行列式按行列展開

關(guān)于行列式按行列展開4/6/20241性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即D=DT.行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個(gè)倍數(shù)k，等于用數(shù)k乘以此行列式.推論行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．性質(zhì)4

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．第2頁,共33頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)5

若行列式中的某一行（列）的每個(gè)元素都是兩數(shù)之和，則此行列式可以寫成兩個(gè)行列式之和,這兩個(gè)行列式除該行（列)以外其余行（列）全與原來行列式對應(yīng)的行（列）一樣，即性質(zhì)6

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個(gè)倍數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變．第3頁,共33頁，2024年2月25日，星期天4/6/20244§6

行列式按行(列)展開第4頁,共33頁，2024年2月25日，星期天一、引言結(jié)論三階行列式可以用二階行列式表示.思考題任意一個(gè)行列式是否都可以用較低階的行列式表示？第5頁,共33頁，2024年2月25日，星期天例如把稱為元素的代數(shù)余子式(AlgebraicComplement)．在n階行列式中，把元素所在的第行和第列劃后，留下來的n－1階行列式叫做元素的余子式，記作.結(jié)論因?yàn)樾袠?biāo)和列標(biāo)可唯一標(biāo)識行列式的元素，所以行列式中每一個(gè)元素都分別對應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式.第6頁,共33頁，2024年2月25日，星期天引理

一個(gè)n階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．例如第7頁,共33頁，2024年2月25日，星期天即有又從而下面再討論一般情形.分析當(dāng)位于第1行第1列時(shí),引理

一個(gè)n階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．第8頁,共33頁，2024年2月25日，星期天下面再討論一般情形.為什么要依次？第9頁,共33頁，2024年2月25日，星期天中的余子式第10頁,共33頁，2024年2月25日，星期天我們以4階行列式為例.余子式相同第11頁,共33頁，2024年2月25日，星期天余子式不同第12頁,共33頁，2024年2月25日，星期天二、行列式按行（列）展開法則定理3

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即證第13頁,共33頁，2024年2月25日，星期天第14頁,共33頁，2024年2月25日，星期天二、行列式按行（列）展開法則定理3

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即推論

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即第15頁,共33頁，2024年2月25日，星期天比較等式兩邊，可得第16頁,共33頁，2024年2月25日，星期天定理3

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即推論

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即綜上所述，有同理可得第17頁,共33頁，2024年2月25日，星期天例1（1.15）第18頁,共33頁，2024年2月25日，星期天

證明用數(shù)學(xué)歸納法例2

證明范德蒙德(Vandermonde)行列式所以n=2時(shí)(1)式成立.第19頁,共33頁，2024年2月25日，星期天假設(shè)(1)對于n－1階范德蒙行列式成立，從第n行開始，后行減去前行的倍：按照第1列展開，并提出每列的公因子，就有第20頁,共33頁，2024年2月25日，星期天

n?1階范德蒙德行列式假設(shè)(1)對于n－1階范德蒙行列式成立，從第n行開始，后行減去前行的倍：按照第1列展開，并提出每列的公因子，就有第21頁,共33頁，2024年2月25日，星期天例2

證明范德蒙德(Vandermonde)行列式Suchas：第22頁,共33頁，2024年2月25日，星期天第23頁,共33頁，2024年2月25日，星期天例計(jì)算行列式解第24頁,共33頁，2024年2月25日，星期天第25頁,共33頁，2024年2月25日，星期天例3

設(shè),的元的余子式和代數(shù)余子式依次記作和，求分析利用及第26頁,共33頁，2024年2月25日，星期天例3

設(shè),的元的余子式和代數(shù)余子式依次記作和，求解及第27頁,共33頁，2024年2月25日，星期天例3

設(shè),的元的余子式和代數(shù)余子式依次記作和，求及第28頁,共33頁，2024年2月25日，星期天

1.行列式按行（列）展開法則是把高階行列式的計(jì)算化為低階行列式計(jì)算的重要工具.

三、小結(jié)第29頁,共33頁，2024年2月25日，星期天思考題求第一行各元素的代數(shù)余子式之和第30頁,共33頁，2024年2月25日，星期天思考題解答解第一行各元素的代數(shù)余子