2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué) 人教A版2019必修第一冊(cè) 同步講義 第26講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)7種?？碱}型 含解析

第26講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)7種?？碱}型

【題型目錄】

題型一：五點(diǎn)法作圖

題型二：解三角不等式

題型三：求三角函數(shù)的周期

題型四：三角函數(shù)對(duì)稱性

題型五：三角函數(shù)的奇偶性

題型六：三角函數(shù)的單調(diào)性

題型七：三角函數(shù)的值域

【典例例題】

題型一：五點(diǎn)法作圖

【例1】（2022上海高一課時(shí)練習(xí)）用五點(diǎn)法作下列函數(shù)的圖象：

（1）y=sinX,Xe[-π,π?；

（2）y=cosx+g,xe[0,2;r].

【答案】（1）圖象見(jiàn)解析；（2）圖象見(jiàn)解析.

【解析】（1）列表：

ππ

X-71~20~2π

y=sin%0-1010

描點(diǎn)，連2心畫圖如下：

⑵列表:

π3π

0π2兀

X~2~2

J=COSX10-101

13__1_3

V=COSX+-1

222~2~22

描點(diǎn)，連線，畫圖如下:

2.x+dπ1?

用“五點(diǎn)法”在給定的坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)/（X）在［0,句上的大致圖像

【答案】作圖見(jiàn)解析

【分析】通過(guò)列表得函數(shù)“X）在［0,兀］內(nèi)的關(guān)鍵點(diǎn)以及端點(diǎn)值，在所給的坐標(biāo)系中，描點(diǎn)連

線畫出草圖,

【詳解】列表:

π5π2兀1lπ

X0π

6nT12

ππ3π13π

2xH---π2π

662T~6~

y?20-201

描點(diǎn)，連線，畫出“X）在［0,π］I二的大致圖像如圖:

【例3】(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))當(dāng)xc[-2萬(wàn),2句時(shí)，作出下列函數(shù)的圖象，把這些圖象

與y=sinX的圖象進(jìn)行比較，你能發(fā)現(xiàn)圖象變換的什么規(guī)律？

(1)y=-sinx；

(2)y=∣sinx∣；

(3)y=sin∣H?

【答案】答案見(jiàn)解析

【分析】(1)作出圖象，根據(jù)圖象觀察即可解出；

(2)作出圖象，根據(jù)圖象觀察即可解出；

(3)作出圖象，根據(jù)圖象觀察即可解出.

【詳解】(1)該圖象與y=sinx的圖象關(guān)于X軸對(duì)稱，故將y=sinx的圖象作關(guān)于X軸對(duì)稱

的圖象即可得到，=-SinX的圖象.

⑵y=向Xn嚷囂2f將inx的圖象在X軸上方部分保持不變,下

半部分作關(guān)于X軸對(duì)稱的圖形，即可得到??lsinX的圖象.

..Isinx,x..O,

⑶y=sinW=.二將V=Sinx的圖象在〉軸右邊部分保持不變，并將其作關(guān)于了

［一SInx,x<0,

軸對(duì)稱的圖形，即可得到y(tǒng)=sin∣H的圖象.

【例4】(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)y=；SinX+；卜inx∣.

⑴畫出函數(shù)在［-2萬(wàn),3句上的圖象.

(2)這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)嗎？若是，求出最小正周期；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)是周期函數(shù)，最小正周期為2萬(wàn)

⑶單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ,2kττ+%(ZeZ),單調(diào)遞減區(qū)間為2kπ+^,(2k+?)π(ZeZ)

【分析】(1)去絕對(duì)值化筒函數(shù)，即可畫出函數(shù)在［-2萬(wàn),3句上的圖象；

(2)由圖象可以得到函數(shù)的最小正周期；

(3)由圖象可以得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

1]SinX,x∈[2k萬(wàn),(2k+l))],攵∈Z

(1)y=-sinx÷-sinx=<^l」

22∣^0,x∈((2?-1)^?,2kπ^,keZ

函數(shù)在[-2肛3句上的圖象如下：

單調(diào)遞減區(qū)間為2kπ+^,(2k+?)π(fceZ).

【例5】(2022.四川.成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一開(kāi)學(xué)考試)某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)

/(x)=AeoS(S+。)](W>0,∣d<gj在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如

下表：

π3π

ωx+φOπ2π

T

π5π

XT~6

Acos(ωx+φ)2OO2

請(qǐng)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求函數(shù)〃x)的解析式;

【答案】〃X)=2COS(2X-3

【分析】由表格中的數(shù)據(jù)可得出A的值，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可得出關(guān)于。、。的方程組，解

出這兩個(gè)量的值，可得出函數(shù)/(x)的解析式；

πωπ(

------F0=——ω=2

(1)解：由表格數(shù)據(jù)知，A=2,由<:,解得π，

JTTCO371(P=---

—+φ=-6

I62I0

所以/(x)=2COS(2x-g].

【題型專練】

1.小趙同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)/(x)=ASin(OX+3,(<υ>0,∣S∣<∣J在某一個(gè)周期內(nèi)的圖

象，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表:

π3π

ωx+φOπ2萬(wàn)

1T

2π?π

X

~9~9

Asin3x+0)O2O-2O

請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫出函數(shù)f(χ)的解析式.

【答案】表格見(jiàn)解析，/(x)=2sin^3Λ-∣J.

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象即得；

【詳解】表中數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整為：

π3π

ωx+φOπ2〃

~2~2

π2乃lπ5π?3π

X

18~97?^9^TT

Asin(ωx+φ)O2O-2O

由表格可得/(x)=2sin(3x-r.

2.(2022江蘇?高一單元測(cè)試)作出函數(shù)y=2卜inx∣+sinx,xe[-工句的大致圖像.

【答案】圖見(jiàn)解析

【分析】將其表示為分段函數(shù)的形式，再畫出圖象即可.

3sinx,Λ∈[θ,Λ^]

【詳解】函數(shù)y=2卜inx∣+sinx

{-sinx,x∈[-Λ-,O]

其圖如下所示:

Ay

y,2sinx?xinx

3.（2022上海,高一課時(shí)練習(xí)）分別作出函數(shù)y*inx∣和y=sin∣x∣,xw[-2乃,2萬(wàn)]的圖像.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】利用函數(shù)圖像的翻折變換可作圖.

【詳解】y=Isinx∣的圖像為將y=sinX在X軸下方的圖像沿X軸翻折所得；

y=sin∣x∣的圖像為y=sinx在y軸右方的圖像不變，再將》軸右方的圖像沿X軸翻折所得,

故有：

【點(diǎn)睛】本題主要考查J'根據(jù)絕對(duì)值有關(guān)的函數(shù)圖像翻折問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2022?河南南陽(yáng)?高一期末）與圖中曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（）

π3π2τr/

A.y=∣sinx∣B.y=sin∣x∣

C.y=-∣si∏Λ∣D.y=—SinW

【答案】D

【分析】判斷各選項(xiàng)中函數(shù)在區(qū)間（0,7）或（萬(wàn),2萬(wàn)）上的函數(shù)值符號(hào)以及奇偶性，可得出合適

的選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)O<χ<τt時(shí)，j=∣sinx∣>O,A選項(xiàng)不滿足條件；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)0<x<π時(shí)，0<W<7,y=sin∣Λ∣>O,B選項(xiàng)不滿足條件；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)乃<x<2萬(wàn)時(shí)，y=-∣sinΛ∣<0,C選項(xiàng)不滿足條件；

對(duì)于D選項(xiàng)，令〃x)=-Sinw,該函數(shù)的定義域?yàn)镽,

f(-x)=-sin∣-Λ∣=-sin∣x∣=/(X),故函數(shù)y=-sm∣x∣為偶函數(shù)，

當(dāng)0<x<兀時(shí),/(X)=-Sinw<0,D選項(xiàng)滿足條件.

故選：D.

題型二：解三角不等式

【例1】(2023全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))不等式SinX≥1,xe(0,2萬(wàn))的解集為()

ππ

D.

6^,7

【答案】B

【例2】（2023江西新余高三專題訓(xùn)練）已知/(X)的定義域是-l,y?,則/(sin2x)的定義

域?yàn)椋ǎ?/p>

1π,π]

A.——+kτr--?-k1ττ,Z∈ZB.—+kτr,-+kτr,?∈Z

L3y6JL63J

21_-Jr_

C.——+2kτr--+2kf7Γ,?∈ZD.工+2%町:+2上4,kwZ

39663

【答案】A

【解析】/(X)的定義域是-IE,故由-l≤sin2x≤旦『得,

22

解得一手+2%乃≤2x≤g+2女乃(ZeZ),

Λ-?^+?Λ?！躼≤^+kπ{k∈Z)

因此，函數(shù)/(sin2x)的定義域?yàn)橐豢?2k兀3+2k兀仕eZ).

3o

故選:A.

【例3】(2022全國(guó)高一專訓(xùn)練)若tanx≤0,則()

Tl

A.2kπ——<x≤2kπ,?∈ZB.2kπ+-∣-<x<Qk+l)π,攵∈Z

2

TlTt.

C.kπ——<x≤kπ,Z∈ZD.k1it——<x<κπZ∈Z

221

【答案】C

ππTTTT

【解析】在匕tanx<O<=>--<^≤θ?因此在R匕tanx≤O的解是E——<x≤kπ,

22

kwZ.

故選：C.

【例4】(2022?湖北省天門中學(xué)模擬預(yù)測(cè))己知./■ɑ)是定義在[-5,5]上的偶函數(shù),當(dāng)-5≤x≤0

A.(―π,-2)u(θ,2)u(π,5]B.(―π,-2)<j(π,5)

C.(-5,-2)^(0,π)<√(π,5)D.(-5,-2)u(π,5)

【答案】A

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性，得到了(χ)的取值情況，原不等式等價(jià)于卜或

[sinx>0

J(”>：,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，分別求出X的取值范圍，即可得解；

smx<0

【詳解】解：因?yàn)?(χ)為偶函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

由圖可得一5≤x<-2時(shí)/(x)>0,2<x≤5時(shí)?∕(x)>0,—2<x<2時(shí)/(x)<0：

又當(dāng)Ovx<π時(shí)SinX>0,4<x≤5時(shí)SinXVO,一ZrVXVo時(shí)sin%vθ,-5<x<-πHjsinx>O,

不等式犯<0等價(jià)于H（X）或庶）>：,

sιnx[sιnx>O[sinx<O

所以一萬(wàn)<x<-2或0<x<2或不<x≤5,即不等式的解集為（—π,—2）50,2）□（兀,5]；

故選：A

【例5】（2021.全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)y=lg（應(yīng)-2CoSX）的定義域是.

【答案】∣?v∣→2?π<x<y+2??∈z}

【解析】由尤一2cosx>0得CoSXC立■,

由圖象可知cos%<XZ的解集為[x∣f+2kr<X<+2kτt,k∈zl,

2I44J

故答案為：{x∣7+2E<x<F+2E:/ez}.

【題型專練】

1.（2022陜西省洛南中學(xué)高一月考）在xe（0,2萬(wàn)）上,滿足COSX>sinx的X的取值范圍（）

【答案】C

【解析】作出N=Sinx和y=cosx在χ∈（0,2萬(wàn)）的函數(shù)圖象，

根據(jù)函數(shù)圖象可得滿足COSX>sinX的X的取值范圍為（0,（今,21

故選：C.

y

2.(2022銀川三沙源上游學(xué)校高一月考(理))函數(shù)y=j2cosx+l的定義域是(

TTITJTIT

A.2kτv----,2k?！?Z∈Z)B.2kτv,2ATΓ4—(Z∈Z)

_33JL66_

TT2/r9yr

C.2kττ——,2kτvτ-----(k∈Z)D.2kττ------,2kτrτ------(k∈Z)

_33JL?3_

【答案】D

【解析】由2cosx+l≥0,得CoSX…一；，

?τrr)JT

解得2%r-=頰k2kπ+-,k&Z.

33

24r)τr

所以函數(shù)的定義域是2kπ--,2kπ+-(Z∈Z).

3.(2022上海高一專題練習(xí))利用圖象，不等式-石＜tan2x≤l的解集為

_.._kτv7tk7vJT_

【答a案】(---,-+-l,k≡Z

ZOZo

rrτrlζTT

令tan2x=l,則2x=—+Z乃次∈Z,內(nèi)牟得％=—+——Λ∈Z；

482

_rrτrkTT

令tan2x=-6，則2x=—■—+kτv,k∈Z,解得尤=-?^?+-^,Z∈Z,

362

因?yàn)?√5<tan2x≤l,所以-三+竺<g+”《eZ,即原不等式的解集為

o282

πkππkπ,一

——+——÷——，ZeZ,

6282

πkππkπ.?

故答案為:---1--,—I---,κ∈Z

6282

4.（2022?陜西省安康中學(xué)高一期末）函數(shù)/（x）=In（CoSX-的定義域?yàn)?/p>

【答案】［2?π-p2?π+^U∈Z

【分析】由題可知，解不等式COSX>；即可得出原函數(shù)的定義域.

【詳解】對(duì)于函數(shù)/（x）=In（CoSX有CoSX-g>0,

即CoSX>!，2kπ--<X<2kπ+-(k∈Z),

233'/

因此，函數(shù)/(X)=In(COSX—；)的定義域?yàn)椴?E-1<x<2E+?∣,Z∈Z

故答案為:2kπ-?-,2A兀+三)，左∈Z.

題型三：求三角函數(shù)的周期

【例1】（2023全國(guó)高三專題訓(xùn)練）下列函數(shù)中,最小正周期為乃的是（

1π

A.J=sin—%+—B.y=cos(2%+y

26

.πx

C.γ=tanf2x+^?D.y=sin——

2

【答案】B

T="-=4兀

【解析】對(duì)于A,最小正周期^1^,故錯(cuò)誤;

2

對(duì)于B,最小正周期T=』2%=%,故正確；

2

對(duì)于C,最小正周期T=],故錯(cuò)誤；

對(duì)于D,最小正周期’一三，故錯(cuò)誤.

2

故選：B

【例2】（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中最小正周期為左的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

①y=∣sinx∣;②y=cos∣x∣;③y=tan2x；@^=sin2x

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】對(duì)于①，由正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知其周期為萬(wàn)；對(duì)于②，y=cos∣x∣=cosx,

其周期7=2萬(wàn)；對(duì)于③,其周期為7=］；對(duì)于④，y=sin2χ=l≡ψ≥,其周期7=號(hào)=%.所

以共有2個(gè)函數(shù)的周期為%.

故選：B.

【例3】（2022江西景德鎮(zhèn)一中高一期中（文））下列函數(shù)中①y=sin∣Λ∣;②了=卜山?、?/p>

y=∣tanx∣；（4）γ=∣l+2∞sx∣,其中是偶函數(shù)，且最小正周期為"的函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】①的圖象如下，根據(jù)圖象可知，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，y=si∏W是偶函數(shù)，

②的圖象如下，根據(jù)圖象可知，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，y=binχ是偶函數(shù),

最小正周期是乃，，②正確；

最小正周期為③正確;

④的圖象如下，根據(jù)圖象可知，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，y=∣l+2cosH是偶函數(shù)，最小正周期為

2萬(wàn)，二排除④.

故選：B.

【例4】設(shè)函數(shù)/(x)=CoS2x+Z?SinX+c,則/(x)的最小正周期()

A.與匕有關(guān)，且與C有關(guān)B.與》有關(guān)，但與C無(wú)關(guān)

C.與b無(wú)關(guān),且與C無(wú)關(guān)D.與b無(wú)關(guān),但與C有關(guān)

【答案】B

【解析】因y=cos2x的最小正周期為T=——=ττ、y=sinx的最小正周期為

F2兀C

T=—=2萬(wàn)

1

所以當(dāng)b≠O時(shí)，/(x)的最小正周期為2〃；當(dāng)匕=O時(shí)，/(無(wú))的最小正周期為乃；

【例5】(2022?甘肅臨夏?高二期末(理))函數(shù)/(x)=COS"+?0o>θ)的最小正周期為萬(wàn)，

則/圖=()

A.-此B.--C.?D.在

2222

【答案】A

從而可求出/(x),進(jìn)而可求出了(5).

【分析】由周期求出

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃X)的最小正周期為"，ω>0,所以0=改=2,

Tt

得〃X)=cos2x+-?,

I6J

所以f（5）=cos（2吟+?^?）=-cos?=一亭.

故選：A

【題型專練】

1.（2023全國(guó)高三題型專練）在函數(shù)①y=cos∣2x∣,②y=∣cosx∣,③y=Cos④

y=tan12x-：J中，最小正周期為π的所有函數(shù)為（）

A.②④B.①③④C.①②③D.②③④

【答案】C

24

【解析】V?=Cos12xI=cos2x,ΛT=-=π；

y=∣cosxI圖象是將y=Cosx在不軸卜一方的圖象對(duì)稱翻折到X軸上方得到，

所以周期為萬(wàn)，由周期公式知，y=cos（2x+。為萬(wàn)，y=tan（2x-f）為故選：C.

642

2.（2022上海市進(jìn)才中學(xué)高一期中）已知函數(shù)y=tan（ox+［萬(wàn)］,（°H0）的最小正周期為

貝I。=.

【答案】±2

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=tan（8+2）,（owO）的最小正周期為（所以尚=］，所以0=±2.

故答案為：±2

3.（2022全國(guó)）若函數(shù)y=Sin+的周期不大于1,則正整數(shù)k的最小值為.

【答案】19

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=sin（亨x+（）的周期不大于1,所以1

7普，解得k≥6π,

3

所以正整數(shù)2的最小值為19,故答案為：19

4.（2022江蘇?蘇州市吳中區(qū)蘇苑高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)y=5sin（2x+。）的最小正

周期為（）

A.-B.兀C.2萬(wàn)D.—

23

【答案】A

【分析】首先求出y=5sin（2x+?）的周期，進(jìn)一步利用y=5sin（2x+5）的周期為

y=5sin(2x+?J的周期的一半求出結(jié)論.

【詳解】函數(shù)y=5sin(2x+。)的周期為：丁若=π

由于y=5sin(2x+?的周期為y=5sin(2x+/)的周期的一半.

所以y=5sin∣2x+g)的周期為：|

故選：A

5.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)/(x)=-3cos(2-5x)的最小正周期是()

A.4"B.64C.4D.6

【答案】C

2π

【分析】由/(x)=4Cos?x+c)的最小正周期為T=同直接可得結(jié)論.

【詳解】因?yàn)?x)=-3CoS(I^

T=生=4

所以函數(shù)/(x)的最小正周期一￡一.

2

故選：C

題型四：三角函數(shù)對(duì)稱性

【例1】(2022?湖南?長(zhǎng)郡中學(xué)高三階段練習(xí))下列直線中，函數(shù)/(x)=7Sin(Xf的對(duì)稱

軸是()

TCC2;FC乃nπ

A.X=—B.X=—C.X=-D.X——

3362

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得對(duì)稱軸方程為X=4乃+與且A:ez,進(jìn)而判斷各項(xiàng)是否為對(duì)稱軸

即可.

【詳解】

TTTT

令X-K=Jbr+工且％∈Z,則對(duì)稱軸方程為X=%乃+絲且左eZ,

623

顯然Z=O時(shí)對(duì)稱軸為x=4,不存在k∈Z有對(duì)稱軸為X=￡、［、?.

故選：B.

【例2】(2022全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)y=cos(2x+()的圖象()

A.關(guān)于點(diǎn)母θ)對(duì)稱B.關(guān)于點(diǎn)(包)對(duì)稱

πTT

C.關(guān)于直線X=E對(duì)稱D.關(guān)于直線X=W對(duì)稱

63

【答案】D

【解析】由題設(shè)，由余弦函數(shù)的對(duì)稱中心為(“兀+W，O),令2x+j=kn+j,得X="+二,

232212

τrLJTTT

ZeZ,易知A、B錯(cuò)誤；由余弦函數(shù)的對(duì)稱軸為x=br,令2x+f=既，得x=?-J,?∈Z,

326

JT

當(dāng)Z=I時(shí)，X=]，易知C錯(cuò)誤，D正確；故選：D

【例3】(2023江西省高三月考)若函數(shù)y=cos"+f(co∈N+)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是

—θ,則①的最小值為()

169；

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【解析】當(dāng)X=生時(shí)，y=0,即CoS(號(hào)+g]=0,.?.上+工=工+0(&∈z),

6V66√662

解得69=6Z+2,COSN*，故當(dāng)左=0時(shí)，①取最小值2?

【例4】(2020?江蘇卷)將函數(shù)y=3sin(2x+勺的圖象向右平移四個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后的圖

46

象中與y軸最近的對(duì)稱軸的方程是一.

5?

【答案】X二一二

24

TTTTTT

【解析】y=3sin[2(x--)+-]=3sin(2x--)

6412

_TrTt...-7兀kτι

2x-----=—Fkτι(Ji∈Z)X=------1-----(k1∈Z)

122242

5Tf

當(dāng)人二一1時(shí)X=——

24

5yr

故答案為：X=----

24

【例5X2017?天津卷】設(shè)函數(shù)/(x)=2sin(ox+e),χwR,其中。＞0,|9|＜兀.若/(—)=2,

8

11TT

/(??Ξ)=0,且/(X)的最小正周期大于2π,則

8

A.CO=L—B.。/，展_比

312312

C11lπ

C.CD=—φ=--------D.J,T

3924324

【答案】A

5cσκC.π

-------?-(D-2κ.7tH---

81242

【解析】由題意得《其中4，&￡Z,所以刃=§（左2-2勺）一§,

1IdM,

---------卜φ=匕π

8

2π21

LT=—>2兀，所以O(shè)<G<1,所以G=一,φ—2?∣7iH----τc,

ω312

由陶<π得/=展，故選A.

【例6】（2022?陜西省商洛中學(xué)高一期末）已知函數(shù)/。）=。3（2'+“|9|<9的圖象關(guān)于

11TT

直線X=帶對(duì)稱，則8=.

Jr1

【答案】-三##-M乃

11TTTT

【分析】代入X=需滿足余弦函數(shù)對(duì)稱軸的衣達(dá)式，再根據(jù)∣g∣<1求解即可

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=cos（2x+夕）（|加<］）的圖象關(guān)于直線X=恃對(duì)稱，所以

2x^^+0=Aτr（Z∈Z）,^φ=kπ-^-γ-（k≡Z）,又∣9∣<?∣?,所以9=一?.

故答案為：-M

【題型專練】

l.（2020?四川省瀘縣第四中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)"x）=sin［2x+］）則函數(shù)/（x）的

圖象的對(duì)稱軸方程為（）

A.x=kπ----,ZreZB.X=kπ+-,k∈Z

44

C.x=-kπ,k∈ZD.x=-kπjf-,k∈Z

224

【答案】C

【解析】由己知，/（x）=cos2x,令2九=A肛左∈Z,得x=gkτ,A∈Z.故選：C.

2.【2018?江蘇卷］已知函數(shù)y=sin(2x+0)(-5<°<?^)的圖象關(guān)于直線X=1對(duì)稱，則

O的值是.

【答案】―芻

6

，2、27rJr

【解析】由題意可得sin?■兀+0=±1,所以一兀+。=—+&兀，(P=——÷kπ(k∈Z),

\3)326

TrTrTr

因?yàn)橐灰?lt;夕<—,所以z=o,e=-7?

226

3.(2022北京高一期中)設(shè)函數(shù)f(x)=CoS(OX-SJ的最小正周期為則它的一條對(duì)稱軸

方程為()

71c"C冗一71

A.X=—B.X=------C.X=—D.X=-----

12121515

【答案】B

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(X)=CoSLX-M的最小正周期為所以E=生，解得。=10

ko√55ω

所以f(x)=cos(10x-J所以當(dāng)X=3時(shí)，10Xq=等，不是函數(shù)y=COSX的對(duì)稱軸，

故錯(cuò)誤；

TTTT

當(dāng)x=-時(shí)，IOx-W=-I,是函數(shù)y=cosx的對(duì)稱軸，故正確；

71276

當(dāng)X=V時(shí)，IOX-X不是函數(shù)N=COSX的對(duì)稱軸，故錯(cuò)誤；

當(dāng)x=—三時(shí)，lOx-F=—學(xué)，不是函數(shù)y=8sχ的對(duì)稱軸，故錯(cuò)誤；

1566

故選：B

4.(2023奉新縣第一中學(xué))函數(shù))，=；Sin(X-圖象的一條對(duì)稱軸是()

πC兀CπC4

A.X——B.X=—C.X——D.X=—

6226

【答案】D

【解析】正弦函數(shù)V=sinx的對(duì)稱軸為x='+SAcZ,求函數(shù)y=；Sin卜-的對(duì)稱軸，

即令Xw+攵］入Z,解得：X=空+kπ,keZ、當(dāng)A=T時(shí)，X=--,是其中，條對(duì)稱

3266

軸，所以D選項(xiàng)正確

故選：D

TT

5.12016高考新課標(biāo)2理數(shù)】若將函數(shù)y=2sin2x的圖像向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度，則平

移后圖象的對(duì)稱軸為()

/、kτczr丁、kτττc,1

(A)X=--------(zkjeZ)(B)X------1—(keZ)

2626

/、kππ/,)、/、kπ兀

(C)X----------(ZEZ)(D)X—---1(kEZ)

212212

【答案】B

TT

【解析】由題意，將函數(shù)y=2sin2x的圖像向左平移■個(gè)單位得

JTTTJi77

y=2sin2(x+-)=2sin(2x+—)，則平移后函數(shù)的對(duì)稱軸為2%+—=一+Z凡Z∈Z,

12662

即X=二+且∕∈z,故選B.

62

6.(2022山東威海?高一期末)如果函數(shù)y=cos(2x+e)的圖象關(guān)于點(diǎn)gθ1對(duì)稱，那么冏的

最小值為()

A.?B.?C.-D.—

12633

【答案】B

rr7t7tJT

【解析】由題意，cos(-+^)=0,y∣∣J-+?9=ΛΛ?+-,解得夕=hr+w(ReZ),

3326

.?.當(dāng)A=O時(shí)，|同的最小值為,

故選：B

?冗

7.(2022全國(guó)高一)函數(shù)f(x)=cos2x--T-圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為)

8

【答案】D

【解析】令2x-J="+g(A∈Z),可得x="+2乃(Z∈Z).

o2216

所以當(dāng)A=T時(shí)，X=-?,故(-稱，-"滿足條件，

16V??)

當(dāng)k=0時(shí)?，X=注,故滿足條件；故選：D

16116）

8.（2023山西省高三其他（文））已知/（*）=COSWX+。）N>O,∣Q∣<a）的圖象關(guān)于直

線X=為對(duì)稱，把/（x）的圖象向左平移:個(gè)單位后所得的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,0）對(duì)稱，則。

的最小值為（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【解析】因?yàn)?（力的圖象向左平移?個(gè)單位后所得的圖象關(guān)于點(diǎn)（專,0）對(duì)稱，

所以/（χ）關(guān)于點(diǎn)?,0對(duì)稱,

乂/（χ）的圖象既關(guān)于直線??-對(duì)稱，

設(shè)/（x）的最小正周期為T，則0_"=（2.+1）（（女￡

3244

2?+l

4

所以fy=8k+4（左∈N）,取攵=0,得。=4,

題型五：三角函數(shù)的奇偶性

【例1】（2022上海高一）下列函數(shù)中，最小正周期為萬(wàn)的奇函數(shù)是（）

A.y=cos（2x+/）B.y=sin（2x+?^?）

C.y=sin（2x+?）D.y=cos（2x+π）

【答案】A

【解析】四個(gè)函數(shù)的最小正周期都是"，

JT

y-CoS（2x+萬(wàn)）=一sin2x是奇函數(shù)，

TT

y=sin（2x+彳）=cos2x是偶函數(shù)，

y=sin（2x+g）,X=O時(shí)，>=sin工=正，函數(shù)圖象不過(guò)原點(diǎn)，也不關(guān)于V軸對(duì)稱，既不

是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，y=cos（2x+%）=-cos2x是偶函數(shù).故選：A.

【例2】（2022?廣東?執(zhí)信中學(xué)高一期中）對(duì)于四個(gè)函數(shù)y=卜inx∣,y=∣cosλj,y=sin∣x∣,

y=ta∏W,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.y=kiru∣不是奇函數(shù)，最小正周期是方，沒(méi)有對(duì)稱中心

B.y=∣cosΛ∣是偶函數(shù)，最小正周期是乃，有無(wú)數(shù)多條對(duì)稱軸

C.y=sin∣x∣不是奇函數(shù)，沒(méi)有周期，只有一條對(duì)稱軸

D.y=tan∣X是偶函數(shù)，最小正周期是萬(wàn)，沒(méi)有對(duì)稱中心

【答案】D

【分析】利用圖象逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).

由圖可知，y=∣cosχ∣是偶函數(shù)，最小正周期是開(kāi)，有無(wú)數(shù)多條對(duì)稱軸，B對(duì);

對(duì)于C選項(xiàng)，如下圖所示：

由圖可知，y=sin∣x∣不是奇函數(shù)，沒(méi)有周期，只有一條對(duì)稱軸，C對(duì);

【例3】（2022全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)/。）=鬲中+?+可是奇函數(shù)，當(dāng)

πTT

（Pe-3,5時(shí)。的值為（）

3CπC冗-3π

A.—TtB.C.-D.—

8448

【答案】B

【解析】函數(shù)/（X）=應(yīng)Sin（X+；+"是奇函數(shù)，故?+φ=k兀，：.0=k兀wZ）,對(duì)照

選項(xiàng)只有Z=O時(shí)，選項(xiàng)B符合題意故選：B

【例4】（2022.吉林.東北師大附中模擬預(yù)測(cè)（文））把函數(shù)/（x）=cos（2x+］）的圖象向右平

移（個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)壓縮到原來(lái)的T倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，則

g（x）（）

A.最小正周期為2萬(wàn)B.奇函數(shù)

C.偶函數(shù)D.g（g-x）=g（x）

【答案】D

【分析】根據(jù)平移變換和周期變換的原則求出函數(shù)g（x）,再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公

式逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】解：把函數(shù)"x）=cos（2x+《）的圖象向右平移？個(gè)單位長(zhǎng)度，

再把橫坐標(biāo)壓縮到原來(lái)的T倍，縱坐標(biāo)不變,

得y=cos4x-yj,即g(x)=cos4x-i,

則最小正周期為平=^,故A錯(cuò)誤；

因?yàn)間（5）=ι,g（q）=q,所以函數(shù)g（x）是非奇非偶函數(shù)，故Be錯(cuò)誤;

【例5】（2022?河南宋基信陽(yáng)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）

A.y=卜inx∣+cosxB.y=∣cosΛ∣+sinxC.y=∣sinx∣?cosxD.γ=∣cosx∣?sinx

【答案】D

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義對(duì)選項(xiàng)―一判斷即可.

【詳解】對(duì)A,?/(-X)=|sin(-x)|+cos(-x)=/(x),/(X)=卜i∏Λ∣+cosx不是奇函數(shù)；

對(duì)B,由(-x)=∣cos(-x)∣+sin(-x)=∣cosx∣-sinx≠-f(Λ),/(x)=gsx∣+sinx不是奇函數(shù);

對(duì)C,由?(-x)=Isin(-x)∣?cos(-x)=∣sinx∣?cosX=/(x),/(x)=∣SinXl?cosx不是奇函數(shù)；

對(duì)D,由/(-x)=ICOS(-x)∣?sin(-x)=-∣cos斗sinX=-/(x),又/(X)=卜inM?cosX的定義域?yàn)镽

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以D正確.

故選：D

【例6】(2022?貴州貴陽(yáng)?高三開(kāi)學(xué)考試(理))已知函數(shù)/(x)=2COS(2x+s)[θ<s<])的圖

rr

象向右平移(個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g。)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則

(P=()

A.-B.-C.?D.?

34612

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)平移關(guān)系求出g(x),再由析功的對(duì)稱性,即得.

【詳解】由題可知g(x)=2cos214)+夕=2cos(2xT+,圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以9-多=∕+k萬(wàn),ZeZ,因?yàn)?/p>

所以夕=?.

O

故選：C.

【例7】(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)〃X)=COS?∣,則下列等式正確的是()

A./(τ)=∕(x)B.f{-x)=-f[x)

C."2兀-x)=?√(x)D./(π-x)=∕(π+x)

【答案】AC

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱中心即可選出答案.

【詳解】由/(x)=COS楙，則/(-x)=COS(T)=CoS?∣=∕(x),故A正確，B錯(cuò)誤；

令I(lǐng)=E+5，kwZ、得x=(2左+l)π,Λ∈Z,即對(duì)稱中心為((2A+1)兀,θ