廣東省東莞市外國語學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第一次階段性考試（4月）數(shù)學(xué)試題含答案

東莞外國語學(xué)校2024學(xué)年高二（下）第一次階段性考試數(shù)學(xué)試卷命題人：一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知函數(shù)，則該函數(shù)在處的切線斜率為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．有三個(gè)不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，則不同的投法有（

）種.A．81 B．64 C．24 D．43．x-25的展開式中的系數(shù)為（

）A．40 B．-40 C．80 D．-804．函數(shù)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（

）A． B．C． D．5．若函數(shù)在區(qū)間上存在最值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或6．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為，則（

）A． B．0 C．1 D．27．已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有恒成立，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．8．已知，則（

）A． B．C．D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果，設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”，以下四個(gè)函數(shù)在上是凸函數(shù)的是（）A． B．C． D．10．若，，且，則下列結(jié)論中不一定成立的是（

）A．B．C． D．11．已知函數(shù)存在個(gè)不同的正數(shù)，，使得，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為5 B．的最大值為4C．的最大值為 D．的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．要從甲、乙、丙3名工人中選出兩名分別上日班和晚班，有______種不同的選法．13．若函數(shù)，則______.14．已知函數(shù)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．投石入水，水面會(huì)產(chǎn)生圓形波紋區(qū)，且圓的面積隨著波紋的傳播半徑的增大而增大（如圖）．計(jì)算：(1)半徑從增加到時(shí)，圓面積S相對(duì)于的平均變化率；(2)半徑時(shí)，圓面積S相對(duì)于的瞬時(shí)變化率．16．已知6件不同的產(chǎn)品中有2件次品，4件正品，現(xiàn)對(duì)這6件產(chǎn)品一一進(jìn)行測試，直至確定出所有次品則測試終止.（以下請(qǐng)用數(shù)字表示結(jié)果）(1)若恰在第2次測試時(shí)，找到第一件次品，且第4次測試時(shí)，才找到最后一件次品，則共有多少種不同的測試情況？(2)若至多測試4次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試情況？17．已知.(1)若，求中含項(xiàng)的系數(shù)（請(qǐng)用數(shù)字表示結(jié)果）；(2)若，求的值（請(qǐng)用指數(shù)形式表示結(jié)果）．18．已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求的最小值。19．（17分）英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，．注：表示的2階導(dǎo)數(shù)，即為的導(dǎo)數(shù)，表示的階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式．（1）根據(jù)該公式估算的值，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位；（2）由該公式可得：．當(dāng)時(shí)，試比較與的大小，并給出證明；（3）設(shè)，證明：．東莞外國語學(xué)校2023-2024學(xué)年高二第一次段考參考答案1．C.2．A【解析】每封信可以投個(gè)不同的信箱中的其中一個(gè)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的投法種數(shù)為種.3．A.【解析】首先寫出展開式的通項(xiàng)，再代入計(jì)算可得；【解析】x?25的展開式的通項(xiàng)T令5?r=3，解得r=2，所以T3=C524．B【解析】由函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且增速變緩慢，，表示直線的斜率，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，，5.C【解析】，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在處取得最值，則有，解得.6．B【解析】函數(shù)定義域?yàn)?，可得，兩邊同時(shí)求導(dǎo)，則有所以.7．C【解析】對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得，令，得.8.D【解析】法一：，由于在恒成立，故在遞減。．法二：而故，則有．(無腦洛)9．ABC【解析】對(duì)于A，由，得，則，因?yàn)椋?，所以此函?shù)是凸函數(shù)；對(duì)于B，由，得，則，因?yàn)椋?，所以此函?shù)是凸函數(shù)；對(duì)于C，由，得，則，因?yàn)?，所以，所以此函?shù)是凸函數(shù)；對(duì)于D，由，得，則，因?yàn)?，所以，所以此函?shù)不是凸函數(shù)，故選：ABC10．ABC【解析】令，，則，∵當(dāng)時(shí)，，，即，∴在上單調(diào)遞增，∵的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，∴為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，∴在上單調(diào)遞減，∵，即，∴，故D正確，而ABC不一定成立.11．【答案】ABD【解析】由得，令，與單調(diào)性一致，，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在時(shí)，取得極小值（最小值），所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，即B正確；在時(shí)，取得唯一極值（極小值，也是最小值），即A、D都正確，C錯(cuò)誤.故選：ABD.12．【答案】6【詳解】13．【答案】0【詳解】因?yàn)椋詢蛇呁瑫r(shí)求導(dǎo)數(shù)可得令，則，所以，即，，所以，，則，14.【解析】15．【解析】（1）圓面積S相對(duì)于半徑的平均變化率為．（2）在表達(dá)式中，讓d趨近于0，得到圓面積S相對(duì)于的瞬時(shí)變化率為。（恰為此時(shí)圓的周長）16．【解析】（1）需測試4次，按順序可看作為4個(gè)位置，兩件次品置于第二，四位，有放法數(shù)；其余二個(gè)位置放二個(gè)正品，有放法數(shù)由乘法原理方法數(shù)為：種不同的測試情況；（2）至多4次可分為恰好2次，恰好3次，恰好4次找到所有次品，恰好2次，即前2次測試都是次品，方法數(shù)為；恰好3次，即第3次是次品，前2次中有1次是次品，方法數(shù)為；恰好4次，即第4次是次品，前3次中有1次是次品，方法數(shù)為；也可以是前四次全是正品，方法數(shù)為故共有種不同的測試情況17．【詳解】（1），因?yàn)檎归_式中的第項(xiàng)，所以展開式中含項(xiàng)分別為，故中含的項(xiàng)為，所以中含項(xiàng)的系數(shù)為99.（2），令得①，令得②，兩式相減①-②：，所以.18．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為。（2）令，則有，（觀察前的系數(shù)，則，必要性探路，下一步驗(yàn)證等號(hào)成立即可，由中，結(jié)合圖象可知為左右函數(shù)的切點(diǎn)，在此點(diǎn)處有公切線，在時(shí)成立，則，結(jié)合，從而有）下面證