初中數學旋轉問題

2024/4/71三.本章的課程學習目標ABC旋轉

①了解圖形的旋轉，理解對應點到旋轉中心的距離相等、對應點與旋轉中心連線所成的角彼此相等的性質；②會識別中心對稱圖形.

①能按要求作出簡單平面圖形旋轉后的圖形，②能依據旋轉前、后的圖形，指出旋轉中心和旋轉角.

①

能利用旋轉進行圖案設計；②能運用旋轉的知識解決簡單問題.2024/4/72★研究對象的選擇：方案二：點——線段——三角形等2.關于旋轉的性質的探究：第一課時：建構概念，探究性質.2024/4/73

舉例：1.如圖，△ABC為等邊三角形，D是△ABC內一點，若將△ABD經過旋轉后到△ACP位置，則旋轉中心是___，旋轉角等于___度，△ADP是___三角形.3.關于旋轉的概念和性質的簡單應用：第一課時：建構概念，探究性質.2.如圖,正方形ABCD中，E是AD上一點，將△CDE逆時針旋轉后得到△CBM.則旋轉中心是___，△CDE旋轉了___度,△CEM是___三角形.2024/4/74

舉例：3.如圖所示，把一個直角三角尺ACB繞著30°角的頂點B順時針旋轉，使得點A落在CB的延長線上的點E處，則∠BDC的度數為

．3.關于旋轉的概念和性質的簡單應用：第一課時：建構概念，探究性質.2024/4/75

利用旋轉的定義和性質作圖．第二課時：簡單作圖，加深理解.★點的旋轉：

舉例：畫出點P繞點O順（或逆）時針旋轉30°（或45°、

60°）后的對應點.2024/4/76

利用旋轉的定義和性質作圖．第二課時：簡單作圖，加深理解.★線段的旋轉：舉例：畫出線段AB繞點A（或點B、點O）順（或逆）時針旋轉30°

（或45°、

60°）后的圖形.2024/4/77

利用旋轉的定義和性質作圖．第二課時：簡單作圖，加深理解.★三角形的旋轉：舉例：畫出△ABC繞點C逆（或順）時針旋轉90°（或180°）后的圖形.2024/4/78

利用旋轉的定義和性質作圖．第二課時：簡單作圖，加深理解.★其它圖形的旋轉：

圖形的旋轉點的旋轉轉化2024/4/79

利用旋轉的定義和性質作圖．第二課時：簡單作圖，加深理解.2024/4/710

利用旋轉的定義和性質作圖．第二課時：簡單作圖，加深理解.FDCBAE圖1G2G1P1HP22024/4/711

利用旋轉的定義和性質作圖．第二課時：簡單作圖，加深理解.2024/4/712－－從變換的高度分析問題；從運動的觀點看待圖形.3.怎么旋轉？確定旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度.

第三、四課時：利用旋轉變換解決幾何問題.4.旋轉之后怎么辦？利用旋轉的性質.90°等腰直角三角形60°等邊三角形2024/4/713第三、四課時：利用旋轉變換解決幾何問題.－－從變換的高度分析問題；從運動的觀點看待圖形.★對基本圖形的認識：2024/4/714第三、四課時：利用旋轉變換解決幾何問題.－－從變換的高度分析問題；從運動的觀點看待圖形.★以等邊三角形為背景的旋轉問題舉例1：如圖，△BCM中，∠BMC＝120°，以BC為邊向三角形外作等邊△ABC，把△ABM繞著點A按逆時針方向旋轉60°到△CAN的位置.若BM＝2，MC＝3.求：①∠AMB的度數；②求AM的長.2024/4/715第三、四課時：利用旋轉變換解決幾何問題.－－從變換的高度分析問題；從運動的觀點看待圖形.★以等邊三角形為背景的旋轉問題舉例2：如圖，已知△ABC為等邊三角形，M為三角形外任意一點，證明：AM≤BM+CM.2024/4/716第三、四課時：利用旋轉變換解決幾何問題.－－從變換的高度分析問題；從運動的觀點看待圖形.★以等邊三角形為背景的旋轉問題舉例3：已知：如圖，P為等邊三角形ABC內一點，PA=3，PB=4，PC=5,求∠ABP的度數.2024/4/717第三、四課時：利用旋轉變換解決幾何問題.－－從變換的高度分析問題；從運動的觀點看待圖形.★以等邊三角形為背景的旋轉問題舉例4：2024/4/718第三、四課時：利用旋轉變換解決幾何問題.－－從變換的高度分析問題；從運動的觀點看待圖形.★以等邊三角形為背景的旋轉問題舉例5：舉例1：已知，△ABC中,AD⊥BC于D,

且AD=BD,O是AD上一點，OD=CD,連結BO并延長交AC于E.求證：AC=OB－－從變換的高度分析問題；從運動的觀點看待圖形.★以等腰直角三角形或正方形為背景的旋轉問題第三、四課時：利用旋轉變換解決幾何問題.舉例2：如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，∠EDF=45°，求△DEF的周長.－－從變換的高度分析問題；從運動的觀點看待圖形.★以等腰直角三角形或正方形為背景的旋轉問題第三、四課時：利用旋轉變換解決幾何問題.舉例3：如圖，D為等腰直角三角形ABC的斜邊BC上一點，求證：

－－從變換的高度分析問題；從運動的觀點看待圖形.★以等腰直角三角形或正方形為背景的旋轉問題第三、四課時：利用旋轉變換解決幾何問題.第三課時：發(fā)現旋轉，提升認識.－－從變換的高度分析問題；從運動的觀點看待圖形.★以等腰直角三角形或正方形為背景的旋轉問題第三課時：發(fā)現旋轉，提升認識.－－從變換的高度分析問題；從運動的觀點看待圖形.★以等腰直角三角形或正方形為背景的旋轉問題舉例4：如圖，正方形ABCD和正方形OEFG的邊長均為4，O是正方形ABCD的旋轉對稱中心，求圖中陰影部分的面積．

2024/4/724舉例5：如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．解答下列問題：（1）如果AB=AC，∠BAC=90o．①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關系為

，數量關系為

．②當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結論是否仍然成立，為什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90o，點D在線段BC上運動．試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）？畫出相應圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）－－從變換的高度分析問題；從運動的觀點看待圖形.★以等腰直角三角形或正方形為背景的旋轉問題第三、四課時：利用旋轉變換解決幾何問題.2024/4/725－－從變換的高度分析問題；從運動的觀點看待圖形.★以等腰直角三角形或正方形為背景的旋轉問題第三、四課時：利用旋轉變換解決幾何問題.圖甲圖乙圖丙－－從變換的高度分析問題；從運動的觀點看待圖形.★以一般等腰三角形為背景的旋轉問題舉例1:(1)如圖①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC內部任意一點，將AP繞A順時針旋轉至AQ，使∠QAP=∠BAC，連接BQ、CP，求證：BQ=CP.(2)將點P移到等腰三角形ABC之外，(1)中的條件不變，“BQ=CP”還成立嗎？圖①圖②第三、四課時：利用旋轉變換解決幾何問題.－－從變換的高度分析問題；從運動的觀點看待圖形.★以一般等腰三角形為背景的旋轉問題舉例2：在等腰△ABC中，AB＝AC，D是△ABC內一點，∠ADB＝∠ADC，求證：∠DBC＝∠DCB.第三、四課時：利用旋轉變換解決幾何問題.第三課時：發(fā)現旋轉，提升認識.－－從變換的高度分析問題；從運動的觀點看待圖形.1.當旋轉角是60°時，作一個圖形旋轉后的圖形的存在等邊三角形；當旋轉角是90°時，存在等腰直角三角形.反之，如果圖形中存在兩個等邊三角形或等腰直角三角形，可以從圖形旋轉的角度分析圖形關系.2.事實上，只要圖形中存在公共端點的等線段，就可能形成旋轉型問題.注意：要抓住本質，不要將其模式化.第三課時：發(fā)現旋轉，提升認識.－－從變換的高度分析問題；從運動的觀點看待圖形.舉例：已知：如圖，正方形ABCD內點P到A，B，C三點的距離之和的最小值為

.

求此正方形的邊長.2024/4/730第二課時：中心對稱圖形.舉例：下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是()A． B．C． D．識別2024/4/731第二課時：中心對稱圖形.舉例：如圖是

正方形網格，請在其中選取一個白色的單位正方形并涂黑，使圖中黑色部分是一個中心對稱圖形．設計2024/4/732第三課時：關于原點對稱的點的坐標.舉例：

已知：如圖，△ABC中，A（-2，3），B（-3，1），C（-1，2）．請畫出△ABC關于原點O對稱的△A1B1C1.數形結合ABCOxy另：在這一節(jié)中也可借助直角坐標系探究發(fā)現中心對稱和軸對稱之間的關系.★若兩對稱軸互相垂直,則兩次軸對稱相當于一次中心對稱.第三課時：關于原點對稱的點的坐標.2024/4/734第三課時：關于原點對稱的點的坐標.

★旋轉和軸對稱的關系：將一個圖形關于兩條相交直線軸對稱兩次，則可得到原圖形關于兩直線交點的旋轉兩倍夾角后的圖形.2024/4/735第四課時：中心對稱的應用.－－從變換的高度分析問題；從運動的觀點看待圖形.E主要內容：1.構造中心對稱解決幾何問題.對基本圖形的認識：要解決好三個問題：●為什么要構造中心對稱？●怎么構造？●構造后怎么用？切忌把問題模式化，例如：倍長中線法2024/4/736第四課時：中心對稱的應用.－－從變換的高度分析問題；從運動的觀點看待圖形.舉例1：已知△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍.2024/4/737第四課時：中心對稱的應用.－－從變換的高度分析問題；從運動的觀點看待圖形.舉例2：已知：如圖，RtABC中，∠ACB=90°，

D為AB中點，DE、DF分別交AC于E,交BC于F，且DE⊥DF．求證：AE2+BF2=EF2．.2024/4/738第四課時：中心對稱的應用.－－從變換的高度分析問題；從運動的觀點看待圖形.舉例3:(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB>AC，點D是BC邊中點，過D作射線交AB于E，交CA延長線于F，請猜想∠F等于多少度時，BE=CF，并說明理由.2024/4/739第四課時：中心對稱的應用.－－從變換的高度分析問題；從運動的觀點看待圖形.舉例3:（2）在△ABC中，如果∠BAC不是直角，而（1）中的其他條件不變，若BE=CF的結論仍然成立，請寫出△AEF必須滿足的條件，并加以證明.2024/4/740第四課時：中心對稱的應用.－－從變換的高度分析問題；從運動的觀點看待圖形.舉例4：如圖已知Rt△ABC中，AB=AC，在Rt△ADE中，AD=DE，連結EC，取EC中點M，連結DM和BM，t探究線段BM和DM的數量