數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化-2024年新高考數(shù)學(xué)題型歸納與方法總結(jié) 解析版

數(shù)列與數(shù)學(xué)文化

一、知識(shí)點(diǎn)梳理

新課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)一步明確了數(shù)學(xué)文化在教學(xué)中的地位，數(shù)學(xué)文化作為素養(yǎng)考查的四大內(nèi)涵之一，以數(shù)學(xué)文化為

背景的試題將是新高考的考察內(nèi)容，數(shù)列與數(shù)學(xué)文化有著緊密的聯(lián)系，本專輯總結(jié)了數(shù)學(xué)文化在數(shù)列中出現(xiàn)

的真題和模擬題。

二、題型精講精練

廁工（單選題）（2022?全國(guó).統(tǒng)考高考真題）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，DD是桁，相鄰

桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中

是舉，Oa，DG,C5,3A是相等的步,相鄰桁的舉步之比分別為第=0.5,告=甌第=自,舞

C/Oj"Ai

=融.已知瓦能網(wǎng)成公差為01的等差數(shù)列，且直線04的斜率為0.725,則網(wǎng)=（）

圖1

A.0.75B.0.8

【答案】。

【分析】設(shè)0。尸。。尸。3尸34=1,則可得關(guān)于網(wǎng)的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng)?

【詳解】設(shè)ODkDC}=CBX=BA}=1,則CC產(chǎn)kuBB}=k2>AA}=fc3,

皿+CG+g+AA_

依題意，有fc—0.2=fcfc—0.1=總,且0.725,

3b3OR+DG+CBi+84―

所以+牛-0.3=0725,故自=0.9,故選：。

4

謝2（單選題）（2022.全國(guó).統(tǒng)考高考真題）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè),成為我國(guó)第

一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列｛b,｝：瓦=1

+—,b,—1H---^—―,b3—1H----4—，…，依此類推，其中a代N"（/c=1,2,…）.貝I］（）

0'七+2s+dr

A.6i<b5B.b3Vb8C.bG<b2D.bA<b7

【答案】。

【分析】根據(jù)四eN*（A:=L2,…），再利用數(shù)列也“｝與ak的關(guān)系判斷｛fej中各項(xiàng)的大小，即可求解.

【詳解】［方法一］:常規(guī)解法

因?yàn)?戶1<*（6=1,2,…）,

所以<Z|H■?-L,>———，得到仇>62,

。2?的+4

1*2

同理czi+—>-----^――,可得b2<b:i,&i>b;i

的g+工

的

又因?yàn)椤?gt;----—,電-|-----^—―<a［-\----^―：—,

右。2-1~71-的+不-7T

故b2Vb4,b3>b4;

以此類推，可得b：i>fe5>b>…,b7>6，故4錯(cuò)誤;

仇,b7Ab8,故8錯(cuò)誤；

—>----'—,得b.<瓦，故。錯(cuò)誤；

。）~_L1

a｝H-------—>ffiH-----------------j—，得b4Vb7,故D正確.

電+―7F電+----yr

的+苞為+匕

［方法二］:特值法

不妨設(shè)an-1,則瓦=2也=弓，b3-［"也=2,“5=圣也=77，b7-等b產(chǎn)整，b.t<b7故D正確.

2o0010Z1J4

【題型訓(xùn)練-刷模擬】

一、單頻

題目曰（2023?遼寧鞍山?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素?cái)?shù)的一種古老的方法.

這種方法是依次寫(xiě)出2和2以上的自然數(shù)，留下第一個(gè)數(shù)2不動(dòng)，剔除掉所有2的倍數(shù);接著，在剩余的數(shù)

中2后面的一個(gè)數(shù)3不動(dòng),剔除掉所有3的倍數(shù);接下來(lái),再在剩余的數(shù)中對(duì)3后面的一個(gè)數(shù)5作同樣處

理；……，依次進(jìn)行同樣的剔除.剔除到最后,剩下的便全是素?cái)?shù).在利用“埃拉托塞尼篩法”挑選2到20

的全部素?cái)?shù)過(guò)程中剔除的所有數(shù)的和為（）

A.130B.132C.134D.141

【答案】3

【分析】利用等差數(shù)列求和公式及素?cái)?shù)的定義即可求解.

【詳解】由題可知，2到20的全部整數(shù)和為S尸’9X（：+20）=209,

2到20的全部素?cái)?shù)和為$2=2+3+5+7+11+13+17+19=77,

所以挑選2到20的全部素?cái)?shù)過(guò)程中剔除的所有數(shù)的和為209—77=132.

故選：B.

題目乜〕（2023?廣東深圳??？级＃┧未凭茦I(yè)很發(fā)達(dá),為了存儲(chǔ)方便，酒缸是要一層一層堆起來(lái)的,形成堆

垛，用簡(jiǎn)便的方法算出堆垛中酒缸的總數(shù)，古代稱之為堆垛術(shù).有這么一道關(guān)于“堆垛”求和的問(wèn)題:將半

徑相等的圓球堆成一個(gè)三角垛,底層是每邊為幾個(gè)圓球的三角形,向上逐層每邊減少一個(gè)圓球，頂層為一

個(gè)圓球，記自上而下第九層的圓球總數(shù)為冊(cè),容易發(fā)現(xiàn)：Qi=1,02=3,。3=6,則aw—ar=（）

?2?

C.35D.30

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，歸納推理，第71層的圓球總數(shù)個(gè)數(shù)表達(dá)式，再將71=10,5,代入求解即可.

【詳解】當(dāng)n=l時(shí)，第1層的圓球總數(shù)為5=1,

當(dāng)71=2時(shí)，第2層的圓球總數(shù)為＜12=1+2=3,

當(dāng)n=3時(shí)，第3層的圓球總數(shù)為口3=1+2+3=6,

所以第ri層的圓球總數(shù)為a?=1+2+…+n=1J,

當(dāng)門(mén)=5時(shí)，a產(chǎn)號(hào)”=15,當(dāng)一1。時(shí)，即尸山等^=55,

故。1（）。5=40?

故選：B.

題目01（2023?湖南郴州.校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽,是歷史上首次

在卡塔爾和中東國(guó)家境內(nèi)舉行,也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足

球賽.某網(wǎng)站全程轉(zhuǎn)播了該次世界杯，為紀(jì)念本次世界杯，該網(wǎng)站舉辦了一針對(duì)本網(wǎng)站會(huì)員的獎(jiǎng)品派發(fā)活

動(dòng)，派發(fā)規(guī)則如下:①對(duì)于會(huì)員編號(hào)能被2整除余1且被7整除余1的可以獲得精品足球一個(gè);②對(duì)于不符

合①中條件的可以獲得普通足球一個(gè).已知該網(wǎng)站的會(huì)員共有1456人（編號(hào)為1號(hào)到1456號(hào)，中間沒(méi)有

空缺），則獲得精品足球的人數(shù)為（）

A.102B.103C.104D.105

【答案】C

【分析】將能被2整除余1且被7整除余1的正整數(shù)按從小到大排列所得的數(shù)列記為{a“},求出其通項(xiàng)，結(jié)

合條件列不等式求出結(jié)果.

【詳解】將能被2整除余1且被7整除余1的正整數(shù)按從小到大排列所得的數(shù)列記為{%},

由已知冊(cè)一1是2的倍數(shù)，也是7的倍數(shù)，

故a?—1為14的倍數(shù)，

所以an—l首項(xiàng)為0,公差為14的等差數(shù)列，

所以an—14n—13,

令1W1456，可得1414n-13&1456，又n€N*

解得14H&104,且nCN*,

故獲得精品足球的人數(shù)為104.

故選：C.

題目（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）離子是指原子由于自身或外界的作用而失去或得到一個(gè)或幾個(gè)電子后達(dá)到

的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，得到電子為陰離子，失去電子為陽(yáng)離子，在外界作用下陰離子與陽(yáng)離子之間可以相互轉(zhuǎn)化.

科學(xué)家們?cè)谠囼?yàn)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，在特定外界作用下，1個(gè)陰離子可以轉(zhuǎn)化為1個(gè)陽(yáng)離子和1個(gè)陰離子，1個(gè)陽(yáng)

?3?

離子可以轉(zhuǎn)化為1個(gè)陰離子，如果再次施加同樣的外界作用，又能產(chǎn)生同樣的轉(zhuǎn)化.若一開(kāi)始有1個(gè)陰離

子和1個(gè)陽(yáng)離子，則在9次該作用下，陰離子的個(gè)數(shù)為（）

A.87B.89C.91D.93

【答案】3

【分析】作用后的陽(yáng)離子個(gè)數(shù)是作用前陰離子個(gè)數(shù)，作用后的陰離子個(gè)數(shù)是作用前陰陽(yáng)離子個(gè)數(shù)之和，然

后逐次推斷即可.

【詳解】由題目知，作用后的陽(yáng)離子個(gè)數(shù)是作用前陰離子個(gè)數(shù)，作用后的陰離子個(gè)數(shù)是作用前陰陽(yáng)離子個(gè)

數(shù)之和。

現(xiàn)在有1個(gè)陰離子和1個(gè)陽(yáng)離子，經(jīng)過(guò)逐次作用后：

作用次數(shù)陽(yáng)離子個(gè)數(shù)陰離子個(gè)數(shù)

011

112

223

335

458

5813

61321

72134

83455

95589

則在9次該作用下，陰離子的個(gè)數(shù)為89.

故選：B.

題目%（2023?四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）“勾股樹(shù)”，也被稱為畢達(dá)哥拉斯樹(shù)，是根據(jù)勾股定理所畫(huà)出來(lái)的一個(gè)

可以無(wú)限重復(fù)的樹(shù)形圖形.如圖所示，以正方形ABCD的一邊為直角三角形的斜邊向外作一個(gè)等腰直角

三角形，再以等腰直角三角形的兩直角邊為正方形的邊長(zhǎng)向外作兩個(gè)正方形，如此繼續(xù)，若共得到127個(gè)

正方形，且4B=16,則這127個(gè)正方形中，最小的正方形邊長(zhǎng)為（）

A.1B.V2C.2D.2V2

【答案】。

【分析】由題意可得不同邊長(zhǎng)的正方形的個(gè)數(shù)，構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而可得小正方形

的種類數(shù)，再由正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以16為首項(xiàng)，烏為公比的等比數(shù)列，即可得到結(jié)果.

?4?

【詳解】依題意，不同邊長(zhǎng)的正方形的個(gè)數(shù)，構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以1+2+2?+…

+2rtT=127,即=127,解得九=7,即有7種邊長(zhǎng)不同的正方形；又正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以16為首項(xiàng)，

孚為公比的等比數(shù)列.

因此，最小的正方形邊長(zhǎng)&7=16x:2.

故選:。

題目音；（2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)家楊輝在其專著《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中,提出了

一些新的高階等差數(shù)列.其中二階等差數(shù)列是一個(gè)常見(jiàn)的高階等差數(shù)列、如數(shù)列2,4,7,11,16,從第二

項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差組成新數(shù)列2,3,4,5，新數(shù)列2,3,4,5為等差數(shù)列，則稱數(shù)列2,4,7,11,16

為二階等差數(shù)列，現(xiàn)有二階等差數(shù)列｛冊(cè)｝,其前七項(xiàng)分別為2,2,3,5,8,12,17.則該數(shù)列的第20項(xiàng)為

（）

A.173B.171C.155D.151

【答案】A

【分析】根據(jù)題意得到｛%｝的通項(xiàng)公式即可得到答案.

【詳解】根據(jù)題意得新數(shù)列為0,123,4…，則二階等差數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式為a,尸包二巴也+2,

雨19X18,0m

則的（）=——2---F2=173

故選：A.

題目?1（2023?湖北襄陽(yáng)?襄陽(yáng)四中?？既＃轫憫?yīng)國(guó)家號(hào)召，某地出臺(tái)了相關(guān)的優(yōu)惠政策鼓勵(lì)“個(gè)體經(jīng)

濟(jì)”.個(gè)體戶小王2022年6月初向銀行借了1年期的免息貸款8000元，用于進(jìn)貨，因質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，供不應(yīng)求.

據(jù)測(cè)算:他每月月底獲得的利潤(rùn)是該月初投入資金的20%,并且每月月底需扣除生活費(fèi)800元，余款作為

資金全部用于下月再進(jìn)貨,如此繼續(xù),預(yù)計(jì)到2023年5月底他的年所得收入（扣除當(dāng)月生活費(fèi)且還完貸

款）為（）元（參考數(shù)據(jù)：1.2%7.5,1.2%9）

A.35200B.43200C.30000D.32000

【答案】。

【分析】根據(jù)題意，由條件可得數(shù)列｛?+L4000｝是首項(xiàng)為4800,公比為1.2的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的

通項(xiàng)公式即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)2022年6月底小王手中有現(xiàn)款為a｝=（1+20%）x8000-800=8800元，

設(shè)2022年6月底為第一個(gè)月，以此類推，設(shè)第九個(gè)月底小王手中有現(xiàn)款為a?,第n+1個(gè)月月底小王手中

有現(xiàn)款為a?+1,

則a”+產(chǎn)1?2a,-800，即a?+I-4000=1.2（%—4000）,

所以數(shù)列｛冊(cè)+1—4000｝是首項(xiàng)為4800,公比為1.2的等比數(shù)列，

1]

/.52-4000=4800x1.2",即a12=4000+4800x1.2=40000,

年所得收入為40000-8000=32000元.

故選：D.

題目T]（2023?河南?洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）歐拉是18世紀(jì)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家之一,幾乎每個(gè)

數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字，例如初等幾何中的歐拉線、多面體中的歐拉定理、微分方程中的歐拉方

程，以及數(shù)論中的歐拉函數(shù)等等.個(gè)數(shù)叫互質(zhì)數(shù)）的正整數(shù)（包括1）的個(gè)數(shù)，記作@5）.例如:小于或等

于4的正整數(shù)中與4互質(zhì)的正整數(shù)有1,3這兩個(gè)，即。（4）=2.記&為數(shù)列m（6"）｝的前n項(xiàng)和,則Si2=

■5?

（）

A.4（312+212）B.1-（612-1）C.^-（312+1）D.-y（312-l）

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，得到『（6"）=2x6"T,結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.

【詳解】由題意，若正整數(shù)TH&6",且與6"不互質(zhì)，則這個(gè)數(shù)為偶數(shù)或3的倍數(shù)，共有春x6”個(gè)，所以p（6"）

=:X6"=2X6"T,

M

即數(shù)列｛w（6"）｝是首項(xiàng)為2,公比為6的等比數(shù)列，所以SM=二）='（臚-1）.

o-10

故選：B.

題目§）（2023?浙江溫州?樂(lè)清市知臨中學(xué)?？级＃皸钶x三角”是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)成就，如圖是由“楊

輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記冊(cè)為圖中虛線上的數(shù)1,3,6,10,…構(gòu)成的數(shù)列｛%｝的第ri項(xiàng)，則aso的

值為（）

A.1275B.1276C.1270D.1280

【答案】/

【分析】根據(jù)題意分析可得即一%T=n,n>2,利用累加法運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得：Q產(chǎn)四=2,的一。2=3,4—。3=4,…,即即一“_]=n,n>2,

所以&0=%+（。2—。1）+…+（。49-g8）+（Qso—。伏））=1+2+…+49+50=---=1275.

故選：4

題目工1（2023?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）北宋大科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術(shù)”，就是關(guān)于高

階等差數(shù)列求和的問(wèn)題.現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有1個(gè)貨物，第二層比第一層多2個(gè),第三層

比第二層多3個(gè)，以此類推，記第九層貨物的個(gè)數(shù)為即,則數(shù)列（包名

的前2023項(xiàng)和為（）

I嫌

卜2口-（忐月B,2"（矗）]C.4"（嬴月D.4[1-（忐月

【答案】。

（分析】由累加法可得4,利用裂項(xiàng)相消求和法求出snf即可得解.

【詳解】由題意知電一。1=2,的一。2=3,…,廝一%_尸九，n>2,nEN*且的=1,

則由累加法可知，%—。尸2+3+…+九,

所m以一*1-+2c+?“—+.九-（九^一1-）=n（"n+^l）"2'n+kl=；4^（2九7+1）=J心11

（九+I）?_

S=41l———----—H---F—-----------1=411---------1

nI22222〃n2（n+l）2J⑺+1/卜

16,

.,.S2023=4[1-(^J)].

故選：D.

題目（2023?湖南長(zhǎng)沙?長(zhǎng)沙一中?？寄M預(yù)測(cè)）等比數(shù)列的歷史由來(lái)已久，我國(guó)古代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)《孫子算

經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《算法統(tǒng)宗》中都有相關(guān)問(wèn)題的記載.現(xiàn)在我們不僅可以通過(guò)代數(shù)計(jì)算來(lái)研究等比數(shù)

歹U,還可以構(gòu)造出等比數(shù)列的圖象,從圖形的角度更為直觀的認(rèn)識(shí)它.以前n項(xiàng)和為S“，且％>0,0Vq

<1的等比數(shù)列｛冊(cè)｝為例，先畫(huà)出直線OQ：y=qx,并確定重軸上一點(diǎn)4］（5,0）,過(guò)點(diǎn)4作y軸的平行

線,交直線OQ于點(diǎn)打,則AR=axq.再過(guò)點(diǎn)P、作平行于x軸，長(zhǎng)度等于aq的線段R%,……，不斷重復(fù)

上述步驟,可以得到點(diǎn)列｛￡｝,｛%｝和｛4“｝.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

2

A.\A2A3\=aiqB.括蕾

C.點(diǎn)A,的坐標(biāo)為(S,“0)D.\PnAn\=Sn-at

【答案】。

【分析】根據(jù)題設(shè)描述，確定題圖中相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合直線斜率定義、等比數(shù)列前71項(xiàng)和判斷各項(xiàng)

的正誤即可.

【詳解】選項(xiàng)A,由題設(shè)及圖象知：|44|=|￡朋3|=|只％|故正確;

選項(xiàng)3,因?yàn)樾揆{表示直線OQ:y=q工斜率，即為q,故正確:

I

選項(xiàng)。，點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為QAI+1441+…+I4-A,I=為+aq+處/+…+aq"T=s”,故正確;

選項(xiàng)。，由區(qū)4|=EMJ+\MnA,\,

而QAJ+眼峪|=S“+i,Q4|=S”,則\PnM,\=Sn+l-Sn,

又△44M為等腰直角三角形，即\AnM?\=/41=Sn-at,

綜上，=S”+1—佝，故錯(cuò)誤.

故選:D

題目叵1（2023?湖北黃岡?淹水縣第一中學(xué)?？既＃┛搪┦侵袊?guó)古代用來(lái)計(jì)時(shí)的儀器，利用附有刻度的浮

箭隨著受水壺的水面上升來(lái)指示時(shí)間.為了使受水壺得到均勻水流,古代的科學(xué)家們發(fā)明了一種三級(jí)漏

壺，壺形都為正四棱臺(tái)，自上而下,三個(gè)漏壺的上口寬依次遞減1寸（約3.3厘米），下底寬和深度也依次遞

減1寸.設(shè)三個(gè)漏壺的側(cè)面與底面所成銳二面角依次為仇，名,%,則（）

?7?

A.仇+。3=2%B.sin6i+sin93=2sin%

C.cos仇+cos%=2cosaD.tana+tan%=2tan(92

【答案】D

【分析】連結(jié)OF,過(guò)邊4Bi的中點(diǎn)E作EG±OF,垂足為G,則NGPE就是漏壺的側(cè)面與底面所成銳二

面角的一個(gè)平面角，記為6,設(shè)漏壺上口寬為a,下底寬為b,高為h,在RtAEFG中，根據(jù)等差數(shù)列即可求

解.

【詳解】三級(jí)漏壺，壺形都為正四棱臺(tái)，自上而下，三個(gè)漏壺的上口寬依次遞減1寸(約3.3厘米)，下底寬和

深度也依次遞減1寸，

如圖，在正四棱臺(tái)ABCD-48G。中，O為正方形ABCD的中心，P是邊的中點(diǎn)，

連結(jié)O尸，過(guò)邊的中點(diǎn)E作EGLOF,垂足為G,

則/GEE就是漏壺的側(cè)面與底面所成銳二面角的一個(gè)平面南，記為0,

設(shè)漏壺上口寬為a,下底寬為b,高為九,在用△EFG中，GF="2tan(9=^V，

因?yàn)樽陨隙氯齻€(gè)漏壺的上口寬成等差數(shù)列，下底寬也成等差數(shù)列，所以a-b為定值，

又因?yàn)槿齻€(gè)漏壺的高八成等差數(shù)列，所以2tan%=tan仇+tan/.

故選：O.

題目其J(2023?安徽亳州?安徽省亳州市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))元代數(shù)學(xué)家朱世杰所創(chuàng)立的“招差術(shù)”是

我國(guó)古代數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一項(xiàng)重要成就，曾被科學(xué)家牛頓加以利用，在世界上產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.已知利用

“招差術(shù)”得到以下公式：+＞依+1)=+1)(九+2),具體原理如下：k(k+1)=

fc=i3

1、

3x4—1x2x3)H---Fn(n+1)(n+2)—(九一l)n(n+1)]=—n(n+1)(n+2)，類比上述方法，

3k=i

+l)(k+2)的值是()

A.90B.210C.420D.756

18,

【答案】。

【分析】由類比把通項(xiàng)n(n+1)(九+2)化為

n(n+1)(n+2)=%i(n+l)(n+2)[(n+3)—(n—1)]=

-^-[n(n+1)(TI+2)(n+3)—(n—l)n(n+l)(n+2)],相加即可求和.

4

【詳解】n(n+1)(n+2)=~n(n+l)(n+2)[(n+3)—(n—1)]=

+1)(?i+2)(n+3)—(72—1)72(72+1)(7i+2)]):k(卜+l)(/c+2)=｝[(lx2x3x4—0x1X2x

3)+(2x3x4x5-lx2x3x4)+---+(5x6x7x8-4x5x6x7)]=-^x5x6x7x8=420.

故選：。

題目間(2023?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))北宋大科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術(shù)”，就是關(guān)于高

階等差數(shù)列求和的問(wèn)題.現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有1個(gè)貨物，第二層比第一層多2個(gè),第三層

比第二層多3個(gè)，以此類推，記第m層貨物的個(gè)數(shù)為%，則使得%>2n+2成立的"的最小值是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

[分析】由題設(shè)及累加可得an—ai=2+3H----Fn，應(yīng)用等差數(shù)列前九項(xiàng)和公式及已知不等關(guān)系求"范圍，

即可得結(jié)果.

。2=2

【詳解】由題意，的一電=3且的=1,

''?

=

%—an-in

累加可得an—%=2+3+…+??,,所以冊(cè)=1+2+…+九=—-―-一,

....1),>2"+2，得論>4,即71min=5.

故選：C.

題目(2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考二模)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)兀近似值的確定做出了巨大貢獻(xiàn),早在東漢初年

的數(shù)學(xué)古籍《周髀算經(jīng)》里便記載“徑一周三”，并稱之為“古率”，即“直徑為1的圓,周長(zhǎng)為3”,之后三國(guó)時(shí)

期數(shù)學(xué)家劉徽證明了圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)是圓直徑的三倍，說(shuō)明“徑一周三”實(shí)際上是圓的內(nèi)接正六邊

形的周長(zhǎng)與圓直徑的比值，而不是圓周率.若將圓內(nèi)接正71邊形的周長(zhǎng)與其外接圓的直徑之比記為廝

⑺)3),則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.aA=2A/2B.an<0n+1

C.存在teN*,當(dāng)n>￡時(shí)，a?>2V3D.存在N",使得即_尸a2n+3

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，設(shè)外接圓的半徑為H,求出｛%｝的通項(xiàng)公式，代入即可判斷工。，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性即

可判斷BC

【詳解】解：根據(jù)題意，正九邊形內(nèi)接于圓，設(shè)圓的半徑為R,則正門(mén)邊形的周長(zhǎng)d=2n/?sin—,則%=旦

n2R

.兀

=nsm-,

n

對(duì)于A,當(dāng)71=4時(shí)，。4=4Xsin子=2A/2,A正確;

4

?9?

對(duì)于&設(shè)/(x)=xsin—(a;>3)，其導(dǎo)數(shù)/Q)=sin———cos—=cos—(tan———),

XXXXXXX

接下來(lái)證明sinx<x<tanx(0<x<,

令m{x}=sin力—rr,n(x)=x—tana;,(0<x<-y],

則m{x)—COST—1<0,n(T)=1----=―"衛(wèi)-<0,

cosxcosx

故m(rc),n(x)均為0VrrV手上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以m(x)<m(0),n(x)<n(0),

故sinx<x<tanx(0<x<-y),

則有當(dāng)力)3時(shí)，有tan2>匹，故/(c)>0,函數(shù)/(力)在[3,+8)上為增函數(shù)，

XX

故數(shù)列{%}為遞增數(shù)列，則有an<an+1,3正確；

對(duì)于C,當(dāng)0V力〈與時(shí)，sinzVi,對(duì)于/(力)=xsin—(x>3)，必有/(z)<a;X—=兀V2/，對(duì)于數(shù)列

{%}，必有%V2/，。錯(cuò)誤；

對(duì)于。，當(dāng)九二4時(shí)，QMT=QU=Hsin■，%+3=S產(chǎn)Hsin/，。正確：

故選：C.

二、填空題

題目工屋；（2023?湖南長(zhǎng)沙?長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？既＃┲袊?guó)古代數(shù)學(xué)著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記

載「三百七十八里關(guān),初行健步不為難，次日腳痛減一半,如此六日過(guò)其關(guān).”則此人在第六天行走的路程

是里（用數(shù)字作答）.

【答案】6

【分析】根據(jù)題意分析，看成首項(xiàng)外，公比q=］的等比數(shù)列｛%｝,已知S6=378,繼而求出5,即可得出答

案.

【詳解】將這個(gè)人行走的路程依次排成一列得等比數(shù)列｛%｝,

九￡尸\九W6,其公比q=￡,令數(shù)列｛a“｝的前幾項(xiàng)和為Sn,

則尻=378,而S產(chǎn)"1一?。?需，

12

因此41=378,解彳尋Q尸192,

所以此人在第六天行走的路程曲=5*今=6（里）.

故答案為：6

題目互1（2023?甘肅金昌?永昌縣第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題，

“今有金筑，長(zhǎng)五尺.斬本一尺，重四斤.斬末一尺,重二斤.問(wèn)次一尺各重幾何?”意思是“現(xiàn)有一根金

杖，長(zhǎng)五尺,一頭粗，一頭細(xì).在粗的一端截下1尺，重4斤;在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問(wèn)依次每一尺各

重多少斤?”根據(jù)上題的已知條件，若金杖由粗到細(xì)是均勻變化的，估計(jì)此金杖總重量約為斤.

【答案】15

【分析】根據(jù)題意，每節(jié)重量構(gòu)成等差數(shù)列，由等差數(shù)列求和公式得解.

【詳解】由題意知每節(jié)的重量構(gòu)成等差數(shù)列，

■10?

設(shè)首項(xiàng)為2,則第5項(xiàng)為4,

所以總重量為DX5=15斤.

故答案為：15

題目回（2023?云南?云南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）幻方又稱為魔方，方陣或廳平方,最早記載于中國(guó)公元

前500年的春秋時(shí)期《大戴禮》中，宋代數(shù)學(xué)家楊輝稱之為縱橫圖.如圖所示，將1,2,3,…，9填入3X3的

方格內(nèi)，使三行三列兩對(duì)角線的三個(gè)數(shù)之和都等于15,便得到一個(gè)3階幻方;一般地，將連續(xù)的正整數(shù)

1,2,3,…，》填入nxrt的方格內(nèi)，使得每行每列每條對(duì)角線上的數(shù)字的和相等，這個(gè)正方形就叫做71

階幻方.記n階幻方的一條對(duì)角線上的數(shù)字之和為S”（如：S3=15），則Si0=.

而一

：；3>7

HRH

【答案】505

【分析】利用等差數(shù)列求和公式得出n階幻方的所有數(shù)之和，再計(jì)算每行數(shù)之和即可得出對(duì)角線上數(shù)字之

和.

【詳解】九階幻方共有然個(gè)數(shù)，其和為1+2+…+川=?（，+1）,

?二九階幻方共有n行，

n2（n"+l）?

??.每行的和為S,尸1=小/，..?S卡*+1）=505

故答案為：505

題目工手：（2023?廣西南寧?南寧三中?？家荒＃┨拼蒲缟系闹d游戲“擊鼓傳花”，也稱傳彩球.游戲規(guī)則

君:鼓響時(shí),眾人開(kāi)始依次傳花,至鼓停為止,此時(shí)花在誰(shuí)手中，誰(shuí)就上臺(tái)表演節(jié)目.甲、乙、丙三人玩擊鼓

傳花,鼓響時(shí)，第1次由甲將花傳出，每次傳花時(shí)，傳花者都等可能地將花傳給另外兩人中的任何一人，經(jīng)

過(guò)6次傳遞后,花又在甲手中的概率為.

【答案噴

【分析】設(shè)第n次傳球后球在甲手中的概率為根據(jù)題意找出月的遞推關(guān)系，寫(xiě)出R的通項(xiàng)公式，然后

求區(qū)即可.

【詳解】設(shè)第n次傳球后球在甲手中的概率為R,neN".則R+產(chǎn)0+（1—R）x,得2+1=―

+￡,E+LW（2一'1）.

一次傳球后，花不在甲手上，故.=（）,所以數(shù)列歸一導(dǎo)是以一：為首項(xiàng)，公比為一寺的等比數(shù)列，所以

"33'2'.

n3v2>3°3、21332

故答案為：需

題目為（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）斐波那契數(shù)列由意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為

“兔子數(shù)列”，即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….在實(shí)際生活中，很多花朵（如梅花、飛

燕草、萬(wàn)壽菊等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的

?11?

應(yīng)用.斐波那契數(shù)列｛a“｝滿足：5=a2=1,an+2=an+i+an(n€N*),則1+a-i+a^+at+a,^…+(12022是斐波

那契數(shù)列｛4,｝中的第項(xiàng).

【答案】2023

【分析】利用遞推關(guān)系a產(chǎn)a2=1,將所求關(guān)系式中的“1”換為a?,再利用a“+2=a,t+1+a?(nGN')即可求得答

案.

【詳解】由an+2—a?+l+a?(nGN")可得1+as+as+ay+agH---Fa2o22

=。2+。3+。5+。7+的+--^a2022=。.1+。5+。7+。9+-------F(22022

=Q6+Q7+Q9+F6Z2022=，**=。2。21+。2022=。2023?

故答案為：2023.

題目包1(2023?浙江金華?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))數(shù)學(xué)王子高斯在小時(shí)候計(jì)算1+2+--+100時(shí)，他是這樣計(jì)算的：

1+100=2+99=???=50+51,共有50組,故和為5050,事實(shí)上，高斯發(fā)現(xiàn)并利用了等差數(shù)列的對(duì)稱性.若

函數(shù)片/⑺圖象關(guān)于()2)對(duì)稱，$“=5+1)|/(白丁)+/(三7)+-+/(曰)](旌河),則《

/fbIXlbIX1(/11.Q]

n

【答案】

2(n4-l)

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的對(duì)稱性可得/Q)+/(1—⑼=4,由題意得/("1)+=4，根據(jù)Sn=

(n+l￡/(*r)S=(n+1)?(衛(wèi)^可得S產(chǎn)2n(n+D，即專=f(1"*)，結(jié)合裂項(xiàng)

相消求和法即可求解.

【詳解】由函數(shù)/3)圖象關(guān)于點(diǎn)(看2)對(duì)稱，得++c)=4,

得/(①)+一工)=4,所以/(^-)+=4.

因?yàn)镾=(n+(n+1這/(衛(wèi)青1),

i=l,￡,'1：=]1

所—黨(*)+(…)?(”!)=(…恪心^)+卻(需i)]=m

+靖(+)+，(百)]=*+1),

所以&=2nd+D,則專=而占=g!1

n+1

所以■+…+專=丸(10：)+…+1

n

n

故答案為：

2(n+1)

題目區(qū)；(2023?山東煙臺(tái)?統(tǒng)考二模)歐拉是瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，近代數(shù)學(xué)先驅(qū)之一，在許多數(shù)學(xué)的分支

中經(jīng)?？梢砸?jiàn)到以他的名字命名的重要函數(shù)、公式和定理.如著名的歐拉函數(shù)勿⑺)：對(duì)于正整數(shù)n,

RS)表示小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù),如砥5)=4,磯9)=6.那么，數(shù)列｛刎5")｝的

前71項(xiàng)和為.

【答案】(n-J>5"+]

【分析】利用錯(cuò)位相減法求和.

【詳解】在[1,5,中，與5n不互質(zhì)的數(shù)有5x1,5X2,5x3,…,5x5n，共有個(gè)，

?12?

所以w(5")=5n-5n-1=4-5”T,

所以n『(5")=(4n)?5"T,

設(shè)數(shù)列伍。(5")｝的前n項(xiàng)和為Sn,

所以s,=4x50+8x51+12x52+--+4nx5n-1,

5S?=4x5'+8x52+12X53+???+4nx5",

兩式相減可得一4Sn=4+4x(5J4-52+???+5n~,)-4n-5”,

所以&=一1一(51+5.2+...4-5n-')+n-5n=-l-V7+n-5n,

LD

即S.=(n—[)5+],

故答案為：(n—二>5"+].

題目區(qū)I(2023?黑龍江大慶?大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))古印度數(shù)學(xué)家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書(shū)中提

出如下問(wèn)題:某人給一個(gè)人布施,初日施2子安貝(古印度貨幣單位)，以后逐日倍增，問(wèn)一月共施幾何？在

這個(gè)問(wèn)題中，以一個(gè)月31天計(jì)算，記此人第n日布施了％子安貝(其中1<nW31,n6N*),數(shù)列｛斯｝的

前n項(xiàng)和為Sn.若關(guān)于n的不等式Sn-62<成+廠切田恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為.

【答案】(一8,15)

[分析]先求得數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式和前ri項(xiàng)和S”，化簡(jiǎn)題給不等式為t<蒜+2n+l-l，求得畀+

2n+1-l的最小值,進(jìn)而得到實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【詳解】由題意可知，數(shù)列｛a,J是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

故a“=27,(1<n<31,nSAT*).

所以S“=2(：=2n+1-2.

n+,2,,+2n+,

由S?-62<a^+1-tari+l,得2-64<2-t-2,

整理得[<半?+2的一1對(duì)任意1&C&31,且?恒成立.

2"+】

又44-2n+l-l>2./-6￡..2n+1-1=15,

2?+1y2+1

當(dāng)且僅當(dāng)2計(jì)1=8,即n=2時(shí)等號(hào)成立，

所以tV15,即實(shí)數(shù)t的取值范圍是(一oo,15)

故答案為：(一8,15)

三、解鑰R

題目?0(2023?云南昆明?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))雪花是一種美麗的結(jié)晶體，放大任意一片雪花的局部，會(huì)發(fā)現(xiàn)雪花

的局部和整體的形狀竟是相似的，如圖是瑞典科學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案，其

作法如下：

將圖①中正三角形的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為一邊向形外作正三角形，再去掉底邊，得到

?13?

圖②；

將圖②的每條邊三等分，重復(fù)上述的作圖方法,得到圖③:

按上述方法,所得到的曲線稱為科赫雪花曲線｛Kochsnowflake).

圖①圖②圖③

現(xiàn)將圖①、圖②、圖③、…中的圖形依次記為E、2、…、2、….小明為了研究圖形R的面積，把圖形2

的面積記為時(shí),假設(shè)的=1,并作了如下探究：

RPn

邊數(shù)31248192

從￡起,每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的三角形的個(gè)數(shù)31248

11

從2起,每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的每一個(gè)三角形的面積1

V￥于

根據(jù)小明的假設(shè)與思路，解答下列問(wèn)題.

(1)填寫(xiě)表格最后一歹I」,并寫(xiě)出a“與冊(cè)_](門(mén)e2)的關(guān)系式;

(2)根據(jù)(1)得到的遞推公式，求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(3)從第幾個(gè)圖形開(kāi)始,雪花曲線所圍成的面積大于需.

500

參考數(shù)據(jù)(lg3?0.477,lg2?0.301)

n1，

【答案】⑴填表見(jiàn)解析;0n=*+*X(y)-(nGN,n>2)

⑶第7個(gè)

【分析】(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)的規(guī)律及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式填寫(xiě)表格最后一列，進(jìn)而得出a“與a,1的關(guān)系式;

(2)利用累加法求解;

(3)由題意票■，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.

500

【詳解】(1)圖形E、與、…、2、…的邊數(shù)是以3為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，則圖形2的邊數(shù)為3X

4"-1;

從P2起，每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的三角形的個(gè)數(shù)是以3為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，則2比前一個(gè)

圖形多出的三角形的個(gè)數(shù)為3x4-2;

從P2起,每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的每一個(gè)三角形的面積是以：■為首項(xiàng)，春為公比的等比數(shù)列，則P?

比前一個(gè)圖形多出的每一個(gè)三角形的面積是y-1.

P1P2P3P4???Pn,

邊數(shù)31248192???3x4”T

■14?

從P2起,每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的三角形的個(gè)數(shù)31248???3x4n~2

11111、"T

從P2起,每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的每一個(gè)三角形的面積