2023年初升高數(shù)學(xué)暑假銜接-冪函數(shù)（學(xué)生版）

第2.5章根本初等函數(shù)

2.5.1幕函數(shù)

度］溪理要求了iw求心中有修

1了解某函數(shù)的概念;

后J中要求2結(jié)合函數(shù))/=%,y=x2,y=X3,y=x~1,y=X2的圖象，了解它們的變化情

況

口△基礎(chǔ)知識(shí)夯實(shí)基?，?立完賽知識(shí)體聚

1塞函數(shù)的定義

一般地，形如y=x"的函數(shù)稱為幕函數(shù)，其中％是自變量，a為常數(shù).

注注意嘉函數(shù)中xa的系數(shù)是1,底數(shù)是變量居指數(shù)a是常數(shù)；

2正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義

(1)正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義，規(guī)定：aT=y?(a>o,m,neN)Eln>l)

巧記"子內(nèi)母外"(根號(hào)內(nèi)的m作分子，根號(hào)外的n作為分母)

(2)正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的意義：a>O,m,nG/V*，且ri>1)

Egy/x=x2,x-2=?x-2=—=^.

(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)事等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累沒(méi)有意義.

3零函數(shù)圖像及其性質(zhì)

1

(1)幕函數(shù)y=X,y=x2,y=x3,y-x2,y=%一1的圖象.

(2)幕函數(shù)y-x,y-x2,y-x3,y-x2,y=的性質(zhì)

1

3_1

y=xy=x2y=xy=%'y=x

w

廠

圖象U

TT、

定義域RRR[0,+00)%。0

值域R[0,+00)R[0,+oo)x=^=0

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)

在(-8,0］上遞減在［0,+oo)在(-8,0)上遞減

單調(diào)性在R上遞增在R上遞增

在(0,+8)上遞增上遞增在(0,+8)上遞減

定點(diǎn)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(L1)

⑶性質(zhì)

①全部的幕函數(shù)在(0,+8)都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)；

②a>0時(shí)，嘉函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在［0,+8)上是增函數(shù).

特別地，當(dāng)a>l時(shí)，幕函數(shù)變化快，圖象下凹：當(dāng)0<a<l時(shí)，累函數(shù)變化慢，圖象上凸.

1

Egy=%2圖象上凸，y=/圖象下凹，在［0,+8)上是增函數(shù).

③a<0時(shí)，基函數(shù)的圖象在(0,+8)上是減函數(shù).在第—象限內(nèi)，當(dāng)無(wú)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右

方無(wú)限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于+8時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)限地逼近x軸正半軸.

.11

Ecgy=x1=",

卷經(jīng)典例題

從典例中見(jiàn)n■能力

（題型1）幕函數(shù)的概念

（典題1）已知函數(shù)/（乃=（/+2?71-2）”2-吟1是塞函數(shù)，則加=

變式練習(xí)

1.已知/（x）=ax2a+1-b+1是基函數(shù)，則a+b=.

2.幕函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2勺，則/'（3）=.

（題型2）幕函數(shù)的圖象及其性質(zhì)

（典題1）基函數(shù)y=xa,y=xb,y=x5y=/在第一象限的圖象如下圖，貝ija,b,c,d的大小關(guān)系是（）

A.a>b>c>dB.d>b>c>aC.d>c>b>aD.b>c>d>a

）71

（典題2）己知基函數(shù)〃功=尤2-21?-3（小€2）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在（0,+8）上是減函數(shù)，則m

(典題3)已知點(diǎn)(",2)在幕函數(shù)f(x)的圖象上，點(diǎn)(-2,：)在幕函數(shù)g(x)的圖象上.

(1)求函數(shù)/(x),g(x)的解析式；

(2)推斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性并用定義證明；

(3)問(wèn)x為何值時(shí)有f(x)<g(x).

變式練習(xí)

1.任意兩個(gè)幕函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.最少一個(gè)，最多三個(gè)B.最少一個(gè)，最多二個(gè)

C.最少0個(gè)，最多三個(gè)D.最少0個(gè)，最多二個(gè)

11

2.函數(shù)丫=刀22=%-1)=必)=%二在第—象限內(nèi)的圖象依次是圖中的曲線()

A.C2，C\,C3,C4B.C4,Cj,C3,gC.C3,Q，。1，。4D..Cj,C4,C*2，C3

3.基函數(shù)y=/(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,、后)，則/0)是()

A.偶函數(shù)，且在(0,+8)上是增函數(shù)B.偶函數(shù)，且在(0,+8)上是減函數(shù)

C.奇函數(shù)，且在(0,+8)是減函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)，且在(0,+8)上是增函數(shù)

m

4.如下圖是函數(shù)y=x7m、n€N*且互質(zhì))的圖象，則()

A.m、n是奇數(shù)且?<1B.m是偶數(shù)，聯(lián)是奇數(shù)，且

C.m是偶數(shù)，般是奇數(shù)，且?<1D.m、n是偶數(shù)，且三>1

5.已知塞函數(shù)/(x)=(m-1)2尤m-3m+2在(0,+8)上單調(diào)遞增，則/。)的解析式是.

6.已知a€{-2,假設(shè)塞函數(shù)/'(x)=#為奇函數(shù)，且在(0,+8)上遞減，則&=

7.已知事函數(shù)/(X)=x/-m-2sleZ)是偶函數(shù)，且在(0,+8)上是減函數(shù)，求函數(shù)/(X)的解析式.

8.已知塞函數(shù)/0)=解+“-#

(1)假設(shè)f(x)為偶函數(shù)，且在(0,+8)上是增函數(shù)，求f(x)的解析式;

(2)假設(shè)/(%)在(0,+8)上是減函數(shù)，求k的取值范圍.

(題型3)募函數(shù)的應(yīng)用

(典題1)比擬以下各組數(shù)的大小.

(1)32和3.12；(2)-8s和-目；

變式練習(xí)

?25\25

1.已知a=(五),6=1.0250,c=1.01i0°,則()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

2.已知f(x)=(n2-3n+3)xn+i為基函數(shù)，且f(x)為奇函數(shù).

⑴求函數(shù)/(x)的解析式；(2)解不等式/(x+1)+/(3-2x)>0.

',輕松訓(xùn)練通皿習(xí)，訊國(guó)筋力

1.圖中曲線是基函數(shù)y=%n在第—象限的圖象，已知n取±2,土;四個(gè)值，則相應(yīng)于曲線C1，。2，。3，。4的

n依次為()

11111111

A.-2,-2?2?2B.2,2,-2,-2C.-2/-2,2,^D.2,,,-5,-2

2.假設(shè)三個(gè)基函數(shù)y=x°,y=x",y=x，在同一坐標(biāo)系中的圖象如下圖，貝ija,瓦c的大小關(guān)系是（）

a>b>cD.a>c>b

3.以下命題中：

①幕函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(0,0)；

②幕函數(shù)的圖象不可能在第四象限；

③當(dāng)n=0時(shí)，基函數(shù)y="的圖象是一條直線；

④當(dāng)n>0時(shí)，基函數(shù)y=x”是增函數(shù)；

⑤當(dāng)n<0時(shí)，幕函數(shù)在第一象限內(nèi)的函數(shù)值隨x的值增大而減小.

其中正確的選項(xiàng)是()

A.①和④B.④和⑤C.②和③D.②和⑤

3

5.已知函數(shù)/(x)=(a-1)非2T是基函數(shù)，則/"(2)的值為.

6.已知事函數(shù)/(x)=/的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,乎)，則/(4)的值為.

7.已知幕函數(shù)f(x)過(guò)點(diǎn)(2,苧)，則f(無(wú))的解析