甘肅省天水市2021年中考數學模擬試題

甘肅省天水市中考數學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有

一個選項是正確的，請把正確的選項選出來）

1.（4分）已知同=1,6是2的相反數，貝!|a+b的值為（）

A.-3B.-IC.-1或-3D.I或-3

2.（4分）自然界中的數學不勝枚舉，如蜜蜂建造的蜂房既堅固又省料，其厚度為米，將用

科學記數法表示為（）

A.73X106B.X104C.X104D.X105

3.（4分）如圖所示，圓錐的主視圖是（)

4.（4分）一把直尺和一塊三角板/8C（含30°、60°角）如圖所示擺放，直尺一邊與三

角板的兩直角邊分別交于點D和點E,另一邊與三角板的兩直角邊分別交于點尸和點兒

且NCED=50°,那么N瓦弘的大小為（）

A.145°B.140°C.135°D.130°

5.（4分）下列運算正確的是（）

A.（aZ?）2—a2b2B.a2+a2—a4C.（a2）3—a5D.a2*a3—a6

6.（4分）已知a+b=則代數式2a+26-3的值是（）

1

A.2B.-2C.-4D.-3-

7.（4分）如圖，正方形內的圖形來自中國古代的太極圖，現隨機向正方形內擲一枚

小針，則針尖落在黑色區(qū)域內的概率為（）

11TCTC

A.-B.-C.TD.—

4284

8.（4分）如圖，等邊△0/8的邊長為2,則點8的坐標為（）

A.(1,1)B.(1,V3)C.(V3,1)D.(V3,V3)

9.（4分）如圖，四邊形是菱形，。。經過點/、C、D,與8c相交于點E,連接

AC.AE.若/。=80°,則/以1C的度數為（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

10.（4分）已知點尸為某個封閉圖形邊界上一定點，動點M從點P岀發(fā)，沿其邊界順時針

勻速運動一周，設點"的運動時間為x,線段尸M的長度為力表示y與x的函數圖象大

致如圖所示，則該封閉圖形可能是（）

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分。只要求填寫最后結果）

11.（4分）函數、=2中,自變量x的取值范圍是.

12.（4分）分式方程二7—2=0的解是.

13.（4分）一組數據，，，，a.其中整數。是這組數據中的中位數，則這組數據的平均數

是.

14.（4分）中國“一帶一路”給沿線國家和地區(qū)帶來很大的經濟效益，沿線某地區(qū)居民2016

年人均年收入20000元，到2018年人均年收入達到39200元.則該地區(qū)居民年人均收入

平均增長率為.（用百分數表示）

15.（4分）二次函數歹=4『+加：+<?的圖象如圖所示，若M=4a+2b,N=a-b.則A/、N的

大小關系為MN.（填“〉”、“=”或“<”）

16.（4分）如圖，在平面直角坐標系中，已知經過原點。，與x軸、y軸分別交于N、

B兩點,8點坐標為（0,2V3）,OC與。。交于點C,/0。=30°,則圓中陰影部分

的面積為.（結果保留根號和TT）

17.（4分）如圖，在矩形中，AB=3,AD=5,點E在。C上，將矩形48C。沿/￡

折疊，點。恰好落在8c邊上的點F處，那么sin/MC的值為.

18.（4分）觀察下列圖中所示的一系列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第

2019個圖形中共有個。.

三、解答題（本大題共3小題，共28分，解答時寫出必要的文字說明及演算過程）

19.（10分）（1）計算：（-2）3+VTS-2sin30°+（2019-TT）°+|V3-4|

（2）先化簡，再求值：（等一1）+?2L，其中x的值從不等式組七的整

立xz+xxz+2x+l（2%—1<5

數解中選取.

20.（8分）天水市某中學為了解學校藝術社團活動的開展情況，在全校范圍內隨機抽取了

部分學生，在“舞蹈、樂器、聲樂、戲曲、其它活動"項目中，圍繞你最喜歡哪一項活

動（每人只限一項）進行了問卷調查，并將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統計圖.請

你根據統計圖解答下列問題：

（1）在這次調查中，一共抽查了名學生.

（2）請你補全條形統計圖.

（3）扇形統計圖中喜歡“樂器”部分扇形的圓心角為度.

（4）請根據樣本數據，估計該校1200名學生中喜歡“舞蹈”項目的共多少名學生？

21.（10分）如圖，一次函數^=履+6與反比例函數的圖象交于/（w,4）、B（2,”）

兩點，與坐標軸分別交于A/、N兩點.

（1）求一次函數的解析式；

（2）根據圖象直接寫出6+6-9>0中x的取值范圍；

（3）求△Z08的面積.

四、解答題（本大題共50分解答時寫出必要的演算步驟及推理過程）

22.（7分）某地的一座人行天橋如圖所示，天橋高為6米，坡面的坡度為1：1,文化

墻尸”在天橋底部正前方8米處的長），為了方便行人推車過天橋，有關部門決定

降低坡度，使新坡面的坡度為1：V3.（參考數據：V2?,V3?）

（1）若新坡面坡角為a,求坡角a度數；

（2）有關部門規(guī)定，文化墻距天橋底部小于3米時應拆除，天橋改造后，該文化墻尸〃

是否需要拆除？清說明理由.

23.（10分）天水某景區(qū)商店銷售一種紀念品，這種商品的成本價10元/件，己知銷售價不

低于成本價，且物價部門規(guī)定這種商品的銷售價不高于16元/件，市場調查發(fā)現，該商

品每天的銷售量y（件）與銷售價x（元/件）之間的函數關系如圖所示.

（1）求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍：

（2）求每天的銷售利潤%（元）與銷售價x（元/件）之間的函數關系式，并求出每件銷

售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

24.（10分）如圖，AB、NC分別是的直徑和弦，丄4c于點D.過點力作。。的切

線與

0。的延長線交于點P,PC、的延長線交于點凡

(1)求證：PC是的切線；

(2)若//BC=60°,AB=\Q,求線段CF的長.

25.(10分)如圖1,對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)概念理解：如圖2,在四邊形中，AB=AD,CB=CD,問四邊形是垂

美四邊形嗎？請說明理由；

(2)性質探究：如圖1,四邊形N8CD的對角線4C、83交于點O,ACLBD.試證明：

AB2+CD2=AD2+BC2；

(3)解決問題:如圖3,分別以的直角邊ZC和斜邊為邊向外作正方形4C尸G

和正方形連結CE、BG、GE.已知/C=4,AB=5,求GE的長.

26.(13分)如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經過點/(-3,0)、B(9,0)和C(0,4),

8垂直于y軸，交拋物線于點。，OE垂直于x軸，垂足為E,直線/是該拋物線的對稱

軸，點廠是拋物線的頂點.

(1)求出該二次函數的表達式及點。的坐標；

(2)若RtZMOC沿x軸向右平移，使其直角邊OC與對稱軸/重合，再沿對稱軸/向上

平移到點C與點尸重合，得到Rt^/hOi尸，求此時Rt^ZiOF與矩形OCDE重疊部分圖

形的面積；

(3)若RtZ\/OC沿x軸向右平移f個單位長度(0<fW6)得到RtAy42(92C2,RtA^2O2C2

與RtZSOE。重疊部分圖形的面積記為S,求S與f之間的函數表達式，并寫出自變量f

的取值范圍.

甘肅省天水市中考數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有

一個選項是正確的，請把正確的選項選出來)

1.(4分)已知同=1,6是2的相反數，貝Ua+b的值為()

A.-3B.-1C.-1或-3D.1或-3

【解答】解：?.?鬧=1,6是2的相反數，

.,.4=1或a=-l,b--2,

當。=1時，a+b—l-2--1；

當a=-1時，a+b=-1-2=-3；

綜上，a+b的值為-1或-3,

故選：C.

2.（4分）自然界中的數學不勝枚舉，如蜜蜂建造的蜂房既堅固又省料，其厚度為米，將用

科學記數法表示為（）

A.73X10-6B.X10-4C.X10-4D.X10-5

【解答】解：用科學記數法表示為X10P,

故選：D.

3.（4分）如圖所示，圓錐的主視圖是（）

【解答】解：圓錐的主視圖是等腰三角形，如圖所示:

故選：A.

4.（4分）一把直尺和一塊三角板Z8C（含30°、60°角）如圖所示擺放，直尺一邊與三

角板的兩直角邊分別交于點D和點E,另一邊與三角板的兩直角邊分別交于點尸和點4

且NCED=50°,那么N8必的大小為（）

A.145°B.140°C.135°D.130°

【解答】解：NFDE=NC+NCED=90°+50°=140°,

'：DE//AF,

：.ZBFA=ZFDE=140°.

故選：B.

5.（4分）下列運算正確的是（）

A.（ah'）2—a2h2B.a2+a2=a4C.（a2）3=a5D.a2,a3=a（＞

【解答】解：

/選項，積的乘方：（ab）'Wb?,正確

8選項，合并同類項：。2+片=2次，錯誤

C選項,幕的乘方:（『）3=看,錯誤

。選項，同底數幕相乘：。2./=°5,錯誤

故選：A.

6.（4分）已知”+6=今則代數式2a+26-3的值是（）

1

A.2B.-2C.-4D.-3-

【解答】解:

2a+2b-3=2(a+h)-3,

11

???將〃+6=/代入得：2乂*-3=-2

故選：B.

7.（4分）如圖，正方形Z8C。內的圖形來自中國古代的太極圖,現隨機向正方形內擲一枚

小針，則針尖落在黑色區(qū)域內的概率為（)

11

--n71

A.4B.2C-8D-4

【解答】解：設正方形的邊長為2”,

針尖落在黑色區(qū)域內的概率=J—=I.

4a，o

故選：C.

8.（4分）如圖，等邊△0/8的邊長為2,則點8的坐標為（)

A.(1,1)B.(1,V3)C.(V3,I)D.(V3,V3)

【解答】解：過點8作8,丄/。于，點，???△0/5是等邊三角形,

BH=V3.

.?.點8的坐標為（1,V3）.

故選：B.

9.（4分）如圖，四邊形"88是菱形，。。經過點力、C、D,與8c相交于點E,連接

AC.AE.若/。=80°,則NE/C的度數為（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

【解答】解：???四邊形/BCD是菱形,ZZ)=80°,

11

:.ZACB=RDCB=*(180。-ZD)=50。，

V四邊形AECD是圓內接四邊形,

AZAEB=ZD=80°,

：.NEAC=NAEB-N4CE=3Q°,

故選：C.

10.（4分）已知點尸為某個封閉圖形邊界上一定點，動點/從點P出發(fā)，沿其邊界順時針

勻速運動一周，設點M的運動時間為x,線段的長度為y,表示y與x的函數圖象大

致如圖所示，則該封閉圖形可能是（）

OQo△

A.7B.pC.p*D.p

【解答】解：y與x的函數圖象分三個部分，而8選項和C選項中的封閉圖形都有4條

線段，其圖象要分四個部分，所以8、C選項不正確；

力選項中的封閉圖形為圓，開始y隨x的增大而增大，然后y隨x的減小而減小，所以4

選項不正確；

。選項為三角形，M點在三邊上運動對應三段圖象，且M點在P點的對邊上運動時，PM

的長有最小值.

故選：D.

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分。只要求填寫最后結果）

11.（4分）函數y=V*—2中,自變量x的取值范圍是x22.

【解答】解：依題意，得x-2》0,

解得：x22,

故答案為：x》2.

12,

12.（4分）分式方程—：——=（）的解是x=2.

x—1x

【解答】解:

X—2(x—1)

原式通分得:=0

x(xT)

去分母得：x-2(x-1)=0

去括號解得，x=2

經檢驗，x=2為原分式方程的解

故答案為x=2

13.（4分）一組數據，，，，其中整數a是這組數據中的中位數，則這組數據的平均數是

5

【解答】解：???整數。是這組數據中的中位數,

.??4=4,

.?.這組數據的平均數=/（）=5?

故答案為5.

14.（4分）中國“一帶一路”給沿線國家和地區(qū)帶來很大的經濟效益，沿線某地區(qū)居民2016

年人均年收入20000元，到2018年人均年收入達到39200元.則該地區(qū)居民年人均收入

平均增長率為40%.（用百分數表示）

【解答】解：設該地區(qū)居民年人均收入平均增長率為X,

20000（1+x）2=39200,

解得，Xl=,X2=-（舍去），

，該地區(qū)居民年人均收入平均增長率為40%,

故答案為：40%.

15.（4分）二次函數^=4/+云+。的圖象如圖所示，若A/=4a+2b,N=a-b.則M、N的

大小關系為〃<N.（填或“<”）

【解答】解：當工=-1時，y=a-h+c>0,

當x=2時，y^4a+2b+c<0,

M-N=4a+2b-（a-b）

=4a+2b+c-（a-b+c）<0,

即M<N,

故答案為：V

16.（4分）如圖，在平面直角坐標系中，己知。。經過原點。，與x軸、夕軸分別交于/、

8兩點，8點坐標為（0,2V3）,0c與交于點C,ZOCJ=30°,則圓中陰影部分

的面積為2n-2H.（結果保留根號和n）

【解答】解：連接48,

：405=90°,

：.AB是直徑，

根據同弧對的圓周角相等得/OR4=NC=30°,

：。8=2技

/.OA=OBtanAABO^O5tan300=2遅x孚=2,/8=ZO+sin30°=4,即圓的半徑為

2,

陰影=S羋囲-S"BO=-1X2X2V3=2TT-26.

故答案為：2n-2g.

17.（4分）如圖，在矩形N8CZ）中，48=3,40=5,點E在。C上，將矩形/8CD沿4E

4

折疊，點。恰好落在8c邊上的點F處，那么sin/EFC的值為

【解答】解：?.?四邊形/8CC為矩形，

：.AD=BC=5,AB=CD=3,

?.?矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在8c邊上的尸處，

：.AF^AD^5,EF=DE,

在Rt"BF中，BF=\/AF2-AB2=4,

:*CF=BC-BF=5-4=1,

設CE=x,貝iJZ）E=EF=3-x

在RtA￡CF中，VCE2+FC2^EF2,

.*.x2+l2=（3-x）2,解得x=|,

:.EF=3-x=I，

CF4

/.sinZEFC=前=耳.

4

故答案為：

18.（4分）觀察下列圖中所示的一系列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第

2019個圖形中共有6058個O.

【解答】解：由圖可得，

第1個圖象中。的個數為：1+3X1=4,

第2個圖象中O的個數為：1+3X2=7,

第3個圖象中O的個數為：1+3X3=10,

第4個圖象中。的個數為：1+3X4=13,

...第2019個圖形中共有：1+3X2019=1+6057=6058個O,

故答案為：6058.

三、解答題（本大題共3小題，共28分，解答時寫出必要的文字說明及演算過程）

19.（10分）（1）計算：（-2）3+ag-2sin30°+（2019-n）°+|V3-4|

X2_if—X<1

⑵先化簡,再求值：（不7）一品r今,其中x的值從不等式組［“二<5的整

數解中選取.

【解答】解：（1）原式=-8+4-2X*+1+4—V3

=-8+4-1+1+4—V3

=-V3；

%—%2—

（2）原式=

X(%+1)X-1

X，+1

X

-l-xf

(―X<1

解不等式組,~不得-lWx<3,

(2%—1<5

則不等式組的整數解為-1、0、1、2,

Vx^±l,xHO,

??x=2f

則原式=之=一2.

20.（8分）天水市某中學為了解學校藝術社團活動的開展情況，在全校范圍內隨機抽取了

部分學生，在“舞蹈、樂器、聲樂、戲曲、其它活動”項目中，圍繞你最喜歡哪一項活

動（每人只限一項）進行了問卷調查，并將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統計圖.請

你根據統計圖解答下列問題：

（1）在這次調查中，一共抽杳了次名學生.

（2）請你補全條形統計圖.

（3）扇形統計圖中喜歡“樂器”部分扇形的圓心角為一度.

（4）請根據樣本數據，估計該校1200名學生中喜歡“舞蹈”項目的共多少名學生？

【解答】解:（1）8+16%=50,

所以在這次調查中，一共抽查了50名學生；

（2）喜歡戲曲的人數為50-8-10-12-16=4（人），

條形統計圖為：

（3）扇形統計圖中喜歡“樂器”部分扇形的圓心角的度數為360°；

故答案為50；；

17

（4）1200=288,

所以估計該校1200名學生中喜歡“舞蹈”項目的共288名學生.

4

21.（10分）如圖，一次函數》=公什6與反比例函數歹=亍的圖象交于力（加，4）、B（2,n）

兩點，與坐標軸分別交于〃、N兩點.

（I）求一次函數的解析式；

（2）根據圖象直接寫出去+6—*>0中x的取值范圍；

（3）求△408的面積.

【解答】解：（1）：點/在反比例函數上，

4

—=4,解得"7=1,

m

二點4的坐標為（1,4）,

又?.?點8也在反比例函數y=（上，

4

=〃，解得〃=2,

???點5的坐標為（2,2）,

又：點4、8在歹=b+b的圖象上，

噓工，解得仁/

一次函數的解析式為y=-2x+6.

（2）根據圖象得：fcv+8一］>0時，x的取值范圍為xVO或1<XV2；

（3）?.?直線y=-2x+6與x軸的交點為N,

.?.點N的坐標為（3,0）,

11

S&AOB=S&AON-S^BON=2x3X4-）x3X2=3.

四、解答題（本大題共50分解答時寫出必要的演算步驟及推理過程）

22.（7分）某地的一座人行天橋如圖所示，天橋高為6米，坡面8c的坡度為1：1,文化

墻尸團在天橋底部正前方8米處（P8的長），為了方便行人推車過天橋，有關部門決定

降低坡度，使新坡面的坡度為1：V3.（參考數據：V2?,V3?）

（1）若新坡面坡角為a,求坡角a度數；

（2）有關部門規(guī)定，文化墻距天橋底部小于3米時應拆除，天橋改造后，該文化墻尸M

是否需要拆除？請說明理由.

【解答】解：(1)???新坡面坡角為a,新坡面的坡度為1：V3,

..173

,?tana=75=T'

...a=30°；

(2)該文化墻尸歷不需要拆除，

理由：作CD丄于點。，則。=6米，

:新坡面的坡度為1：V3,

.?.*tan/宀/C八3而CD=而6=后1

解得，/。=6百米，

?.?坡面8。的坡度為1：1,8=6米，

.*.8。=6米，

:.AB=AD-BD=(6V3-6)米，

又?.?尸8=8米，

：.PA=PB-AB=8-(6V3-6)=14-6b#14-6X七米＞3米，

...該文化墻尸M不需要拆除.

23.(10分)天水某景區(qū)商店銷售一種紀念品，這種商品的成本價10元/件，已知銷售價不

低于成本價，且物價部門規(guī)定這種商品的銷售價不高于16元/件，市場調查發(fā)現，該商

品每天的銷售量y(件)與銷售價x(元/件)之間的函數關系如圖所示.

(1)求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)求每天的銷售利潤〃(元)與銷售價x(元/件)之間的函數關系式，并求出每件銷

售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

【解答】解：(1)設y與x的函數解析式為＞=丘+6,

將(10,30)、(16,24)代入，得:隱步

116k+匕=24

解得：仁,

S=40

所以y與x的函數解析式為y=-x+40(100W16)；

(2)根據題意知，少=(x-10)y

=(x-10)(-x+40)

=-X2+50X-400

=-(X-25)2+225,

-KO,

.?.當xV25時,少隨x的增大而增大，

...當x=16時，沙取得最大值，最大值為144,

答：每件銷售價為16元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是144元.

24.(10分)如圖，AB、ZC分別是的直徑和弦，丄/C于點。.過點/作的切

線與

0。的延長線交于點P,PC、的延長線交于點R

(1)求證：PC是OO的切線；

(2)若/Z8C=60°,4B=10,求線段CF的長.

【解答】解：(1)連接0C,

'：OD±AC,經過圓心。，

；.AD=CD,

:.PA=PC,

在△0/尸和△OCP中，

0A=0C

'：\PA=PC,

,OP=OP

.?.△0/P空△OCP(SSS),

：.ZOCP=ZOAP

是。。的切線，

：.ZOAP=90°.

；./OCP=90°,

即OCLPC

是。。的切線.

(2)'：OB=OC,NO8C=60°,

...△08C是等邊三角形，

：.ZCOB=60°,

"：AB=10,

；.OC=5,

由（I）知ZO"=90°，

CF=OCtanZCOB=5y/3.

25.（10分）如圖1,對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）概念理解：如圖2,在四邊形力8c。中，AB=AD,C8=CO,問四邊形Z88是垂

美四邊形嗎？請說明理由；

（2）性質探究：如圖1,四邊形N8CD的對角線4C、83交于點O,ACLBD.試證明：

AB2+CD2=AD2+BC2；

（3）解決問題:如圖3,分別以的直角邊ZC和斜邊為邊向外作正方形4C尸G

和正方形連結CE、BG、GE.已知/C=4,AB=5,求GE的長.

【解答】解：（1）四邊形/8CQ是垂美四邊形.

證明：'.'AB—AD,

...點A在線段BD的垂直平分線上，

'：CB=CD,

點C在線段BD的垂直平分線上，

直線AC是線段BD的垂直平分線，

：.ACLBD,即四邊形/8CO是垂美四邊形；

（2）猜想結論：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等.

如圖2,已知四邊形48CZ）中，AC丄BD,垂足為E,

求證：AD1+BC2=AB2+CD2

證明：；4c丄BD,

：.ZAED=ZAEB=ZBEC=ZCED=90Q,

由勾股定理得，AD2+BC2^AE2+DE2+BE2+CE2,

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2,

:.AD2+BC2=AB2+CD2；

故答案為：AD2+BC2^AB2+CD2.

（3）連接CG、BE,

:NCAG=NBAE=90°,

NCAG+NBAC=ZBAE+ZBAC,即NG4B=NCAE,

AG=AC

在△GZ8和中，,NGAB=/CAE,

.AB=AE

：,^GAB^/\CAE(S4S),

：.N4BG=NAEC,又NAEC+NAME=90°,

AZABG+ZAME=90°,即CE丄BG,

四邊形CGE8是垂美四邊形，

莊|⑵得，CG2+BE2^CB2+GE2,

*C=4,4B=5,

:.BC=3,CG=4V2,BE=5近,

：.GE2=CG2+BE2-CB2=13,

：.GE=y/73.

26.(13分)如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經過點/(-3,0)、B(9,0)和C(0,4),

8垂直于y軸，交拋物線于點。，OE垂直于x軸，垂足為E,直線/是該拋物線的對稱

軸，點廠是拋物線的頂點.

(1)求出該二次函數的表達式及點。的坐標；

(2)若RtZMOC沿x軸向右平移，使其直角邊OC與對稱軸/重合，再沿對稱軸/向上

平移到點C與點尸重合，得到Rt^/hOi尸，求此時Rt^ZiOF與矩形OCDE重疊部分