2023年全國(guó)甲卷高考理科數(shù)學(xué)試題解讀及答案詳解

2023年高考數(shù)學(xué)真題完全解讀（全國(guó)甲卷理科）

適用省份：

四川、廣西、貴州、西藏

二］試卷總評(píng)

高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷全面考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)

分析等學(xué)科核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求，突出理性思維,

發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科在人才選拔中的重要作用。

一、基礎(chǔ)學(xué)科的考查重點(diǎn)

高考數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)性學(xué)科，2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷充分發(fā)揮基礎(chǔ)學(xué)科的作用，突出素養(yǎng)

和能力考查，甄別思維品質(zhì)、展現(xiàn)思維過程，給考生搭建展示的舞臺(tái)和發(fā)揮的空間，致力于

服務(wù)人才自主培養(yǎng)質(zhì)量提升和現(xiàn)代化建設(shè)人才選拔。

一是重點(diǎn)考查邏輯推理素養(yǎng)。如第7題，以三角函數(shù)為材料考查充要條件的推證，要求

考生判別充分性和必要性，然后分別進(jìn)行證明，解決問題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)同角公式中

的平方關(guān)系進(jìn)行推理論證。

二是深入考查直觀想象素養(yǎng)。如第15題，要求通過想象與簡(jiǎn)單計(jì)算，確定球面與正方

體棱的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

三是扎實(shí)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。試題要求考生理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思

路，求得運(yùn)算結(jié)果。如第12題，可用橢圓的定義和余弦定理，求|P用，歸閭,「用，歸國(guó)之，

再用中線的向量公式求OP。

四是加強(qiáng)關(guān)鍵能力考查，增強(qiáng)試題的選拔性。試題通過設(shè)置綜合性的問題和較為復(fù)雜的

情境，加強(qiáng)關(guān)鍵能力的考查。如第21題重視基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵能力的考查，將函數(shù)、導(dǎo)

數(shù)、三角函數(shù)與不等式等知識(shí)有機(jī)結(jié)合，考查學(xué)生靈活應(yīng)用函數(shù)、不等式思想解決復(fù)雜問題

的能力，對(duì)直觀想象能力和邏輯推理能力也有較高的要求。在數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力和創(chuàng)新思

維層面都有所體現(xiàn)，具有較好的選拔功能。

二、高考試卷的命題探究

高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷在命制情境化試題過程中，在剪裁素材方面，注意控制文字?jǐn)?shù)量和閱讀

理解難度；在抽象數(shù)學(xué)問題方面，設(shè)置合理的思維強(qiáng)度和抽象程度；在解決問題方面，通過

設(shè)置合適的運(yùn)算過程和運(yùn)算量，力求使情境化試題達(dá)到試題要求層次與考生認(rèn)知水平的契合

與貼切。

一是創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)生活情境。數(shù)學(xué)試題情境取材于學(xué)生生活中的真實(shí)問題，貼近學(xué)生實(shí)際，

具有現(xiàn)實(shí)意義，具備研究?jī)r(jià)值。如第6題，取材于滑冰和滑雪兩項(xiàng)典型的冰雪運(yùn)動(dòng)，具有時(shí)

代氣息，貼近考生，貼近生活，意在引導(dǎo)學(xué)生積極參加體育活動(dòng)，健體強(qiáng)身，全面發(fā)展。又

如第9題，以志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)的情境考查排列組合內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生重視社會(huì)責(zé)任感,

培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。

二是設(shè)置科學(xué)研究情境?？茖W(xué)研究情境的設(shè)置不僅考查數(shù)學(xué)的必備知識(shí)和關(guān)鍵能力，而

且引導(dǎo)考生樹立理想信念，熱愛科學(xué)，為我國(guó)社會(huì)主義事業(yè)的建設(shè)作出貢獻(xiàn)。如第19題，

研究臭氧環(huán)境對(duì)小白鼠生長(zhǎng)的影響，將小白鼠隨機(jī)分配到試驗(yàn)組和對(duì)照組，利用成對(duì)數(shù)據(jù)制

成列聯(lián)表，進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)。

三、高考復(fù)習(xí)的目標(biāo)導(dǎo)向

高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷在反套路、反機(jī)械刷題上下功夫，突出強(qiáng)調(diào)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念的深

入理解和靈活掌握，注重考查學(xué)科知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，落實(shí)中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系中“四翼”

的考查要求。同時(shí)，合理控制試題難度，科學(xué)引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)，力圖促進(jìn)高中教學(xué)與義務(wù)教育

階段學(xué)習(xí)的有效銜接，促進(jìn)考教銜接，引導(dǎo)學(xué)生提高在校學(xué)習(xí)效率，避免機(jī)械、無效的學(xué)習(xí)。

一是突出基礎(chǔ)性要求。各套試卷在選擇題和填空題部分均設(shè)置多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，全面考查集

合、復(fù)數(shù)、平面向量、排列組合、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、幾何體的體積、直線和圓等內(nèi)容，

實(shí)現(xiàn)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的全方位覆蓋。同時(shí)，在解答題部分深入考查基礎(chǔ)，考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、

基本方法的深刻理解和融會(huì)貫通的應(yīng)用。如第17題，全面考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的概念

與性質(zhì)，以主干知識(shí)考查理性思維素養(yǎng)和運(yùn)算求解能力.

二是彰顯綜合性要求。如第10題，是集合、三角函數(shù)的綜合題，深入考查集合的概念、

三角函數(shù)的周期性，既可以通過三角函數(shù)的周期性求解，也可以用數(shù)形結(jié)合的方法求解。

三是體現(xiàn)創(chuàng)新性要求。如第10題，將三角函數(shù)的圖像和直線方程相結(jié)合，考查兩者交

點(diǎn)的個(gè)數(shù)，展示函數(shù)圖象在解決問題過程中的重要作用。

2023年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷全面貫徹黨的二十大報(bào)告精神，落實(shí)高考內(nèi)容改革的要求，嚴(yán)

格依據(jù)高中課程標(biāo)準(zhǔn)，深化基礎(chǔ)性和綜合性，聚焦學(xué)科核心素養(yǎng)，精選試題情境，加強(qiáng)關(guān)鍵

能力考查，促進(jìn)學(xué)生提升科學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)全面發(fā)展，助推高中育人方式改革。

考情分析

題號(hào)分值題型考查內(nèi)容考查點(diǎn)

15單選題集合對(duì)整數(shù)形式的無限集合的理解，求并集，求補(bǔ)集

25單選題復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的代數(shù)乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等

2

35單選題算法與程序框圖程序框圖的運(yùn)算

45單選題平面向量平面向量線性運(yùn)算，等腰三角形的判斷，三角形

重心的運(yùn)用，求向量的夾角

55單選題等比數(shù)列等比數(shù)列前n項(xiàng)和計(jì)算，需注意其中條件“正項(xiàng)”

65單選題概率條件概率的計(jì)算，用古典概型來做的話，可以用

Venn圖來表示

75單選題常用的邏輯關(guān)系用三角函數(shù)同角公式中的平方關(guān)系來判斷充分性

和必要性，可舉反例來判斷

85單選題圓錐曲線用雙曲線的離心率求漸近線，漸近線與圓相交，

求弦長(zhǎng)

95單選題計(jì)數(shù)原理和排列組分類加法、分布乘法計(jì)數(shù)原理以及特殊條件下的

合組合問題

105單選題三角函數(shù)三角函數(shù)圖像的平移問題，三角函數(shù)與一次函數(shù)

交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷，可采用圖像法，特值法

115單選題立體幾何四棱錐，通過三角形全等的方法證明PB=PA,再

通過余弦定理計(jì)算PA,再計(jì)算面積

125單選題圓錐曲線可通過橢圓的焦點(diǎn)三角形的面積公式以及等面積

法求出P的坐標(biāo)；可用橢圓的定義和余弦定理，

求|尸耳,歸磯|P6『+戶閭2,再用中線的向量公

式求OP

135填空題函數(shù)與三角函數(shù)偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)，三角函數(shù)為偶，通過二

次函數(shù)一次項(xiàng)為0時(shí)是偶函數(shù)得出結(jié)果

145填空題線性規(guī)劃根據(jù)約束條件作出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃求目標(biāo)

函數(shù)的最值

155填空題立體幾何根據(jù)正方體的對(duì)稱性，可知球心到各棱的距離相

等，即可求解

165填空題三角函數(shù)根據(jù)余弦定理求出AC,再用等面積法求出AD

1712解答題數(shù)列(1)公式法求通項(xiàng)公式；

(2)用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和.

1812解答題立體幾何(1)通過線面、面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得

AQ_L平面BCG4，由勾股定理得0為中點(diǎn)，

3

即可得證；

(2)利用直角三角形求出AB】的長(zhǎng)及A到面的

距離，根據(jù)線面角定義直接可得正弦值.

1912解答題概率與統(tǒng)計(jì)(1)利用超幾何分布的知識(shí)即可求分布列和期

望；

(2)(i)根據(jù)中位數(shù)的定義即可求的加=23.4,

從而列出列聯(lián)表；

(ii)根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法即可求解；

2012解答題圓錐曲線(1)利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線與

拋物線方程求出弦長(zhǎng)，即可求出p；

(2)設(shè)直線為x=wty+〃，"(X],y]),N(電,y)2，

再利用而?而=(),找到根，〃的關(guān)系，求出

尸的面積表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出

最小值.

2112解答題函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(1)求導(dǎo)化簡(jiǎn)，通過/=cos2x換元，轉(zhuǎn)化為二

次函數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可判斷單調(diào)性；

(2)構(gòu)造g(x)=/(x)-sin2x,計(jì)算g'(x)的最

大值，然后與0比較大小，得出a的分界點(diǎn)，討

論即可.

2210選做題極坐標(biāo)與參數(shù)方程(1)根據(jù)直線的幾何意義即可求出；

(2)在直角坐標(biāo)系下求出直線的普通方程，再轉(zhuǎn)

化為極坐標(biāo)方程.

2310選做題不等式(1)分類討論：xWa或x〉a去掉絕對(duì)值，即

可求解；

(2)將絕對(duì)值函數(shù)寫成分段函數(shù)，畫草圖，寫出

面積表達(dá)式，即可求出.

4

備考指津

1、強(qiáng)調(diào)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念的深入理解和靈活掌握，引導(dǎo)學(xué)生提高在校學(xué)習(xí)效率，

避免機(jī)械、無效的學(xué)習(xí)。

2、學(xué)生應(yīng)認(rèn)識(shí)到低效的學(xué)習(xí)方式只會(huì)帶來無效的壓力和負(fù)擔(dān)，講究備考復(fù)習(xí)時(shí)效性，

不斷鞏固階段性復(fù)習(xí)成果。

3、合理控制試題難度，科學(xué)引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)，力圖促進(jìn)高中教學(xué)與義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的

有效銜接。

4、不管命題方向趨勢(shì)如何，重視對(duì)基礎(chǔ)概念的理解和掌握永遠(yuǎn)是最重要的。不論題型、

題量、難度如何，透徹、全面地理解基礎(chǔ)概念，能夠用最基礎(chǔ)、樸素的方式使用基礎(chǔ)概念分

析解決問題是一切的基礎(chǔ)，是能做對(duì)所有送分的基礎(chǔ)題的基礎(chǔ)，是能著手分析難題的基礎(chǔ)，

也是未來學(xué)習(xí)大學(xué)的專業(yè)知識(shí)和高等知識(shí)的基礎(chǔ)。

5、不管命題方向趨勢(shì)如何，邏輯分析推理能力也是非常重要的?，F(xiàn)在的難題幾乎根本

不會(huì)出現(xiàn)非常套路化、模板化的陳年舊題，總是在想方設(shè)法地推陳出新。就算有舊題型，往

往也都是簡(jiǎn)單的題目，不需要什么特殊的方法也能做出來。

等b真題解讀

2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)真題

一、選擇題

1.設(shè)全集U=Z，集合M={xlx=3k+l,keZ},N={x|x=3k+2,keZ},金(MuN)=()

A.{x|x=3&,ZeZ}B.{x|x=3k-l,keZ}

C.{xlx=3k-2,keZ)D.0

【命題意圖】

本題考察對(duì)整數(shù)形式的無限集合的理解，求并集，求補(bǔ)集，難度：容易

【答案】A

【詳解】因?yàn)檎麛?shù)集Z={x|x=3Z,%eZ}{X|X=3/+1?€Z}.{x\x=3k+2,k,U=Z,

所以，Cu(AuB)={x\x=3k,kGZ}.

【知識(shí)鏈接】

1、集合的表示方法：列舉法、描述法、Venn圖等；

2、集合的類型：有限集、無限集；

3、根據(jù)元素的特征判斷集合所表示的含義；

5

4、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系及Venn圖.

2.設(shè)4￡1<(〃+1)(1—5)=2,,則()

A.-1B.0C.1D.2

【命題意圖】

本題考察復(fù)數(shù)的代數(shù)乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等求解，難度：容易

【答案】C

【詳解】因?yàn)?a+i)(l—出)=。-。匕+1+。=2。+(1—〃2]=2,

(2a=2

所以?2八，解得：。=1?

[\-a=0

【知識(shí)鏈接】

1、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di(〃,b,c,d￡R),我們規(guī)定:

zi+Z2=(〃+歷)+(c+di)=(a+c)+(b+J)i;

Z2?zi=(c+di)?(a+0i)=(c?a)+(d?〃)i.

zi?Z2=(4+8i)(c+di)=(ac-/%O+Sc+z/)i;

z1_a+bi_(a+bi)(c-di)_ac+bdbc-ad..

22

z2c+di(c+di)(c-di)c+d

2、復(fù)數(shù)相等的充要條件

兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義:如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別對(duì)應(yīng)相等、那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相

(a=c,

等也就是若。力,c,dWR廁〃+0i=c+di=|b4特別地,。+歷=。=〃=人=0.

3.執(zhí)行下面的程序框圖，輸出的6=()

A.21B.34C.55D.89

【命題意圖】

本題考察程序框圖模擬運(yùn)行，難度：容易

6

【答案】B

【詳解】當(dāng)”=1時(shí)，判斷框條件滿足，第一次執(zhí)行循環(huán)體，A=l+2=3,B=3+2=5,

“=1+1=2；

當(dāng)〃=2時(shí)，判斷框條件滿足，第二次執(zhí)行循環(huán)體，A=3+5=8,8=8+5=13,〃=2+1=3；

當(dāng)〃=3時(shí)，判斷框條件滿足,第三次執(zhí)行循環(huán)體，4=8+13=21,3=21+13=34,”=3+1=4；

當(dāng)〃=4時(shí)，判斷框條件不滿足，跳出循環(huán)體，輸出8=34.

【知識(shí)鏈接】

I、程序框圖基本概念：

程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準(zhǔn)確、

直觀地表示算法的圖形。

2、構(gòu)成程序框的圖形符號(hào)及其作用

程序框名稱功能

/、表示一個(gè)算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖不

起止框

可少的。

表示一個(gè)算法輸入和輸出的信息，可用在算法

輸入、輸出框

LU中任何需要輸入、輸出的位置。

賦值、計(jì)算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公

—

處理框式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框

內(nèi)。

判斷某一條件是否成立，成立時(shí)在出口處標(biāo)明

判斷框

O“是”或“Y”；不成立時(shí)標(biāo)明“否”或“N”。

3、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)

4.已知向量滿足同=|司=1,同=應(yīng)，且a+6+c=0，則cos〈a-c,6-c)=()

【命題意圖】

本題考察平面向量線性運(yùn)算，向量的加、減法、數(shù)量集運(yùn)算，三角形重心的運(yùn)用，求向量的

夾角，難度：一般

【答案】D

【詳解】因?yàn)閍+0+c=0，所以a+各=-c，即a?+Z?2+2。/=c"，

即1+1+2々$=2,所以=0-如圖，設(shè)O4=a,OB="OC=c.

7

c

由題知,0A=OB=VOC=五"OAB是等腰直角三角形，

AB邊上的高8=①,AD=^，所以。。=（70+0。=&+也=逑,

2222

tanZACD=cosZ.ACD=-1=

CD3x/10

cos(a-c,b-c)=cosZ.ACB=cos2Z.ACD=2cos2Z.ACD-X

【知識(shí)鏈接】

1、向量的線性運(yùn)算

向量

定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

運(yùn)算

交換律：

求兩個(gè)向量和三角形法則a+b-b+a<

加法

的運(yùn)算結(jié)合律：

［a+b\+c=a+^b-\-c

平行四邊形法則

求a與B的相

減法反向量的a—h=a+\—b

和的運(yùn)算

求實(shí)數(shù)幾與向2?〃=|斗〃，當(dāng);I>0時(shí)。與［口而

數(shù)乘量［的積的運(yùn)的方向相同；當(dāng)九<0時(shí)/ll與［的（/L+"&=之。+4a

算方向相反；當(dāng)；1=0時(shí),丸"=0A\a+b）^Aa+Ab

2、向量線性運(yùn)算常見的結(jié)論

8

1

(1)若P為線段AB的中點(diǎn),0為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則而=-(耐+而).

2

(2)ISAABC中，丙+而+玩=0=P為AABC的重心.

(3)若G是AABC的重心，則瓦+而+詫=0,南=/費(fèi)+而).

3、平面向量的數(shù)量積

(1)定義:已知兩個(gè)非零向量々與石，它們的夾角為8,則數(shù)量Wfl-cos6叫作々與了的

數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作￡￡,即73=R?W?COS6.規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即

6-^=0/4

(2)向量的夾角

0~~bB

①定義:已知兩個(gè)非零向量［和g，如右圖，作”=10B=?，則/A0B=。

——CI?/?

(0?！?080。)叫作Z與1的夾角，記作<々石cosd-cos<a,b>-LIT

>\a\-\b\

②當(dāng)0=0。時(shí)，￡與石同向；當(dāng)0=180。時(shí)，々與3反向；當(dāng)0=90。時(shí)，［與3垂直

5.設(shè)等比數(shù)列｛《,｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前〃項(xiàng)和S,,,若卬=1,$5=553-4,則邑=()

A.—B.—C.15D.40

88

【命題意圖】

本題考察等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算，列出關(guān)于q的方程，計(jì)算出4,即可求出其,難度：較

易

【答案】C

【詳解】由題知l+4+/+q3+/=5(l+q+q2)_4,即g3+q，=4q+4q2,

即/+q2-4q-4=0,即(q-2)(q+l)(q+2)=0.由題知4>0,所以q=2.

所以S4=1+2+4+8=15.

【知識(shí)鏈接】

1、等比數(shù)列的有關(guān)概念

一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零),那么這個(gè)數(shù)列就叫作

等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，通常用字母q(qrO)表示，定義的表達(dá)式為

dn

2、等比數(shù)列的有關(guān)公式

(1).通項(xiàng)公式

9

(nai,q=l,

(2).前n項(xiàng)和公式:Sn={a[“一q%_aaq

(l-q1-q(qri).

6.某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰，50%的同學(xué)愛好滑雪，70%的同學(xué)愛好滑冰或

愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰

的概率為()

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

【命題意圖】

本題考察條件概率，先算出報(bào)名兩個(gè)俱樂部的人數(shù)，從而得出某人報(bào)足球俱樂部的概率和報(bào)

兩個(gè)俱樂部的概率,利用條件概率的知識(shí)求解，難度：較易

【答案】A

【詳解】報(bào)名兩個(gè)俱樂部的人數(shù)為50+60-70=40,

記“某人報(bào)足球俱樂部”為事件A,記“某人報(bào)兵乓球俱樂部”為事件8,

4

貝IJP(A)=^=9,P(AB)="=9,所以尸(劇A)=>^^=K=O.8.

707707P(A)5

7

【知識(shí)鏈接】

1、條件概率

一般地，設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0,我們稱P(B\A)=m冬為在事件A發(fā)生的條件下，

P(4)

事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率.

2、概率的乘法公式

由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件A與B,若P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A).我們稱上式為概

率的乘法公式.

7.設(shè)甲：sin2a+sin2/7=l,乙：sina+cos尸=0,則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【命題意圖】

本題考察同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，以及充分條件、必要條件的概念，難度：較易

【答案】B

JT

【詳解】當(dāng)sin2a+siM/=l時(shí)，例如。=萬,夕=0但sina+cos/?w0,

即sira+sin?/?：1推不出sina+cos〃=0；當(dāng)§由。+851=0時(shí)，

10

sin2a+sin2/3=(-cos/3)2+sin2=1,即sina+cos￡=0能推出sin?a+sin2尸=1.

綜上可知，sin2a+sin2/?=1是sinc+cos/=0成立的必要不充分條件.

【知識(shí)鏈接】

1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1).平方關(guān)系:siMa+cos2a=1.

(2).商數(shù)關(guān)系:四絲=tana(a力/CTT+3keZ).

cosa'2'/

2、充分條件、必要條件與充要條件的概念

若pnq,則p是.q的充分條件,g是p的必要條件

p=q且g=/pp是q的充分不必要條件

P=/q且q=Pp是q的必要不充分條件

poqp是q的充要條件

P=/q且q=/pp是q的既不充分也不必要條件

8.已知雙曲線C:￡-y=l(a>01>0)的離心率為石，C的一條漸近線與圓

ah-

(x-2)2+(y-3)2=l交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=()

Ay/5R2石「3石n4x/5

5555

【命題意圖】

本題考察雙曲線的離心率與漸近線的關(guān)系，圓心到直線的距離及圓半徑，求弦長(zhǎng)，難度：一

般

【答案】D

【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長(zhǎng).

【詳解】由6=不，則:?=竺二=1+4=5,解得2=2,所以雙曲線的一條漸近線不妨

a~a~a~a

取y=2x,則圓心(2,3)到漸近線的距離d=9：2-31=好,

所以弦長(zhǎng)|AB|=2,產(chǎn)一/=2，1=竽.

【知識(shí)鏈接】

1、圓的定義和圓的方程

定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)

標(biāo)準(zhǔn)方程(x-<7)2+(j-Z?)2=r2(r>0)圓心:(a力),半徑:r

x2+V+Dr+E)：+/=0,

一般圓心:(-對(duì))

方程即(x+2)+(y+2)=4(D+E--4F>0)半徑，D2+E2-4F

2、直線被圓截得的弦長(zhǎng)

11

弦心距，弦長(zhǎng)/的一半，及圓的半徑，?構(gòu)成一直角三角形,且有戶=《+（；/）2.

3、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程

圖形

范圍或舊z

對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心：原點(diǎn)

頂點(diǎn)A(aO)A(a,O)4(0,/),A2(0a)

ba

漸近線y=±-x

?Q

性

質(zhì)離心率,eC(l,+oo)，其中c=7$+Z)2

線段44叫作雙曲線的實(shí)軸,它的長(zhǎng)14A2l=2a;線段8|&叫作雙曲線的虛軸，它

軸

的長(zhǎng)網(wǎng)民|=2b叫作雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)力叫作雙曲線的虛半軸長(zhǎng)

a,b,c

/=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

的關(guān)系

9.現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人

中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

【命題意圖】

本題考察分類相加、分布相乘計(jì)數(shù)原理，組合問題，難度：一般

【答案】B

【詳解】不妨記五名志愿者為“，〃，c，d，e,假設(shè)。連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，再?gòu)氖Ｓ嗟?

人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服務(wù)，共有A；=12種方法，同理：bed,e連續(xù)參

加了兩天社區(qū)服務(wù)，也各有12種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)的選擇種數(shù)

有5x12=60種.

【知識(shí)鏈接】

I、計(jì)數(shù)原理

分類加法計(jì)數(shù)原虱分步乘法計(jì)數(shù)原理一

相同點(diǎn)用來計(jì)算完成一件事的方法種數(shù)

分類、相加分步、相乘

不同點(diǎn)每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成每步依次完成才算完成這件事情（每步中的

這件事每一種方法不能獨(dú)立完成這件事）

注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，缺一不可

2、排列與組合

名稱定義

12

排列?！ㄐ∩莶凑找欢ǖ捻樞蚺懦梢涣校凶鲝摹▊€(gè)元素中取出，〃個(gè)元素

系中取出,

m（m<n）個(gè)元的一個(gè)排列

“0素作為二組,叫作從〃個(gè)不同元素中取出，〃個(gè)元素的一個(gè)組合

①?gòu)摹▊€(gè)不同元素中取出〃?（"區(qū)〃）個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫作從n個(gè)不同元素中取出

m個(gè)元素的排列數(shù),用符號(hào)A4表示.

②從n個(gè)不同元素中取出〃?（〃E〃）個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫作從n個(gè)不同元素中取出

m個(gè)元素的組合數(shù),用符號(hào)Ch表示.

cos,+今）的圖象向左平移看個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則

10.函數(shù)y=/（x）的圖象由函數(shù)y=

y=/（x）的圖象與直線y=gx-g的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【命題意圖】

本題考察三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得〃X）=-Sin2x,再作出了（X）與y=的部分大致圖

像，考慮特殊點(diǎn)處/（可與丫=3犬-；的大小關(guān)系，從而精確圖像，難度：較難

【答案】C

（詳解】因?yàn)?gt;=cos（2x+都句左平移.個(gè)單位所得函數(shù)為

y=cos所以/(x)=-sin2x,

而y顯然過（o，-g）與（1，0）兩點(diǎn)，

作出，（x）與j=的部分大致圖像如下，

考慮2X=T，2X*2X=?,即

222

37137t7/1.,\,11,,..

x=__/，X==：-處r與尸尸）的大小

44422

當(dāng)X=與時(shí),/閨…吟口13n1^<1

y=—X------

242

山7?！癐/7兀).77117兀1771-4

當(dāng)工二二時(shí)，/_=-sm—=1尸—x---------->1;

4I4)22428

所以由圖可知，/（X）與y=的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.

13

【知識(shí)鏈接】

函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)=Asin（3x+<p）（A>0,3>0）的圖象的步驟如下:

11.已知四棱錐P—ABC。的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，PC=PD=3,ZPCA=45°,.PBC

的面積為（）

A.272B.3yliC.4后D.60

【命題意圖】

本題考察再立體幾何中，先在△R4C中利用余弦定理求得「4=后，cos/PCB=；,從而

求得2Vpe=-3，再利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算與余弦定理得到關(guān)于的方程組,

從而求得尸8=，萬，由此在」PBC中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解，難度：較難

【答案】C

在AR4c中，PC=3,NPCA=45°,

貝!）由余弦定理可得PA?=AC2+PC2-2AC-PCcosNPCA=32+9-2x4夜x3x注=17,故

2

PA=y/n,

17+9—32

所以cosZAPC=

IPAPC2x717x3

PAPC=\PA|I閡cosZAPC=-3,不妨記PB=m,NBPD=?,

14

因?yàn)槭琌=L(PA+PC)=L(PB+P￡)),所以(P4+PC)2=(PB+PO)2,

即PA2+PC2+2PA-PC=PB+PD2+2PB-PD，

則17+9+2x(—3)=m~+9+2x3x/ncos0,整理得m2+6mcos0-11=01D?

又在△PBZ)中，BD2=PB2+PD2-2PB-PDCOSZBPD.即32=〃』+9-6%cos。，則

/n2—6〃?cos<9-23=0②，兩式相力口得2m2-34=0，故PB=m=歷,

故在.PBC中，PC=3,PB=>/n,BC=4,

PC2+BC2-PB29+16-17_1

所以cosNPCB=

2PCBC2x3x4-3,

又0<NPCB<n,所以sinZPCB=^1-cos2Z.PCB=—

3

所以.PBC的面積為5=’尸。8。$出//＞圓=1*3、4*述=4忘.

223

【知識(shí)鏈接】

I、簡(jiǎn)單多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱臺(tái)

D'

圖形

R

底面互相平行且全等互相平行且相似

相交于一點(diǎn)但不一延長(zhǎng)線交于

側(cè)棱平行且相等

定相等一點(diǎn)

側(cè)面

平行四邊形三角形梯形

形狀

2、正弦定理、余弦定理

在4ABC中，若角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,R為AABC外接圓的半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2hccosA;

.abc

內(nèi)谷----=----=——=27?kr=(?+CZ2-2C6/COSB;

sinAsinBsinC/=4+戶2而cosC

(1)a=2RsinA,/?=2/?sinB,c=2/?sinC\b2+c2-a2

cosA-,;

abc2bc

(2)sinA=—,sinB--,sinC--;

期形2R2R2R'c2+a2-b2

：：：cos8一;

/(3)a:bc=sinAsin8sinC;2ac

(4)asinB=bsin/A,bsinC=csinB,a2+b2-c2

AsinC=csinAcosC-

2ab

3、三角形的面積公式

S=^aha=^bhb=^chc(haJib,hc分別表示a,b,c邊上的高)；

S=-abs\nC=-?csinB=-bcsinA;

222

15

S=;(〃+力+c)?r為△ABC內(nèi)切圓的半徑)；

S二黑R為AABC外接圓的半徑)；

4R

S=Jp(p-Q)(p-b)(p-c),其中〃W(〃+%+c),

r223

12.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，耳，行為橢圓C：1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)產(chǎn)在。上，cos/^PE=g,

則|OP|=()

A.9B.畫C.*D.遮

5252

【命題意圖】

本題考察橢圓的定義，用余弦定理求州尸周|尸周,|3『+|刊4，結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)

量積即可求出，難度：一般

【答案】B

因?yàn)閨咫|+忸聞=2a=6①，歸耳『+歸國(guó)2"歸耳療用/甲第=忸球,

即|P/>|2+|PF,|2-||P/<||P^|=12(2),聯(lián)立①②，

[5)->

解得：歸耳療用=》,|咽+\PF2\=21,

而尸O=；(/Y；+PK),所以|OP卜卜。卜g,耳+P/",

叫尸。層附+叫=外產(chǎn)用?+2尸耳?皮+|呵=3+2亭畀亭.

【知識(shí)鏈接】

1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

標(biāo)

準(zhǔn)

x2y2y2x2

方

程11,■■1-l（fl>/j>0）

azb22

y

A.A2

圖形

叫OlB2X

4

范圍-a<x<a^b<y<b-b<x<bra<y<a

對(duì)稱性對(duì)稱軸:坐標(biāo)和柒對(duì)稱中心:原點(diǎn)

頂點(diǎn)

4（?。,0）42（。,0）,4（0,?。）42。4）,

坐

標(biāo)

B《0,-b）,B2（0,b）助（也0）%,0）

性

4A22a;

質(zhì)長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為

軸

短軸BB的長(zhǎng)為2b

焦距IQBI=2c

c

離心率-0,1）

a

a,b,c?2=/?2+c2

16

的關(guān)系

2、與橢圓的焦點(diǎn)三角形相關(guān)的結(jié)論(含焦半徑公式)

橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形.解決焦點(diǎn)三角形的問題常利用橢圓

的定義、正弦定理和余弦定理.

22

在以橢圓J+J=l(a泌＞0)上一點(diǎn)")()*))和焦點(diǎn)F(c,0),F2(c,0)為頂點(diǎn)的中，

a2b2

若/尸十危=仇則

⑴|PFi|=a+exo,|PB|=a-eo((焦半徑公式,e為橢圓的離心率).|PQ|+|=2"；

(2)4(2=|PQF+1尸B12-21尸川?|P臼-cos優(yōu)

⑶也習(xí)所肥尸2卜sin0=c|/|=ZAan*當(dāng)I)，o|=4即P為短軸端點(diǎn)時(shí)久已馬取得最大值.最

大值為怔

(4)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a+c).

1

3、中線的向量公式：若P為線段AB的中點(diǎn),O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則訶=-(畫+而).

2

二、填空題

13.若〃x)=(x-l)2+ar+sin(x+5)為偶函數(shù)，貝lja=.

【命題意圖】

本題考察函數(shù)的奇偶性判斷，三角函數(shù)的奇偶性，難度：容易

【答案】2

【詳解】因?yàn)椋?/(司=(》-1)2+辦+$皿(1+]]=(_1-1)2+41+8$*為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽,

所以(升佃，即卜下)g+cos罔=(川+3+c吟

則?！?(5+1]一(]—1)=2兀，故4=2,

此時(shí)f=+2X+COSX=X2+I+COSX,

所以/(-x)=(-x)2+l+cos(-x)=x2+1+COSX=/(x)，

又定義域?yàn)镽，故"X)為偶函數(shù)，

所以4=2.

故答案為：2.

【知識(shí)鏈接】

1、函數(shù)的奇偶性

17

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有