福建省八縣一中2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題含解析

福建省八縣一中2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.圓Y+y2-4x+2y-l=0與直線(xiàn)y—2比+2f—l=0?eR）的位置關(guān)系為（）

A.相切B.相離

C.相交D.無(wú)法確定

2.如圖，直三棱柱A3C-4與G的所有棱長(zhǎng)均相等，尸是側(cè)面A41c。內(nèi)一點(diǎn)，設(shè)|PA|=d，若尸到平面的

距離為2d,則點(diǎn)尸的軌跡是（）

B.橢圓的一部分

C.拋物線(xiàn)的一部分D.雙曲線(xiàn)的一部分

3.函數(shù)/（%）=（尤2—2x）F的圖像大致是（)

4.若函數(shù)y=lnx-公有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

c.[o,-

D.(O,1)

le

5.原點(diǎn)到直線(xiàn)/:（3+2/l）x+（4+；l）y+2/l—2=0的距離的最大值為（）

A.迪2

B.-

55

C.2V2

設(shè)兒分別是，內(nèi)角的對(duì)邊，若^―,-1―,」一依次成公差不為的等差數(shù)列，貝!（

6.a,cRCA,B,C0J)

tanAtanBtanC

A.a,b,c依次成等差數(shù)列B.a2,b'，0?依次成等差數(shù)列

C.?,加,正依次成等比數(shù)列D.1,/,0?依次成等比數(shù)列

7.如圖是一水平放置的青花瓷.它的外形為單葉雙曲面，可看成是雙曲線(xiàn)的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，且其

外形上下對(duì)稱(chēng).花瓶的最小直徑為12cm,瓶口直徑為20cm,瓶高為30cm,則該雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)為（）

8.已知兩直線(xiàn)/|：x—y+6=0與4：—3x+3y—2=0,則乙與4間的距離為（）

A.72

3

C.68A/3

亍

9.拋物線(xiàn)f=3y焦點(diǎn)坐標(biāo)為。

A.11B-lJ/

C.’0,口D.fo,--

14I4

10.已知匕，4分別為橢圓C:，+%=l（a〉b>0）的左右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上存在一點(diǎn)P,使得

2|OP|=|^|,設(shè)△耳尸耳的面積為S,若S=（|P￡|-|P引六則該橢圓的離心率為。

11

A.-B.—

32

C.3D正

23

2

11.設(shè)用心是雙曲線(xiàn)V-g=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P是雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，且3歸耳|=4戶(hù)閭，則APFR的面積等于（）

A.4A歷B.8V3

C.24D.48

12.若數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足q=2,4+i=9%（〃eN*）,則該數(shù)列的前2021項(xiàng)的乘積是（）

-a”

A.-2B.-l

C.2D.l

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的命題中：

①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn),左為非零常數(shù)，若||上4|-|依|=左，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為雙曲線(xiàn)；

②拋物線(xiàn)x=ay2（a^0）焦點(diǎn)坐標(biāo)是（j，0）；

一1-1.

③過(guò)定圓。上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦A5,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若0。=704+大。6,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；

22

Y22Y2-V2

④曲線(xiàn)土-匕V=1與曲線(xiàn)=I（2v35且之W1O）有相同的焦點(diǎn)

16935-210-2

其中真命題的序號(hào)為（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào).）

14.某學(xué)校為了獲得該校全體高中學(xué)生的體有鍛煉情況，按照男、女生的比例分別抽樣調(diào)查了55名男生和45名女生

的每周鍛煉時(shí)間，通過(guò)計(jì)算得到男生每周鍛煉時(shí)間的平均數(shù)為8小時(shí)，方差為6；女生每周鍛煉時(shí)間的平均數(shù)為6小

時(shí)，方差為8.根據(jù)所有樣本的方差來(lái)估計(jì)該校學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的方差為

15.四棱錐P—ABCD中，底面ABC。是一個(gè)平行四邊形，AB=（2,-1,T），AD=（4,2,0）,AP=（-1,2,-1）,

則四棱錐P-A6CD體積為

41

16.已知x>0,y>0,且一+—=1,則4x+y的最小值為_(kāi)__________

xy

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）某工廠(chǎng)有工人1000名，其中250名工人參加過(guò)短期培訓(xùn)（稱(chēng)為A類(lèi)工人），另外750名工人參加過(guò)長(zhǎng)期

培訓(xùn)（稱(chēng)為5類(lèi)工人）.現(xiàn)用分層抽樣方法（按A類(lèi)，5類(lèi)分二層）從該工廠(chǎng)的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的

生產(chǎn)能力（生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）

（1）A類(lèi)工人中和3類(lèi)工人各抽查多少工人？

（2）從A類(lèi)工人中抽查結(jié)果和從B類(lèi)工人中的抽查結(jié)果分別如下表1和表2：

表1：

生產(chǎn)能力分組[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)

人數(shù)48X53

表2：

生產(chǎn)能力分組[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)

人數(shù)63618

①先確定x,了，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖.就生產(chǎn)能力而言，A類(lèi)工人中個(gè)體間的差異程度與5類(lèi)工人中

個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更??？（不用計(jì)算，可通過(guò)觀(guān)察直方圖直接回答結(jié)論）

②分別估計(jì)A類(lèi)工人和5類(lèi)工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計(jì)該工廠(chǎng)工人和生產(chǎn)能力的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)

間的中點(diǎn)值作代表）

頻率

圖1A類(lèi)工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖圖25類(lèi)工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖

18.（12分）已知圓C的方程為必+產(chǎn)一2x—2y—23=0

（1）求圓。的圓心及半徑；

（2）是否存在直線(xiàn)/滿(mǎn)足：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,-1）,且_________________?如果存在，求出直線(xiàn)/的方程；如果不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由

從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答：

條件①：被圓C所截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)；

條件②：被圓C所截得的弦長(zhǎng)最短；

條件③：被圓。所截得的弦長(zhǎng)為8

注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分

19.（12分）為了了解高一年級(jí)學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后,

畫(huà)出頻率分布直方圖（如圖所示），圖中從左到右各小長(zhǎng)方形面積之比為2：4：17：15：9：3,第二小組的頻數(shù)為12

090100110120130140150次數(shù)

（1）第二小組的頻率是多少？樣本量是多少？

（2）若次數(shù)在110以上（含110次）為達(dá)標(biāo)，則該校全體高一年級(jí)學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？

（3）樣本中不達(dá)標(biāo)的學(xué)生人數(shù)是多少？

（4）第三組的頻數(shù)是多少？

20.（12分）從①義旦-2=3,②4%=27,③$6=36,這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并作答:

n+3n

已知等差數(shù)列｛4｝公差大于零，且前"項(xiàng)和為4=7,,b“二^—,求數(shù)列也“｝的前”項(xiàng)和

（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按照第一個(gè)解答計(jì)分）

21.（12分）已知數(shù)列｛。“｝的前”項(xiàng)和S.=24+”—3

（1）求｛。,,｝的通項(xiàng)公式;

（2）若數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和1=〃（〃+1）,求數(shù)列｛。也｝的前“項(xiàng)和人

22.（10分）如圖，在三棱錐P—A3C中，已知AA3C和AP5C均為正三角形，。為的中點(diǎn)

p

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】先計(jì)算出直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)。，1),而點(diǎn)在圓內(nèi)，所以圓與直線(xiàn)相交.

【詳解】直線(xiàn)y—2次+2-1=0可化為丁=2年-1)+1,所以恒過(guò)定點(diǎn)(1,1).

把(1，1)代入f+/一敘+2>-1=0,有：12+12-4+2-1=-1<0,

所以(1,1)在圓內(nèi)，所以圓f+丫？一4x+2y-1=0與直線(xiàn)y—2比+2-1=0(/eR)的位置關(guān)系為相交.

故選：C

2、B

2

【解析】取B￡,BC的中點(diǎn)得出平面AB2c2,作尸《，耳G，在直角尸片。2中，求得「02=耳1,以a

為原點(diǎn)，GC為無(wú)軸，。海為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)尸(x,y)的軌跡方程，即可求解.

【詳解】如圖所示，取BC，BC的中點(diǎn)連接AM,AN,MN,

得到平行于平面ABC且過(guò)點(diǎn)P的平面4為6,如圖(1)(2)所示,

作PPX1B2c2,則Pi與E重合,則|尸部=2d,

4

在直角尸片。2中，可得PC2=d,

在圖（3）中，設(shè)直三棱柱A3C-4與G的所有棱長(zhǎng)均為。，且P（x,y）,

以G為原點(diǎn)，CC為左軸，GA為丁軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則A（0,。），

所以即

13

所以（x—0）2+（q_y）2=d~,整理得+-y2-2ay+a2=0,

16

所以點(diǎn)P的軌跡是橢圓的一部分.

圖

圖12

4

G

故選:B.

3、B

【解析】由函數(shù)/（x）有兩個(gè)零點(diǎn)排除選項(xiàng)A,C；再借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)f（x）的單調(diào)性與極值情況即可判斷作答.

【詳解】由/（尤）=。得，％=0或x=2,選項(xiàng)A,C不滿(mǎn)足；

由/（力=（/-2x）e'求導(dǎo)得八乃=，一2）日當(dāng)x＜—五或x＞及時(shí)，尸（左）＞。，當(dāng)—后＜x＜四時(shí),

于是得“X)在(-8,-0)和(0,+00)上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，/(尤)在X=—形處取極大值，在

尤=0處取極小值，D不滿(mǎn)足，B滿(mǎn)足.

故選：B

4、C

InY

【解析】函數(shù)y=lnx-雙有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程］nx-ax=0有兩個(gè)根，等價(jià)于，=。與丁=——(x>0)圖象有兩個(gè)

x

InX

交點(diǎn)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)分析y二——(九>0)的單調(diào)性，根據(jù)圖象即可求出求出。的范圍.

【詳解】函數(shù)y=lnx-女有兩個(gè)零點(diǎn)，

.*?方程1111一0￥=0有兩個(gè)根，

InX

sx>0,分離參數(shù)得。=」，

X

Inx

y=。與y=一(%>0)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

X

./、Inx八、

令g(x)=----(zX>0),

X

\g'(x)=上坐，令g'(x)=0,解得X=e

當(dāng)0<%<e時(shí)，g'(x)>0,g(x)在(O,e)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>e時(shí)，g'(x)<0,g(x)在(e,”)單調(diào)遞減，且g(x)>0

g(x)在x=e處取得極大值及最大值g(e)=-,

e

可以畫(huà)出函數(shù)g(x)的大致圖象如下:

觀(guān)察圖象可以得出

e

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

5、C

【解析】求出直線(xiàn)/過(guò)的定點(diǎn)P,當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線(xiàn)/距離最大，則可求出原點(diǎn)到直線(xiàn)/距離的最大值;

【詳解】因?yàn)椋?+2X）x+（4+X）y+22—2=?？苫癁?x+4y—2++y+2）=。,

所以直線(xiàn)/過(guò)直線(xiàn)3x+4y—2=0與直線(xiàn)2x+y+2=。交點(diǎn),

3x+4y-2=0x=-2

聯(lián)立4可得《

2x+y+2=0y=2

所以直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)P（—2,2）,

當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線(xiàn)/距離最大，最大距離即為QPI,

此時(shí)最大值為7（-2）2+22=屈=2夜，

故選：C.

6、B

221

【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得---+—利用正弦定理、余弦定理推導(dǎo)出/+/=2〃，從而",

tanBtanAtanC

，依次成等差數(shù)列.

【詳解】解：?.?〃，b,c分別是內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊，

^―,—L,依次成公差不為o的等差數(shù)列，

tanAtanBtanC

211

/.----=-----1-----,

tanBtanAtanC

ggbf一32cosBCOSACOSC

根據(jù)正弦定理可得一--=-----+-----

bac

:.2accosB—bccosA+abcsC，

.222b1+C1-a1a1+b2-c1

..a+c-bZ=--------------+--------------

22

?**a1+c2=2Z?2,

???/,b\片依次成等差數(shù)列.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列或等比數(shù)列的判斷，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)、正弦定理、余弦定理等基

礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題.

7、C

22

【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)方程為t-3=1,(。>0/>0),由已知可得。，并求得雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)的坐標(biāo)，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入

ab~

雙曲線(xiàn)方程，求解b,即可得到雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)

【詳解】設(shè)航點(diǎn)是雙曲線(xiàn)與截面的一個(gè)交點(diǎn)，

22

設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為:=（。>0/>0）

a“b~

花瓶的最小直徑AA=2。=12cm,則。=6,

由瓶口直徑為20cm,瓶高為30cm,可得M(10,15),

22

故《in一2IS=1,解得6=4=5，

62b24

???該雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)為26=2x4=5=?45

42

故選：C

8、B

【解析】把直線(xiàn)。的方程化簡(jiǎn)，再利用平行線(xiàn)間距離公式直接計(jì)算得解.

2

【詳解】直線(xiàn)4的方程化為：x-y+-=Q,顯然，“〃2,

|6_2

所以4與4間的距離為d=一3=述

3

故選：B

9、C

【解析】由拋物線(xiàn)方程確定焦點(diǎn)位置，確定焦參數(shù)〃，得焦點(diǎn)坐標(biāo)

【詳解】拋物線(xiàn)￡=3y的焦點(diǎn)在y軸正半軸，2P=3,p=~,‘=因此焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,3）

■224■4

故選：C

10、D

21

【解析】由2|0尸|=陽(yáng)閭可得耳直角三角形，故S=（|P用―歸閶）=-|P^||P^|,且

伊川+|P閭2=|片詞2,結(jié)合|/閩+|尸閭=2a,聯(lián)立可得02=*,即得解

【詳解】由題意210H=四鳥(niǎo)|,故^尸耳耳為直角三角形，

???S=（|WH*）2］附附I，

又（I叫-怛2獷=（|叫+|也|）2-4|叫歸劇=）叫|嗎|,四|+|尸閭=2a

???可明，

又花為直角三角形，故|P片「+儼閭2=閨q2,

，（儼團(tuán)+伊閭『—2|助便閭=閨閶2,

g4a2--=4c2.-.c2=-,

P99

C5/5

:.e=—=——.

a3

11、C

【解析】雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為2,焦距為閨月|=10.根據(jù)題意和雙曲線(xiàn)的定義知

2=|W|—|P段=g|P閭=用，所以歸以=6,歸國(guó)=8,

所以忸葉+忸鳥(niǎo)「=|片囚2,所以尸與,「工.所以s,耳&=3歸用.歸周二g義6義8=24.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了焦點(diǎn)三角形以及橢圓的定義運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題型.

12、C

【解析】先由數(shù)列｛/｝滿(mǎn)足q=2,4+i==h（〃eN*）,計(jì)算出前5項(xiàng)，可得a,.=4,且％?電?。3?g=1，再

利用周期性即可得到答案.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛4｝滿(mǎn)足q=2,a“+i=F4〃eN*）,

1—。八

1+。］1+211

所以為=:;=-—-=_3,同理可得生=一一,a=-,a=2,...

1-22435

所以數(shù)列｛4｝每四項(xiàng)重復(fù)出現(xiàn)，即4+4=4，且=1，

而2021=505x4+1,

所以該數(shù)列的前2021項(xiàng)的乘積是q?&?%…a2021=1505x4=2.

故選：C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、②④##④②

【解析】利用雙曲線(xiàn)定義判斷命題①；寫(xiě)出拋物線(xiàn)焦點(diǎn)判斷命題②；分析點(diǎn)尸滿(mǎn)足的關(guān)系判斷命題③；按4取值討論

計(jì)算半焦距判斷命題④作答.

【詳解】對(duì)于①，因雙曲線(xiàn)定義中要求左＜1筋1,則命題①不正確；

2

對(duì)于②，拋物線(xiàn)兀=效2（。，0）化為：y=-X,其焦點(diǎn)坐標(biāo)是（」-,0）,命題②正確；

a4a

對(duì)于③，令定圓C的圓心為C,因02=!04+工。3,則點(diǎn)尸是弦A3的中點(diǎn)，當(dāng)尸與C不重合時(shí)，有PCLB4,

22

點(diǎn)P在以線(xiàn)段AC為直徑的圓上，當(dāng)P與C重合時(shí)，點(diǎn)P也在以線(xiàn)段AC為直徑的圓上，

因此，動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是以線(xiàn)段AC為直徑的圓（除A點(diǎn)外），則命題③不正確；

22

對(duì)于④，曲線(xiàn)2-《=1的焦點(diǎn)為（一5,。）,（5,0）,

169

22

當(dāng)2<10時(shí)，橢圓上一+—J=1中半焦距C滿(mǎn)足：,2=(35—4)—(10—4)=25,其焦點(diǎn)為(—5,0),(5,0),

35-210-2

22

當(dāng)10<4<35時(shí)，雙曲線(xiàn)-......二一=1中半焦距c'滿(mǎn)足：c'2=(35—4)+(/l—10)=25,其焦點(diǎn)為

35-22-10

(-5,0),(5,0),

T2V2X2V2

因此曲線(xiàn)土-上=1與曲線(xiàn)-一+^—=1(2<35且2。10)有相同的焦點(diǎn)，命題④正確，

35-210-2

所以真命題的序號(hào)為②④.

故答案為：②④

22

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：橢圓長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)分別為a,b,半焦距為c滿(mǎn)足關(guān)系式：a=b+c\雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)、

虛半軸長(zhǎng)、半焦距分別為優(yōu)、b'、c'滿(mǎn)足關(guān)系式：°'2="2+6,2,在同一問(wèn)題中出現(xiàn)認(rèn)真區(qū)分，不要混淆.

14、7.89

【解析】先求出100名學(xué)生每周鍛煉的平均時(shí)間，然后再求這100名學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的方差，從而可估計(jì)該校學(xué)生

每周鍛煉時(shí)間的方差

【詳解】由題意可得55名男生和45名女生的每周鍛煉時(shí)間的平均數(shù)為

x(55x8+45x6)=7.1小時(shí)，

因?yàn)?5名男生每周鍛煉時(shí)間的方差為6；45名女生每周鍛煉時(shí)間的方差為8,

所以這100名學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的方差為

5545

——X[6+(8-7.1)2]+——X[8+(6-7.1)2]=7.89,

100100

所以該校學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的方差約為7.89,

故答案為：7.89

15、16

【解析】計(jì)算4尸.人5=0，APAD=0?得到底面ABC。，計(jì)算cosNBA。='變，

35

SABCD=|AB|.|AD|sinZBAD=8A?6,計(jì)算體積得到答案.

【詳解】由=—2—2+4=0，AP.AD=—4+4+0=0，所以AP_L底面ABC。，

ARAD8-2-0

cos/BAD

網(wǎng)J叫一庖.而一35

故SABCD=|AB|-|AD|sinABAD=歷x720x^Jl-^=8y/6,

體積為v=1SABCD?,川=gX8?義Jl+4+1=16.

故答案為：16.

16、25

4]（4*1、4v4x

【解析】根據(jù)％>0,y>0f且一+—=1,由4x+y=（4%+y）-+-=17+」+一，利用基本不等式求解.

411

【詳解】因?yàn)椋?gt;0,y>o9且一+—=1,

%y

所以4%+）=（4%+））[3+4]=17+勺+把217+2/曳.把二25,

AXyJ%y"y

4y4x

當(dāng)且僅當(dāng)一=——，即x=y=5時(shí)，等號(hào)成立，

xy

所以4九+y的最小值為25,

故答案為：25

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)25,75(2)①5,15,直方圖見(jiàn)解析，B類(lèi)②123,133.8,131.1

【解析】(D先計(jì)算抽樣比為進(jìn)而可得各層抽取人數(shù)(2)①A類(lèi)、5類(lèi)工人人數(shù)之比為250:750=1:3,按此比

例確定兩類(lèi)工人需抽取的人數(shù)，再算出*和V即可.畫(huà)出頻率分布直方圖，從直方圖可以判斷：8類(lèi)工人中個(gè)體間的

差異程度更?、谌∶總€(gè)小矩形的橫坐標(biāo)的中點(diǎn)乘以對(duì)應(yīng)矩形的面積相加即得平均數(shù).

【詳解】(1)由已知可得：抽樣比

故A類(lèi)工人中應(yīng)抽取：250x^=25人，

3類(lèi)工人中應(yīng)抽?。?50x^=75人，

(2)①由題意知4+8+x+5=25,得x=5,

6+y+36+18=75,得y=15

滿(mǎn)足條件的頻率分布直方圖如下所示:

036

02

30

920

o,\-

了t

oO

o1~6

2

ol0

o0

olo4

ol0

圖14類(lèi)工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖即或工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖

從直方圖可以判斷：3類(lèi)工人中個(gè)體間的差異程度更小

(2)Z=--x105+—xll5+—xl25+—xl35+—x145=123,

△2525252525

Z=Axli5+l￡xi25+—xl35+—xl45=133.8

1175757575

2575

x=—xl23+—x133.8=133.1

100100

A類(lèi)工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，3類(lèi)工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)以及全工廠(chǎng)工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)的估計(jì)值分別為123,133.8

和131.1

【點(diǎn)睛】本題考查等可能事件、相互獨(dú)立事件的概率、頻率分布直方圖的理解以及利用頻率分布直方圖求平均數(shù)等知

識(shí)、考查運(yùn)算能力

18、(1)圓心為(1,1),半徑為5；

(2)答案見(jiàn)解析.

【解析】(1)寫(xiě)出圓標(biāo)準(zhǔn)方程即得解；

(2)選擇條件①：直線(xiàn)/應(yīng)過(guò)圓心即直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)A(2,-1)和即得解；選擇條件②：直線(xiàn)/應(yīng)與C4垂直，求出

直線(xiàn)的方程即得解；選擇條件③：不存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn).

【小問(wèn)1詳解】

解：由圓的方程整理可得(x-1y+⑶-1)?=25,

所以圓心為(LD，半徑為5.

小問(wèn)2詳解】

選擇條件①：若直線(xiàn)/被圓C所截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，則直線(xiàn)/應(yīng)過(guò)圓心即直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)A(2,-1)和所以直線(xiàn)的斜率

為勺=匕且2=一2,則直線(xiàn)/的方程為y=-2九+3.

選擇條件②：若直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)A(2,-l)被圓C所截得的弦長(zhǎng)最短，則直線(xiàn)/應(yīng)與C4垂直.

又2-2,所以勺=g.故直線(xiàn)/方程為y=gx—2.

選擇條件③：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,-l)的直線(xiàn)/被圓C所截得的最短弦長(zhǎng)=2石==4指，

由于4百〉8,所以不存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn).

19、(1)0.08,150；(2)88%；(3)18；(4)51.

【解析】頻率分布直方圖以面積的形式反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，所以計(jì)算面積之比即為所求小組的頻率.

可用此方法計(jì)算(1),(2),由公式直接計(jì)算可得(1)中樣本容量；根據(jù)(2)問(wèn)中的達(dá)標(biāo)率，可計(jì)算不達(dá)標(biāo)率，從而

求出不達(dá)標(biāo)人數(shù)，可得(3)；單獨(dú)計(jì)算第三組的頻率，由公式計(jì)算頻數(shù)，可求出(4).

【小問(wèn)1詳解】

4

頻率分布直方圖以面積形式反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，因此第二小組的頻率為-------------------=0.08

2+4+17+15+9+3

17

所以樣本容量=-=150.

0.08

【小問(wèn)2詳解】

由直方圖可估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生的達(dá)標(biāo)率為二;:————xl00%=88%.

2+4+17+15+9+3

【小問(wèn)3詳解】

由(1)(2)知達(dá)標(biāo)率為88%,樣本量為150,不達(dá)標(biāo)的學(xué)生頻率為1-0.88=0.12

所以樣本中不達(dá)標(biāo)的學(xué)生人數(shù)為150x0.12=18(人)

【小問(wèn)4詳解】

17

第三小組的頻率為-------------------=0.34

2+4+17+15+9+3

又因?yàn)闃颖玖繛?50,

所以第三組的頻數(shù)為150x0.34=51

1〃+1

20'3-(2H+1)(2/7+3);

【解析】將條件①②③轉(zhuǎn)化為的形式，列方程組，并求解寫(xiě)出｛4｝的通項(xiàng)公式，從而表示出｛包｝,利用

裂項(xiàng)相消法求和.

【詳解】選①：設(shè)等差數(shù)列｛4｝首項(xiàng)為由,公差為d(d>0),因?yàn)?=7,3-。=3,所以

〃+3n

+3d=7

=1/X

'0皿2”3nd=2,所以4=1+2(〃—1)=2〃—1，所以

b=—^—iJ]i____

n（2〃-1）（2〃+3）4（2〃-12n+3J,所以

—+2

111111J_44〃+41〃+l

-------------1-------------

-----1--------------F...+（）（）-

7592〃一32〃+l2n-11[§―2/+l2,+33（2?+l）（2n+3）

q+3d=76Zj—1

選②:設(shè)等差數(shù)列｛4｝首項(xiàng)為內(nèi),公差為d（d>0）,因?yàn)椤?=7,=27,所以<=＞〈

（囚+d）（〃i+4d）=27d=2

/、7111<1｝

所以—（7）=2所以小寸=（21）伽+3）』罰一罰1｝所以

111111J_44〃+41〃+1

-----1--------------F...+-------------1--------------（）（）-

7592n—32〃+12〃-14^32n+l2n+33（2n+l）（2n+3）