2021-2022學(xué)年江蘇省連云港市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年江蘇省連云港市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若，則P(A)=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件概率公式即可求解．【詳解】依題意得，所以，解得．故選：C．2．甲、乙兩人射擊，中靶的概率分別為0.9，0.7．若兩人同時獨立射擊，則他們只有一人中靶的概率是（

）A．0.97 B．0.63 C．0.34 D．0.03【答案】C【分析】直接由獨立事件乘法公式計算即可求解.【詳解】只有一人中靶的概率是.故選：C.3．某冷飲店日盈利y(單位：百元)與當(dāng)天氣溫x(單位：℃)之間有如下數(shù)據(jù)/1520253035/百元12245已知y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，則y與x的線性回歸方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出樣本中心點，代入選項中的方程檢驗即可求解.【詳解】線性回歸方程必過樣本中心點，由題意得，，結(jié)合選項可知，，即y與x的線性回歸方程是.故選：B.4．展開式中的常數(shù)項為（

）A．20 B．40 C．60 D．80【答案】C【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式，令的指數(shù)為0求解即可【詳解】由題意，展開式的通項公式，當(dāng)時，，故展開式中的常數(shù)項為故選：C5．已知離散型隨機變量X的分布列如下表：X012P0.64q21－2q則E(X)=（

）A．0.56 B．0.64 C．0.72 D．0.8【答案】A【分析】由概率之和為1可求出的值，再根據(jù)分布列直接計算均值..【詳解】由題可得，解得或，當(dāng)時，，不符合題意，舍去，；所以可得分布列為X012P0.640.160.2，故選：A.6．如圖所示，已知三棱臺的上、下底面都是等腰直角三角形，面，，則這個三棱臺的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，再利用棱臺的側(cè)面面積公式，結(jié)合梯形的面積公式即可求解.【詳解】因為平面，平面，所以,又，所以，在梯形中，易知，，所以,所以這個三棱臺的側(cè)面積為.故選：A.7．設(shè)，且，若能被整除，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】因為，利用二項式定理展開式可得能被整除，由此求出的值.【詳解】因為，所以展開式為，其中每一項都能被整除，，其中每一項都能被整除，所以能被整除的余數(shù)為，因為，且，若能被整除，所以能被整除，所以.故選：D.8．某雙一流大學(xué)為提高數(shù)學(xué)學(xué)院學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開設(shè)了“模糊數(shù)學(xué)”“復(fù)變函數(shù)”“微分幾何”“數(shù)值分析”“拓撲學(xué)”五門選修課程，要求學(xué)院每位同學(xué)每學(xué)年至多選3門，大一到大三三學(xué)年必須將五門選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式有（

）A．150種 B．210種 C．300種 D．540種【答案】B【分析】依題意每位同學(xué)每年所修課程數(shù)可以分為0，2，3或1，1，3或1，2，2，先將課程分組，再分配到三個學(xué)年，最后按照分類、分步計數(shù)原理計算可得；【詳解】由題意可知三年修完五門課程，且每年至多選三門，則每位同學(xué)每年所修課程數(shù)可以分為0，2，3或1，1，3或1，2，2．若按1，2，2選修五門課程，則先將五門選修課分成三組，有種不同方式，再分配到三個學(xué)年，共有種不同的分配方式，由分步乘法計數(shù)原理可得共有種不同的選修方式；若按0，2，3選修四門課程，則先將五門選修課分成三組，有種不同方式，再分配到三個學(xué)年，共有種不同的分配方式，由分步乘法計數(shù)原理可得共有種不同的選修方式；若按1，1，3選修四門課程，則先將五門選修課分成三組，有種不同方式，再分配到三個學(xué)年，共有種不同的分配方式，由分步乘法計數(shù)原理可得共有種不同的選修方式．所以每位同學(xué)的不同選修方式有種．故選：B．二、多選題9．已知，則x=（

）A．3 B．6 C．8 D．10【答案】AD【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)求解即可【詳解】因為，故或，即或故選：AD10．甲、乙兩名運動員進行羽毛球單打比賽，根據(jù)以往比賽的勝負情況知道，每一局甲勝的概率，乙勝的概率為．則（

）A．當(dāng)采用“三局兩勝”制，甲勝的概率為B．當(dāng)采用“三局兩勝”制，乙勝的概率為C．當(dāng)采用“五局三勝”制，甲勝的概率為D．當(dāng)采用“五局三勝”制，乙勝的概率為【答案】BC【分析】根據(jù)獨立事件的概率，依次計算三局兩勝制和五局三勝制甲獲勝的概率，進而求解.【詳解】因為每一局甲勝的概率為，乙勝的概率為，若比賽采用三局兩勝制，甲勝的情況為連勝兩局結(jié)束比賽或前兩局勝一局第三局獲勝，其概率為：，乙勝的概率為故A錯誤，B正確；若采用五局三勝制，則甲勝的情況為連續(xù)三局獲勝結(jié)束比賽，或前三局有一局負，第四局勝，或前四局有兩局獲勝，第五局獲勝.其概率為：，乙勝的概率為故C正確，D錯誤；故選：BC11．已知的展開式中，第2，3，4項的二項式系數(shù)依次成等差數(shù)列，則（

）A．n=7 B．第4項為 C．第3項系數(shù)最大 D．展開式中有理項有2項【答案】ACD【分析】根據(jù)第2，3，4項的二項式系數(shù)依次成等差數(shù)列，由，求得，然后逐項判斷.【詳解】解：因為的展開式中，第2，3，4項的二項式系數(shù)依次成等差數(shù)列，所以，解得或（舍去），故A正確；所以的通項公式為，令，得，故B錯誤；因為，且第二項、第四項、第六項、第八項系數(shù)為負，故第3項系數(shù)最大，故C正確；展開式中有理項有，2項，故D正確，故選：ACD12．一副三角板按如圖所示的方式拼接，將△BCD折起，使得二面角A－BC－D的大小為θ，E，F(xiàn)分別是BC，BD的中點，則（

）A．直線BD與平面AEF所成的角是定值B．當(dāng)θ=90°時，平面ABD⊥平面ACDC．當(dāng)θ=90°時，直線BD與AC的夾角為45°D．設(shè)平面AEF∩平面ACD=l，則l//平面BCD【答案】ABD【分析】對于A，先證線面垂直，從而可得線面角即可判斷；對于B，根據(jù)直二面角得到平面，得到，再證明平面，得到答案；對于C，通過平移后再解三角形可求解；對于D，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可求解.【詳解】對于A，可知,因為E，F(xiàn)分別是BC，BD的中點，所以可知，從而可知，又，且平面，所以平面，從而可知直線BD與平面AEF所成的角為為定值，故A正確；對于B，二面角為直二面角，且，平面，則平面.平面，故.，，故平面，平面，故平面平面ACD．故B正確；對于C，分別取的中點，過點作于，連接,不妨設(shè),則可得,則在中，，從而可知直線BD與AC的夾角不可能是45°，故C錯誤；對于D，因為E，F(xiàn)分別是BC，BD的中點，所以,且平面，平面，因此可得平面，而平面AEF平面ACD=l，所以直線，又平面，平面,所以l//平面BCD，故D正確..故選：ABD三、填空題13．已知=(3，2，－1)，(2，1，2)，則=___________．【答案】2【分析】根據(jù)空間向量的坐標運算與數(shù)量積公式求解即可【詳解】因為，故答案為：214．從這4個數(shù)字中選出3個不同數(shù)字能組成___________個三位數(shù)．【答案】【分析】利用排列中的特殊元素優(yōu)先處理，結(jié)合排列數(shù)公式和分步乘法計數(shù)原理即可求解.【詳解】由于選出3個不同數(shù)字能組成的三位數(shù)中，百位上的數(shù)字不能是，因此可以分兩步完成排列，第步，排百位上的數(shù)字，可以從這從個數(shù)字中任選個，有種選法；第步，排十位和個位上的數(shù)字，可以從余下的個數(shù)字中任選個，有種選法；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所求的三位數(shù)的個數(shù)為.故答案為：.15．為了解高二學(xué)生體育健康情況，學(xué)校組織了一次體育健康測試，成績X近似服從正態(tài)分布N(70，72)，已知成績在77分以上的學(xué)生有208人，如果成績大于84分為優(yōu)秀，則本次體育健康測試成績優(yōu)秀的大約有___________人．(參考數(shù)據(jù)：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)=0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2c)=0.96)【答案】26【分析】由已知求得，，利用對稱性求得，可得成績在77分以上的學(xué)生有208人，求得高二學(xué)生總?cè)藬?shù)，求出，利用概率求得結(jié)果．【詳解】解：由高三全體考生的數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布N(70，72)，得，，，又成績在77分以上的學(xué)生有208人，則高二學(xué)生總數(shù)為；，則本次體育健康測試成績優(yōu)秀的大約有人.故答案為：26.16．如圖，在球內(nèi)接四棱錐中，底面的對角線AC與BD交于點O，，，，，．則球的表面積為___________．【答案】【分析】先由余弦定理求得，進而求出，由勾股定理得，結(jié)合證得底面，取中點，過作，得出球心在上，由勾股定理求出半徑，即可求解.【詳解】由題意知，底面有外接圓，即，則，則，即，解得，則，又由，可得，且，則，則，，則，設(shè)中點，則底面的外接圓圓心即為，又，，，則，又，平面，，則平面，又平面，則，又底面，，則底面，過作，使，連接，易得四邊形為矩形，,球心在上，設(shè)球心為，球的半徑為，則，設(shè)，則，則，解得，則球的表面積為.故答案為：.四、解答題17．1.某同學(xué)會做老師給出的6道題中的4道.現(xiàn)從這6道題中選3道讓該同學(xué)做，規(guī)定至少做出2道才能及格，試求：(1)選做的3題中該同學(xué)會做的題目數(shù)的分布列；(2)該同學(xué)能及格的概率．【答案】(1)具體見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，該同學(xué)會做的題目數(shù)為1,2,3，則根據(jù)超幾何分布求概率的方法求出對應(yīng)的概率，最后寫出分布列即可；（2）根據(jù)（1）即可求得答案.【詳解】(1)記該同學(xué)會做的題目數(shù)為，由題意，，，，，所以該同學(xué)會做的題目數(shù)的分布列為：123(2)由（1），該同學(xué)能及格的概率為：.18．某醫(yī)療機構(gòu)為了解某疾病與喝酒是否有關(guān)，進行了一次抽樣調(diào)查，數(shù)據(jù)如下表：未患病患病合計喝酒11040150不喝酒9010100合計20050250(1)根據(jù)數(shù)據(jù)，能否有99.5%把握認為，患病與喝酒有關(guān)?(2)從喝酒的150人中按分層抽樣的方法抽取15人，再從這15人中抽取3人，求至少有1人患病的概率．參考公式：(其中n=a＋b＋c＋d)P(χ2≥x0)0.100.050.0250.010.0050.001x02.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)有的把握認為患病與喝酒有關(guān)(2)【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算觀測值，利用觀測值與臨界值比較即可求解；（2）根據(jù)分層抽樣的抽樣比及組合的定義，利用對立事件及古典概型的計算公式即可求解.【詳解】(1)由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可知所以有的把握認為患病與喝酒有關(guān)．(2)由題意知：所抽取的15人中，未患病的有人，患病的有人，記“至少有一人患病”為事件，則．所以至少有一人患病的概率為.19．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面⊥底面，是的中點，證明：(1)平面；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)及三角形的中位線定理，結(jié)合線面平行的判定定理即可求解；（2）根據(jù)正方形的定義及面面垂直的性質(zhì)定理，再利用線面垂直的性質(zhì)定理及等腰三角形的三線合一定理，結(jié)合線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即可求解.【詳解】(1)連接,連接，如圖所示因為四邊形為正方形，且對角線所以為的中點，又因為為的中點，所以，又平面，平面，所以平面.(2)因為四邊形為正方形，所以，又平面平面，且平面平面，平面所以平面，又平面，所以，因為為正三角形，且為中點所以，又，所以，又所以．20．橢圓經(jīng)過點．(1)求橢圓E的標準方程；(2)若斜率為k的直線l過橢圓E的左焦點F，與橢圓E交于C，D兩點，CD的垂直平分線與x軸交于點M，證明：為定值．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接將代入中即可求解；（2）若，直接求出；若，寫出直線的方程，聯(lián)立橢圓，表示出線段的垂直平分線方程，求出點坐標，表示出即可求解.【詳解】(1)由題意知：，解得，則橢圓E的標準方程為；(2)由（1）知：橢圓E的標準方程為，則，若，則直線的方程為，則，易得線段的垂直平分線方程為，則，，；若，則直線的方程為，聯(lián)立橢圓，整理得，設(shè)，可得，設(shè)的中點為，所以，則，即，則的垂直平分線方程為，令，可得，則，所以，又，所以；綜上：.21．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，AD=2AB=6，，PD⊥AB，AC=BD，點M在側(cè)棱PD上，且PD=3MD．(1)證明：平面PAB⊥平面PAD；(2)求平面PAB與平面MAC所成銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明線面垂直，再證明面面垂直即可；（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，再分別求出兩平面的法向量，用向量的夾角公式計算即可.【詳解】(1)因為底面ABCD是平行四邊形，且AC=BD，所以底面ABCD是矩形，所以有,又PD⊥AB，且,平面PAD,所以平面PAD，又平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD；(2)取的中點,因為，可得,由（1）可得，而，且平面,所以平面.所以以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.所以.設(shè)，由PD=3MD．有，可得，所以.所以設(shè)平面PAB的法向量為，則有，可取，設(shè)平面MAC的法向量為，則有，可取，設(shè)平面PAB與平面MAC所成銳二面角為，則平面PAB與平面MAC所成銳二面角的余弦值為.22．已知函數(shù)．(1)求的最小值；(2)設(shè)，若有且僅有兩個實根，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值的步驟即可求解；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系及函數(shù)零點的存在性定理，利用已知條