中考數(shù)學(xué)拉分壓軸題專題11 解直角三角形題型歸納（含答案與解析全國(guó)通用）

第第頁(yè)專題11解直角三角形題型歸納1．如圖是某小區(qū)地下停車場(chǎng)入口處欄桿的示意圖，、分別表示地面和墻壁的位置，表示垂直于地面的欄桿立柱，、是兩段式欄桿，其中段可繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，段可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn).圖1表示欄桿處于關(guān)閉狀態(tài)，此時(shí)O、A、B在與地面平行的一直線上，并且點(diǎn)B接觸到墻壁；圖2表示欄桿處于打開狀態(tài)，此時(shí)，段與豎直方向夾角為．已知立柱寬度為，點(diǎn)O在立柱的正中間，，，．(1)求欄桿打開時(shí)，點(diǎn)A到地面的距離；(2)為確保通行安全，要求汽車通過(guò)該入口時(shí)，車身與墻壁間需至少保留的安全距離，問(wèn)一輛最寬處為，最高處為的貨車能否安全通過(guò)該入口？（本小題中?。敬鸢浮?1)點(diǎn)A到地面的距離為(2)貨車不能安全通過(guò)該入口【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作,垂足為點(diǎn)，利用三角函數(shù)求得，的長(zhǎng)度即為點(diǎn)A到地面的距離；（2）作,交于點(diǎn),使，利用三角函數(shù)求出，，在高度正好的情況下，求得貨車靠墻行駛需要寬度超過(guò)了的長(zhǎng)度，說(shuō)明不能安全通過(guò)．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作,垂足為點(diǎn)則點(diǎn)A到地面的距離為（2）解：如圖，作,交于點(diǎn),使若貨車靠墻行駛需要寬度為則貨車不能安全通過(guò)該入口.【我思故我在】本題考查了與解直角三角形相關(guān)的應(yīng)用題，掌握三角函數(shù)并能解決實(shí)際問(wèn)題是解題關(guān)鍵．2．如圖，株洲市炎陵縣某中學(xué)在實(shí)施“五項(xiàng)管理”中，將學(xué)校的“五項(xiàng)管理”做成宣傳牌（CD），放置在教學(xué)樓A棟的頂部（如圖所示）該中學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在山坡的坡腳A處測(cè)得宣傳牌底部D的仰角為60°，沿芙蓉小學(xué)圍墻邊坡AB向上走到B處測(cè)得宣傳牌頂部C的仰角為45°．已知山坡AB的坡度為i=1：3，AB=2m，AE=8m．(1)求點(diǎn)B距水平面AE的高度BH．(2)求宣傳牌CD的高度．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：≈1.414,≈1.732）【答案】(1)點(diǎn)B距水平面AE的高度BH是2米(2)廣告牌CD的高度約為2.1米【分析】（1）根據(jù)山坡AB的坡度為i=1：3，可設(shè)BH=a,則AH=3a,然后在Rt△ABH中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE，垂足為F，則BH=EF=2米，BF=HE=14米，然后在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DE的長(zhǎng)，再在Rt△BFC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CF的長(zhǎng)，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：在Rt△ABH中，BH：AH=1:3，∴設(shè)BH=a,則AH=3a，∵AB=2，由勾股定理得BH=2，答:點(diǎn)B距水平面AE的高度BH是2米；（2）解：在Rt△ABH中,BH=2，∴AH=6，在Rt△ADE中,tan∠DAE=.，即DE=tan60·AE=8，如圖,過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE,垂足為F，BF=AH+AE=6+8=14，DF=DE-EF=DE-BH=8—2，在Rt△BCF中,∠C=∠CBF=45°，∴CF=BF=14,∴CD=CF-DF=14—（8—2）=14—8+2≈2.1答:廣告牌CD的高度約為2.1米．【我思故我在】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．3．如圖1是疫情期間測(cè)溫員用“額溫槍”對(duì)小紅測(cè)溫時(shí)的實(shí)景圖，圖2是其側(cè)面示意圖，其中槍柄與手臂始終在同一直線上，槍身與額頭保持垂直量得胳膊，槍柄與槍身之間的夾角為120°（即），肘關(guān)節(jié)與槍身端點(diǎn)之間的水平寬度為25.3cm（即的長(zhǎng)度），槍身．(1)求的長(zhǎng)；(2)測(cè)溫時(shí)規(guī)定槍身端點(diǎn)與額頭距離范圍為3~5cm．在圖2中，若測(cè)得，小紅與測(cè)溫員之間距離為50cm問(wèn)此時(shí)槍身端點(diǎn)與小紅額頭的距離是否在規(guī)定范圍內(nèi)？并說(shuō)明理由．（結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)；(2)在規(guī)定范圍內(nèi)，理由見詳解．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在RtBMH中，利用含30°直角三角形三邊關(guān)系，即可解答；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，在RtNMI中，利用三角函數(shù)的定義即可求出的長(zhǎng)，比較即可判斷．（1）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由題可知四邊形為矩形，如下圖：∴，∵cm，，∴，在RtBMH中，，∴；（2）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由題意的：，∵，由（1）可知，∴，又，∴在RtNMI中，，∴∵小紅與測(cè)溫員之間距離為50cm，∴，∵，∴此時(shí)槍身端點(diǎn)與小紅額頭的距離在規(guī)定范圍內(nèi)．【我思故我在】此題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是添加輔助線和熟記銳角三角函數(shù)的定義．4．小明利用剛學(xué)過(guò)的測(cè)量知識(shí)來(lái)測(cè)量學(xué)校內(nèi)一棵古樹的高度.一天下午，他和學(xué)習(xí)小組的同學(xué)帶著測(cè)量工具來(lái)到這棵古樹前，由于有圍欄保護(hù)，他們無(wú)法到達(dá)古樹的底部B，如圖所示.于是他們先在古樹周圍的空地上選擇一點(diǎn)D，并在點(diǎn)D處安裝了測(cè)量器CD，測(cè)得；再在BD的延長(zhǎng)線上確定一點(diǎn)G，使米，并在G處的地面上水平放置了一個(gè)小平面鏡，小明沿著BG方向移動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，他剛好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端A的像，此時(shí)，測(cè)得米，小明眼睛與地面的距離米，測(cè)量器的高度米.已知點(diǎn)F、G、D、B在同一水平直線上，且EF、CD、AB均垂直于FB，則這棵古樹的高度AB為多少米？（小平面鏡的大小忽略不計(jì)）【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，解，得出，那么，再證明，因此得出，再求出即可.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，在中，，∴，∴，∵，，∴由反射角等于入射角得,∴,∴，即，解得∴∴這棵樹高18米.【我思故我在】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.5．廣場(chǎng)上有一個(gè)充滿氫氣的氣球P，被廣告條拽著懸在空中，甲乙二人分別站在E、F處，他們看氣球的仰角分別是30度、45度，E點(diǎn)與F點(diǎn)的高度差A(yù)B為1米，水平距離CD為5米，F(xiàn)D的高度為0.5米，請(qǐng)問(wèn)此氣球有多高？（結(jié)果保留到0.1米）．【答案】此氣球有9.7米高【分析】由于氣球的高度為PA+AB+FD，而AB=1米，F(xiàn)D=0.5米，可設(shè)AP=h，根據(jù)題意列出關(guān)于h的方程即可解答．【詳解】解：設(shè)AP=h，∵PFB=45°，∴BF=PB=h+1，∴EA=h+6，在RtPEA中，PA=AEtan30°，∴h=(h+6)tan30°，∴，∴h=≈8.2米，∴氣球的高度為PA+AB+FD=9.7米．【我思故我在】本題考查了一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是正確的運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)解答．6．綜合與實(shí)踐小明為自己家設(shè)計(jì)了一個(gè)在水平方向可以伸縮的遮陽(yáng)蓬，如圖所示，已知太原地區(qū)在夏至日的正午太陽(yáng)高度角（即正午太陽(yáng)光線與地平面的夾角）為，冬至日的正午太陽(yáng)高度角為，小明家的玻璃窗戶高為，在點(diǎn)上方的處安裝與墻垂直的寬為的遮陽(yáng)蓬，并且該遮陽(yáng)蓬可伸縮（可變化）；為了保證在夏至日正午太陽(yáng)光不射到屋內(nèi)，冬至日正午整塊玻璃都能受到太陽(yáng)光照射，求可伸縮的遮陽(yáng)蓬寬度的范圍．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】【分析】夏至日正午時(shí)，通過(guò)解，求出的最大值；冬至日正午時(shí)，通過(guò)解，求出的最小值；【詳解】解：夏至日時(shí)，在中，，

冬至日時(shí)，在中，，所以，可伸縮的長(zhǎng)度的范圍是【我思故我在】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．如圖，在航線l的兩側(cè)分別有兩個(gè)燈塔A和B，燈塔A到航線l的距離為千米，燈塔B到航線l的距離為千米，燈塔B位于燈塔A南偏東方向．現(xiàn)有一艘輪船從位于燈塔B北偏西方向的N（在航線l上）處，正沿該航線自東向西航行，10分鐘后該輪船行至燈塔A正南方向的點(diǎn)C（在航線l上）處．（參考數(shù)據(jù)：，，，）(1)求兩個(gè)燈塔A和B之間的距離；(2)求該輪船航行的速度（結(jié)果精確到0.1千米/小時(shí)）．【答案】(1)14千米(2)40.7千米/小時(shí)【分析】（1）根據(jù)題意利用特殊角的三角函數(shù)值分別求出，即可得解；（2）根據(jù)三角函數(shù)值求出CN的長(zhǎng)，進(jìn)而可以求該輪船航行的速度．（1）解：由題意，得，在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴千米．答：兩個(gè)燈塔A和B之間的距離為14千米．（2）在中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，在中，，由題意，得∴，∴，∴，設(shè)該輪船航行的速度是V千米/小時(shí)，由題意，得，∴（千米/小時(shí)），答：該輪船航行的速度是40.7千米/小時(shí)．8．風(fēng)能作為一種清潔能源越來(lái)越受到世界各國(guó)的重視，我市結(jié)合自身地理優(yōu)勢(shì)架設(shè)風(fēng)力發(fā)電機(jī)利用風(fēng)能發(fā)電．王芳和李華假期去明月峰游玩，看見風(fēng)電場(chǎng)的各個(gè)山頭上布滿了大大小小的風(fēng)力發(fā)電機(jī)，好奇的想知道風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔架的高度．如圖，王芳站在點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)與塔底點(diǎn)的距離為，李華站在斜坡的坡頂處，已知斜坡的坡度，坡面長(zhǎng)，李華在坡頂處測(cè)得輪轂點(diǎn)的仰角，請(qǐng)根據(jù)測(cè)量結(jié)果幫他們計(jì)算：(1)斜坡頂點(diǎn)B到CD所在直線的距離；(2)風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔架的高度．結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)，，，，【答案】(1)；(2)．【分析】（1）在中，，可得，根據(jù)解直角三角形進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)求解即可．（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，，則為坡頂B到所在直線的距離，則，，在中，，∴，∵，∴；（2）由題意得，四邊形是矩形，由勾股定理得：，∵，∴，∴，在中，，，∴，答：塔架高度約為．【我思故我在】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用以及勾股定理，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵．9．小明和小亮利用數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量學(xué)校操場(chǎng)邊升旗臺(tái)上的旗桿高度．如圖，旗桿立在水平的升旗臺(tái)上，兩人測(cè)得旗桿底端到升旗臺(tái)邊沿的距離為，升旗臺(tái)的臺(tái)階所在的斜坡長(zhǎng)為，坡角為，小明又測(cè)得旗桿在太陽(yáng)光下的影子落在水平地面上的部分的長(zhǎng)為，同一時(shí)刻，小亮測(cè)得長(zhǎng)的標(biāo)桿直立于水平地面時(shí)的影子長(zhǎng)為請(qǐng)你幫小明和小亮求出旗桿的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】旗桿的高度約為【分析】延長(zhǎng)交于，過(guò)作于，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，，解直角三角形得，根據(jù)同一時(shí)刻，物高和影長(zhǎng)成正比，列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：延長(zhǎng)交于，過(guò)作于，則四邊形是矩形，，，，，，，，，同一時(shí)刻，物高和影長(zhǎng)成正比，，，，，答：旗桿的高度約為．【我思故我在】本題考查了解直角三角形—坡度坡角問(wèn)題、平行投影和矩形的性質(zhì)，熟練掌握同一時(shí)刻，物高和影長(zhǎng)成正比是解決本題的關(guān)鍵．10．某項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組用測(cè)傾儀、皮尺測(cè)量小山的高度，他們?cè)O(shè)計(jì)了如下方案（如圖）：①在點(diǎn)A處安置測(cè)傾儀，測(cè)得小山頂M的仰角的度數(shù)；②在點(diǎn)A與小山之間的B處安置測(cè)傾儀，測(cè)得小山頂M的仰角的度數(shù)（點(diǎn)A，B與N在同一水平直線上）；③量出測(cè)點(diǎn)A，B之間的距離．已知測(cè)傾儀的高度米，為減小誤差，他們按方案測(cè)量了兩次，測(cè)量數(shù)據(jù)如下表（不完整）：測(cè)量項(xiàng)目第一次第二次平均值的度數(shù)（度）的度數(shù)A，B之間的距離150.2米149.8米150米(1)寫出的度數(shù)的平均值．(2)根據(jù)表中的平均值，求小山的高度．（參考數(shù)據(jù)：）(3)該小組沒有利用物體在陽(yáng)光下的影子來(lái)測(cè)量小山的高度，你認(rèn)為原因可能是什么？（寫出一條即可）【答案】(1)22°(2)101.5米(3)小山的影子長(zhǎng)度無(wú)法測(cè)量【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)公式，用兩次測(cè)量得的的度數(shù)和除以2即可求解；（2）在Rt△MDE中，利用仰角∠MDE的45°，即可求得ME=DE，在Rt△MCE中，利用仰角∠MCE的正切值，可得ME=CEtan∠MCE，進(jìn)而由CE=CD+DE=CD+ME，易知四邊形CANE、四邊形ABDC是矩形，可得EN=AC=1.5米，CD=AB=150米，代入即可求出ME的值，然后由MN=ME+NE求解；（3）可根據(jù)小山的影子長(zhǎng)度無(wú)法測(cè)量解答即可．（1）解∶的度數(shù)的平均值=，答：的度數(shù)的平均值為22°；（2）解：在Rt△MDE中，∵∠MDE=45°，∴∠DME=∠MDE=45°，∴ME=DE，在Rt△MCE中，∵，∴ME=CEtan∠MCE，由題意知四邊形CANE、四邊形ABDC是矩形，可得EN=AC=1.5米，CD=AB=150米，∴，∴ME=100(米)，∴MN=ME+NE=100+1.5=101.5(米)，答：小山的高度約為101.5米．（3）答：因?yàn)槔梦矬w在陽(yáng)光下的影子來(lái)測(cè)量小山的高度，由于小山的內(nèi)部無(wú)法到達(dá)，則小山的影子長(zhǎng)度無(wú)法測(cè)量，所以沒有用物體在陽(yáng)光下的影子來(lái)測(cè)量小山的高度的原因是小山的影子長(zhǎng)度無(wú)法測(cè)量．【我思故我在】本題考查仰角，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．11．小紅家的陽(yáng)臺(tái)上放置了一個(gè)曬衣架(如圖①)，圖②是曬衣架的側(cè)面示意圖，立桿AB，CD相交于點(diǎn)O，B，D兩點(diǎn)立于地面，經(jīng)測(cè)量：AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，OE＝OF＝34cm，現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開，扣鏈EF成一條線段，且EF＝32cm(參考數(shù)據(jù)：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan28.1°≈0.534)．(1)求證：AC∥BD．(2)求扣鏈EF與立桿AB的夾角∠OEF的度數(shù)(結(jié)果精確到0.1°)．(3)小紅的連衣裙穿在曬衣架上的總長(zhǎng)度達(dá)到122cm，垂掛在曬衣架上是否會(huì)拖落到地面？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．【答案】（1）見解析；（2）61.9°；（3）會(huì)拖落到地面．【詳解】試題解析（1）證明：證法一：相交于點(diǎn)，同理可證：

證法二：∴又（2）解：在中，作于點(diǎn)，則用計(jì)算器求得（3）解法一：小紅的連衣裙會(huì)拖落到地面；在中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，同可證：則∴所以：小紅的連衣裙垂掛在衣架后的總長(zhǎng)度大于曬衣架的高度解法二：小紅的連衣裙會(huì)拖落到地面.同可證：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在中所以：小紅的連衣裙垂掛在衣架后的總長(zhǎng)度大于曬衣架的高度12．開封清明上河園是依照北宋著名畫家張擇端的《清明上河圖》建造的，拂云閣是園內(nèi)最高的建筑．某數(shù)學(xué)小組測(cè)量拂云閣DC的高度，如圖，在A處用測(cè)角儀測(cè)得拂云閣頂端D的仰角為34°，沿AC方向前進(jìn)15m到達(dá)B處，又測(cè)得拂云閣頂端D的仰角為45°．已知測(cè)角儀的高度為1.5m，測(cè)量點(diǎn)A，B與拂云閣DC的底部C在同一水平線上，求拂云閣DC的高度（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：，，）．【答案】拂云閣DC的高度約為32m【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則四邊形是矩形，則，，在，中，分別表示出，根據(jù)，建立方程，解方程求解可得，根據(jù)即可求解．【詳解】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則四邊形是矩形，則，，在中，，在中，，，即，解得，(m)．拂云閣DC的高度約為32m．【我思故我在】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13．如圖，為測(cè)量某建筑物的高度，小剛采用了如下的方法：先從與建筑物底端B在同一水平線上的C點(diǎn)出發(fā)，沿斜坡行走米至坡頂D處，再?gòu)腄處沿水平方向繼續(xù)前行若干米后至E點(diǎn)處，在E點(diǎn)測(cè)得該建筑物頂端A的仰角為，建筑物底端B的俯角為，點(diǎn)在同一平面內(nèi)，斜坡CD的坡度．請(qǐng)根據(jù)小剛的測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算出建筑物AB的高度．（結(jié)果要求精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：）【答案】建筑物的高度約為米【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，根據(jù)斜坡的坡度，可設(shè)米，則米，然后在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，最后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，∵斜坡的坡度，設(shè)，則，在中，，，∴解得，∴，在中，，在中，，∴，∴，∴建筑物的高度約為米．【我思故我在】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰