線性空間和線性映射

關(guān)于線性空間和線性映射本章知識(shí)要點(diǎn)線性空間：維數(shù)、基、坐標(biāo)、基變換、坐標(biāo)變換；線性空間的分解：子空間、值域(列空間)與核空間(零空間)、秩與零度、子空間的交、和與直和；線性變換及其矩陣表示：定義、運(yùn)算、值域與核空間、秩與零度、相似類、特征值與特征向量、不變子空間、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形;歐氏空間和酉空間：內(nèi)積、度量矩陣、正交、標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交分解與正交補(bǔ)、正交變換與正交矩陣、對(duì)稱變換與對(duì)稱矩陣、Hermite變換與Hermite矩陣、正規(guī)矩陣與可對(duì)角化、譜分解。Hibert空間：平方可積空間和平方可和空間。第2頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天集合集合元素、子集、集合相等、運(yùn)算（交、并、補(bǔ)）例：數(shù)域是一個(gè)集合含有加法+和乘法*含有元素0，滿足對(duì)任何元素a，有a+0=a；含有1，滿足對(duì)任何元素a，有a*1=a；任何元素a存在負(fù)元素b，滿足a+b=0；非零元素a存在逆元素b，滿足a*b=1；對(duì)加法和乘法封閉常用數(shù)域有：有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域第3頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天映射映射：集合S到集合S‘的一個(gè)映射是指一個(gè)法則(規(guī)則)f:S→S’，對(duì)S中任何元素a，都有S’中的元素a‘與之對(duì)應(yīng)，記為：f(a)=a’或a→a’。一般稱a’為a的象，a為a’的原象。變換：若S=S‘，則稱映射為變換。映射的相等：設(shè)有兩個(gè)映射f:S→S’和g:S→S’，若第任何元素a∈S都有f(a)=g(a)則稱f與g相等。映射的乘積(復(fù)合)：若f:S1

→S2和g:S2→S3，則映射的乘積g○f

定義為：g○f(a)=g(f(a))。在不至混淆的情況下，簡(jiǎn)記g○f

為

gf

第4頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天映射的例子例子1：設(shè)集合S是數(shù)域F上所有方陣的集合，則

f(A)=det(A)

為S到F的映射。例2：設(shè)S為次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式構(gòu)成的集合，則求導(dǎo)運(yùn)算：δ(f(t))=f’(t)為S到S的變換。例3：S為平方可積函數(shù)構(gòu)成的集合，則傅里葉變換：

為S到S上的一個(gè)變換。第5頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天線性空間的定義定義：設(shè)V是一個(gè)非空的集合，F(xiàn)是一個(gè)數(shù)域，在集合V中定義兩種代數(shù)運(yùn)算,一種是加法運(yùn)算，用+來(lái)表示，另一種是數(shù)乘運(yùn)算,用?來(lái)表示,并且這兩種運(yùn)算滿足下列八條運(yùn)算律：（1）加法交換律：α+β=β+α（2）加法結(jié)合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)（3）零元素：在V

中存在一個(gè)元素0，使得對(duì)于任意的α∈V都有

α+0=α（4）對(duì)于V中的任意元素α都存在一個(gè)元素β使得：α+β=0第6頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天線性空間的定義（續(xù)）（5）數(shù)1：對(duì)α∈V，有：

1?α=α（6）對(duì)k,l∈F,α∈V有：(kl)?α=k

?(l

?α)（7）對(duì)k,l∈F,α∈V有：(k+l)?α=k

?α+l

?α（8）對(duì)k∈F,α,β∈V有：k

?(α+β)=k

?α+k

?β稱這樣的集合V為數(shù)域F上的線性空間。可以證明：零元素唯一，每個(gè)元素的負(fù)元素都是唯一的。第7頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天線性空間的例子例1：全體實(shí)函數(shù)集合RR構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線性空間。例2：復(fù)數(shù)域C上的全體m×n

階矩陣構(gòu)成的集合Cm×n

為C上的線性空間。例3：實(shí)數(shù)域R上全體次數(shù)小于或等于n的多項(xiàng)式集合R[x]n

構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線性空間。例4：全體正的實(shí)數(shù)R+

在下面的加法與數(shù)乘的定義下構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間：對(duì)任意k∈R,a,b∈R+

第8頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例5：R∞表示實(shí)數(shù)域R上的全體無(wú)限序列組成的的集合。即線性空間的例子（續(xù)）則R∞

為實(shí)數(shù)域R上的一個(gè)線性空間。在R∞中定義加法與數(shù)乘：第9頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天例6

在中滿足Cauchy條件的無(wú)限序列組成的子集合也構(gòu)成R上的線性空間。Cauchy條件是：使得對(duì)于都有線性空間的例子（續(xù)）例7

在中滿足Hilbert條件的無(wú)限序列組成的子集合構(gòu)成R上的線性空間。

Hilbert條件是：級(jí)數(shù)收斂第10頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天線性空間的基本概念及其性質(zhì)

基本概念：線性組合；線性表示；線性相關(guān)；線性無(wú)關(guān)；向量組的極大線性無(wú)關(guān)組；向量組的秩。基本性質(zhì)：

（1）含有零向量的向量組一定線性相關(guān)；（2）整體無(wú)關(guān)則部分無(wú)關(guān)；部分相關(guān)則整體相關(guān)；（3）如果含有向量多的向量組可以由含有向量少的向量組線性表出，那么含有向量多的向量組一定線性相關(guān)；（4）向量組的秩是唯一的，但是其極大線性無(wú)關(guān)組并不唯一；（5）如果向量組（I）可以由向量組（II）線性表出，那么向量組（I）的秩小于等于向量組（II）的秩；（6）等價(jià)的向量組秩相同。第11頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1

實(shí)數(shù)域R上的線性空間RR中，函數(shù)組是一組線性無(wú)關(guān)的函數(shù)，其中為一組互不相同的實(shí)數(shù)。例2

實(shí)數(shù)域R上的線性空間RR

中，函數(shù)組是一組線性無(wú)關(guān)的函數(shù)，其中為一組互不相同的正整數(shù)。例3

實(shí)數(shù)域R上的線性空間RR

中，函數(shù)組也是線性無(wú)關(guān)的。第12頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4

實(shí)數(shù)域R上的線性空間RR

中，函數(shù)組與函數(shù)組都是線性相關(guān)的函數(shù)組。第13頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天線性空間的基底與維數(shù)

定義：設(shè)V

為數(shù)域F上的一個(gè)線性空間。如果在V

中存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，使得V

中的任意一個(gè)向量都可以由線性表出:

則稱為V的一個(gè)基底；為向量在基底下的坐標(biāo)。此時(shí)我們稱V

為一個(gè)n維線性空間，記為dimV=n。第14頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1

實(shí)數(shù)域R上的線性空間R3

中向量組與向量組基底的例子都是線性空間R3

的基底，R3是3維線性空間。第15頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2

實(shí)數(shù)域R上的線性空間中的向量組與向量組都是的基。是4維線性空間?；椎睦樱ɡm(xù)）第16頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3

實(shí)數(shù)域R上的不超過(guò)n次多項(xiàng)式的全體Pn中的向量組與向量組都是Pn

的基底，Pn的維數(shù)為n+1。注意：

通過(guò)上面的例子可以看出線性空間的基底并不唯一，但是維數(shù)是唯一確定的。由維數(shù)的定義,線性空間可以分為有限維線性空間和無(wú)限維線性空間。目前，我們主要討論有限維的線性空間?；椎睦樱ɡm(xù)）第17頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4在4維線性空間中，向量組

與向量組是其兩組基，求向量在這兩組基下的坐標(biāo)。第18頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：設(shè)向量A在第一組基下的坐標(biāo)為于是可得解得同樣可解出在第二組基下的坐標(biāo)為第19頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)（舊的）與新的）是n維線性空間V

的兩組基底，它們之間的關(guān)系為基變換與坐標(biāo)變換第20頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天將上式矩陣化可以得到下面的關(guān)系式：稱n階方陣是由舊的基底到新的基底的過(guò)渡矩陣(可逆)，那么上式可以寫成第21頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天任取，設(shè)在兩組基下的坐標(biāo)分別為與，那么我們有該式被稱為坐標(biāo)變換公式。于是有：第22頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天與向量組例1

在4維線性空間中，向量組為其兩組基，求從基到基的過(guò)渡矩陣，并求向量在這兩組基下的坐標(biāo)。解：容易計(jì)算出下面的矩陣表達(dá)式第23頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天向量A在第一組基下的坐標(biāo)為利用坐標(biāo)變換公式可以求得A在第二組基下的坐標(biāo)為第24頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義設(shè)V為數(shù)域F上的一個(gè)n維線性空間，W為V的一個(gè)非空子集合，如果對(duì)于任意的以及任意的都有那么我們稱為的一個(gè)子空間。例1

對(duì)于任意一個(gè)有限維線性空間，它必有兩個(gè)平凡的子空間，即由單個(gè)零向量構(gòu)成的子空間以及線性空間本身.線性空間的子空間第25頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2

設(shè)，那么線性方程組的全部解為維線性空間的一個(gè)子空間，我們稱其為齊次線性方程組的解空間。當(dāng)齊次線性方程組有無(wú)窮多解時(shí)，其解空間的基底即為其基礎(chǔ)解系；解空間的維數(shù)即為基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)。例3

設(shè)為維線性空間中的一組向量，那么非空子集合

第26頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天構(gòu)成線性空間的一個(gè)子空間，稱此子空間為有限生成子空間，稱為該子空間的生成元。的維數(shù)即為向量組的秩，的最大無(wú)關(guān)組為基底。例4

實(shí)數(shù)域R上的線性空間中全體上三角矩陣集合，全體下三角矩陣集合，全體對(duì)稱矩陣集合，全體反對(duì)稱矩陣集合分別都構(gòu)成的子空間，第27頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天子空間的交與和兩個(gè)子空間的交:兩個(gè)子空間的和:子空間交與和的性質(zhì)若V1和V2都是V的子空間，則V1∩V2和V1+V2也是V的子空間.V1∩V2=V2∩V1，V1+V2=V2+V1(V1∩V2)∩V3=V1∩(V2∩V3)，(V1+V2)+V3=V1+(V2+V3)dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2)兩個(gè)子空間的直和:若V=V1+V2，且V1∩V2=Φ，則稱V為V1與V2的直和。第28頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天線性變換定義：設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，T

:V→V為V上的映射，則稱T為線性空間V上的一個(gè)變換或算子。若變換滿足：對(duì)任意的k,l∈F和α,β∈V，有則稱T為線性變換或線性算子。線性變換的基本性質(zhì)：（1）T(0)=0；（2）T(-x)=-T(x)；（3）線性相關(guān)的向量組的象任然是線性相關(guān)的。第29頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天線性變換的例子例1：R2空間上的如下變換為線性變換（該變換還是正交變換）。例2：設(shè)Pn為次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式構(gòu)成的集合，則求導(dǎo)運(yùn)算：δ(f(t))=f’(t)為Pn到Pn的線性變換。例3：V為平方可積復(fù)函數(shù)構(gòu)成的空間，則傅里葉變換：

為V上的線性變換。第30頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天線性變換的值域和核V上的線性變換T的值域和核定義如下：R(T)={Tx|x∈V}N(T)={x|Tx=0,x∈V}定理：線性空間V的線性變換T的值域和核都是V的線性子空間，分別稱為T的象空間和核空間。定義：線性變換T的象空間維數(shù)dimR(T)稱為T的秩，核空間維數(shù)dim(N(T)稱為T的虧。可以證明，若V維數(shù)為n，T的秩為r，則T的虧為n-r。例：實(shí)數(shù)域R上的不超過(guò)n次多項(xiàng)式的全體Pn中為線性空間，求導(dǎo)運(yùn)算的象空間為Pn-1

，核空間為R。第31頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天線性變換的運(yùn)算零變換T0：T0x=0變換的加法：定義(T1+T2)x=T1x+T2x負(fù)變換：定義(-T)x=-(Tx)數(shù)乘：定義(kT)x=k(Tx)定理：V上所有變換構(gòu)成的集合在以上加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算下構(gòu)成線性空間。單位變換Te：Tex=x變換的乘法：定義(T1T2)x=T1(T2x)逆變換：若T為一一對(duì)應(yīng)，則可定義逆變換T-1。定理：V上所有線性變換構(gòu)成的集合在以上加法和乘法運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)環(huán)，且是非交換環(huán)(環(huán)比數(shù)域條件弱)。第32頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天線性變換的矩陣表示以下討論均假設(shè)線性空間為F上的有限維空間，并以上標(biāo)表示維數(shù)，如Vn、Wm等。設(shè)映射T為Vn上的線性變換，為空間的基底，則可以用該基底線性表示，即

寫成矩陣形式第33頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)Vn中的任意元素x，設(shè)x和Tx的基底表示如下

于是有：

得到：第34頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)Vn上的線性變換T，在基底下可以用矩陣來(lái)表示：定理：設(shè)Vn上的變換T在基底下對(duì)應(yīng)的矩陣為A，則R(T)=rank(A)N(T)=n-rank(A)（由AX=0立即得到）單位變換對(duì)應(yīng)單位矩陣零變換對(duì)應(yīng)零矩陣逆變換對(duì)應(yīng)逆矩陣第35頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)Vn上的線性變換T在兩組基底和下對(duì)應(yīng)的矩陣分別為A和B，兩個(gè)基底之間的過(guò)度矩陣為P，即：

于是即得結(jié)論：相似矩陣表示相同的線性變換第36頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天矩陣的運(yùn)算零矩陣（對(duì)應(yīng)零變換）矩陣加法（對(duì)應(yīng)線性變換的加法）負(fù)矩陣（對(duì)應(yīng)負(fù)線性變換）數(shù)乘（對(duì)應(yīng)線性變換的數(shù)乘）定理：所有n×m階矩陣的集合在以上加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算下構(gòu)成線性空間。單位陣（對(duì)應(yīng)單位變換）矩陣的乘法（對(duì)應(yīng)變換的乘法）逆矩陣（對(duì)應(yīng)逆變換）定理：所有n階方陣的集合在以上加法和乘法運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)環(huán)，且是非交換環(huán)(環(huán)比數(shù)域條件弱)。第37頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義設(shè)T是數(shù)域F上的線性空間V的一個(gè)線性變換，如果對(duì)于數(shù)域F中的某個(gè)元素λ0，存在一個(gè)非零向量ξ，使得

那么稱λ0為T的一個(gè)特征值，而ξ稱為T屬于特征值λ0的一個(gè)特征向量。取定V的一組基底，設(shè)T在這組基下的矩陣是A，向量ξ在這組基下的坐標(biāo)是，那么我們有線性變換的特征值與特征向量即得第38頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天求解特征值與特征向量選定線性空間的一個(gè)基底，求線性變換T在此基底下對(duì)應(yīng)的矩陣A；求解矩陣A的特征多項(xiàng)式的所有根；求出矩陣A的每一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量；以A的特征向量為坐標(biāo)求出對(duì)應(yīng)的特征向量。第39頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1

設(shè)V是數(shù)域F上的3維線性空間，T是V上的一個(gè)線性變換，T在V的一個(gè)基下的矩陣是求T的全部特征值與特征向量。解：求T的特征值等價(jià)于求對(duì)應(yīng)矩陣的特征值和特征向量。第40頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天所以A的特征值是3(二重)與-6。對(duì)于特征值3，解齊次線性方程組得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：第41頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天從而T的屬于3的極大線性無(wú)關(guān)特征向量組是于是T屬于3的全部特征向量是

這里k1k2≠0。對(duì)于特征值-6，解齊次線性方程組得到一個(gè)基礎(chǔ)解系：第42頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天從而T的屬于-6的極大線性無(wú)關(guān)特征向量組是于是T的屬于-6的全部特征向量這里

k為數(shù)域F中任意非零數(shù)。第43頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天特征值與特征向量的相關(guān)性質(zhì)特征子空間：線性變換T屬于特征值λ0的特征向量生成的子空間，記為，其中的非零向量為特征向量。屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的。Tr(AB)=Tr(BA)（方陣的對(duì)角線之和稱為矩陣的跡）。相似矩陣具有相同的跡、行列式和秩。相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式和特征值。矩陣A是其特征多項(xiàng)式的零點(diǎn)，即設(shè)，則第44頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形n階矩陣A可以對(duì)角化的充分必要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都為實(shí)數(shù)，且與對(duì)角矩陣相似；任何復(fù)矩陣與一Jordan矩陣相似；第45頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天矩陣可對(duì)角化的判定推論：矩陣A可以對(duì)角化的充分必要條件是A的特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于幾何重?cái)?shù)。注：特征值的代數(shù)重?cái)?shù)是指該特征值作為特征多項(xiàng)式的根的重?cái)?shù)。幾何重?cái)?shù)是指特征子空間的維數(shù)。即對(duì)每個(gè)特征值λk,對(duì)應(yīng)的特征子空間為的解空間，其維數(shù)稱為幾何維數(shù)。第46頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1

判斷矩陣是否可以對(duì)角化？解：先求出A的特征值于是A的特征值為λ1=1，λ2=2（代數(shù)重?cái)?shù)=2）。由于λ1=1是單的特征值，它一定對(duì)應(yīng)一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。下面我們考慮λ2=2第47頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天于是即特征子空間的維數(shù)為1，從而不可以相似對(duì)角化。第48頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義：

已知和關(guān)于變量x

的多項(xiàng)式那么我們稱為A的矩陣多項(xiàng)式。設(shè)A

為一個(gè)n

階矩陣，J

為其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，則于是有矩陣的多項(xiàng)式表示與矩陣的最小多項(xiàng)式第49頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天我們稱上面的表達(dá)式為矩陣多項(xiàng)式f(J)的Jordan表示。其中第50頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天第51頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天例已知多項(xiàng)式與矩陣求f(A)。解：首先求出矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J及其相似變換矩陣P那么有第52頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天第53頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義：已知和關(guān)于變量x的多項(xiàng)式如果f(x)滿足，那么稱該多項(xiàng)式為矩陣A的一個(gè)零化多項(xiàng)式。第54頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理：已知，為其特征多項(xiàng)式,則有我們稱此定理為Hamilton-Cayley定理。定義：已知，在A的零化多項(xiàng)式中，次數(shù)最低且首項(xiàng)系數(shù)為1的零化多項(xiàng)式稱為A的最小多項(xiàng)式，通常記為最小多項(xiàng)式的性質(zhì)：已知，那么（1）矩陣A的最小多項(xiàng)式是唯一的。（2）矩陣的任何一個(gè)零化多項(xiàng)式均能被整除。（3）相似矩陣有相同的最小多項(xiàng)式。第55頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天如何求一個(gè)矩陣的最小多項(xiàng)式?首先我們考慮Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的最小多項(xiàng)式。例1：已知一個(gè)Jordan塊求其最小多項(xiàng)式。解：注意到其特征多項(xiàng)式為,則由上面的定理可知其最小多項(xiàng)式一定具有如下形狀，其中。但是當(dāng)時(shí)第56頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天第57頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天因此有.例2：已知對(duì)角塊矩陣,而分別為子塊的最小多項(xiàng)式，則的最小多項(xiàng)式為即為的最小公倍數(shù)。例3：求下列矩陣的最小多項(xiàng)式第58頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：（1）首先求出其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為所以其最小多項(xiàng)式為。（2）此矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為第59頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天從而其最小多項(xiàng)式為。（3）該矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為第60頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天故其最小多項(xiàng)式為。（4）此矩陣本身就是一個(gè)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，所以其最小多項(xiàng)式第61頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天Euclid空間（歐氏空間）線性空間內(nèi)積的定義：設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上的n維線性空間，對(duì)于V中的任意兩個(gè)向量α、β,

按照某一確定法則對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)稱為與α與β的內(nèi)積，記為(α,β)，并且要求內(nèi)積滿足下列運(yùn)算條件：我們稱帶有這樣內(nèi)積的線性空間為Euclid空間(歐氏空間)。當(dāng)且僅當(dāng)α=0時(shí)內(nèi)積為零第62頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1

在Rn中，對(duì)于規(guī)定容易驗(yàn)證(,)是Rn上的一個(gè)內(nèi)積，從而Rn成為一個(gè)歐氏空間。如果規(guī)定容易驗(yàn)證(,)2也是Rn上的一個(gè)內(nèi)積，這樣Rn又成為另外一個(gè)歐氏空間。第63頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2

在mn維線性空間Rm×n中，規(guī)定容易驗(yàn)證這是Rm×n上的一個(gè)內(nèi)積，這樣Rm×n對(duì)于這個(gè)內(nèi)積成為一個(gè)歐氏空間。例3

在連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的線性空間C[a,b]中，規(guī)定容易驗(yàn)證(f,g)是C[a,b]上的一個(gè)內(nèi)積，這樣C[a,b]對(duì)于這個(gè)內(nèi)積成為一個(gè)歐氏空間。第64頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天Euclid空間的性質(zhì)第65頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天有限維線性歐氏空間設(shè)實(shí)數(shù)域上有限維線性空間V的基底為，設(shè)向量x與y在此基底下的表達(dá)式如下

則x與y的內(nèi)積可以表示如下第66頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天

取即A為實(shí)對(duì)稱矩陣，而且(x,x)>0表明A為正定的。第67頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天性質(zhì)：（1）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)（2）（3）（4）

歐氏空間的度量定義：設(shè)V為線性歐氏空間，向量的長(zhǎng)度或范數(shù)定義為第68頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1：在線性空間Rm×n

中，證明證明：由于Tr(ABT)為線性空間中的內(nèi)積，由三角不等式得證。例2

設(shè)C[a,b]表示閉區(qū)間[a,b]上的所有連續(xù)實(shí)函數(shù)組成的線性空間，證明對(duì)于任意的f(x),g(x)∈C[a,b]，我們有證明：由于為線性空間C[a,b]上的內(nèi)積，由內(nèi)積基本性質(zhì)可得上式。第69頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義：設(shè)V為歐氏空間，兩個(gè)非零向量的夾角定義為

于是有定理：定義：在歐氏空間V中，如果，則稱與正交。定義：長(zhǎng)度為1的向量稱為單位向量，對(duì)于任何一個(gè)非零的向量，向量總是單位向量，稱此過(guò)程為單位化。第70頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義設(shè)為一組不含有零向量的向量組，如果內(nèi)的任意兩個(gè)向量彼此正交，則稱其為正交的向量組。命題正交向量組一定是線性無(wú)關(guān)向量組。定義

如果一個(gè)正交向量組中任何一個(gè)向量都是單位向量，則稱此向量組為標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組。定義：在n維內(nèi)積空間中，由n個(gè)正交向量組成的基底稱為正交基底；由n個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組成的基底稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基底。注意：標(biāo)準(zhǔn)正交基底不唯一。標(biāo)準(zhǔn)正交基底第71頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理：向量組為正交向量組的充分必要條件是向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組的充分必要條件是定理：由一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組出發(fā)可以構(gòu)造一個(gè)正交向量組，甚至是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。第72頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天

設(shè)為n維內(nèi)積空間V中的r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，利用這r個(gè)向量構(gòu)造一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組的步驟如下：第一步：容易驗(yàn)證是一個(gè)正交向量組.Schmidt正交化方法第73頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天第二步單位化顯然是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組。例1

運(yùn)用正交化與單位化過(guò)程將向量組化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。解：先正交化

第74頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天再單位化那么即為所求的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。第75頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天以上正交化方法的結(jié)果與向量的次序有關(guān)。除此之外，還可以通過(guò)矩陣運(yùn)算直接正交化。為此令：則矩陣B=AAT為正定實(shí)對(duì)稱矩陣，因此存在正交矩陣P，使得第76頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天其解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底。解：先求出其一個(gè)基礎(chǔ)解系下面對(duì)進(jìn)行正交化與單位化：例2

求下面齊次線性方程組第77頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天即為其解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底。第78頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義：設(shè)V是一個(gè)n維歐氏空間,σ是V的一個(gè)線性變換，如果對(duì)任意的α∈V都有正交變換與正交矩陣則稱σ是V的一個(gè)正交變換。定理：線性變換σ是正交變換的充分必要條件是：任意的都有第79頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明：必要性，設(shè)σ是正交變換，，則有于是有

充分性：取立即可得σ為正交變換。

第80頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義：設(shè)A為一個(gè)n

階實(shí)矩陣，如果其滿足AAT=ATA=I則稱A正交矩陣，一般記為A∈En×n。例：第81頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)，那么正交矩陣的性質(zhì)定理：設(shè)A∈Rn×n

，A是一個(gè)正交矩陣的充分必要條件為A的n個(gè)列（或行）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。第82頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理：設(shè)V是一個(gè)n維歐氏空間，σ是V的一個(gè)線性變換，那么下列陳述等價(jià)：（1）σ是正交變換；（3）σ將V的標(biāo)準(zhǔn)正交基底變成標(biāo)準(zhǔn)正交基底；（4）線性變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣表示為正交矩陣。第83頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義：設(shè)V是一個(gè)n維歐氏空間,σ是V的一個(gè)線性變換，如果對(duì)任意的都有對(duì)稱變換與對(duì)稱矩陣則稱σ是V的一個(gè)對(duì)稱變換。定理：線性變換σ是實(shí)對(duì)稱變換的充分必要條件是：σ在標(biāo)準(zhǔn)正交基下對(duì)應(yīng)的矩陣是實(shí)對(duì)稱矩陣。證明：設(shè)σ在標(biāo)準(zhǔn)正交基下對(duì)應(yīng)的矩陣為A，向量α和β的坐標(biāo)為列向量X1和X2，則的坐標(biāo)分別為AX1和AX2，于是有第84頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天酉空間酉空間的定義：設(shè)V是復(fù)數(shù)域C上的n維線性空間，對(duì)于V中的任意兩個(gè)向量α、β,

按照某一確定法則對(duì)應(yīng)著一個(gè)復(fù)數(shù)，這個(gè)復(fù)數(shù)為α與β的內(nèi)積，記為(α,β)，并且要求內(nèi)積滿足下列運(yùn)算條件：我們稱帶有這樣內(nèi)積的線性空間為酉空間。當(dāng)且僅當(dāng)α=0時(shí)內(nèi)積為零第85頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天酉空間內(nèi)積的性質(zhì)第86頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天酉空間的類似理論酉空間和歐氏空間都屬于內(nèi)積空間，因此有相似的性質(zhì)和結(jié)論標(biāo)準(zhǔn)正交基酉變換（對(duì)應(yīng)歐氏空間的正交變換）Hermite變換與Hermite矩陣（即共軛對(duì)稱矩陣，對(duì)應(yīng)歐氏空間的對(duì)稱變換與實(shí)對(duì)稱矩陣）第87頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義：設(shè)，若存在

，使得則稱A酉相似(或正交相似)于B。Schur引理與正規(guī)矩陣第88頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理(Schur引理)：任何一個(gè)n階復(fù)矩陣（實(shí)矩陣）A酉相似（正交相似）于一個(gè)上(下)三角矩陣。證明：用數(shù)學(xué)歸納法。A的階數(shù)為1時(shí)定理顯然成立?，F(xiàn)設(shè)A的階數(shù)為k-1時(shí)定理成立，考慮A的階數(shù)為k時(shí)的情況。取k階矩陣A的一個(gè)特征值λ1，對(duì)應(yīng)的單位特征向量為α1，構(gòu)造以α1為第一列的k階酉矩陣第89頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天因此其中A1是k-1階矩陣，根據(jù)歸納假設(shè)，存在k-1階酉矩陣W滿足(上三角矩陣)因?yàn)闃?gòu)成Ck的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，故第90頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天那么令U=U1U2，則UHAU為上三角矩陣，定理得證。令第91頁(yè),共100頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義:

設(shè)A∈Cn×n，如果滿足那么稱矩陣A為一個(gè)