2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類匯編-空間幾何體五年

五年2018-2022高考數(shù)學(xué)真題按知識(shí)點(diǎn)分類匯編14-空間幾

何體（含解析）

一、單選題

1.（2022.全國(guó).統(tǒng)考高考真題）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為。，底面的四個(gè)

頂點(diǎn)均在球。的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

A.-B.1C.且D.也

3232

2.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.

若該球的體積為36萬(wàn)，且34”3代，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

811「2781]「2764]

A.18,—B.—C.—D.r[i1o8,27]

_4J144」L43_

3.（2022.全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之

和為2兀，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為%和%.若*2,則*（）

?乙V乙

A.y/5B.2V2c.MD.

4

4.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其

中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為14Q0km2；

水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km2,將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀

看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為

(V7?2.65)()

A.1.0xl09m3B.1.2xlO9m3C.1.4xl09m3D.1.6xlO9m3

5.（2022.全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為3括和4拒，

其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.100兀B.12871C.144KD.192TI

6.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小

正方形的邊長(zhǎng)為1,則該多面體的體積為（）

A.8B.12C.16D.20

7.（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）已知正三棱錐P-ABC的六條棱長(zhǎng)均為6,S是及

其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合T={Q￡S|PQ?5},則T表示的區(qū)域的面積為（）

A.—B.乃C.2兀D.37r

4

8.（2022.浙江?統(tǒng)考高考真題）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體

-22c16

A.22兀B.8兀C.---71D.—兀

33

9.（2022?天津.統(tǒng)考高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重

疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為120。，腰為3的等腰三角形，則該幾何

A.23B.24C.26D.27

10.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的底面半徑為0,其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，

則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）

A.2B.2立C.4D.4A/2

11.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知A,B,C是半徑為1的球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，

且AC，8C,AC=3C=1,則三棱錐O—ABC的體積為（）

A.正B.在C.巫D.且

121244

12.（2021?全國(guó)?高考真題）在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,

G.該正方體截去三棱錐A-跳G后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相

應(yīng)的側(cè)視圖是（）

13.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,

則其體積為（）

A.20+126B.28-72C.三D.空叵

33

14.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成

果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為

36000km（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是一個(gè)球心為。，半徑

r為6400km的球，其上點(diǎn)A的緯度是指。4與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直

接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為。，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的

表面積為S=2+（l-cosa）（單位：km2），則S占地球表面積的百分比約為（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

15.（2021?天津?統(tǒng)考高考真題）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面,頂點(diǎn)均在球面上，

若球的體積為32深萬(wàn)，兩個(gè)圓錐的高之比為1:3,則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（）

A.3萬(wàn)B.4萬(wàn)C.D.12乃

16.（2021?浙江?統(tǒng)考高考真題）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

—1-?V-1―?V-1―?V-1?

正視圖側(cè)視圖

3a

D.3亞

17.（2021?北京?統(tǒng)考高考真題）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）

H—1—HH—1—H

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

3+3B.3+73C.—FA/3D3+

2-f

18.（2021?北京?統(tǒng)考高考真題）某一時(shí)間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、

滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：mm）.24h降雨

量的等級(jí)劃分如下：

在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為200mm,高為300mm的圓錐形雨

量器.若一次降雨過(guò)程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示），則這

24h降雨量的等級(jí)是

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

19.（2020.全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知A,B,C為球0的球面上的三個(gè)點(diǎn)，為一ABC的

外接圓，若。。1的面積為4兀，AB=BC=AC=OOi,則球。的表面積為（）

A.64兀B.48KC.3671D.32兀

20.（2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可

視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形

的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（）

A布-1R6-1p布+1nA/5+1

A.-----D.-----C.-----U.-----

4242

21.（2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知△ABC是面積為上叵的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在

4

球O的球面上.若球O的表面積為16兀，則O到平面ABC的距離為（）

A.J3B.-C.1D.也

22

22.（2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）

23.（2020?海南?高考真題）日號(hào)是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與唇面垂直的辱

針投射到唇面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間.把地球看成一個(gè)球（球心記為O）,地球上一點(diǎn)A的緯

度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過(guò)點(diǎn)A且與OA垂直的平

面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日號(hào)，若辱面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40。，則

密針與點(diǎn)A處的水平面所成角為（）

A.20°B.40°

C.50°D.90°

24.（2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)

端點(diǎn)在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M,在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N,則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)為（）

EF

GH

N

A.EB.FC.GD.H

25.（2020?天津?統(tǒng)考高考真題）若棱長(zhǎng)為2石的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球

的表面積為（）

A.127rB.24〃C.36萬(wàn)D.144萬(wàn)

26.（2020.浙江?統(tǒng)考高考真題）某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何

體的體積（單位：cn?）是（）

27.（2020?北京?統(tǒng)考高考真題）某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三

棱柱的表面積為（）.

A.6+73B.6+273C.12+8D.12+2若

28.（2019?全國(guó)?高考真題）已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB^PC,

△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E,尸分別是以，A8的中點(diǎn)，ZCEF=90°,則球。的

體積為

A.8娓兀B.4瓜兀C.2巫兀D.娓乃

29.（2018?全國(guó)?高考真題）設(shè)A,B,C,〃是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，ABC

為等邊三角形且其面積為9力，則三棱錐D-A3C體積的最大值為

A.12mB.18A/3C.2473D.5473

30.（2018?全國(guó)?高考真題）某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如圖所示，圓柱

表面上的點(diǎn)/在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,

則在此圓柱側(cè)面上，從Af到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為

A.2A/17B.2A/5C.3D.2

31.（2018?全國(guó)?高考真題）在長(zhǎng)方體中，AB=BC=2,AC;與平面

84GC所成的角為30，則該長(zhǎng)方體的體積為

A.8B.6A/2C.8A/2D.8A/3

32.（2018?全國(guó)?高考真題）已知圓柱的上、下底面的中心分別為02,過(guò)直線002

的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為

A.120兀B.127tC.8A/2TTD.10n

33.（2018?全國(guó)?高考真題）已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面a所成的角

都相等，則a截此正方體所得截面面積的最大值為

A3A/3R2A/3-30n6

4342

34.（2018?全國(guó)?高考真題）中國(guó)古建筑借助樺卯將木構(gòu)件連接起來(lái)，構(gòu)件的凸出部分叫

樺頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是樟頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某

一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是

C.

35.（2018?北京?高考真題）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三

角形的個(gè)數(shù)為

36.（2018?浙江?高考真題）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體

積（單位：cm3）是（）

C.6D.8

二、多選題

37.（2022.全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）如圖，四邊形45CD為正方形，平面ABCD,

FB//ED,AB=ED=2FB,記三棱錐E—ACD,F-ABC,尸―ACE的體積分別為

匕匕,匕,則（）

三、填空題

38.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視

圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為

（寫出符合要求的一組答案即可）.

圖④

39.（2021?全國(guó)?高考真題）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為30萬(wàn)則該圓錐的側(cè)

面積為.

40.（2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半

徑最大的球的體積為.

41.（2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐尸-ABC的平面展開(kāi)圖中，AC=1,

AB=AD=y/3,AB1AC,AB±AD,ZCAE=30°,則cos/FCB=.

〃仍）

H

42.（2020?海南?統(tǒng)考高考真題）已知直四棱柱ABCD-A/B/GQ的棱長(zhǎng)均為2,

ZBAD=60°.以Q為球心，逐為半徑的球面與側(cè)面8CQH的交線長(zhǎng)為

43.（2020?海南?高考真題）己知正方體ABCD-A/BG。/的棱長(zhǎng)為2,M,N分別為BBi、

A8的中點(diǎn)，則三棱錐A-M0D/的體積為

44.（2020?江蘇.統(tǒng)考高考真題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所

構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半徑為0.5cm,則此

六角螺帽毛坯的體積是—cm3.

45.（2020?山東?統(tǒng)考高考真題）已知球的直徑為2,則該球的體積是.

46.（2019?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，

該模型為長(zhǎng)方體ABCD-Ag挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中。為長(zhǎng)

方體的中心，E,￡G,”分別為所在棱的中點(diǎn)，AB=BC=6cm,A4]=4cm,3。打印所

用原料密度為0.9g/”？，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為

g.

47.（2018?全國(guó)?高考真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線a1,S5所成角的余弦值為7《，

以與圓錐底面所成角為45。，若△&山的面積為5小，則該圓錐的側(cè)面積為

48.（2018?全國(guó)?高考真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線&4,S3互相垂直，與圓錐底

面所成角為30。，若△SA3的面積為8,則該圓錐的體積為.

49.（2019?天津?高考真題）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為拒的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為正.

若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面

的中心，則該圓柱的體積為.

50.（2019?北京?高考真題）某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如

圖所示.如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,那么該幾何體的體積為.

51.（2019.江蘇.高考真題）如圖，長(zhǎng)方體的體積是120,￡為CG的中

點(diǎn)，則三棱錐的體積是.

52.（2018?天津?高考真題）如圖，已知正方體ABCD-A/B/G。/的棱長(zhǎng)為1,則四棱錐

Ai—BBQQ的體積為

53.（2018?天津?高考真題）已知正方體ABCD-AgGA的棱長(zhǎng)為1，除面ABCD外，該

正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E,F,G,H,Af（如圖），則四棱錐加'-ErGH的體積

四、解答題

54.（2022.全國(guó).統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體ABCD中,

AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC的中點(diǎn).

（1）證明：平面3ED_L平面ACD；

（2）設(shè)AB=3。=2,ZACB=60。，點(diǎn)尸在8。上，當(dāng)△詼（7的面積最小時(shí)，求三棱錐

/-ABC的體積.

55.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒,

包裝盒如圖所示：底面ABCD是邊長(zhǎng)為8（單位：cm）的正方形，

一EAB,FBC,_GCD,.HDA均為正三角形，且它們所在的平面都與平面A3CD垂直.

⑴證明：所〃平面ABC。；

（2）求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）.

56.（2021.全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐A-BCD中，平面平面BCD,

AB=AD,。為80的中點(diǎn).

(1)證明：0A1CD；

(2)若OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA,且二面角

E-BC-Z)的大小為45。，求三棱錐A-BCD的體積.

57.(2021?全國(guó)?高考真題)已知直三棱柱ABC-A2C1中，側(cè)面四片臺(tái)為正方形,

AB=BC=2,E,B分別為AC和CG的中點(diǎn)，BF

(1)求三棱錐尸-EBC的體積;

(2)己知。為棱4月上的點(diǎn)，證明：BF±DE.

58.(2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，底面ABC。,

M為BC的中點(diǎn)，且尸3_L4s.

(1)證明：平面尸AMJ■平面尸fiD；

(2)若PD=DC=1,求四棱錐尸—ASCD的體積.

59.(2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，ABC

是底面的內(nèi)接正三角形，尸為。。上一點(diǎn)，ZAPC=90°.

D

(1)證明：平面朋8_L平面必C；

(2)設(shè)。。=血，圓錐的側(cè)面積為6兀，求三棱錐P-A8C的體積.

60.(2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)如圖，已知三棱柱ABC-A/8/G的底面是正三角形，側(cè)

面BB/GC是矩形，M,N分別為BC,的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn).過(guò)氏。和尸的

平面交A2于E,交AC于足

C,

(1)證明：AA1//MN,且平面平面EB/C/B

_TT

(2)設(shè)。為△48心的中心，若AO=A8=6,A。//平面血心尸，且求四

棱錐B-EBiCiF的體積.

61.(2019?全國(guó)?高考真題)如圖，長(zhǎng)方體42348/。。/的底面A8CD是正方形，點(diǎn)

E■在棱AA/上，BELECi.

(1)證明：3E_L平面EB/G；

(2)若AE=AjE,AB=3,求四棱錐片-28。0的體積.

62.(2018?全國(guó)?高考真題)如圖，在平行四邊形A3cM中，AB=AC=3,ZACM=90°,

以AC為折痕將小AC"折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)。的位置，且ABLZM.

(1)證明：平面ACD±平面ABC；

2

(2)。為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BP=r>Q=1D4,求三棱錐。-A3P

的體積.

五、雙空題

63.（2019?全國(guó)?高考真題）中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信

的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正

多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體

體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)

正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體共有個(gè)面，其棱長(zhǎng)

為.

圖1圖2

考答案：

1.C

【分析】方法一：先證明當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面A8C。所在小圓距離一定時(shí)，底面A8C。

面積最大值為2,，進(jìn)而得到四棱錐體積表達(dá)式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，

從而得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)其高的值.

【詳解】［方法一］:【最優(yōu)解】基本不等式

設(shè)該四棱錐底面為四邊形A8CD四邊形ABCD所在小圓半徑為r,

設(shè)四邊形ABC。對(duì)角線夾角為a,

2

則5ABe。=1-ACB￡>.sintz<|.AC-BD<1-2r-2r=2r

（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立）

即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)。到底面ABC。所在小圓距離一定時(shí)，底面ABC。面積最大值為2r2

又設(shè)四棱錐的高為〃，則/+/V=/,

當(dāng)且僅當(dāng)r2=2h2即，邛時(shí)等號(hào)成立.

故選：C

［方法二］：統(tǒng)一變量+基本不等式

由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為。，底面所在圓的半徑為

r,則r=克°,所以該四棱錐的高九、「三，

2V2

a2a2a2、3

一+—+1-----

4442

3府考

（當(dāng)且僅當(dāng)9=1-即/=:時(shí)，等號(hào)成立）

所以該四棱錐的體積最大時(shí)，其高〃=

故選：C.

［方法三］:利用導(dǎo)數(shù)求最值

由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為。，底面所在圓的半徑為

r,則r=變°,所以該四棱錐的高仁「Z,V△吟令/=?07<2）,

2V23V23V2

設(shè)/⑺=產(chǎn)-；,則廣⑺=2"*,

o<f<1,r(r)>0,單調(diào)遞增，g<r<2,r(r)<0,單調(diào)遞減，

所以當(dāng)f=g時(shí)，V最大，此時(shí)心=

故選：C.

【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：思維嚴(yán)謹(jǐn)，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；

方法二：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；

方法三：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導(dǎo)數(shù)求最值，是最值問(wèn)題的常用解法，操作簡(jiǎn)便，是通

性通法.

2.C

【分析】設(shè)正四棱錐的高為心由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系,

由此確定正四棱錐體積的取值范圍.

【詳解】：球的體積為36%，所以球的半徑R=3,

［方法一］:導(dǎo)數(shù)法

設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2“，高為"

貝!J/2=2a?，32=2〃+(3—/z)2,

所以6h-I292aN=I2—h2

ii974721f76

所以正四棱錐的體積丫=wS//=wx4/x/z=w*(/2-)X"=HI4--

所以『=［4/3一4

八O

當(dāng)3V/V2指時(shí)，V'>0,當(dāng)2"</434時(shí),V'<Q,

所以當(dāng)/=2#時(shí)，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為三,

2721

又/=3時(shí)，V=—,/=3指時(shí)，V=—,

44

所以正四棱錐的體積V的最小值為2一7，

4

所以該正四棱錐體積的取值范圍是y.y.

故選：C.

［方法二］：基本不等式法

由方法一故所以丫=+%=，6%-町〃=；（12-2%）"反%（12-2?+〃+〃=￡（當(dāng)且

僅當(dāng)〃=4取到），

當(dāng)仁|時(shí),得a萼,則囁“=”=；（*x|=*

ZA/ZDD7乙乙4

當(dāng)/=36l時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)/?=；3+3=/Q

坐"攣"=輩，正四棱錐體積匕=:八=:（羋）2'上?<",故該正四棱錐體積的取

22，233A/2243

值范圍是目苧

3.C

【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為/,甲圓錐底面半徑為小乙圓錐底面圓半徑為弓，根據(jù)圓錐的側(cè)面積

公式可得4=20再結(jié)合圓心角之和可將4也分別用/表示，再利用勾股定理分別求出兩圓

錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.

【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為/,甲圓錐底面半徑為心乙圓錐底面圓半徑為4,

吟啜丁=2,

所以乙=2々,

又子+手=2萬(wàn)，

則三=1,

21

所以々=~1，

所以甲圓錐的高4=，/-：尸=手

2c

乙圓錐的高〃2=

1/工仍2%—/2X^-l

所以

彩g

393

故選：c.

4.C

【分析】根據(jù)題意只要求出棱臺(tái)的高，即可利用棱臺(tái)的體積公式求出.

【詳解】依題意可知棱臺(tái)的高為肱V=157.5-148.5=9(m),所以增加的水量即為棱臺(tái)的體積

V.

棱臺(tái)上底面積S=140.03?=140xl()6m2,下底面積S'=180.0km2=180xl06m2,

V=1/7(S+S,+A/SS7)=1X9X(140X106+180X106+7140X180X1012)

=3X(320+60A/7)X106?(96+18x2.65)xl07=1.437xl09?1.4xl09(m3).

5.A

【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑？々再根據(jù)球心距，圓面半徑，

以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑4/，所以2外=應(yīng)一,26=必-，即

sin60sin60

4=3,々=4,設(shè)球心到上下底面的距離分別為4,右，球的半徑為R,所以4='&_9,

d2=」R2-16,故_閔=1或4+d?=1,即胸2一9一＞/店—16|=1或一9+JR2_I6=I,

解得爐=25符合題意，所以球的表面積為S=4JIR2=ioo兀.

故選：A.

6.B

【分析】由三視圖還原幾何體，再由棱柱的體積公式即可得解.

【詳解】由三視圖還原幾何體，如圖，

故選：B.

7.B

【分析】求出以尸為球心，5為半徑的球與底面ABC的截面圓的半徑后可求區(qū)域的面積.

設(shè)頂點(diǎn)P在底面上的投影為0,連接3。，則。為三角形ABC的中心,

J.B(9=-X6x—=2A/3,故尸O=J36-12=2?.

32

因?yàn)镻Q=5,故。。=1,

故S的軌跡為以。為圓心，1為半徑的圓,

2x3x36

而三角形ABC內(nèi)切圓的圓心為。，半徑為2義彳義—_萬(wàn),],

-376—-

故S的軌跡圓在三角形ABC內(nèi)部，故其面積為萬(wàn)

故選：B

8.C

【分析】根據(jù)三視圖還原幾何體可知，原幾何體是一個(gè)半球，一個(gè)圓柱，一個(gè)圓臺(tái)組合成的

幾何體，即可根據(jù)球，圓柱，圓臺(tái)的體積公式求出.

【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)半球，一個(gè)圓柱，一個(gè)圓臺(tái)組合成的幾何體，球的

半徑，圓柱的底面半徑，圓臺(tái)的上底面半徑都為1cm,圓臺(tái)的下底面半徑為2cm,所以該

幾何體的體積丫=—X—7txl3+7txl2x2+—x2x(7tx22+71XI2+VTIX22X71X122271R

亍cm.

233\

故選：c.

9.D

【分析】作出幾何體直觀圖，由題意結(jié)合幾何體體積公式即可得組合體的體積.

【詳解1該幾何體由直三棱柱AFD-BHC及直三棱柱DGC-AEB組成，作碗，CB于

如圖，

因?yàn)镃H=BH=3,NCHB=120,所以CM=，

22

因?yàn)橹丿B后的底面為正方形，所以A3=8C=3岔，

在直棱柱AFD-3HC中，AB人平面8HC,則

由ABc3C=3可得_L平面ADCB,

設(shè)重疊后的EG與交點(diǎn)為/,

則V!-BCDA-|X3A/3X3A/3X|=^,V皿BHC=1X3^X|X3尋y

o197

則該幾何體的體積為V=^D.BHC-V,_BCDA=2x---=27.

故選：D.

10.B

【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,根據(jù)圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)可求得/的值，即為

所求.

【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,由于圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，則M=2萬(wàn)x0,解

得/=2怎

故選：B.

11.A

【分析】由題可得ASC為等腰直角三角形，得出ABC外接圓的半徑，則可求得0到平面

ABC的距離，進(jìn)而求得體積.

【詳解】AC，BC,AC=BC=1,，ABC為等腰直角三角形，"8=0,

則ABC外接圓的半徑為正，又球的半徑為1,

2

設(shè)。到平面43c的距離為d,

訴I、"-1e1,.V2_V2

所以%-ABC=§SABC=5X5X1xlx-^-=五.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查球內(nèi)幾何體問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、

球心到截面距離的勾股關(guān)系求解.

12.D

【分析】根據(jù)題意及題目所給的正視圖還原出幾何體的直觀圖，結(jié)合直觀圖進(jìn)行判斷.

【詳解】由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖，如圖所示，

13.D

【分析】由四棱臺(tái)的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺(tái)的體積公式即可

得解.

【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，

因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)棱長(zhǎng)為2,

所以該棱臺(tái)的高G=’2?-僅忘-⑹2=血，

下底面面積y=16,上底面面積S?=4,

所以該棱臺(tái)的體積V=gM?+S2+悟T)=；x&x(16+4+病)=

故選：D.

14.C

【分析】由題意結(jié)合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.

【詳解】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：

16400

2

27r”cosa)=l-cosc=-6400+36000?()42=42%-

4萬(wàn)尸—2一2~.一°

故選：C.

15.B

【分析】作出圖形，計(jì)算球體的半徑，可計(jì)算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計(jì)算出圓錐

的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】如下圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)。，

所以，BD=1,AD=3,

CD_LAB,則/G4D+ZACE)=N3a)+ZACZ)=90,所以，ZCAD=ZBCD,

又因?yàn)镹AZ)C=/3r)C,所以，△ACDS/XCBD,

ADCDi-------

所以，—=~z~，CD=>JAD-rBD=V3，

CL)BD

因此，這兩個(gè)圓錐的體積之和為g萬(wàn)xCZ)2.(AD+80=g;rx3x4=4萬(wàn).

故選：B.

16.A

【分析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體，根據(jù)棱柱的體積公式可求其體積.

【詳解】幾何體為如圖所示的四棱柱ABCO-AgGA，其高為1,底面為等腰梯形ABCD,

該等腰梯形的上底為g,下底為2忘，腰長(zhǎng)為1,故梯形的高為，二!=*，

故匕皿.儂=3(&+2后卜［*1=|,

17.A

【分析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體(三棱錐)，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可計(jì)算該幾何

體的表面積.

【詳解】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體-正三棱錐O-ABC,

其側(cè)面為等腰直角三角形，底面等邊三角形，

由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為1,

故其表面積為3xgxlxl+￥x(0)=,

故選：A.

A

C

B

18.B

【分析】計(jì)算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.

【詳解】由題意，一個(gè)半徑為1=100（mm）的圓面內(nèi)的降雨充滿一個(gè)底面半徑為

等x1^=50（mm）,高為150（mm）的圓錐,

所以積水厚*5（洞,屬于中雨.

故選：B.

19.A

【分析】由已知可得等邊ASC的外接圓半徑，進(jìn)而求出其邊長(zhǎng)，得出。。的值，根據(jù)球的

截面性質(zhì)，求出球的半徑，即可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)圓。?半徑為「，球的半徑為R,依題意，

得萬(wàn)戶=4肛.r=2,ABC為等邊三角形，

由正弦定理可得AB=2rsin60o=26,

OR=A5=，根據(jù)球的截面性質(zhì)0a±平面ABC,

OOX±OjA,R=OA=+=^OO2+r2=4,

球。的表面積S=MR?=64%.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于

基礎(chǔ)題.

20.C

【分析】設(shè)Q==利用尸。2=：8》后得到關(guān)于“力的方程，解方程即可得到答

案.

【詳解】如圖，設(shè)CD=a,PE=b,則尸O=，PE2-OE2=16一§,

1“21AA

由題意尸BPb--—=-ab,化簡(jiǎn)得4（士）2—2?2—1=0,

242aa

解得2=1±@（負(fù)值舍去）.

a4

故選：C.

【點(diǎn)晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計(jì)算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道容

易題.

21.C

【分析】根據(jù)球。的表面積和ABC的面積可求得球。的半徑R和.ABC外接圓半徑,，由

球的性質(zhì)可知所求距離d=VF二7.

R

【詳解】

設(shè)球。的半徑為R,則4萬(wàn)尺2=16%，解得：R=2.

設(shè),ABC外接圓半徑為小邊長(zhǎng)為。，

ABC是面積為些的等邊三角形，

4

:%速=也,解得：a=3,，一M"式占口他,

2243V43V4

球心。到平面ABC的距離d=，代_尸=,4—3=1-

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查球的相關(guān)問(wèn)題的求解，涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應(yīng)用;

解題關(guān)鍵是明確球的性質(zhì)，即球心和三角形外接圓圓心的連線必垂直于三角形所在平面.

22.C

【分析】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，求出每個(gè)面的面積，即

可求得其表面積.

【詳解】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形

根據(jù)立體圖形可得：S^ABC=S^ADC=黑曲=；x2x2=2

根據(jù)勾股定理可得：AB=AD=DB=2近

..ADB是邊長(zhǎng)為20的等邊三角形

根據(jù)三角形面積公式可得：

SAADB=^ABADsin60°=1-=2^3

,該幾何體的表面積是：3X2+2A/3=6+273.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)三視圖

畫出立體圖形，考查了分析能力和空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

23.B

【分析】畫出過(guò)球心和辱針?biāo)_定的平面截地球和號(hào)面的截面圖，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理

和線面垂直的定義判定有關(guān)截線的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)A處的緯度，計(jì)算出辱針與點(diǎn)A處的水平面

所成角.

【詳解】畫出截面圖如下圖所示，其中8是赤道所在平面的截線；/是點(diǎn)A處的水平面的

截線，依題意可知。4，/;是號(hào)針?biāo)谥本€.加是號(hào)面的截線，依題意依題意，辱面和赤

道平面平行，辱針與唇面垂直，

根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知利//8、根據(jù)線面垂直的定義可得

由于乙40。=40。,帆〃8,所以NQ4G=NAOC=40。，

由于ZOAG+ZGAE=ZBAE+ZGAE=90°,

所以/54E=N(MG=40。，也即辱針與點(diǎn)A處的水平面所成角為N54E=40。.

故選：B

【點(diǎn)睛】本小題主要考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，考查球體有關(guān)計(jì)算，涉及平面平行，線面垂直

的性質(zhì)，屬于中檔題.

24.A

【分析】根據(jù)三視圖，畫出多面體立體圖形，即可求得M點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn).

【詳解】根據(jù)三視圖，畫出多面體立體圖形，

B&B3

22上的點(diǎn)在正視圖中都對(duì)應(yīng)點(diǎn)M直線83c4上的點(diǎn)在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N,

???在正視圖中對(duì)應(yīng)M，在俯視圖中對(duì)應(yīng)N的點(diǎn)是2，線段鼻。4,上的所有點(diǎn)在側(cè)試圖中都對(duì)

應(yīng)E,點(diǎn)D&在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為E.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖判斷點(diǎn)的位置，解題關(guān)鍵是掌握三視圖的基礎(chǔ)知識(shí)和根

據(jù)三視圖能還原立體圖形的方法，考查了分析能力和空間想象，屬于基礎(chǔ)題.

25.C

【分析】求出正方體的體對(duì)角線的一半，即為球的半徑，利用球的表面積公式，即可得解.

【詳解】這個(gè)球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對(duì)角線的一半，

2

所以，這個(gè)球的表面積為S=4%&=4^x32=36乃.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查正方體的外接球的表面積的求法，求出外接球的半徑是本題的解題關(guān)鍵,

屬于基礎(chǔ)題.求多面體的外接球的面積和體積問(wèn)題，常用方法有：（1）三條棱兩兩互相垂直

時(shí)，可恢復(fù)為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱

的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對(duì)稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線

的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果設(shè)計(jì)幾何體有兩個(gè)面相交，可過(guò)兩個(gè)面的外

心分別作兩個(gè)面的垂線，垂線的交點(diǎn)為幾何體的球心.

26.A

【分析】根據(jù)三視圖還原原圖，然后根據(jù)柱體和錐體體積計(jì)算公式，計(jì)算出幾何體的體積.

【詳解】由三視圖可知，該幾何體是上半部分是三棱錐，下半部分是三棱柱，

且三棱錐的一個(gè)側(cè)面垂直于底面，且棱錐的高為1,

棱柱的底面為等腰直角三角形，棱柱的高為2,

所以幾何體的體積為：

-x|-x2xl|xl+|-x2xl|x2=-+2=-.

3（2））33

故選：A

【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)三視圖計(jì)算幾何體的體積，屬于基礎(chǔ)題.

27.D

【分析】首先確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后求解其表面積即可.

【詳解】由題意可得，三棱柱的上下底面為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，側(cè)面為三個(gè)邊長(zhǎng)為2

的正方形，

貝其表面積為：S=3x(2x2)+2x^x2x2xsin60°^=12+2yf3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)?/p>

分析，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.

(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.

(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而

表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.

28.D

【分析】先證得平面PAC,再求得PA=PB=PC=0,從而得尸-ABC為正方體一

部分，進(jìn)而知正方體的體對(duì)角線即為球直徑，從而得解.

【詳解】解法一：PA=PB=PC,AA6C為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，.1P-ABC為正三棱錐，

:.PBLAC,又E,尸分別為B4、中點(diǎn)，

:.EF//PB,：.EFLAC,又EF1.CE,CEAC=C,.?.所，平面PAC,P3_L平面尸AC,

ZAPB=90°,:.PA=PB=PC=y/2,P-W,2R=,2+2+2=#,即

R=—,:.V=±nR3=+乃乂逃=府,故選D.

2338

p

設(shè)叢=P3=PC=2x,瓦尸分別為尸AA8中點(diǎn),

:.EF//PB,S.EF=^PB=x,AABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,

:.CF=也又NCEF=90°CE=13-,AE=1PA=X

AAEC中余弦定理cosZEAC=『十，一。一廠）,作「D_LAC于。，PA=PC,

2x2xx

Ar)i2+4-321

D為AC中點(diǎn)，cos/EAC==—,X+X=—，

PA2x4x2x

2X2+1=2;.X2=-X=—,..PA=PB=PC=y[2,又AB=BC=AC=2,：.PA,PB,PC

22

兩兩垂直,2R=72+2+2=V6,.-.7?=—,.-.V=-nR3=-nx^-=46n,故選D.

2338

【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生空間想象能力，補(bǔ)體法解決外接球問(wèn)題.可通過(guò)線面垂直定理，得到

三棱兩兩互相垂直關(guān)