各得1分；

⑥說明為非常小得1分；

⑦說明實(shí)驗(yàn)方案合理得1分.

【名師點(diǎn)評(píng)】

1.核心素養(yǎng)：本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率、隨機(jī)變量的期望、方差的應(yīng)用、二

項(xiàng)分布、決策問題等，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，考查或然與必然思想，考查的核

心素養(yǎng)的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析.

2.解題技巧：破解此類題的關(guān)鍵：一是認(rèn)真讀題，讀懂題意；二是會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求最值;

三是會(huì)利用公式求服從特殊分布的離散型隨機(jī)變量的期望值；四是會(huì)利用期望值，解決決策

型問題.

（變式訓(xùn)練1〕

（2021?湖南五市十校教研教改共同體聯(lián)考）某學(xué)校為了了解學(xué)生對(duì)新冠病毒的傳播和預(yù)

防知識(shí)的掌握情況，學(xué)校決定組織一次有關(guān)新冠病毒預(yù)防知識(shí)競(jìng)答.競(jìng)答分為必答題（共5

題）和選答題（共2題）兩部分.每位同學(xué)答題相互獨(dú)立，且每道題答對(duì)與否互不影響.已知甲

同學(xué)答對(duì)每道必答題的概率為點(diǎn)4答對(duì)每道選答題的概率為方2

（1）求甲恰好答對(duì)4道必答題的概率；

（2）在選答階段，若選擇回答且答對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)5分，答錯(cuò)扣2分，選擇放棄回答得0分.已

知甲同學(xué)對(duì)于選答的兩道題，選擇回答和放棄回答的概率均為去試求甲同學(xué)在選答題階段,

得分X的分布列.

［解析］（1）甲恰好答對(duì)4遒必答題的概率為

I256

尸

5-625-

121

(2)依題意，每道題選擇回答并答對(duì)的概率為

選擇回答且答錯(cuò)的概率為"113=方3，

選擇放棄回答的概率為今

甲得分的可能性為一4分，一2分，。分，3分，5分和10分.

9

所以尸(X=-4)=礪，

P(X=-2)=嗎X^U，

11233

P(X=3)=C與義爐/5二藥

1121

P(X=5)=C22X2><5=5,

產(chǎn)底=10)=1/爐1?-=31.

所以X的分布列為

X-4-203510

931311

P—!■■

10010425525

考點(diǎn)二線性回歸分析

?■例3(2018?全國(guó)2)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資y(單位：億

元)的折線圖.

為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回

A

歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量「的值依次為1,2,…，17)建立模型①；y=

-30.4+13.56根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量，的值依次為1,2,…，7)建立模型

②：￡=99+17.5厶

(1)分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；

(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說明理由.

【分析】⑴模型①中取f=19,模型②中取f=9,求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即可；(2)利用所給

折線圖中數(shù)據(jù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)，加以分析即可.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】——規(guī)范答題步步得分

(1)利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為

f=-30.4+l3.5X19=226.1(億元).3分|得分點(diǎn)①

利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為

￡=99+17.5X9=256.5（億元）.6分|得分點(diǎn)②|

（2）利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.

8分|得分點(diǎn)③

理由如下：

⑴從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線），=-30.4

+13.5/上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境

基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì).2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010

年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資

A

額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y=99+17.5/

可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)，因此利用模型②得到的預(yù)

測(cè)值更可靠.

（ii）從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)

測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理，說明利用模

型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.

（以上給出了2種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可得分）

12分|得分力④

【評(píng)分細(xì)則】

①根據(jù)模型①求出預(yù)測(cè)值給3分；

②根據(jù)模型②求出預(yù)測(cè)值給3分；

③判斷模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠給2分；

④作出正確的判斷，寫出合理理由，給4分；

【名師點(diǎn)評(píng)】

1.核心素養(yǎng)：本題主要考查線性回歸方程的實(shí)際應(yīng)用，考查考生的應(yīng)用意識(shí)，分析問

題與解決問題的能力以及運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)是數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)

運(yùn)算.

2.解題技巧：統(tǒng)計(jì)中涉及的圖形較多、常見的有條形統(tǒng)計(jì)圖、折線圖、莖葉圖、頻率

分布直方圖、應(yīng)熟練地掌握這些圖形的特點(diǎn)，提高識(shí)圖與用圖的能力.

〔變式訓(xùn)練2〕

（2021?安徽蚌埠質(zhì)檢）經(jīng)銷商小王對(duì)其所經(jīng)營(yíng)的某一型號(hào)二手汽車的使用年數(shù)

MOaWlO,xCN）與每輛的銷售價(jià)格y（單位：萬元）進(jìn)行整理，得到如表的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：

使用年數(shù)246810

售價(jià)16139.574.5

(1)試求)，關(guān)于X的回歸直線方程；

(2)已知每輛該型號(hào)汽車的收購(gòu)價(jià)格。(單位：萬元)與使用年數(shù)x(0<xW10,xGN)的函數(shù)

關(guān)系為o=0.05f—1.75x+17.2,根據(jù)(1)中所求的回歸方程，預(yù)測(cè)x為何值時(shí)，小王銷售一

輛該型號(hào)汽車所獲得的利潤(rùn)z最大.

n__

?iyi-幾x-y

A

尸】A_A_

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為力=------------，a=y-bx.

》,一〃x2

/=!

一1

［解析］(1)由表中數(shù)據(jù)，得x=§X(2+4+6+8+10)=6,

7=1X(16+13+9.5+7+4.5)=10,

由最小二乘法得

A2義16+4X13+6X9.5+8X7+10X4.5-5X6X10__

b=4+16+36+64+100-5X36=-L45,

a=10-(-1.45)X6=18.7,

所以y關(guān)于x的回歸直線方程為y=-1.45x+18.7.

(2)由題意，z=y—co

=-1.45x+18.7-(0.05A2-1.75X+17.2)

=-0.05*+0.3x+1.5,

其中0a<10,且X6N,

z=-0.05f+0.3x+1.5

=-0.05(X-3)2+1.95,

所以預(yù)測(cè)x=3時(shí)，銷售一輛該型號(hào)汽車所獲得的利潤(rùn)最大.

考點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)

?■例4(2018?課標(biāo)全國(guó)III)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成

某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們

隨機(jī)分成兩組,每組20人.第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根

據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高，并說明理由；

(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過m

和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過m不超過tn

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？

附"(ad-be辛

陽：~(a+b)(c+d)(a+cXb+d)-

P(即發(fā)k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【分析】(1)根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)大致集中在哪個(gè)莖，作出判斷；

(2)通過莖葉圖確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，按要求完成2義2列聯(lián)表；

(3)根據(jù)(2)中2X2列聯(lián)表，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得收的值，借助臨界值表作出統(tǒng)

計(jì)推斷.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】——規(guī)范答題步步得分

(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高.4分|得分點(diǎn)①

理由如下：

⑴由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間

至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79

分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

(ii)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分

鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生

產(chǎn)方式的效率更高.

(iii)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘；

用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的

效率更高.

(iv)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最

多.關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7

上的最多，關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱分布.又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布

的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完

成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

79+81--------------

(2)由莖葉圖知=80.6分|得分點(diǎn)②

列聯(lián)表如下：

超過m不超過m

第一種生產(chǎn)方式155

第二種生產(chǎn)方式515

8分|得分點(diǎn)③

亠十,40(15X15-5X5)2八?用八17

(3)由于心=卡方=六=1°>6.635,11分得分點(diǎn)④

所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.

12分|得分點(diǎn)⑤

【評(píng)分細(xì)則】

①答案給岀了4種理由，考生答出任意一種或其他合理理由，均給4分；

②由莖葉圖求出中位數(shù)，給2分；

③按要求完成2X2列聯(lián)表，給2分；

④根據(jù)公式正確求出依的值，給3分；

⑤借助于臨界值表作出判斷，給1分.

【名師點(diǎn)評(píng)】

1.核心素養(yǎng)：莖葉圖及獨(dú)立性檢驗(yàn)是高考命題的重點(diǎn)，在每年的髙考試題都以不同的

命題背景進(jìn)行命制.此類問題主要考查學(xué)生的分析問題和解決實(shí)際問題的能力，同時(shí)考查

“數(shù)據(jù)分析”的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.解題技巧：(1)審清題意：弄清題意，理順條件和結(jié)論；

(2)找數(shù)量關(guān)系：把圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)字，找關(guān)鍵數(shù)量關(guān)系；

(3)建立解決方案：找準(zhǔn)公式，將2X2列聯(lián)表中的數(shù)值代入公式計(jì)算；

(4)作出結(jié)論：依據(jù)數(shù)據(jù)，借助臨界值表作出正確判斷.

〔變式訓(xùn)練3〕

(2021.湖南百校聯(lián)考)2020年3月受新冠肺炎疫情的影響，我市全體學(xué)生只能網(wǎng)上在線

學(xué)習(xí).為了了解學(xué)生在線學(xué)習(xí)的情況，市教研院數(shù)學(xué)教研室隨機(jī)從市區(qū)各髙中學(xué)校抽取60

名學(xué)生對(duì)線上教學(xué)情況進(jìn)行調(diào)查(其中男生與女生的人數(shù)之比為2：1),結(jié)果發(fā)現(xiàn)男生中有

10名對(duì)線上教學(xué)滿意，女生中有12名對(duì)線上教學(xué)不滿意.

(1)請(qǐng)完成如下2X2列聯(lián)表，并回答能否有90%的把握認(rèn)為“對(duì)線上教學(xué)是否滿意與性

別有關(guān)"；

滿意不滿意合計(jì)

男生

女生

合計(jì)60

(2)以這60名學(xué)生對(duì)線上教學(xué)的態(tài)度的頻率作為1名學(xué)生對(duì)線上教學(xué)的態(tài)度的概率，若

從全市學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中對(duì)線上教學(xué)滿意的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布

列與數(shù)學(xué)期望.

附：參考公式及臨界值表

)_______n(ad-be辛_____

K(〃+h)(c+d)(a+c)(b+d)'其中〃=a+b+c+d.

P(K2>ko)0.100.050.0250.010

ko2.7063.8415.0246.635

I解析](1)由題意可知抽取60名學(xué)生中男生有40人，女生有20人，則列聯(lián)表如下:

滿意不滿意合計(jì)

男生103040

女生81220

合計(jì)184260

60X(10X12—30X8)2%1.429<2.706,

因?yàn)?8X42X40X20

所以沒有90%的把握認(rèn)為“對(duì)線上教學(xué)是否滿意與性別有關(guān)”.

(2)X的可能取值為0,1,2,3,由題意可知，X?B(3,匐，

p(x=z)=c(4)(總3-,

&=0,1,2,3,

隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

34344118927

P

10001000TOGOTooo

39

芯(田=3X行=而

考點(diǎn)四正態(tài)分布

?■例5國(guó)慶70周年閱兵式上的女兵們是一道靚麗的風(fēng)景線，每一名女兵都是經(jīng)過

層層篩選才最終入選受閱方隊(duì)，篩選標(biāo)準(zhǔn)非常嚴(yán)格，例如要求女兵身高(單位：cm)在區(qū)間

[165,175]內(nèi).現(xiàn)從全體受閱女兵中隨機(jī)抽取200人，對(duì)她們的身高進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將所得數(shù)據(jù)分

為[165,167),[167,169),[169,171),[171,173),[173,175]五組，得到如圖所示的頻率分布直

方圖，其中第三組的頻數(shù)為75,最后三組的頻率之和為0.7.

(1)請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù)三和方差52(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的

中點(diǎn)值代表)；

(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可認(rèn)為受閱女兵的身高X(cm)近似服從正態(tài)分布N3,丁)，其中〃近

似為樣本平均數(shù)三，『近似為樣本方差~

(i)^P(167.86<X<174.28)；

(ii)若從全體受閱女兵中隨機(jī)抽取10人，求這10人中至少有1人的身高在174.28cm

以上的概率.

參考數(shù)據(jù)：若X?NW，<r),則Pa—<7<X<〃+<7)=0.6826,P(/z-2<r<X</z+2a)=0.9544,

VH5仁10.7,0.9544"%0.63,0.97729心0.8i,o.9772'0?O.79.

［解析］⑴由題知五組頻率依次為0.1,0.2,0.375,0.25,0.075,1分

故7=0.1X166+0.2義168+0.375X170+0.25X172+0.075X174=170,2分

.*=(170-166)2X0.1+(170-168)2X0.2+(170-172)2X0.25+(170-174)2X0.075=

4.6；4分

(2)由題知〃=170,

<7=^^=#?5十2.14,5分

,0.9544-0.6826.

(1)P(167.86<X<174.28)=P(/i~a<X</i+2(r)=0.6826+--------------------=0.8185,8分

..1-0.9544

(n)P(X>174.28)=------5------=0.0228,

故10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率

P=1-<1-0.0228)'°=1-0.9772l0??1-0.79=0.21.12分

〔變式訓(xùn)練4〕

(2021?貴州遵義模擬)3D打印通常是采用數(shù)字技術(shù)材料打印機(jī)來實(shí)現(xiàn)的，常在模具制造、

工業(yè)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域被用于制造模型，后逐漸用于一些產(chǎn)品的直接制造，已經(jīng)有使用這種技術(shù)打

印而成的零部件.該技術(shù)應(yīng)用十分廣泛，可以預(yù)計(jì)在未來會(huì)有廣闊的發(fā)展空間，某制造企業(yè)

向4高校3D打印實(shí)驗(yàn)團(tuán)隊(duì)租用一臺(tái)3D打印設(shè)備，用于打印一批對(duì)內(nèi)徑有較高精度要求的

零件.該團(tuán)隊(duì)在實(shí)驗(yàn)室打印出了一批這樣的零件，從中隨機(jī)抽取10件零件，度量其內(nèi)徑的

莖葉圖如圖所示(單位：Mm).

(1)計(jì)算平均值〃與標(biāo)準(zhǔn)差6

(2)假設(shè)這臺(tái)3D打印設(shè)備打印出的零件內(nèi)徑Z服從正態(tài)分布NQ/,巒)，該團(tuán)隊(duì)到工廠安

裝調(diào)試后，試打了5個(gè)零件，度量其內(nèi)徑分別為：86,95,103,109,118(單位：gm),試問：此

打印設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試，為什么？

參考數(shù)據(jù)：P(/i-2a<Z<n+2CT)=0.9544,

尸3-?>a<Z<n+3。)=0.9974,

0.95443=0.87,0.99744=0.99,

0.04562=0.002.

［解析］⑴

97+97+98+102+105+107+108+109+113+114

10

=105jim,

,(-8>+(-8)2+(—7)2+(-3)2+()2+22+32+42+82+92

/=10

=36,

所a=6gm.

(2)結(jié)論：需要進(jìn)一步調(diào)試.

理由如下：如果機(jī)器正常工作，則Z服從正態(tài)分布N(105,62),

PQI-3a<Z<fi+3。)=P(87<Z<123)=0.9974,

零件內(nèi)徑在(87,123)之外的概率只有0.0026,

而86陣(87,123),根據(jù)3。原則知機(jī)器異常，需要進(jìn)一步調(diào)試.(還可有其它解釋，合理即

可)

考點(diǎn)五*概率、統(tǒng)計(jì)與函數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合

?■例6(2021.百師聯(lián)盟期末)出版商為了解某科普書一個(gè)季度的銷售量》(單位:千本)

和利潤(rùn)x(單位：元/本)之間的關(guān)系，對(duì)近年來幾次調(diào)價(jià)之后的季銷售量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到

如下的10組數(shù)據(jù).

序號(hào)12345678910

X2.43.14.65.36.47.17.88.89.510

y18.114.19.17.24.93.93.22.32.11.4

根據(jù)上述數(shù)據(jù)畫出如圖所示的散點(diǎn)圖：

(1)根據(jù)圖中所示的散點(diǎn)圖判斷)，=以+6和>=。1必+〃哪個(gè)更適宜作為銷售量y關(guān)于利

潤(rùn)x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不需要說明理由)；

(2)根據(jù)(1)中的判斷結(jié)果及參考數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程；

(3)根據(jù)回歸方程分析：設(shè)該科普書一個(gè)季度的利潤(rùn)總額為z(單位：千元)，當(dāng)季銷售量

y為何值時(shí)，該書一個(gè)季度的利潤(rùn)總額預(yù)報(bào)值最大？(季利潤(rùn)總額=季銷售量X每本書的利

潤(rùn))

參考公式及參考數(shù)據(jù)：

①對(duì)于一組數(shù)據(jù)(“1，V1),("2，V2),…，(“"，vn).其回歸直線v—a+/3u的斜率和截距

U)(v,—V)

的公式分別為2=------------二，1=7一2戸.

②參考數(shù)據(jù):

10-10―

—

10_10—Z(XLx)Z(W/“)

Z(即一X)22i=\/=!

XuZ(?,—u)

y/=1/=1

(yi-y)(yi-y)

6.506.631.7582.502.70一143.25-27.54

表中出=lnx,，M=正堂?

另：ln4.06F.40.計(jì)算時(shí)，所有的小數(shù)都精確到0.01.

[解析](l)y=dnx+d更適宜作為銷售量y關(guān)于利潤(rùn)x的回歸方程類型.

(2)令〃=Inx,先建立y關(guān)于〃的線性回歸方程，

則一u)(>1,-y)

,工八______________一27.54

由于。="二一=2.7010.20,

軍一U)~

A———

a=y-c-u=6.63+10.20X1.75=24.48,

所以y關(guān)于〃的線性回歸方程為

A

y=24.48—10.20〃，

即y關(guān)于x的回歸方程為

A

>'=24.48-10.201nx.

(3)由題意得

z=xy=x(24.48—10.201nx),

z'=[x(24.48-10.201nr)]/

=14.28-10.201IU,

令z'=0即14.28-10.201nx=0,

解得ln%=1.40,所以x^4.06.

當(dāng)xG(0,4.06)時(shí),z'>0,

所以z在(0,4.06)上單調(diào)遞增，

當(dāng)xG(4.06,+8)時(shí)，z'<0,

所以z在(4.06,+8)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)尤=4.06時(shí)，即季銷量)=10.20千本時(shí)，季利潤(rùn)總額預(yù)報(bào)值最