2024年無錫市輔仁中學(xué)高一數(shù)學(xué)3月質(zhì)檢考試卷附答案解析

2024年無錫市輔仁中學(xué)高一數(shù)學(xué)3月質(zhì)檢考試卷全卷滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．2024.03一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．在中，已知，則角為（

）A． B． C． D．2．在中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若：：：2：3，則a：b：（

）A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：：1 D．1：：23．已知中，為邊上一點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．4．已知向量，不共線，且，，，則一定共線的是（

）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D5．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為，，.向量，.若，則角的大小為（

）A．B．C． D．6．在中，是對角線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則＝（）

A． B． C． D．7．如圖，是等腰直角斜邊的三等分點(diǎn)，則等于（

）

A． B． C． D．8．在中，，是的外心，為的中點(diǎn)，，是直線上異于、的任意一點(diǎn)，則（

）A．3 B．6 C．7 D．9二、多選題：本題共3題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．設(shè)向量，滿足，且，則以下結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．向量，夾角為10．已知是夾角為的單位向量，且，則（

）A． B． C．與的夾角為 D．在方向上的投影向量為11．中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為的面積，且，，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．若，則有兩解C．若為銳角三角形，則b取值范圍是D．若D為邊上的中點(diǎn)，則的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．如圖，在菱形ABCD中，，，則．13．如圖，正方形的邊長為，是的中點(diǎn)，是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則.14．如圖，已知的面積為，分別為邊，上的點(diǎn)，且，交于點(diǎn)，則的面積為.四、解答題：本小題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知向量為向量的夾角.(1)求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.16．為直角三角形，斜邊上一點(diǎn)，滿足.（1）若，求；（2）若，，求.17．已知向量，設(shè).(1)，求當(dāng)取最小值時(shí)實(shí)數(shù)t的值；(2)若，問：是否存在實(shí)數(shù)t，使得向量與向量的夾角為？若存在，求出實(shí)數(shù)t；若不存在，請說明理由.18．如圖，在等腰梯形中，，，M為線段中點(diǎn)，與交于點(diǎn)N，P為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)用和表示；(2)求；(3)設(shè)，求的取值范圍．19．如圖，已知為平行四邊形．

(1)若，，，求及的值；(2)記平行四邊形的面積為，設(shè)，，求證：1．B【分析】利用余弦定理的推論即可求解.【詳解】由及余弦定理的推論，得，因?yàn)?，所?故選：B.2．D【分析】根據(jù)題意利用正弦定理進(jìn)行邊化角，結(jié)合三角形的內(nèi)角和為運(yùn)算求解.【詳解】∵：：：2：3，且，∴，，，則，故故選：3．A【分析】利用向量的線性運(yùn)算即可求得.【詳解】在中，.因?yàn)?，所?所以.故選：A4．A【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用共線向量定理逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】向量，不共線，且，，，，則有，而有公共點(diǎn)B，有A，B，D共線，A是；，不存在實(shí)數(shù)，使得，因此不共線，A，B，C不共線，B不是；，不存在實(shí)數(shù)，使得，因此不共線，B，C，D不共線，C不是；，不存在實(shí)數(shù)，使得，因此不共線，A，C，D不共線，D不是.故選：A5．B【分析】根據(jù)，得，由余弦定理可求.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，因?yàn)?，所以，即，由余弦定理可?因?yàn)?，所以，故選：B.6．C【分析】根據(jù)平面向量基本定理，由對應(yīng)系數(shù)相等求解即可.【詳解】由題可知，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴∴，∴．故選：C．7．D【分析】由全等以及余弦定理得，結(jié)合平方關(guān)系以及商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】由題意及圖形：設(shè)三角形的直角邊為3，則斜邊為，又由于為三等分點(diǎn)，所以，又，在中有余弦定理得：，在中，利用余弦定理得：，在中利用同角間的三角函數(shù)關(guān)系可知：．故選：D.8．B【分析】根據(jù)外心的性質(zhì)得到，設(shè)，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，再由數(shù)量積的定義及幾何意義求出，從而得解.【詳解】因?yàn)槭堑耐庑?，為的中點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，

所以，，設(shè)，則，又是的外心，所以，所以.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)外接圓的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，再一個(gè)就是利用數(shù)量積的幾何意義求出.9．AC【分析】對進(jìn)行平方運(yùn)算，可求，可判斷AD選項(xiàng)，再對BC選項(xiàng)進(jìn)行平方運(yùn)算，代入，可判斷BC選項(xiàng).【詳解】，又因?yàn)?，所以，故，所以A正確，D不正確；，故，所以B不正確，，所以，C正確.故選：AC10．ABD【分析】利用向量數(shù)量積運(yùn)算，模、夾角公式，計(jì)算出夾角的余弦值，還有投影的定義求解.【詳解】設(shè)與的夾角為，對B，因?yàn)椋珺正確；對A，，A正確；對C，，所以，C錯(cuò)誤；對D，在方向上的投影為，D正確.故選：ABD11．BCD【分析】由數(shù)量積的定義及面積公式求得角，然后根據(jù)三角形的條件求解判斷各ABC選項(xiàng)，利用，平方后應(yīng)用基本不等式求得最大值，判斷D．【詳解】因?yàn)椋?，，又，所以，A錯(cuò)；若，則，三角形有兩解，B正確；若為銳角三角形，則，，所以，，，，C正確；若D為邊上的中點(diǎn)，則，，又，，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解三角形的應(yīng)用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面積公式是解題關(guān)鍵．在用正弦定理解三角形時(shí)可能會出現(xiàn)兩解的情形，實(shí)際上不一定要死記結(jié)論，可以按正常情況求得，然后根據(jù)的大小關(guān)系判斷角是否有兩種情況即可．12．【分析】根據(jù)向量加法運(yùn)算結(jié)合菱形的性質(zhì)及角度，求出模長即可【詳解】如圖所示，設(shè)菱形對角線交點(diǎn)為O,．因?yàn)?，所以，所以為等邊三角形．又，，所以．在中，，所以．故答案?13．【分析】如圖所示，建立以點(diǎn)為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，就是，的夾角，利用向量的夾角公式求解.【詳解】如圖所示，建立以點(diǎn)為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系.則，，，，，.由于就是，的夾角..的余弦值為.故答案為：14．4【分析】以，建立一組基底向量，再利用點(diǎn)與點(diǎn)分別共線的性質(zhì)表示出，建立二元一次方程，再采用間接法，根據(jù)求出答案，屬于難題【詳解】設(shè)，以，為一組基底，則.∵點(diǎn)與點(diǎn)分別共線，∴存在實(shí)數(shù)和，使.又∵，∴解得∴，∴.【點(diǎn)睛】復(fù)雜的三角形線段關(guān)系問題，借鑒向量法進(jìn)行求解時(shí)，還是需要根據(jù)向量基底進(jìn)行基礎(chǔ)運(yùn)算，如本題中面積問題最終轉(zhuǎn)化成線段比例問題，在處理正面入手不好解決的問題時(shí)，可從對立面入手，采用間接法來進(jìn)行求解15．(1)(2)0或【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得，代入公式夾角公式即可得結(jié)果；（2）分別用坐標(biāo)表示出，利用模長相等即可解得或.【詳解】（1））由可得，所以.（2）由，可得，即，解得或.即實(shí)數(shù)的值為0或.16．（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理以及的范圍，得出的值，再借助即可得解；（2）設(shè)，根據(jù)已知條件和勾股定理求出，進(jìn)而得到的值，再利用余弦定理即可得解.【詳解】（1）由正弦定理：，得，，，，，.（2）設(shè)，，，，從而，由余弦定理，即，解得，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理在平面幾何中的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.平面幾何中解三角形問題的求解思路：（1）把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；（2）尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果.17．(1)時(shí)(2)或【分析】（1）首先求出，再根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示得到，最后求出的模；（2）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，，，再根據(jù)得到方程，解得即可；【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，所以所以，所以當(dāng)時(shí)（2）解：依題意，若，則，又，，所以，又因?yàn)椋?，，，則有，且，整理得，解得或，所以存在或滿足條件．18．(1)(2)(3)【分析】（1）由向量的線性運(yùn)算法則計(jì)算；（2）由題意得，由共起點(diǎn)的三向量終點(diǎn)共線的充要條件求出，即可得出答案；（3）由題意，可設(shè)，代入中并整理可得，又，根據(jù)平面向量基本定理得出方程組，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）由向量的線性運(yùn)算法則，可得，①，②因?yàn)镸為線段中點(diǎn)，則，聯(lián)立①②得：，整理得：．（2）由AM與BD交于點(diǎn)N，得，由共起點(diǎn)的三向量終點(diǎn)共線的充要條件知，，解得：．所以，即．（3）由題意，可設(shè)，代入中并整理可得．又，故，可得：，