北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)從重點(diǎn)到壓軸專題2.3有理數(shù)運(yùn)算中的綜合(壓軸題專項(xiàng)講練)(原卷版+解析)

專題2.3有理數(shù)運(yùn)算中的綜合【典例1】如果有4個(gè)不同的正整數(shù)a、b、c、d滿足（2019﹣a）（2019﹣b）（2019﹣c）（2019﹣d）＝8，那么a+b+c+d的最大值為．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)a、b、c、d是四個(gè)不同的正整數(shù)，可知四個(gè)括號(hào)內(nèi)是各不相同的整數(shù)，結(jié)合乘積為8，進(jìn)行分類討論．【解題過程】解：∵a、b、c、d是四個(gè)不同的正整數(shù)，∴四個(gè)括號(hào)內(nèi)是各不相同的整數(shù)，不妨設(shè)（2019﹣a）＜（2019﹣b）＜（2019﹣c）＜（2019﹣d），又∵（2019﹣a）（2019﹣b）（2019﹣c）（2019﹣d）＝8，∴這四個(gè)數(shù)從小到大可以取以下幾種情況：①﹣4，﹣1，1，2；②﹣2，﹣1，1，4．∵（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）＝8076﹣（a+b+c+d），∴a+b+c+d＝8076﹣[（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）]，∴當(dāng)（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）越小，a+b+c+d越大，∴當(dāng)（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）＝﹣4﹣1+1+2＝﹣2時(shí)，a+b+c+d取最大值＝8076﹣（﹣2）＝8078．故答案為：8078．1．（2021秋?曲阜市校級(jí)期中）我們常用的十進(jìn)制數(shù)，我國古代《易經(jīng)》一書記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，并采用七進(jìn)制（如2513＝2×73+5×72+1×71+3）用來記錄孩子自出生后的天數(shù)，由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是（）A．1435天 B．565天 C．13天 D．465天2．（2021秋?社旗縣期中）下列變形正確的有（）個(gè)．①4.3﹣1.6﹣2.3+1.7＝4.3﹣2.3+1.7﹣1.6；②312?（﹣214）+（?13）?14③124÷（13④（﹣1002）×17＝（﹣1000+2）×17．A．0 B．1 C．2 D．33．（2021秋?韓城市期中）如果四個(gè)互不相同的正整數(shù)m、n、p、q滿足（4﹣m）（4﹣n）（4﹣p）（4﹣q）＝9，則4m+3n+3p+q的最大值為（）A．40 B．50 C．60 D．704．（2021秋?順城區(qū)期末）觀察下列兩個(gè)等式：1?23=2×1×23?1，2?35=2×2×35?1，給出定義如下：我們稱使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一對(duì)有理數(shù)A．（﹣3，47） B．（4，49） C．（﹣5，611） 5．（2021秋?旌陽區(qū)期末）定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n+5；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為n2k；（其中k是使n2若n＝49，則第2021次“F”運(yùn)算的結(jié)果是（）A．68 B．78 C．88 D．986．（2021秋?新華區(qū)校級(jí)期中）若a，b互為相反數(shù)，且ab≠0，c、d互為倒數(shù)，|m|＝2，則（a+b）2021+（ba）3﹣3cd+2mA．0 B．0或﹣8 C．﹣2成6 D．2或﹣67．（2021秋?江岸區(qū)校級(jí)月考）下列說法中，正確的個(gè)數(shù)是（）①若|1a|=1a，則a≥0；②若|a|＞|b|，則有（a+b）（a③A、B、C三點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是﹣2、6、x，若相鄰兩點(diǎn)的距離相等，則x＝2；④若代數(shù)式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值與x無關(guān)，則該代數(shù)式值為2021；⑤a+b+c＝0，abc＜0，則b+c|a|A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．（2021秋?溧水區(qū)期中）計(jì)算（19+110+1119．（2021秋?溧水區(qū)期中）計(jì)算（134?78?71210．（2021春?濱湖區(qū)期中）觀察以下一系列等式：①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……利用上述規(guī)律計(jì)算：30+31+32+…+3100＝．11．（2021?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）[5×12021]+[5×22021]+…+[5×20212021]＝（其中[a12．（2021秋?鄞州區(qū)期末）已知正整數(shù)a，b，c均小于5，存在整數(shù)m滿足2022+1000m＝2a+2b+2c，則m（a+b+c）的值為．13．（2020秋?鄞州區(qū)期末）已知整數(shù)a，b，c，d的絕對(duì)值均小于5，且滿足1000a+100b2+10c3+d4＝2021，則abcd的值為．14．（2022春?商城縣校級(jí)月考）計(jì)算：（1）（﹣3）2×[?23+（2）﹣14+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣2）3÷4；（3）（﹣10）3+[（﹣4）2+（1﹣32）×2]﹣（﹣0.28）÷0.04×（﹣1）2020．15．（2022春?濱海縣月考）閱讀下列材料：小明為了計(jì)算1+2+22+…+22020+22021的值，采用以下方法：設(shè)S＝1+2+22+…+22020+22021①則2S＝2+22+…+22021+22022②②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1．請(qǐng)仿照小明的方法解決以下問題：（1）2+22+…+220＝；（2）求1+12（3）求1+a+a2+a3+…+an的和．（a＞1，n是正整數(shù)，請(qǐng)寫出計(jì)算過程）16．（2021秋?新都區(qū)期末）先觀察下列各式，再完成題后問題：12×3=12?（1）①請(qǐng)仿照上面各式的結(jié)構(gòu)寫出：15×6=②11×2+12×3+1（2）運(yùn)用以上方法思考：求1417．（2021秋?開江縣期末）（概念學(xué)習(xí)）規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等0）的除法運(yùn)算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”．一般地，把a(bǔ)÷a÷a÷?÷a︸n個(gè)（a≠0）記作a?，讀作“a的圈（初步探究）（1）直接寫出計(jì)算結(jié)果：5③＝，（?13）④＝（深入思考）我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算呢？（此處不用作答）（2）試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫成冪的形式（﹣3）⑤＝；5⑧＝；（12）⑩＝（3）算一算：﹣92÷（?13）⑤×（?14）④﹣（?118．（2021秋?澠池縣期末）2020年的“新冠肺炎“疫情的蔓延，使得醫(yī)用口罩銷量大幅增加，某口罩加工廠每名工人計(jì)劃每天生產(chǎn)300個(gè)醫(yī)用口罩，一周生產(chǎn)2100個(gè)口罩．由于種種原因，實(shí)際每天生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比有出入．如表是工人小王某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)記為正，減產(chǎn)記為負(fù)）．星期一二三四五六日超減產(chǎn)量/個(gè)+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8（1）根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知，小王星期五生產(chǎn)口罩個(gè)．（2）根據(jù)表格記錄的數(shù)據(jù)，求出小王本周實(shí)際生產(chǎn)口罩?jǐn)?shù)量；（3）若該廠實(shí)行每周計(jì)件工資制，每生產(chǎn)一個(gè)口罩可得0.8元，若超額完成周計(jì)劃工作量，則超過部分每個(gè)另外獎(jiǎng)勵(lì)0.2元，若完不成每周的計(jì)劃量．則少生產(chǎn)一個(gè)扣0.25元，求小王這一周的工資總額是多少元？（4）若該廠實(shí)行每日計(jì)件工資制，每生產(chǎn)一個(gè)口罩可得0.8元，若超額完成每日計(jì)劃工作量．則超過部分每個(gè)另外獎(jiǎng)勵(lì)0.2元，若完不成每天的計(jì)劃量，則少生產(chǎn)一個(gè)扣0.25元，請(qǐng)直接寫出小王這一周的工資總額是多少元？專題2.3有理數(shù)運(yùn)算中的綜合【典例1】如果有4個(gè)不同的正整數(shù)a、b、c、d滿足（2019﹣a）（2019﹣b）（2019﹣c）（2019﹣d）＝8，那么a+b+c+d的最大值為．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)a、b、c、d是四個(gè)不同的正整數(shù)，可知四個(gè)括號(hào)內(nèi)是各不相同的整數(shù)，結(jié)合乘積為8，進(jìn)行分類討論．【解題過程】解：∵a、b、c、d是四個(gè)不同的正整數(shù)，∴四個(gè)括號(hào)內(nèi)是各不相同的整數(shù)，不妨設(shè)（2019﹣a）＜（2019﹣b）＜（2019﹣c）＜（2019﹣d），又∵（2019﹣a）（2019﹣b）（2019﹣c）（2019﹣d）＝8，∴這四個(gè)數(shù)從小到大可以取以下幾種情況：①﹣4，﹣1，1，2；②﹣2，﹣1，1，4．∵（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）＝8076﹣（a+b+c+d），∴a+b+c+d＝8076﹣[（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）]，∴當(dāng)（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）越小，a+b+c+d越大，∴當(dāng)（2019﹣a）+（2019﹣b）+（2019﹣c）+（2019﹣d）＝﹣4﹣1+1+2＝﹣2時(shí)，a+b+c+d取最大值＝8076﹣（﹣2）＝8078．故答案為：8078．1．（2021秋?曲阜市校級(jí)期中）我們常用的十進(jìn)制數(shù)，我國古代《易經(jīng)》一書記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，并采用七進(jìn)制（如2513＝2×73+5×72+1×71+3）用來記錄孩子自出生后的天數(shù)，由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是（）A．1435天 B．565天 C．13天 D．465天【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意和圖形，可以列出算式1×73+4×72+3×71+5，然后計(jì)算即可．【解題過程】解：由圖可知：1×73+4×72+3×71+5＝1×343+4×49+3×7+5＝343+196+21+5＝565（天），即孩子自出生后的天數(shù)是565，故選：B．2．（2021秋?社旗縣期中）下列變形正確的有（）個(gè)．①4.3﹣1.6﹣2.3+1.7＝4.3﹣2.3+1.7﹣1.6；②312?（﹣214）+（?13）?14③124÷（13④（﹣1002）×17＝（﹣1000+2）×17．A．0 B．1 C．2 D．3【思路點(diǎn)撥】根據(jù)加法的交換律可以判斷①；根據(jù)省略加法的方法可以判斷②；根據(jù)有理數(shù)的除法和加減法可以判斷③；根據(jù)乘法分配律可以判斷④．【解題過程】解：①4.3﹣1.6﹣2.3+1.7＝4.3﹣2.3+1.7﹣1.6，故①正確；②312?（﹣214）+（?13）?14③124÷（=1=1=1而1=124×3?=3=3④（﹣1002）×17＝（﹣1000﹣2）×17，故④錯(cuò)誤；故選：B．3．（2021秋?韓城市期中）如果四個(gè)互不相同的正整數(shù)m、n、p、q滿足（4﹣m）（4﹣n）（4﹣p）（4﹣q）＝9，則4m+3n+3p+q的最大值為（）A．40 B．50 C．60 D．70【思路點(diǎn)撥】由題意確定出m，n，p，q的值，代入原式計(jì)算即可求出值．【解題過程】解：∵四個(gè)互不相同的正整數(shù)m，n，p，q，滿足（4﹣m）（4﹣n）（4﹣p）（4﹣q）＝9，∴要求4m+3n+3p+q的最大值，則有：4﹣m＝﹣3，4﹣n＝3，4﹣p＝﹣1，4﹣q＝1，解得：m＝7，n＝1，p＝5，q＝3，則4m+3n+3p+q＝50．故選：B．4．（2021秋?順城區(qū)期末）觀察下列兩個(gè)等式：1?23=2×1×23?1，2?35=2×2×35?1，給出定義如下：我們稱使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一對(duì)有理數(shù)A．（﹣3，47） B．（4，49） C．（﹣5，611） 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)“同心有理數(shù)對(duì)”的定義判斷即可．【解題過程】解：∵﹣3?47=?257，2×（﹣3）×∴數(shù)對(duì)（﹣3，47故選項(xiàng)A不合題意；∵4?49=329，2×4×∴（4，49故選項(xiàng)B不合題意；∵?5?611=?6111∴（﹣5，611故選項(xiàng)C不合題意；∵6?713=∴（6，713故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．5．（2021秋?旌陽區(qū)期末）定義一種對(duì)正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n+5；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為n2k；（其中k是使n2若n＝49，則第2021次“F”運(yùn)算的結(jié)果是（）A．68 B．78 C．88 D．98【思路點(diǎn)撥】根據(jù)運(yùn)行的框圖依次計(jì)算，發(fā)現(xiàn)其運(yùn)算結(jié)果的循環(huán)規(guī)律：6次一循環(huán)，再計(jì)算求解即可．【解題過程】解：本題提供的“F運(yùn)算”，需要對(duì)正整數(shù)n分情況（奇數(shù)、偶數(shù)）循環(huán)計(jì)算，由于n＝49為奇數(shù)應(yīng)先進(jìn)行F①運(yùn)算，即3×49+5＝152（偶數(shù)），需再進(jìn)行F②運(yùn)算，即152÷23＝19（奇數(shù)），再進(jìn)行F①運(yùn)算，得到3×19+5＝62（偶數(shù)），再進(jìn)行F②運(yùn)算，即62÷21＝31（奇數(shù)），再進(jìn)行F①運(yùn)算，得到3×31+5＝98（偶數(shù)），再進(jìn)行F②運(yùn)算，即98÷21＝49，再進(jìn)行F①運(yùn)算，得到3×49+5＝152（偶數(shù)），…，即第1次運(yùn)算結(jié)果為152，…，第4次運(yùn)算結(jié)果為31，第5次運(yùn)算結(jié)果為98，…，可以發(fā)現(xiàn)第6次運(yùn)算結(jié)果為49，第7次運(yùn)算結(jié)果為152，則6次一循環(huán)，2021÷6＝336……5，則第2021次“F運(yùn)算”的結(jié)果是98．故選：D．6．（2021秋?新華區(qū)校級(jí)期中）若a，b互為相反數(shù)，且ab≠0，c、d互為倒數(shù)，|m|＝2，則（a+b）2021+（ba）3﹣3cd+2mA．0 B．0或﹣8 C．﹣2成6 D．2或﹣6【思路點(diǎn)撥】根據(jù)相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值得出a+b＝0，ba=?1，cd＝1，【解題過程】解：∵a、b互為相反數(shù)，且ab≠0，c、d互為倒數(shù)，|m|＝2，∴a+b＝0，ba=?1，cd＝1，當(dāng)m＝2時(shí)，（a+b）2021+（ba）3﹣3cd+2m＝02021+（﹣1）3當(dāng)m＝﹣2時(shí)，（a+b）2021+（ba）3﹣3cd+2m＝02021+（﹣1）3故（a+b）2021+（ba）3﹣3cd+2m故選：B．7．（2021秋?江岸區(qū)校級(jí)月考）下列說法中，正確的個(gè)數(shù)是（）①若|1a|=1a，則a≥0；②若|a|＞|b|，則有（a+b）（a③A、B、C三點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是﹣2、6、x，若相鄰兩點(diǎn)的距離相等，則x＝2；④若代數(shù)式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值與x無關(guān)，則該代數(shù)式值為2021；⑤a+b+c＝0，abc＜0，則b+c|a|A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)各個(gè)小題中的說法，可以判斷是否正確，尤其是對(duì)于錯(cuò)誤的結(jié)論，我們只要說明理由或者舉出反例即可．【解題過程】解：若|1a|=1a若|a|＞|b|，則a＞b＞0或a＞0＞b＞﹣a或﹣a＞b＞0＞a或0＞a＞b，當(dāng)a＞b＞0時(shí)，則有（a+b）（a﹣b）＞0是正數(shù)，當(dāng)a＞0＞b＞﹣a時(shí)，則有（a+b）（a﹣b）＞0是正數(shù)，當(dāng)﹣a＞b＞0＞a時(shí)，則有（a+b）（a﹣b）＞0是正數(shù)，當(dāng)0＞a＞b時(shí)，則有（a+b）（a﹣b）＞0是正數(shù)，由上可得，（a+b）（a﹣b）＞0是正數(shù)，故②正確，符合題意；A、B、C三點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是﹣2、6、x，若相鄰兩點(diǎn)的距離相等，則x＝2或﹣10或14，故③錯(cuò)誤，不合題意；若代數(shù)式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值與x無關(guān)，則2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011＝2x+9﹣3x+x﹣1+2011＝2019，故④錯(cuò)誤，不合題意；∵a+b+c＝0，abc＜0，∴a、b、c中一定是一負(fù)兩正，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，不妨設(shè)a＞0，b＜0，c＜0，∴b+c=?a＝﹣1+1+1＝1，故⑤錯(cuò)誤，不合題意；故選：A．8．（2021秋?溧水區(qū)期中）計(jì)算（19+110+111）﹣2×（1【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題目中式子的特點(diǎn)，可以設(shè)19+【解題過程】解：設(shè)19+則原式＝a﹣2（18?a）﹣3（a＝a?14+2a=?1故答案為：?19．（2021秋?溧水區(qū)期中）計(jì)算（134?78?712）÷【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)有理數(shù)除法法則將（134?78?712）÷78轉(zhuǎn)化為（74?【解題過程】解：∵（134?＝（74?=7＝2﹣1?=1∴78÷（1∴（134?78?=1=10故答案為：10310．（2021春?濱湖區(qū)期中）觀察以下一系列等式：①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……利用上述規(guī)律計(jì)算：30+31+32+…+3100＝12（3101﹣1）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知等式，歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，原式計(jì)算即可求出值．【解題過程】解：根據(jù)題意得：31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……3101﹣3100＝（3﹣1）×3100＝2×3100，相加得：31﹣30+32﹣31+33﹣32+34﹣33+…+3101﹣3100＝2×（30+31+32+…+3100），整理得：30+31+32+…+3100=12（3101﹣30）=1故答案為：12（310111．（2021?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）[5×12021]+[5×22021]+…+[5×20212021]＝4045（其中[a【思路點(diǎn)撥】利用取整函數(shù)把算式變?yōu)?04×0+404×1+404×2+404×3+404×4+1×5，再進(jìn)行計(jì)算即可．【解題過程】解：[5×12021]+[5×22021]+…+[＝（[5×12021]+…[5×4042021]）+（[5×4052021]+…[5×8082021]）+（[5×8092021]+…[5×12122021]）+（[5×12132021]+…[5×1616＝404×0+404×1+404×2+404×3+404×4+1×5＝4045故答案為：4045．12．（2021秋?鄞州區(qū)期末）已知正整數(shù)a，b，c均小于5，存在整數(shù)m滿足2022+1000m＝2a+2b+2c，則m（a+b+c）的值為﹣14．【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)正整數(shù)a，b，c均小于5，得出2a+2b+2c≤24+24+24＝48，2a+2b+2c≥2+2+2＝6，即6≤2022+1000m≤48，解不等式組求出m的范圍，根據(jù)m為整數(shù)，得出m＝﹣2，那么2022+1000m＝22．觀察得只有2+4+16＝22，求出a+b+c＝1+2+4＝7，進(jìn)而得到m（a+b+c）＝﹣2×7＝﹣14．【解題過程】解：∵正整數(shù)a，b，c均小于5，∴2a+2b+2c≤24+24+24＝48，2a+2b+2c≥2+2+2＝6，∴6≤2022+1000m≤48，∴﹣2.016≤m≤﹣1.974，∵m為整數(shù)，∴m＝﹣2，∴2022+1000m＝22．∵2a，2b，2c，的取值只能為2，4，8，16，觀察得只有2+4+16＝22，∴a+b+c＝1+2+4＝7，∴m（a+b+c）＝﹣2×7＝﹣14．故答案為：﹣14．13．（2020秋?鄞州區(qū)期末）已知整數(shù)a，b，c，d的絕對(duì)值均小于5，且滿足1000a+100b2+10c3+d4＝2021，則abcd的值為±4．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)條件確認(rèn)個(gè)位上的1一定為d4產(chǎn)生，得d＝±1或±3，①當(dāng)d＝±1時(shí)，d4＝1，②當(dāng)d＝±3時(shí)，d4＝81，分別代入計(jì)算可得答案．【解題過程】解：∵1000a+100b2+10c3+d4＝2021，整數(shù)a，b，c，d的絕對(duì)值均小于5，∴個(gè)位上的1一定為d4產(chǎn)生，（±3）4＝81，（±1）4＝1，∴d＝±1或±3，①當(dāng)d＝±1時(shí)，d4＝1，∴1000a+100b2+10c3＝2020，∴100a+10b2+c3＝202，∴個(gè)位上的2是由c3產(chǎn)生的，∴c3＝2或﹣8（﹣4～4中沒有立方的個(gè)位數(shù)是2的），∴c3＝﹣8，∴c＝﹣2，∴100a+10b2﹣8＝202，100a+10b2＝210，10a+b2＝21，∴個(gè)位上的1是由b2產(chǎn)生的，（±1）2＝1，∴當(dāng)b＝±1時(shí)，10a＝20，a＝2，∴abcd=2×1×(?2)×1=?4∴abcd＝±4；②當(dāng)d＝±3時(shí)，d4＝81，∴1000a+100b2+10c3＝2021﹣81＝1940，∴100a+10b2+c3＝194，同理43＝64，∴c＝4，∴100a+10b2+64＝194，100a+10b2＝130，10a+b2＝13，不存在整數(shù)滿足條件，故d≠±3；綜上，abcd＝±4．故答案為：±4．14．（2022春?商城縣校級(jí)月考）計(jì)算：（1）（﹣3）2×[?23+（2）﹣14+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣2）3÷4；（3）（﹣10）3+[（﹣4）2+（1﹣32）×2]﹣（﹣0.28）÷0.04×（﹣1）2020．【思路點(diǎn)撥】（1）原式先算乘方運(yùn)算，再利用乘法分配律計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）原式先算乘方，再算乘除，最后算加減即可得到結(jié)果；（3）原式先算乘方，再算乘除，最后算加減即可得到結(jié)果．【解題過程】解：（1）原式＝9×（?2＝9×（?23）+9×（＝﹣6﹣5＝﹣11；（2）原式＝﹣1﹣3×（16+2）﹣（﹣8）÷4＝﹣1﹣3×18+8÷4＝﹣1﹣54+2＝﹣53；（3）原式＝﹣1000+[16+（1﹣9）×2]﹣（﹣0.28）÷0.04×1＝﹣1000+（16﹣8×2）﹣（﹣7）×1＝﹣1000+（16﹣16）+7＝﹣1000+7＝﹣993．15．（2022春?濱?？h月考）閱讀下列材料：小明為了計(jì)算1+2+22+…+22020+22021的值，采用以下方法：設(shè)S＝1+2+22+…+22020+22021①則2S＝2+22+…+22021+22022②②﹣①得，2S﹣S＝S＝22022﹣1．請(qǐng)仿照小明的方法解決以下問題：（1）2+22+…+220＝221﹣2；（2）求1+12+1（3）求1+a+a2+a3+…+an的和．（a＞1，n是正整數(shù)，請(qǐng)寫出計(jì)算過程）【思路點(diǎn)撥】（1）（2）根據(jù)題目所給方法，令等式左邊為S，表示出2S，相減即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題目所給方法，令等式左邊為S，表示出aS，相減即可得到結(jié)果．【解題過程】解：（1）設(shè)S＝2+22+…+220，則：2S＝22+23+…+220+221，2S﹣S＝（22+23+…+220+221）﹣（2+22+…+220）＝221﹣2，∴S＝221﹣2，故答案為：221﹣2．（2）設(shè)S＝1+12S＝2+1+12S﹣S＝（2+1+12+12∴S＝2?1故答案為：2?1（3）設(shè)S＝1+a+a2+a3+…+an，則：aS＝a+a2+a3+…+an+an+1，aS﹣S＝（a﹣1）S＝（a+a2+a3+…+an+an+1）﹣（1+a+a2+a3+…+an）＝an+1﹣1．∴S=a16．（2021秋?新都區(qū)期末）先觀察下列各式，再完成題后問題：12×3=12?（1）①請(qǐng)仿照上面各式的結(jié)構(gòu)寫出：15×6=1②11×2+12×3+13×4+...+（2）運(yùn)用以上方法思考：求14【思路點(diǎn)撥】（1）①直接利用已知將原式分成兩分?jǐn)?shù)的差即可；②利用已知中規(guī)律將原式化簡(jiǎn)求出答案；（2）首先提取12【解題過程】解：（1）①15×6故答案為：15②原式=1?=1?1=n故答案為：nn+1（2）原式==1=1=1=417．（2021秋?開江縣期末）（概念學(xué)習(xí)）規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等0）的除法運(yùn)算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”．一般地，把a(bǔ)÷a÷a÷?÷a︸n個(gè)（a≠0）記作a?，讀作“a的圈（初步探究）（1）直接寫出計(jì)算結(jié)果：5③＝15，（?13）④（深入思考）我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算呢？（此處不用作答）（2）試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫成冪的形式（﹣3）⑤＝（?13）3；5⑧＝（15）6；（12）⑩＝（3）算一算：﹣92÷（?13）⑤×（?14）④﹣（?1【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)運(yùn)算規(guī)定，用除法運(yùn)算直接得出結(jié)果；（2）根據(jù)運(yùn)算規(guī)定，用除法運(yùn)算直接得出結(jié)果；（3）根據(jù)a?的運(yùn)算規(guī)定，按照有理數(shù)的運(yùn)算順序、運(yùn)算法則計(jì)算出結(jié)果．【解題過程】解：（1）5③＝5÷5÷5=1（?13）④＝（?13）÷（?1=1＝9．故答案為：15（2）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝（﹣3）×（?13）×（?13）×（＝（?13）5⑧＝5÷5÷5÷5÷5÷5÷5÷5＝5×＝（15）6（12）⑩=1＝28，故答案為：（?13）3；（15）6（3）由a的圈n次方＝（1a）n﹣2∴原式＝﹣