山西省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

高三數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上

無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：集合與常用邏輯用語(yǔ)、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)與解三角形、平面向

量、復(fù)數(shù)、數(shù)列、立體幾何、直線與圓、圓錐曲線.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z=i(a+3i)(aeR)的模不大于5,則。的取值范圍是()

A.(-4,4)B.[T4]C.(-2A/3,2A/3)D.[—26,2G]

2.若集合4={尤|x=y,y>0},B={x|九=一，丁>0},則Au6=()

A.1x|x2=y,y..o}B.{%|x=/〉o}

C.{x|x=|yl,y>0}D.{%|x2=/,j>0)

3.“a=481”是是質(zhì)數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.若平面。，〃截球。所得截面圓的面積分別為2兀,3兀，且球心。到平面a的距離為3,則球心。到平面夕

的距離為()

A.272B.2C.2GD.4

5.向量AB=(2,1)在向量AC=[o,g)上的投影向量為％4。，則|AB+XAC，()

A.2A/3B.2V2C.8D.12

6.若函數(shù)/(x)=sin[0x+g)-g(0〉O)在0彳)上恰有10個(gè)零點(diǎn)，則()

A.0有最大值,且最大值為58

B.0有最小值,且最小值為52

C.。有最大值,且最大值為60

D.。有最小值,且最小值為58

7.如圖，在棱長(zhǎng)都相等的正三棱柱ABC-4與G中，尸為棱CG的中點(diǎn)，則直線A耳與直線的所成的角為

（）

A.30B.45C.60D.90

8.已知正數(shù)a,A,c滿(mǎn)足a+log2a=b+3"=c+J=5,現(xiàn)有下列4個(gè)結(jié)論：①c<Z?<a；②c〈a〈b；③

b<a<c；④a<Z?<c.其中，所有可能成立的結(jié)論的序號(hào)為（）

A.③B.①④C.②④D.①③

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知直線/:x+y=0與圓“：必+⑶―2）2=7交于A3兩點(diǎn)，則（）

A.直線/的傾斜角為45B.|AB|=4

C.直線/的傾斜角為135D.|AB|=2V5

10.已知函數(shù)/（%）=^-3X2+1的圖象在點(diǎn)（“2,〃“2））處的切線為/",,則（）

A./m的斜率的最小值為-2B.。的斜率的最小值為-3

C.4的方程為y=lD./_i的方程為y=9x+6

11.如圖，在正方體ABC。—中，均為棱的中點(diǎn)，則（）

A.平面AMN//平面BDFE

B.梯形應(yīng)）￡￡內(nèi)存在一點(diǎn)K,使得平面AAW

C.過(guò)2可作一個(gè)平面，使得用,N到這個(gè)平面的距離相等

D.梯形BDFE的面積是，AMN面積的2拒倍

12.已知拋物線￡:/=2/（0>0）的焦點(diǎn)為/,過(guò)點(diǎn)廠的直線/與拋物線E交于A8兩點(diǎn)（A在第一象

限），0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|AE|=2忸司=6,則（）

A.p=4

B.直線/的斜率是±2&

C.線段的中點(diǎn)到V軸的距離是-

2

D.。鉆的面積是6夜

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

7—V

13.函數(shù)/（x）=ln上」是.（填入“偶”“奇”“非奇非偶”中的一個(gè)）函數(shù)

14.己知耳，工是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若。上存在一點(diǎn)P滿(mǎn)足|尸匐=15\PF2\,則C的離心率的取值范圍是

15在等比數(shù)列｛a“+i-a/中，6=1,g=°，％=2,貝1］?！?.

16.若A,3是平面內(nèi)不同的兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足網(wǎng)=上/>0且左71）,則點(diǎn)尸的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌

跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故被稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓.已知尸是圓G：/+y2=4上

的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C（4,0）,D（4,9）,則21pq—|PC|的最大值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）

在等差數(shù)列｛%｝中,%=13,%=53.

（1）求｛q｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛2a〃+（-l）"｝的前“項(xiàng)和

18.（12分）

如圖，在四棱錐E—A3CD中，底面A5CD為梯形，BE±ABCD,BC//AD,ABLBC,

AB=1,BE=AD=3.

D

(1)若四棱錐E—A3CD的體積為2,求的長(zhǎng)；

(2)在(1)的條件下，求直線AC與平面CDE所成角的正弦值.

19.(12分)

如圖，在四邊形ABCD中，AB=25BC=2,CD=M,AD=\+幣,sin/BAC=（~

(1)證明：ACLBC.

3兀

(2)證明：ZABC+ZADC=—.

4

20.(12分)

丫2V2(Jl3A

己知A(—2,0)是橢圓M：t+方=15〉6〉0)的左頂點(diǎn)，且M經(jīng)過(guò)點(diǎn)［弓-，幸.

(1)求A/的方程；

(2)若直線/:丁=左(％—1)與〃交于人&,乂),3(程％)兩點(diǎn)，且'=求弦A3的長(zhǎng).

%元2

21.(12分)

已知函數(shù)=1-加一%-2.

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求/(%)的單調(diào)區(qū)間與極值;

1、/(x)+/(x)/(x)-fM

(2)若％―,證明：當(dāng)%,為€r°，+8)，且石〉々時(shí)，''"2'“恒成立.

62%?馬

22.（12分）

已知過(guò)點(diǎn)（9,J記）的雙曲線c：￡—《=i（a〉o力〉0）的漸近線方程為＞=±*％.

（1）求c的方程；

（2）已知A3是C的實(shí)軸端點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)（3,0）的直線/與C交于M,N（異于A,3）兩點(diǎn)，直線"A與NB交

于點(diǎn)尸，證明：點(diǎn)尸在一條定直線上.

高三數(shù)學(xué)試題參考答案

1B因?yàn)閦=—3+ai,所以目=如+a2,,5,解得ae[-4,4].

2.DA<JB={X\X=±J,J>O)=|X|%2=j2,j>Oj.

3.D因?yàn)?81=13x37,所以481不是質(zhì)數(shù)，故"a=481”是“a是質(zhì)數(shù)”的既不充分也不必要條件.

4.A平面名尸截球。所得截面圓的半徑分別為大馬，則叫2=2兀,兀4=3兀，則1=2/=3.設(shè)球。的半

徑為R，球心。到平面夕的距離為d,則1+32=4+/=爐，所以d=2也.

1

AB-ACAC彳

5.B因?yàn)橄蛄緼5在向量AC上的投影向量為1~R-1~AC=2AC,所以

Ml|AC|1

|AB+2Ac|=/2+(1+1)2=20.

IT、7TTTTT7T1(jr\1

6.C當(dāng)xe0,小時(shí)，?x+-e-,-o+-,令/(x)=0,得sin|ox+/=7，要使在

_o7o|_oo0716/2

上恰有10個(gè)零點(diǎn)，則需滿(mǎn)足2+8?！慈?+4,，工+10兀，解得tye(52,60].

_0J6666

7.D設(shè)E,尸分別為棱A3,臺(tái)耳的中點(diǎn)，連接所,bG,ECi，易得EF〃AB「FCI〃BP,所以二所。

(或其補(bǔ)角)為直線A片與直線的所成的角.設(shè)正三棱柱A3C-4用￡的棱長(zhǎng)為2a,則

2

EF=42a.FCi=45a,EQ=^7a,EF+FCf=ECf,所以跖，尸G，/笈FC】=90.

8.D由a+log2。=b+3”—cH———5,得log2a—5—Q,3"—5—b'———5—c,

cc

在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)丁=1082%,丁=3%(%>0),、=!(%>0),丁=5-%的大致圖象，如圖所示,

x

由圖可知，c〈b〈a或b〈”c.

y=3*

r=5-x

/\y=logj（r

\\A

9.CD因?yàn)橹本€/的斜率為-1,所以直線/的傾斜角為135.因?yàn)閳A心M到直線x+y=O的

距離為板？=J5,所以|AB|=2尸1=2追.

10.BCD因?yàn)?'（力=3/—6x=3（x—I）?—3...—3,所以）的斜率的最小值為-3.因?yàn)?/p>

/'（0）=0,/（0）=1,所以/0的方程為y=l.因?yàn)?'（—1）=9,/（—1）=—3,所以3的方程為

y+3=9（x+l）,即y=9x+6.

11.ABC在正方體ABC。-4與CQ中，E,￡M,N均為棱的中點(diǎn)，

可證跖〃跖v,AM//DF,因?yàn)锳McMN=M,DFcEF=F,

所以平面AAW〃平面區(qū)才E,A正確.連接AC,AG，

設(shè)ACcBD=P，AGcEP=O，AGcMN=G,連接OP,過(guò)點(diǎn)人作AG的垂線，交OP于K,交

cq于H,因?yàn)?"在上底面的射影為AG，易證4G，.，則又AGCMN=G,所

以4"，平面AAW，所以AK，平面AAW,B正確.連接gN,取4N的中點(diǎn)W,連接W。，所以過(guò)

直線WA的平面一定滿(mǎn)足用,N到這個(gè)平面的距離相等，C正確.因?yàn)樘菪?DEE與:.AMN的高分別為

EF+BDMN+2MN

OP.AG,且OP=AG,所以梯形5。/方的面積與,AVN面積的比值為---------=------------=3,

MNMN

D錯(cuò)誤.

12.ACD由題意可得直線/的斜率不為0,則可設(shè)直線/：尤=沖+段,4（4％）,3（%2，%）聯(lián)立

y2=2px,

p整理得—2?〃y—p2=o,則為+%=2p〃z,%%=一。2.因?yàn)閨AF|=2忸同，所以

x=my+,

AF=2FB-所以為=-2%，所以一2y2+%=2。根，所以為=-2。m，則%%=-2代=一",即

-2x（-2ptn）2--p2>解得蘇=_.因?yàn)閨AF|=2忸同=6,所以

8

\AB\=\/m+l-\yl-y2\=2p^m+l^=^p=9,解得p=4,則A正確.因?yàn)閙？=g,所以加=±-^，

則直線/的斜率是±2近.因?yàn)辄c(diǎn)4在第一象限，所以直線/的斜率大于0,所以直線/的斜率是2枝，則8

錯(cuò)誤.設(shè)線段A3的中點(diǎn)為以（％，％），則%=五歲=g,即線段AB的中點(diǎn)到V軸的距離是：，則C正

確.因?yàn)閜=4,機(jī)2=*,所以Q司=2,|%_%|=-4%%=2p-y/m2+1=6^/2,貝!JOAB的面

積5=J。耳%|=6應(yīng)，故。正確.

7?丫7丫7v*

13.奇因?yàn)?(—x)=ln——-=-ln——-=-/(x),xe(-7,7),所以7(x)=ln----是奇函數(shù).

7—x7+x7+x

14.因?yàn)閨尸國(guó)=15|尸閭，所以2。=|尸制+|?用=16|?周，所以舊q=2e[a—c,a+c],則

8

C7

又0<evl,所以e的取值范圍是

a8

15（-2）：+2設(shè)等比數(shù)列｛4+J—%｝的公比為q,

2_

因?yàn)椤?=-1,。3一4=2,所以q=1=—2,所以=一(一2)1,

-1

則當(dāng).2時(shí)，(1—q=—%+%—。2++—?！ㄒ?

rl1-(-2)3

?(―2)“T+2巾_|必+口(_2)?-1+2,(—2)1+2

則Na“=-.又％—］也?兩足a“=-，C所CI>以a”=-

三」，故

16.6V10設(shè)尸(x,y),4(1,0),則2

PCI20-8%2

2\PD\-\PC\=2（|P￡>|-|PA|）?2|A￡>|=6710,當(dāng)且僅當(dāng)A,D,P三點(diǎn)共線，且A在0P之間時(shí)取得最大

值.

q+2d=13,

17.解:（1）設(shè)｛4｝的公差為d,貝卜

4+12d=53,

%—■5,

解得

d=4,

所以=4〃+l.

（2）（方法一）8〃=2（〃1+%++［〃）+―［二（_］）一

_c(5+4?+l)nl+(-l)"+1

=2x------------------------------

22

/2乙1+(7嚴(yán)

=4n+6n--------------.

2

OO

(方法二)當(dāng)“為偶數(shù)時(shí)，S?=2(1+2+-+an)

(5+4〃+1)〃

=2x-----------=4/0+6〃；

2

當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，Sn=2(al+a2+--+a?)-l

=4n2+6n—l-

_4〃2+6九-1,“為奇數(shù)

‘示'"=14/+6〃,〃為偶數(shù).

18.解：（1）依題意可得梯形ABCD的面積S="士@XAB=T3,

22

因?yàn)锽E,底面A3CD,所以四棱錐E—A3CD的體積V=』3ExS=/±^=2,

32

解得3C=L

（2）以6為坐標(biāo)原點(diǎn)，5E的方向?yàn)楣ぽS的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

B

則E(3,0,0),C(O,O,1),0(0,1,3),A(0,l,0)

CE=(3,0,-1),CD=(0,1,2).

設(shè)平面CDE的法向量為n=(%,y,z),

［3x-z=0,

則”?CE=〃-O)=0，即<cn

y+2z=0,

令x=l,得〃=(1,-6,3).

ACn9國(guó)

因?yàn)锳C=(0,—1,1),所以cos〈AC,n)=-=尸產(chǎn)=.

'7\AC\\n\V2xV4646

故直線AC與平面CDE所成角的正弦值為2叵.

46

19.證明：(1)在，ABC中，由正弦定理得---------=-----------

sin/ACBsin^BAC

2亞2

所以sin/ACB=7F，解得sin/ACB=l,

T

TT

所以NACB=—,則

2

(2)由(1)知47=，4笈—叱=小

AD2+CD2-AC28+2A/7+10-16回

在ACD中'由余弦定理得c°s/ADC=2AD.CD=2++近卜加lo-,

esin/ADC。

則tan/ADC=-------------=3.

cos/ADC

4

在iABC中，tan/ABC=—=2.

2

2+3

所以tan(/ABC+ZADC)=［？\=一］，

因?yàn)?2口/4￡)。=3>1/311/45。=2>1,所以/ADC,/ABCe

所以ZABC+ZADC￡(兀,2兀),

3兀

故/A3C+/AOC=——.

4

—a—-2,

27

16

20.解：(1)依題意可得<r官

-

解得a=2,b?=3,

22

所以M的方程為土+乙=1.

43

[22

土+&=1

⑵聯(lián)立《43，消去V得(3+4左2*—842工+4(/一3)=0,

則8k24儼一3)

12

3+4左2'123+4左2

因?yàn)閥=k(x—1)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(1,0),且點(diǎn)(1,0)在”的內(nèi)部，所以A>0恒成立.

2

11x+x98k1

由一+一=—X——X==一,----------r=-I

%1X2\24(父-3)

解得左2=1.

g,88

所以％!+x2=—,XxX2=-—,

所以|AB|=J]+左2J(X]+工2『一4工科2

21.(1)解：當(dāng)0=0時(shí)，/'(x)=e*-l.

當(dāng)x>0時(shí)，/'(x)>0；當(dāng)尤<0時(shí)，/'(x)<0.

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+。).

所以"%)在尤=0處取得極小值，且極小值為-l"(x)無(wú)極大值.

(2)證明：(x)=ex-3ax2-10^#gi/ff(x)=eY-6ax,/ff(x)g15(f"(%)=eT-6a.

當(dāng)x..0,且“‘時(shí)，/m(x)