復(fù)變函數(shù)與積分變換講義詳細(xì)

復(fù)變函數(shù)與積分變換電子課件1精品PPT|借鑒參考第一頁，共二十二頁。

目錄第一講復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算及幾何表示第二講復(fù)數(shù)的乘冪與方根區(qū)域復(fù)變函數(shù)第三講復(fù)變函數(shù)及極限與連續(xù)第四講解析函數(shù)的概念及充要條件第五講初等函數(shù)

第六講復(fù)積分的概念柯西古薩基本定理第七講復(fù)合閉路定理原函數(shù)與不定積分第八講柯西積分公式解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系第九講復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)冪級數(shù)2精品PPT|借鑒參考第二頁，共二十二頁。第十講泰勒級數(shù)

第十一講洛朗級數(shù)

第十二講孤立奇點(diǎn)第十三講留數(shù)

第十四講留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用第十五講Fourier積分Fourier變換第十六講Fourier變換的性質(zhì)應(yīng)用卷積第十七講Laplace變換的概念性質(zhì)第十八講Laplace變換的逆變換卷積3精品PPT|借鑒參考第三頁，共二十二頁。前言在十六世紀(jì)中葉，G.Cardano(1501-1576)在研究一元二次方程時(shí)引進(jìn)了復(fù)數(shù)。他發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程沒有根，并把這個(gè)方程的兩個(gè)根形式地表為。在當(dāng)時(shí)，包括他自己在內(nèi)，誰也弄不清這樣表示有什么好處。事實(shí)上，復(fù)數(shù)被Cardano引入后，在很長一段時(shí)間內(nèi)不被人們所理睬，并被認(rèn)為是沒有意義的，不能接受的“虛數(shù)”。直到十七與十八世紀(jì)，隨著微積分的產(chǎn)生與發(fā)展，情況才有所好轉(zhuǎn)。特別是由于L.Euler的研究結(jié)果，4精品PPT|借鑒參考第四頁，共二十二頁。復(fù)數(shù)終于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式揭示了復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之間的關(guān)系。然而一直到C.Wessel(挪威.1745-1818)和R.Argand(法國.1768-1822）將復(fù)數(shù)用平面向量或點(diǎn)來表示，以及K.F.Gauss(德國1777-1855)與W.R.Hamilton(愛爾蘭1805-1865)定義復(fù)數(shù)為一對有序?qū)崝?shù)后，才消除人們對復(fù)數(shù)真實(shí)性的長久疑慮，“復(fù)變函數(shù)”這一數(shù)學(xué)分支到此才順利地得到建立和發(fā)展。復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和工程技術(shù)5精品PPT|借鑒參考第五頁，共二十二頁。中有著廣泛的應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)，電磁學(xué)，熱學(xué)彈性理論中平面問題的有力工具。復(fù)變函數(shù)中的許多概念，理論和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域的推廣和發(fā)展。6精品PPT|借鑒參考第六頁，共二十二頁。第一講復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算及幾何表示教學(xué)重點(diǎn)：1.復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)的基本概念

2.計(jì)算有關(guān)復(fù)數(shù)的典型題教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)球面突破方法：精講多練

7精品PPT|借鑒參考第七頁，共二十二頁。PPT內(nèi)容概述復(fù)變函數(shù)與積分變換。精品PPT|借鑒參考。在十六世紀(jì)中葉，G.Cardano(1501-1576)在研究。這個(gè)方程沒有根，并把這個(gè)方程的兩個(gè)根形式地表。然而一直到C.Wessel(挪威.1745-。1818)和R.Argand(法國.1768-1822）將復(fù)數(shù)用平面。向量或點(diǎn)來表示，以及K.F.Gauss(德國1777-1855)。與W.R.Hamilton(愛爾蘭1805-1865)定義復(fù)數(shù)。復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和工程技術(shù)。復(fù)變函數(shù)中的許多概念，理論和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)。第一講復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算及幾何表示。與實(shí)數(shù)不同,一般說來,任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小.。z1(z2z3)=(z1z2)z3。z1(z2+z3)=z1z2+z1z3。|z|=r。記作Argz=q.。說明：當(dāng)z在第二象限時(shí)，。3.指數(shù)形式與三角形式。可以將z表示成三角表示式:。因此,它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為。21第八頁，共二十二頁。1.概念一對有序?qū)崝?shù)（）構(gòu)成一個(gè)復(fù)數(shù)，記為.x,y分別稱為Z的實(shí)部和虛部,記作x=Re(Z),y=Im(Z),,稱為Z的共軛復(fù)數(shù)。兩個(gè)復(fù)數(shù)相等他們的實(shí)部和虛部都相等特別地，與實(shí)數(shù)不同,一般說來,任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小.2.四則運(yùn)算設(shè)§1.1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算9精品PPT|借鑒參考第九頁，共二十二頁。復(fù)數(shù)運(yùn)算滿足交換律,結(jié)合律和分配律:z1+z2=z2+z1;z1z2=z2z1;z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3z1(z2z3)=(z1z2)z3;z1(z2+z3)=z1z2+z1z33.共軛復(fù)數(shù)性質(zhì):10精品PPT|借鑒參考第十頁，共二十二頁。1.點(diǎn)表示yz(x,y)xx0yr復(fù)平面實(shí)軸虛軸§1.2復(fù)數(shù)的幾何表示11精品PPT|借鑒參考第十一頁，共二十二頁。0xyxyqz=x+iy|z|=r2向量表示----復(fù)數(shù)z的輻角(argument)

記作Argz=q.任何一個(gè)復(fù)數(shù)z0有無窮多個(gè)輻角,將滿足-p<q0

p的q0稱為Argz的主值,記作q0=argz.則Argz=q0+2kp=argz+2kp(k為任意整數(shù))----復(fù)數(shù)z的模12精品PPT|借鑒參考第十二頁，共二十二頁。當(dāng)z=0時(shí),|z|=0,而輻角不確定.argz可由下列關(guān)系確定:說明：當(dāng)z在第二象限時(shí)，13精品PPT|借鑒參考第十三頁，共二十二頁。3.指數(shù)形式與三角形式利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系:x=rcosq,y=rsinq,可以將z表示成三角表示式: 利用歐拉公式eiq=cosq+isinq得指數(shù)表示式:例1將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此14精品PPT|借鑒參考第十四頁，共二十二頁。因此練習(xí)：寫出的輻角和它的指數(shù)形式。[解]2)顯然,r=|z|=1,又15精品PPT|借鑒參考第十五頁，共二十二頁。4.復(fù)數(shù)形式的代數(shù)方程與平面幾何圖形很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來表示;也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來確定它所表示的平面圖形.例2將通過兩點(diǎn)z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線用復(fù)數(shù)形式的方程來表示.

[解]通過點(diǎn)(x1,y1)與(x2,y2)的直線可用參數(shù)方程表示為因此,它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為z=z1+t(z2-z1).(-<t<+)16精品PPT|借鑒參考第十六頁，共二十二頁。由此得知由z1到z2的直線段的參數(shù)方程可以寫成

z=z1+t(z2-z1).(0

t1)取得知線段的中點(diǎn)為例3求下列方程所表示的曲線:17精品PPT|借鑒參考第十七頁，共二十二頁。[解]：設(shè)z=x+iy

,方程變?yōu)?iOxy幾何上,該方程表示到點(diǎn)2i和-2的距離相等的點(diǎn)的軌跡,所以方程表示的曲線就是連接點(diǎn)2i和-2的線段的垂直平分線,方程為y=-x,也可用代數(shù)的方法求出。18精品PPT|借鑒參考第十八頁，共二十二頁。2iOxy-2y=-x設(shè)z=x+iy

,那么可得所求曲線的方程為y=-3.Oyxy=-319精品PPT|借鑒參考第十九頁，共二十二頁。5.復(fù)球面N020精品PPT|借鑒參考第二十頁，共二十二頁。x1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了復(fù)數(shù)的平面表示方法外,還可以用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù).

對復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn)z,用直線