中考數(shù)學(xué)拉分壓軸題專題02 坐標(biāo)系中的循環(huán)周期問題（選擇壓軸）（含答案與解析全國通用）

第第頁專題02坐標(biāo)系中的循環(huán)周期問題（選擇壓軸）1．如圖，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），將點(diǎn)繞著原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°得到點(diǎn)，延長O到，使得O＝2O；再將點(diǎn)繞著原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°得到，延長到，使得＝2……如此繼續(xù)下去，點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】A【分析】由題意可得，，，，可以推出（n=0，1，2…），則，再由每經(jīng)過24個(gè)點(diǎn)就落到x正半軸上，推出在第二象限，且與y軸正半軸的夾角為30°，再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴可以推出（n=0，1，2…）∴，∵在x軸正半軸，在y軸正半軸，在x軸負(fù)半軸，在y軸負(fù)半軸，在x正半軸，在直線上，∴每經(jīng)過24個(gè)點(diǎn)就落到x正半軸上，∵2022÷24=84余6，∴點(diǎn)是第85循環(huán)組的第7個(gè)點(diǎn)，在第二象限，與y軸正半軸的夾角為30°，∴的橫坐標(biāo)為：，縱坐標(biāo)，即，故A正確．故選：A．【我思故我在】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探索，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．2．如圖，已知菱形OABC的頂點(diǎn)O（0，0），B（2，2），若菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°，則第60秒時(shí)，菱形的對角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

)A．(1，-1) B．(-1，-1) C．(，0) D．(0，-)【答案】B【詳解】試題分析：根據(jù)已知條件O（0,0），B（2,2），可求得D（1,1），OB與x軸、y軸的交角為45°，當(dāng)菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°，時(shí)，8秒可旋轉(zhuǎn)到原來的位置，因60÷8=74，所以第60秒時(shí)是第8循環(huán)的地上個(gè)位置，這時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)原來位置點(diǎn)D的坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以為（-1，-1），故答案選B.考點(diǎn)：規(guī)律探究題.3．在平面直角坐標(biāo)系中，若干個(gè)半徑為1個(gè)單位長度，圓心角為60°的扇形組成一條連續(xù)的曲線，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿這條曲線向右上下起伏運(yùn)動，P點(diǎn)在直線上的速度為1個(gè)單位長度/秒，在弧線上的速度為個(gè)單位長度/秒，則2022秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)第n秒運(yùn)動到Pn（n為自然數(shù)）點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)P的運(yùn)動規(guī)律找出部分Pn點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律，依此規(guī)律即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)第n秒運(yùn)動到Pn（n為自然數(shù)點(diǎn)）觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，，，…2022＝4505＋2為（1011，0）故選：A【我思故我在】本題主要考查了規(guī)律型中的點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是找出變化規(guī)律，并加以運(yùn)用．4．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A（-1，0）做如下的連續(xù)平移，A（-1，0）→A1（-1，1）→A2（2，1）→A3（2，-4）→A4（-5，-4）→A5（-5，5）…，按此規(guī)律平移下去，則A102的點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知，點(diǎn)A平移時(shí)每4次為一個(gè)周期，由102÷4=25???2，可知點(diǎn)A102的坐標(biāo)與A4n+2的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律相同，分別求出A2，A6，A10的坐標(biāo)，找出規(guī)律，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：由題意可知，將點(diǎn)A（-1，0）向上平移1個(gè)單位長度得到A1（-1，1），再向右平移3個(gè)單位長度得到A2（2，1），再向下平移5個(gè)單位長度得到A3（2，-4），再向左平移7個(gè)單位長度得到A4（-5，-4）；再向上平移9個(gè)單位長度得到A5（-5，5）…，∴點(diǎn)A平移時(shí)每4次為一個(gè)周期．∵102÷4=25???2，∴點(diǎn)A102的坐標(biāo)與A4n+2的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律相同．∵A2（2，1），A6（6，5），A10（10，9），以此類推，∴A4n+2（4n+2，4n+1），∴A102的點(diǎn)坐標(biāo)是（102，101）．故選：C．【我思故我在】本題考查了規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)．分析題意得出點(diǎn)A平移時(shí)每4次為一個(gè)周期，進(jìn)而得到點(diǎn)A102的坐標(biāo)與A4n+2的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律相同是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在一單位為1的方格紙上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7…，都是斜邊在x軸上，斜邊長分別為2，4，6，…的等腰直角三角形，若A1A2A3的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A1(2，0)，A2(1，?1)，A3(0，0)，則依圖中所示規(guī)律，A2022的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)下標(biāo)確定出下標(biāo)為偶數(shù)時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)，得到規(guī)律：當(dāng)下標(biāo)是2、6、10…時(shí)，橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為下標(biāo)的一半的相反數(shù)，當(dāng)下標(biāo)是4、8、12．…時(shí)，橫坐標(biāo)是2，縱坐標(biāo)為下標(biāo)的一半，然后確定出第2022個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】解：觀察點(diǎn)的坐標(biāo)變化發(fā)現(xiàn)：當(dāng)下標(biāo)為偶數(shù)時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)，得到規(guī)律：當(dāng)下標(biāo)是2、6、10…時(shí)，橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為下標(biāo)的一半的相反數(shù)，當(dāng)下標(biāo)是4、8、12．…時(shí)，橫坐標(biāo)是2，縱坐標(biāo)為下標(biāo)的一半，因?yàn)?022÷4=505…2，所以橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為=-1011，故選：D．【我思故我在】本題是對點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律的考查，根據(jù)2022是偶數(shù)，求出點(diǎn)的下標(biāo)是偶數(shù)時(shí)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．6．如圖，邊長為的等邊，邊在軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，以為邊作等邊，邊與交于點(diǎn)，以為邊作等邊，邊與交于點(diǎn)，以為邊作等邊，邊與交于點(diǎn)，，依此規(guī)律繼續(xù)作等邊，則的橫坐標(biāo)________．【答案】0【分析】根據(jù)正三角形與旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)得到旋轉(zhuǎn)次為一個(gè)循環(huán)，故可求出的橫坐標(biāo)．【詳解】解：∵△ABC是正三角形，BO⊥AC∴∠ABO=30°同理=30°，360°÷30°=12，∴的橫坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)次為一個(gè)循環(huán)，∵，∴與在同一直線上，即軸上，∴的橫坐標(biāo)為．故答案為：0．【我思故我在】此題主要考查坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的特點(diǎn)找到變換規(guī)律．7．如圖，已知(1，0)，(1，1)，(-1，1)，(-1，-1)，(2，-1)…，則的坐標(biāo)是________.【答案】（506，-505）【分析】根據(jù)題意可得各個(gè)點(diǎn)分別位于象限的角平分線上（A1和第四象限內(nèi)的點(diǎn)除外），逐步探索出下標(biāo)和個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，總結(jié)出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律推理點(diǎn)A2021的坐標(biāo)．【詳解】解：通過觀察可得數(shù)字是4的倍數(shù)的點(diǎn)在第三象限，∵2021÷4=505…1，∴點(diǎn)A2021在第四象限，縱坐標(biāo)為-505，橫坐標(biāo)為505+1=506，∴A2021的坐標(biāo)是（506，-505）．故答案為（506，-505）．【我思故我在】本題考查規(guī)律型-點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是注意觀察，尋找規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．8．如圖，已知正方形的對角線，相交于點(diǎn)，頂點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，，，規(guī)定“把正方形先沿軸翻折，再向右平移個(gè)單位”為一次變換，如此這樣，連續(xù)經(jīng)過次變換后，點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)開________．【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)軸對稱與平移坐標(biāo)變換特征總結(jié)出點(diǎn)坐標(biāo)變換規(guī)律：第次變換后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，根據(jù)規(guī)律求解即可．【詳解】解：正方形，頂點(diǎn)，，，對角線交點(diǎn)坐標(biāo)為．根據(jù)翻折與平移的性質(zhì)，第次變換后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，即；第次變換后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，即；第次變換后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，即；第次變換后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，連續(xù)經(jīng)過次變換后，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，即．故答案為：．【我思故我在】此題主要考查坐標(biāo)的變換，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到變換的規(guī)律進(jìn)行求解．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)分別在，軸上，且．將正方形繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且，得到正方形，再將正方繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且，得到正方形，以此規(guī)律，得到正方形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．【答案】【分析】根據(jù)題意得出B點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律，進(jìn)而得出的坐標(biāo)位置即可．【詳解】解：∵四邊形正方形，且，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1），將正方形OABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，且A1O=2AO，得到正方形，此時(shí)B1的坐標(biāo)為（2，-2），再將正方繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且，得到正方形，此時(shí)B2的坐標(biāo)為（-4，-4），……依次類推得B3的坐標(biāo)為（-8，8），B4的坐標(biāo)為（16，16），∴每四次循環(huán)一周，2019÷4=504...3，∴點(diǎn)B2019與B3同在一個(gè)象限內(nèi)，∵-4=-22，8=23，16=24，∴點(diǎn)B2019的坐標(biāo)為（-22019，22019），故答案為：（-22019，22019）．【我思故我在】本題考查了規(guī)律的探索，根據(jù)題意總結(jié)出規(guī)律是解題關(guān)鍵．10．如圖所示，一個(gè)機(jī)器人從O點(diǎn)出發(fā)，向正東方向走到達(dá)點(diǎn)，再向正北方向走到達(dá)點(diǎn)，再向正西方向走到達(dá)點(diǎn)，再向正南方向走到達(dá)點(diǎn)，再向正東方向走到達(dá)點(diǎn)，按照此規(guī)律走下去，相對于點(diǎn)O，機(jī)器人走到時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是______，點(diǎn)的坐標(biāo)是______．【答案】

【分析】根據(jù)題意求出點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)的坐標(biāo)為，依此類推，從點(diǎn)開始，每走動4次一個(gè)循環(huán)，從而得到點(diǎn)位于第一象限內(nèi)，再由落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)每個(gè)循環(huán)，橫坐標(biāo)增加6，縱坐標(biāo)增加6，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可知：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)的坐標(biāo)為，即；點(diǎn)的坐標(biāo)為，即；點(diǎn)的坐標(biāo)為，即；點(diǎn)的坐標(biāo)為，即；依此類推，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，即．由此發(fā)現(xiàn)，從點(diǎn)開始，每走動4次一個(gè)循環(huán)，∵，∴點(diǎn)位于第一象限內(nèi)，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴落在第一象限內(nèi)的點(diǎn)每個(gè)循環(huán)，橫坐標(biāo)增加6，縱坐標(biāo)增加6，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，即．故答案為①，②．【我思故我在】本題主要考查了坐標(biāo)確定位置的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長為1的正方形OABC繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，繞點(diǎn)O連續(xù)旋轉(zhuǎn)2022次得到正方形OA2022B2022C2022，那么點(diǎn)B2022的坐標(biāo)是_____．【答案】【分析】根據(jù)圖形可知：點(diǎn)在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：將正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，相當(dāng)于將線段繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，可得對應(yīng)的坐標(biāo)，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律8次一循環(huán)，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵四邊形是邊長為1的正方形，∴，∵將正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，相當(dāng)于將線段繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，∴，，，，，，，，，……，發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，則2022÷8＝252…6，∴點(diǎn)B2022的坐標(biāo)是，故答案為：．【我思故我在】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的變化，解題關(guān)鍵是學(xué)會從特殊到一般的探究規(guī)律的方法．12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一菱形，已知，點(diǎn)在軸上，，先將菱形沿軸的正方向無滑動翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)，連續(xù)翻轉(zhuǎn)次，點(diǎn)的落點(diǎn)依次為，，，，則的橫坐標(biāo)為______．【答案】1348【分析】連接，根據(jù)條件可以求出，畫出第次、第次、第次翻轉(zhuǎn)后的圖形，容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每翻轉(zhuǎn)次，圖形向右平移，由于，因此點(diǎn)向右平移（即），即可到達(dá)點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)就可求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【詳解】解：連接，如圖所示：四邊形是菱形，，，是等邊三角形，，，，，畫出第次、第次、第次翻轉(zhuǎn)后的圖形，如圖所示：由圖可知：每翻轉(zhuǎn)次，圖形向右平移，，點(diǎn)向右平移即到點(diǎn)，的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，故答案為：．【我思故我在】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，考查了操作、探究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力，發(fā)現(xiàn)“每翻轉(zhuǎn)次，圖形向右平移”是解決本題的關(guān)鍵．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一邊長為1的正方形OABC，邊OA、OC分別在x軸、y軸上，如果以對角線OB為邊作第二個(gè)正方形，再以對角線為邊作第三個(gè)正方形……照此規(guī)律作下去，則的長為_______【答案】【分析】首先根據(jù)各點(diǎn)的坐標(biāo)求出，，，，，，，，的長度，找出這些長度之間的規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律計(jì)算出OB2022的長度