2024年涼山州高三數(shù)學(xué)（理）3月二模檢測試卷附答案解析

2024年涼山州高三數(shù)學(xué)（理）3月二模檢測試卷全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.2024.03注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米的黑色簽字筆填寫在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確．2．選擇題使用2B鉛筆涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對(duì)應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡收回．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B．1 C． D．22．已知集合，，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．已知在拋物線上，則到的焦點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．4．已知，且，則在的展開式中，的系數(shù)為（

）A．5 B．10 C．15 D．205．已知命題“，”是假命題，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．為了傳承和弘揚(yáng)雷鋒精神，凝聚榜樣力量．3月5日學(xué)雷鋒紀(jì)念日來臨之際，涼山州某中學(xué)舉辦了主題為“傳承雷鋒精神，踐行時(shí)代力量”的征文比賽．此次征文共5個(gè)題目，每位參賽學(xué)生從中隨機(jī)選取一個(gè)題目準(zhǔn)備作文，則甲、乙，丙三位同學(xué)選到互不相同題目的概率為（

）A． B． C． D．7．已知正數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．若曲線在處的切線與圓C：交于A，B兩點(diǎn)，則為（

）A． B． C． D．9．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式，則的概率為（

）A． B． C． D．10．已知在三棱錐中，，，底面是邊長為1的正三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．11．若，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．312．已知點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則．14．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則．15．如圖，在平行四邊形中，E，F(xiàn)分別是AD，CD的中點(diǎn)，且，，，則平行四邊形的面積為．

16．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，．點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸．，，則C的漸近線方程為．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分17．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．常言道：文史不分家，其實(shí)數(shù)學(xué)與物理也不分家．“近代物理學(xué)之父”——牛頓大約在1671年，完成了《流數(shù)法和無窮級(jí)數(shù)》這部書，標(biāo)志著微積分的正式創(chuàng)立．某學(xué)校課題小組針對(duì)“高中學(xué)生物理學(xué)習(xí)成績與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績的關(guān)系”進(jìn)行了一系列的研究，得到了高中學(xué)生兩學(xué)科的成績具有線性相關(guān)的結(jié)論．現(xiàn)從該校隨機(jī)抽取6名學(xué)生在一次考試中的物理和數(shù)學(xué)成績，如表（單位：分）物理成績x636874768590數(shù)學(xué)成績y9095110110125130(1)經(jīng)過計(jì)算，得到學(xué)生的物理學(xué)習(xí)成績x與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績y滿足回歸方程．若某位學(xué)生的物理成績?yōu)?5分，請預(yù)測他的數(shù)學(xué)成績；(2)若要從抽取的這6名學(xué)生中隨機(jī)選出3名學(xué)生參加一項(xiàng)問卷調(diào)查，記數(shù)學(xué)成績不低于100分的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，平面平面，，是的中點(diǎn)，作交于．

(1)求證：平面；(2)求二面角的正切值．20．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用“逼近法”得到：橢圓面積的4倍除以圓周率等于橢圓的長軸長與短軸長的積．已知是橢圓C：的左焦點(diǎn)，且橢圓C的面積為，離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)，，以為直徑的圓與橢圓C在x軸上方交于M，N兩點(diǎn)，求的值21．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在R上是增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)設(shè)，若，證明：．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線C的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程；(2)若與直線垂直的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求的最大值．[選修4-5：不等式選講]23．已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)若函數(shù)的最小值為m，且正數(shù)a，b，c滿足，求的最小值．1．B【分析】根據(jù)給定條件，利用共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，再求出復(fù)數(shù)的模.【詳解】復(fù)數(shù)，則，，所以.故選：B2．B【分析】求出函數(shù)值域化簡集合A，再利用給定的運(yùn)算結(jié)果，借助包含關(guān)系求解即得.【詳解】集合，而，由，得，則，所以的取值范圍為.故選：B3．D【分析】由拋物線上點(diǎn)可求得，從而得到準(zhǔn)線方程，結(jié)合拋物線定義可得結(jié)果.【詳解】在拋物線上，，解得：，拋物線準(zhǔn)線方程為：，由拋物線定義知：點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為.故選：D.4．B【分析】先根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求出，在利用二項(xiàng)式定理求的系數(shù).【詳解】因?yàn)?，且，則，得，則，其含的項(xiàng)為，即的系數(shù)為.故選：B.5．B【分析】寫出原命題的否定，即為真命題，然后將有解問題轉(zhuǎn)化為最值問題求解即可.【詳解】命題“，”是假命題，則“，”是真命題，所以有解，所以，又，因?yàn)?，所以，?故選：B.6．D【分析】根據(jù)分步計(jì)算原理得到總情況數(shù)，再利用排列公式得到滿足題意的情況數(shù)，最后利用古典概率的計(jì)算公式即可.【詳解】甲同學(xué)可以選擇一個(gè)題目共有5種選法，同理，乙、丙也有5種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，3人到四個(gè)社區(qū)參加志愿服務(wù)共有種選法；若甲、乙，丙三位同學(xué)選到互不相同題目，共有種選法；則甲、乙，丙三位同學(xué)選到互不相同題目的概率為.故選：D.7．C【分析】先求出得到，然后代入，利用基本不等式求最值即可.【詳解】，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：C.8．D【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程，再利用圓的弦長公式計(jì)算即得.【詳解】由，求導(dǎo)得，依題意，切線的斜率為，方程為，即，圓C：的圓心，半徑，點(diǎn)到直線的距離，所以.故選：D9．A【分析】畫出不等式表示的平面區(qū)域，同時(shí)畫出，根據(jù)面積關(guān)系求概率.【詳解】，作出其表示的平面區(qū)域如下圖陰影部分：

，則的概率為.故選：A.10．B【分析】根據(jù)給定條件，證得平面，再確定三棱錐外接球球心，并求出球半徑及表面積.【詳解】在三棱錐中，，，正的邊長為1，則，即有，同理，而平面，于是平面，令正的外心為，三棱錐外接球球心為，則平面，顯然球心在線段的中垂面上，取的中點(diǎn)，則，而，則四邊形是矩形，，所以球半徑，表面積.故選：B11．C【分析】求導(dǎo)，研究函數(shù)單調(diào)性，極值，畫圖，根據(jù)圖象得零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】,當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，，，，則的草圖如下：由圖象可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：C.12．D【分析】判斷直線與曲線的位置關(guān)系，利用式子表示的幾何意義，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)確定的直線同直線夾角正弦最值求解即可.【詳解】依題意，，令直線，顯然過點(diǎn)，由，得，顯然，即直線與曲線相離，且，則曲線上的點(diǎn)在直線上方，過作于，則，而，因此，令過點(diǎn)的直線與曲線相切的切點(diǎn)為，由，求導(dǎo)得，則此切線斜率，解得，即切點(diǎn)為，而點(diǎn)在曲線的對(duì)稱軸上，曲線在過點(diǎn)的兩條切線所夾含原點(diǎn)的區(qū)域及內(nèi)部，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，銳角最大，最大，最大，此時(shí)，，所以的最大值為.故先：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的問題，求解時(shí)應(yīng)把握導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)圖象在切點(diǎn)處的切線斜率，切點(diǎn)未知，設(shè)出切點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.13．27【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)求出公差，再求出的值.【詳解】等差數(shù)列中，由，得，解得，而，則，于是數(shù)列的公差，，所以.故答案為：2714．【分析】根據(jù)給定等式，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式計(jì)算即得.【詳解】在中，由及正弦定理得：，而，則，整理得，即，又，因此，而，所以.故答案為：15．【分析】延長與的延長線交于，求出的面積，并探討與面積的關(guān)系即可求出結(jié)果.【詳解】在中，延長與的延長線交于，連接，由E，F(xiàn)分別是AD，CD的中點(diǎn)，得，則，由，得是的中點(diǎn)，且，，，于是，所以的面積.故答案為：

16．【分析】先通過向量的運(yùn)算得到，設(shè)，然后利用勾股定理得到，然后在直角三角形和三角形中同時(shí)表示，然后列方程求即可.【詳解】由得，即，所以，設(shè)，則由得共線，且，又，所以，在直角三角形中，，所以，解得，所以，，，所以，又，整理得，所以，即，所以，即C的漸近線方程為.故答案為：.17．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的公比即可求出通項(xiàng)公式.（2）由（1）求出，再利用錯(cuò)位相減法求和即得.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，則，即，而，因此，解得，所以.（2）由（1）知，，則，則，于是，兩式相減得，即.18．(1)；(2)分布列見解析，2.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出樣本點(diǎn)中心，再求出并作出預(yù)測.（2）求出X的可能值及對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望.【詳解】（1）依題意，，，于是，解得，因此，當(dāng)時(shí)，，所以物理成績?yōu)?5分，預(yù)測他的數(shù)學(xué)成績?yōu)?（2）依題意，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績低于100分的有2人，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績不低于100分的有4人，因此X的可能值為1，2，3，，，所以X的分布列為123數(shù)學(xué)期望.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于點(diǎn)，由中位線性質(zhì)可得，根據(jù)線面平行的判定可得結(jié)論；（2）由面面垂直性質(zhì)可得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，令，結(jié)合可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到點(diǎn)坐標(biāo)，利用二面角的向量求法可求得余弦值，進(jìn)而得到正切值.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，

四邊形為正方形，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，平面，平面，平面.（2），平面平面，平面平面，平面，平面，又，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，，，設(shè)，則，，，，解得：，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；軸平面，平面的一個(gè)法向量，由圖形可知：二面角為銳二面角，設(shè)其為，則，，即二面角的正切值為.20．(1)(2)【分析】（1）由題意可得出：，解方程求出，即可得出答案.（2）求出以為直徑的圓的方程，聯(lián)立橢圓的方程得到，表示出，將韋達(dá)定理代入即可得出答案.【詳解】（1）由題意可得出：，解得：，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）因?yàn)?，，所以以為直徑的圓的方程為，即，設(shè)，則由，得：，所以，又，同理，，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．21．(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性，列出不等式求解即得.（2）由（1）的信息可得，利用分析法推理變形，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)證明即得.【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，而，因此，解得：，所以的取值范圍為.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，由?）知，函數(shù)在上是增函數(shù)，不妨令，則，即，亦即，則，于是，則，下面證明：，即證：，即證：，令，即證：，設(shè)，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是，即，所以.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)不等式證明問題，將所證不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，再借助函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.22．(1)；(2)【分析】（1）將曲線C的參數(shù)方程中的參數(shù)消去即可得普通方程，利用可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線方程為，然后與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式及韋達(dá)定理求最值