微積分（第三版）課件：無窮級數(shù)

線性代數(shù)高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分無窮級數(shù)

第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級數(shù)概念及性質(zhì)第二節(jié)數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法第三節(jié)冪級數(shù)第四節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開第五節(jié)冪級數(shù)應(yīng)用

無窮級數(shù)第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級數(shù)概念及性質(zhì)一、數(shù)項(xiàng)級數(shù)概念二、數(shù)項(xiàng)級數(shù)及其性質(zhì)無窮級數(shù)

導(dǎo)言：無窮級數(shù)是研究無限個離散量之和的數(shù)學(xué)模型.它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的有力工具.

本章主要介紹數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念、性質(zhì)與斂散性判別法；冪級數(shù)的收斂性及將函數(shù)展開為冪級數(shù).第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級數(shù)概念及性質(zhì)

求和運(yùn)算是數(shù)學(xué)的最基本運(yùn)算，從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)隨時都可以遇到，這些求和主要是有限項(xiàng)之和.如：數(shù)值相加、函數(shù)相加、數(shù)列求和等.如：等比數(shù)列求和

實(shí)際問題中,除了要遇到有限項(xiàng)求和外,經(jīng)常還要遇到從有限個數(shù)量相加到無窮個數(shù)量相加的問題.

圓的面積問題:半徑為的圓的面積為.在圓內(nèi)作圓的內(nèi)接正六邊形其面積為；以正六邊形邊為底頂點(diǎn)在圓周上作三角形其面積和為；以此類推有則有這里就出現(xiàn)了無窮個數(shù)量相加問題.設(shè)數(shù)列將數(shù)列的所有項(xiàng)按照給定的次序相加，得到表達(dá)式用表示上式的前n項(xiàng)和，即這樣就得到一個數(shù)列

由數(shù)列極限概念，可知數(shù)列在時的極限，可以看成（1）式的和.由等比數(shù)列求和公式得于是所以

此例說明為了解決無窮項(xiàng)相加問題，按照有限與無限之間的辨證轉(zhuǎn)化關(guān)系，可以通過數(shù)列極限給出其和的概念，即數(shù)項(xiàng)級數(shù)概念.一、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念

定義1

若數(shù)列u1,u2,···,un,···，按其給定次序用加號將其連接起來所得和式簡記為.稱其為數(shù)項(xiàng)級數(shù),稱其第n項(xiàng)un為通項(xiàng)或一般項(xiàng).級數(shù)的前n項(xiàng)和稱為級數(shù)的前n項(xiàng)部分和.數(shù)列稱為部分和數(shù)列.若存在,則稱級數(shù)收斂,并稱此極限值S為級數(shù)的和,記為.若不存在,則稱級數(shù)發(fā)散.

定義2

設(shè)級數(shù)的前n項(xiàng)部分和數(shù)列為若收斂，則稱為級數(shù)的余項(xiàng).例判定級數(shù)的收斂性.解所給級數(shù)的前n項(xiàng)和可知故所給級數(shù)收斂，且和為1.例判定級數(shù)的收斂性.解由得可知由級數(shù)的斂散定義知，級數(shù)發(fā)散.

例判定等比級數(shù)的斂散性.

解若時,當(dāng)|r|<1時,因,所以,即級數(shù)收斂.當(dāng)|r|>1時,因,所以即級數(shù)發(fā)散.當(dāng)時,因所以即級數(shù)發(fā)散.當(dāng)時,因不存在,級數(shù)發(fā)散.綜上,當(dāng)|r|<1時,當(dāng)|r|≥1時發(fā)散.

例(芝諾悖論)烏龜與阿基里斯賽跑問題:芝諾(古希臘哲學(xué)家)認(rèn)為如果先讓烏龜爬行一段路程后,再讓阿基里斯(古希臘神話中的賽跑英雄)去追它,那么阿基里斯將永遠(yuǎn)追不上烏龜.

芝諾的理論根據(jù)是：阿基里斯在追上烏龜前,必須先到達(dá)烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn),這時烏龜已向前爬行了一段路程,于是,阿基里斯必須趕上這段路程,可是烏龜此時又向前爬行了一段路程如此下去,雖然阿基里斯離烏龜越來越接近,但卻永遠(yuǎn)追不上烏龜.

該結(jié)論顯然是錯誤的,但從邏輯上講這種推論卻沒有任何矛盾這就是著名的芝諾悖論.在此,我們用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行分析反駁.

設(shè)烏龜與阿基里斯起跑時的間距為,烏龜?shù)乃俣葹?阿基里斯的速度是烏龜?shù)?00倍,則由烏龜爬行到的時間與阿基里斯到達(dá)的時間相等有以此類推所以,阿基里斯在追趕烏龜時所跑的路程為即由計(jì)算可知當(dāng)阿基里斯追到離起點(diǎn)處時已經(jīng)追趕上了烏龜.二、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本性質(zhì)

性質(zhì)1

若級數(shù)收斂,其和為S,則對任意常數(shù)

，則級數(shù)也收斂,且其和為kS.證設(shè)級數(shù)與的部分和分別為與由于，于是極限與同時收斂或同時發(fā)散，從而級數(shù)與的斂散性相同.且

性質(zhì)2

若收斂,其和為S；收斂,其和為T

則必收斂,其和為.證設(shè)，，的部分和為，與因?yàn)?，，所以于是所以，級?shù)收斂于

性質(zhì)3

在級數(shù)中去掉或添加有限項(xiàng),所得新級數(shù)與原來級數(shù)的收斂性相同.

性質(zhì)4

收斂級數(shù)添括號后所得級數(shù)仍收斂且和不變例

判定的收斂性.解

因?yàn)榈缺燃墧?shù)與均收斂所以由級數(shù)收斂性質(zhì)知收斂.(1)若收斂，發(fā)散,則必定發(fā)散.(2)若發(fā)散，也發(fā)散,則不一定發(fā)散.(4)若發(fā)散,則添括號的新級數(shù)不一定發(fā)散.思考與練習(xí)：以下命題請給出證明或反例.(3)若級數(shù)發(fā)散,則級數(shù)(k≠0)必定發(fā)散.

定理(收斂必要條件)

若收斂,則必有又由極限的運(yùn)算法則可知證由于收斂，因此.注意：這個定理的逆命題不正確,即級數(shù)的通項(xiàng)的極限為零，并不一定能保證收斂.推論若或不存在,則必定發(fā)散.例證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散.

證明一構(gòu)造幾何圖形，由圖可知級數(shù)的部分和等于圖形中矩形面積之和此部分和大于曲邊梯形的面積即因所以故調(diào)和級數(shù)發(fā)散.1234nn+1

證明二假設(shè)級數(shù)收斂其和為S,即則于是而故由此矛盾，所以級數(shù)發(fā)散.對于調(diào)和級數(shù)有但級數(shù)發(fā)散.例判定級數(shù)的斂散性.解

所給級數(shù)的通項(xiàng)，所以級數(shù)為發(fā)散級數(shù).無窮級數(shù)第二節(jié)數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法一、正項(xiàng)級數(shù)及其判別法二、交錯級數(shù)及其斂散性三、絕對收斂于條件收斂第二節(jié)數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法一、正項(xiàng)級數(shù)及其斂散性對于正項(xiàng)級數(shù)，由于，因此可知數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列.則稱為正項(xiàng)級數(shù).

定義若數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般項(xiàng)

定理正項(xiàng)級數(shù)收斂的充分必要條件為：它的前n項(xiàng)部分和所構(gòu)成的數(shù)列有上界.

定理(比較判別法1)

設(shè)兩個正項(xiàng)級數(shù)與如果滿足那么(1)若收斂,則收斂.（大的收斂小的必收斂）(2)若發(fā)散,則發(fā)散.(小的發(fā)散大的必發(fā)散）證明對于正項(xiàng)級數(shù)與，由則有

如果收斂,可知有上界,從而知有上界.再由正項(xiàng)級數(shù)收斂的充分必要條件可知收斂.

推論若正項(xiàng)級數(shù)收斂，且存在N，當(dāng)時，有，則正項(xiàng)級數(shù)也收斂.

如果發(fā)散,可知無界,從而知無界.因此，級數(shù)也發(fā)散.說明：在比較判別法的條件中,只要從某一項(xiàng)起有就可以.

若正項(xiàng)級數(shù)發(fā)散，且存在N，當(dāng)時，有，則正項(xiàng)級數(shù)也發(fā)散.例判定級數(shù)的斂散性.

解(1)因?yàn)槎墧?shù)發(fā)散，由比較法知發(fā)散.

因?yàn)?/p>

(2)對于正項(xiàng)級數(shù)而級數(shù)收斂，由比較法知收斂.例判定級數(shù)的斂散性.

解故為正項(xiàng)級數(shù).若取，則為等比級數(shù)且收斂，因此，由比較判別法可知收斂.因當(dāng)x>0時，有sinx<x，因此

例判定p-級數(shù)（其中p>0為常數(shù)）的斂散性.若0<p<1,因，又調(diào)和級數(shù)發(fā)散.由比較判別法可知發(fā)散.解若p=1，則級數(shù)為調(diào)和級數(shù)發(fā)散.若p>1,將級數(shù)加括號有后者級數(shù)為等比級數(shù),公比,級數(shù)收斂.因此，利用比較判別法可得知,當(dāng)p>1時，收斂.綜合上述有例判定的斂散性.

解(1)因?yàn)槎墧?shù)收斂，由比較法知收斂.

(2)因?yàn)槎墧?shù)收斂，由比較法知收斂.

發(fā)散

發(fā)散級數(shù)斂散性表達(dá)式

收斂p-級數(shù)發(fā)散調(diào)和級數(shù)

收斂等比級數(shù)級數(shù)名稱

在使用比較判別法時，需要根據(jù)待判別級數(shù)特征，選擇一個比較級數(shù)，常用的比較級數(shù)為

定理(比較判別法2)

設(shè)兩個正項(xiàng)級數(shù)與且若極限則（1）當(dāng)時，級數(shù)與斂散性相同.（2）當(dāng)時，若級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂.（3）當(dāng)時，若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散.

為了使用上的方便，比較判別法可以寫成下面極限形式.例判定級數(shù)的斂散性.解

所給級數(shù)的通項(xiàng)由或由解

所給級數(shù)的通項(xiàng)由于例判別級數(shù)的斂散性.因?yàn)榘l(fā)散，由比較法知發(fā)散.例判別的斂散性.解

（1）由于（2）由于當(dāng)時因?yàn)槭諗?，由比較法知收斂.因?yàn)槭諗浚杀容^法知收斂.

定理

(比值判別法)

若正項(xiàng)級數(shù)后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限，則（1）當(dāng)時，級數(shù)收斂；（2）當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.

說明：比值判別法比比較判別法使用方便，它主要判別一般項(xiàng)由指數(shù)冪或階乘等形式構(gòu)成的正項(xiàng)級數(shù)的斂散性.但當(dāng)時，判別法失效.例判定的斂散性.解

(1)所以原級數(shù)收斂.（2）所以原級數(shù)收斂.例判定級數(shù)斂散性.解原級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù)，其通項(xiàng)為當(dāng)a>e時，原級數(shù)收斂；當(dāng)0<a<e時，原級數(shù)發(fā)散.由比較判別法可知發(fā)散.例判定級數(shù)的斂散性.解所給級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù)，其通項(xiàng)比值判別法失效,利用比較判別法,因級數(shù)發(fā)散.

定理

(根值判別法)

設(shè)正項(xiàng)級數(shù)且（1）當(dāng)時，級數(shù)收斂；（2）當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.

說明：如果正項(xiàng)級數(shù)的一般項(xiàng)為n次冪形式時，可以使用柯西根值判別法．但當(dāng)時判別法失效.例判定的斂散性.解

(1)所以原級數(shù)發(fā)散.（2）所以原級數(shù)收斂.

定理

(積分判別法)設(shè)是上非負(fù)單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則正項(xiàng)級數(shù)與同時斂散.例判定級數(shù)的斂散性.解因?yàn)榉e分所以原級數(shù)收斂.3.使用比較判別法時,先選擇適宜的比較級數(shù),針對其斂散性,對級數(shù)一般項(xiàng)相對于比較級數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小(或考慮相比極限),再判別其斂散性.判定正項(xiàng)級數(shù)的斂散性應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1.如果易求，應(yīng)先判定是否？若則可知發(fā)散.2.可先考慮利用比值判別法（或根值判別法）判定其收斂性.

定理(萊布尼茨定理)

若交錯級數(shù)滿足：二、交錯級數(shù)及其斂散性

交錯級數(shù)是指級數(shù)的各項(xiàng)是正負(fù)(或負(fù)正)相間的級數(shù).設(shè)其一般式為級數(shù)必定收斂,且其和,其余項(xiàng)滿足則交錯因括號中的值皆非負(fù),有故數(shù)列有界證明考察所給級數(shù)前2n項(xiàng)的部分和，由知為單調(diào)增加數(shù)列.又且由數(shù)列極限存在定理知極限存在，設(shè)為由于，再由條件從而，可得由極限性質(zhì)：若中的子列與都有極限，且兩極限值相等，則必有極限.因此收斂，且其和.由于為交錯級數(shù).由前述討論，知其收斂，且其和例判定斂散性.解所給級數(shù)為交錯級數(shù)，且因?yàn)橛扇R布尼茨定理可知該交錯級數(shù)收斂.三、絕對收斂與條件收斂對于任意項(xiàng)級數(shù)如果對其每一項(xiàng)均取絕對值則可得正項(xiàng)級數(shù).定理若收斂，則必定收斂.證由比較判別法知，因由性質(zhì)知收斂.

說明：若級數(shù)絕對收斂,則該級數(shù)必定收斂.反之，若級數(shù)收斂，則未必絕對收斂.定義如果收斂，則稱絕對收斂.如果級數(shù)收斂，而發(fā)散，則稱條件收斂.例交錯級數(shù)收斂.但級數(shù)發(fā)散,故條件收斂.為的p-級數(shù)，為收斂級數(shù).

例判定級數(shù)的收斂性.如果它收斂，是絕對收斂，還是條件收斂？解此級數(shù)非交錯級數(shù)，其通項(xiàng)從而知收斂，且為絕對收斂.

例討論級數(shù)的斂散性.解因?yàn)閤為任意實(shí)數(shù)，所以級數(shù)為任意項(xiàng)級數(shù)由于

所以，當(dāng)時，級數(shù)絕對收斂；當(dāng)時級數(shù)發(fā)散；

當(dāng)時，級數(shù)為調(diào)和級數(shù)，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，級數(shù)條件收斂

例判定級數(shù)的收斂性(其中p>0),如果其收斂,是絕對收斂,還是條件收斂?解記，則.當(dāng)p>1時，收斂，因此絕對收斂.由知交錯級數(shù)發(fā)散,故為條件收斂.數(shù)項(xiàng)級數(shù)必要條件正項(xiàng)級數(shù)比值判別法比較判別法斂散性質(zhì)定義級數(shù)發(fā)散交錯級數(shù)任意項(xiàng)級數(shù)萊氏判別法判別級數(shù)類型絕對收斂判別數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的過程1.若任意項(xiàng)級數(shù)發(fā)散，是否必定發(fā)散？2.若級數(shù)發(fā)散，是否必定發(fā)散？

思考題無窮級數(shù)第三節(jié)冪級數(shù)一、冪級數(shù)概念二、冪級數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)第三節(jié)冪級數(shù)問題導(dǎo)言——研究冪級數(shù)的意義

借助計(jì)算器、計(jì)算機(jī)我們可以很容易計(jì)算基本初等函數(shù),,的函數(shù)值.那么，這些函數(shù)值通過什么程式計(jì)算的呢？其答案就是冪級數(shù).

冪級數(shù)的應(yīng)用不僅體現(xiàn)在函數(shù)值的計(jì)算，借助冪級數(shù)還可以解決積分、極限、微分方程的解等問題.冪級數(shù)是級數(shù)中最重要且應(yīng)用最廣泛的一種級數(shù).本節(jié)主要介紹冪級數(shù)的概念、運(yùn)算與性質(zhì).一、冪級數(shù)的概念

定義設(shè)是定義在區(qū)間I內(nèi)的函數(shù)則稱和式為定義在I內(nèi)的函數(shù)項(xiàng)級數(shù).

對于I內(nèi)的每一個值,函數(shù)項(xiàng)級數(shù)都化為常數(shù)項(xiàng)級數(shù),即1.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)級數(shù)的前n項(xiàng)和稱為部分和在的收斂域內(nèi)有.稱S(x)為級數(shù)的和函數(shù).稱為的余項(xiàng).在收斂域內(nèi)總有

定義如果收斂，則稱x0為的收斂點(diǎn),級數(shù)的收斂點(diǎn)的集合稱為該級數(shù)的收斂域.如果發(fā)散，則稱x0為的發(fā)散點(diǎn).

例求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域與和函數(shù).

解對于給定的x

，由等比級數(shù)知，當(dāng)時而當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散所以，冪級數(shù)的收斂域?yàn)?，和函?shù)為稱為關(guān)于的冪級數(shù).定義形如(其中都是常數(shù))的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，稱為x的冪級數(shù).稱為冪級數(shù)的系數(shù).一般地2.冪級數(shù)的概念級數(shù)

對于形如的冪級數(shù)，將換成x則可將其變?yōu)樾稳绲膬缂墧?shù)．3.冪級數(shù)的收斂域問題：冪級數(shù)收斂點(diǎn)的分布情況如何？例求冪級數(shù)的收斂域.

解對于任意給定的x,考察正項(xiàng)級數(shù)由比值法知當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時,級數(shù)收斂；當(dāng)時,收斂,所以收斂域?yàn)榇死f明冪級數(shù)的收斂域是以原點(diǎn)為中心的對稱區(qū)間.(1)冪級數(shù)在x=0處收斂.定理(阿貝爾定理)設(shè)給定冪級數(shù)則(2)若在處收斂，則對于一切適合的x，冪級數(shù)絕對收斂.(3)若在處發(fā)散，則對于一切適合的x，冪級數(shù)發(fā)散.顯然，冪級數(shù)在x=0處收斂.即(1)成立.因此存在使

證明

(2)若級數(shù)收斂,則,由于從而幾何級數(shù)收斂.即絕對收斂.(3)設(shè)時，收斂,則依(2)的結(jié)論在x0處收斂，矛盾.

定理說明：如果冪級數(shù)在x0處收斂，則在區(qū)間內(nèi)絕對收斂；如果冪級數(shù)在處發(fā)散，則在之外的任何點(diǎn)x處必定發(fā)散.

推論如果冪級數(shù)不是僅在x=0處收斂,也不是在整個數(shù)軸都收斂，則必存在正數(shù)R，使得當(dāng)|x|<R時，絕對收斂；當(dāng)|x|>R時，級數(shù)發(fā)散.當(dāng)x=±R時，可能收斂，也可能發(fā)散.

定義通常稱上述R為冪級數(shù)的收斂半徑，稱(－R,R)為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.

如果對于任意x,冪級數(shù)都收斂,則定義其收斂半徑為，收斂區(qū)間為.

如果冪級數(shù)僅在x=0處收斂，則定義其收斂半徑R=0.

定理設(shè),若則①②③證對于給定的x，為常數(shù)項(xiàng)級數(shù).對于級數(shù)當(dāng),即時，絕對收斂，當(dāng),即時,發(fā)散，所以收斂半徑由比值法知因當(dāng),對于任意的x值,總有,所以冪級數(shù)在內(nèi)絕對收斂.當(dāng),對于任意的值,總有,所以冪級數(shù)對任何都發(fā)散.它只在x=0處收斂即收斂半徑為R=0.說明：此定理說明若收斂半徑為R，則當(dāng)|x|<R時，絕對收斂，當(dāng)|x|>R時，發(fā)散，但當(dāng)時，可能收斂，也可能發(fā)散.例求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間.解由于可知收斂半徑R=0，所給級數(shù)僅在x=0處收斂.例求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間.解由于可知收斂半徑

，收斂區(qū)間為.例求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域.解

因?yàn)樗允諗堪霃?，收斂區(qū)間為(－1,1).當(dāng)x=－1時,級數(shù)為交錯級數(shù)收斂.當(dāng)x=1時，原級數(shù)為調(diào)和級數(shù)發(fā)散.故原冪級數(shù)的收斂域?yàn)閇－1,1).例求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間.解設(shè)y=x－1，則原級數(shù)化為.可知收斂半徑，收斂區(qū)間為即－1<x－1<1，也即收斂區(qū)間為0<x<2.因?yàn)楫?dāng)時，發(fā)散.因此,收斂半徑為R=收斂區(qū)間為.

例

求級數(shù)的收斂區(qū)間.當(dāng)時,級數(shù)絕對收斂，

解因級數(shù)中只含x的偶次冪,不能用前述定理.應(yīng)采取比值法且在區(qū)間(－R,R)內(nèi)收斂.

若與的收斂區(qū)間分別為與

,和函數(shù)分別為S(x)與，則有下列性質(zhì).(1)兩冪級數(shù)與可以逐項(xiàng)相加，即二、冪級數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)1.冪級數(shù)的加法與乘法運(yùn)算(2)冪級數(shù)與可按下述規(guī)則相乘,即

(1)

冪級數(shù)的和函數(shù)S(x)為其收斂區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù).2.冪級數(shù)的分析性質(zhì)

(2)若的收斂半徑為R，則其和函數(shù)S(x)在其收斂區(qū)間(－R,R)內(nèi)可導(dǎo),且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式：

(3)若的收斂半徑為R,則其和函數(shù)S(x)在其收斂區(qū)間(－R,R)內(nèi)可積,且有逐項(xiàng)積分公式：例求的收斂區(qū)間與和函數(shù).解所給級數(shù)的系數(shù)，因而收斂半徑，收斂區(qū)間為(－1,1).則兩邊積分得設(shè)其中S(0)=0，所以即例求的收斂區(qū)間與和函數(shù).解所給級數(shù)的系數(shù)因此收斂半徑，收斂區(qū)間為(－1,1).令所給級數(shù)在收斂區(qū)間(－1,1)內(nèi)的和函數(shù)為S(x)，故即因

第四節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開一、泰勒公式二、泰勒級數(shù)三、將函數(shù)展開冪級數(shù)第四節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開

問題導(dǎo)言：計(jì)算特殊數(shù)值，以及一些基本初等函數(shù)的函數(shù)值具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值.解決這些值計(jì)算的一種有效方法是利用函數(shù)逼近.

關(guān)于函數(shù)逼近首先要考慮兩方面問題：一是何種類型函數(shù)來逼近給定的函數(shù).二是以何種方式來逼近給定函數(shù).用函數(shù)逼近的最簡單形式莫過于冪級數(shù).在此主要討論如何將一個函數(shù)表達(dá)成冪級數(shù).

幾何意義為:在點(diǎn)的附近用曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線來代替曲線y=f(x).即進(jìn)行線性代替.

線性代替：由微分的概念知道，如果y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則有一、泰勒公式

線性代替公式的不足：精度往往不能滿足實(shí)際需要；用它作近似計(jì)算時無法估計(jì)誤差.

二次多項(xiàng)式代替：以代替函數(shù)，設(shè)f(x)在含

的某區(qū)間(a,b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),為了使與f(x)盡可能接近，應(yīng)使用在點(diǎn)附近來逼近f(x)，可以提高代替精度,為了進(jìn)一步提高精度,需要采取多項(xiàng)式代替.由可得所以來近似表達(dá)函數(shù)f(x),并使得當(dāng)時，為比高階的無窮小,且能寫出的具體表達(dá)式,以便能估計(jì)誤差.這樣的如何？多項(xiàng)式代替：用簡單的多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行代替.即用

設(shè)f(x)在含

的某區(qū)間(a,b)內(nèi)有n+1階導(dǎo)數(shù),為了使與f(x)盡可能接近，應(yīng)使對多項(xiàng)式函數(shù)求導(dǎo)得由此可得所以且有余項(xiàng)

定理（泰勒公式）設(shè)函數(shù)f(x)在含x0的某區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直至n+1階導(dǎo)數(shù),則當(dāng)時有泰勒展開式

馬克勞林公式若在泰勒公式中令，則有（介于0與x之間）.此展開式稱為馬克勞林公式

.稱為馬克勞林多項(xiàng)式

.稱為余項(xiàng).且有拉格朗日型余項(xiàng).

例設(shè)f(x)=cosx，寫出f(x)在點(diǎn)x=0處的1次、2次、4次、6次泰勒多項(xiàng)式.解由泰勒多項(xiàng)式為

例設(shè)

寫出帶有拉格朗日余項(xiàng)的馬克勞林公式.解由所以，帶有拉格朗日余項(xiàng)的馬克勞林公式為常用的泰勒公式的充分必要條件是二、泰勒級數(shù)

設(shè)函數(shù)f(x)在含x0的某區(qū)間(a,b)內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，由泰勒公式可知即由此可知也即當(dāng)時,有

定義級數(shù)，稱為f(x)在處的泰勒級數(shù).級數(shù)稱為f(x)的在x=0處的麥克勞林級數(shù).

定理設(shè)f(x)在包含點(diǎn)在內(nèi)的某區(qū)間內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).f(x)在點(diǎn)處的泰勒級數(shù)在該區(qū)間內(nèi)收斂于f(x)的充分必要條件是在該區(qū)間內(nèi)

函數(shù)f(x)的泰勒級數(shù)收斂于f(x)也稱為f(x)可以展開成泰勒級數(shù).泰勒級數(shù)展開的唯一性

設(shè)f(x)在的某對稱區(qū)間內(nèi)可以展開成的冪級數(shù)將上式逐階求導(dǎo)，有這樣就證明了下述定理：以