（課標(biāo)專用 5年高考3年模擬A版）高考數(shù)學(xué) 專題九 平面解析幾何 5 拋物線及其性質(zhì)試題 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

拋物線及其性質(zhì)挖命題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測(cè)熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)1.拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)2017課標(biāo)Ⅱ,16,5分利用拋物線的定義求線段長(zhǎng)度★★★2014課標(biāo)Ⅰ,10,5分利用拋物線的定義求線段長(zhǎng)度三角形相似的性質(zhì)2.拋物線的幾何性質(zhì)2018課標(biāo)Ⅲ,16,5分利用拋物線的幾何性質(zhì)求參數(shù)的值直線與拋物線的位置關(guān)系★★★2016課標(biāo)Ⅰ,10,5分利用拋物線的幾何性質(zhì)求距離圓的性質(zhì)3.直線與拋物線的位置關(guān)系2018課標(biāo)Ⅰ,8,5分利用直線與拋物線的位置關(guān)系求值向量坐標(biāo)運(yùn)算★★★2017課標(biāo)Ⅰ,10,5分利用直線與拋物線的位置關(guān)系求最值基本不等式分析解讀從近5年的高考情況來看,拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)常以選擇題、填空題的形式考查,直線與拋物線的位置關(guān)系常以解答題的形式考查.在復(fù)習(xí)備考中,對(duì)拋物線的切線問題以及拋物線的焦點(diǎn)弦問題應(yīng)予以高度關(guān)注,解題時(shí)要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用.破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2018陜西西安一模,3)若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與雙曲線x22-A.-2B.2C.-4D.4答案D2.(2018河南中原聯(lián)盟第五次聯(lián)考,4)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,且l過點(diǎn)(-2,3),M在拋物線C上,若點(diǎn)N(1,2),則|MN|+|MF|的最小值為()A.2B.3C.4D.5答案B考點(diǎn)二拋物線的幾何性質(zhì)1.(2018青海西寧模擬,8)拋物線y2=16x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在y軸上,且滿足|OA|=|OB|,B是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),則FA·AB=()A.-4B.4C.0D.-4或4答案C2.(2017江西九校聯(lián)考,14)已知過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),|AF|=2,則|BF|=.

答案2考點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系1.(2018山東聊城二模,6)已知直線l與拋物線C:y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)為(2,1),則直線l的方程為()A.y=x-1B.y=-2x+5C.y=-x+3D.y=2x-3答案D2.(2017山西太原二模,10)已知雙曲線x23-y2=1的右焦點(diǎn)是拋物線yA.43B.313C.14D.23答案D煉技法【方法集訓(xùn)】方法拋物線焦點(diǎn)弦問題的求解方法1.(2018湖南益陽、湘潭調(diào)研,10)如圖,過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A,B,交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C,若F是AC的中點(diǎn),且|AF|=4,則線段AB的長(zhǎng)為()A.5B.6C.163D.答案C2.(2017安徽六校聯(lián)考,8)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A、B兩點(diǎn),則|AFA.5B.4C.3D.2答案C3.(2018湖南五市十校聯(lián)考,15)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于M、N兩點(diǎn)(其中M點(diǎn)在第一象限),若MN=3FN,則直線l的斜率為.

答案22過專題【五年高考】A組統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組考點(diǎn)一拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2014課標(biāo)Ⅰ,10,5分)已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn).若FP=4FQ,則|QF|=()A.72B.3C.5答案B2.(2017課標(biāo)Ⅱ,16,5分)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),FM的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn),則|FN|=.

答案6考點(diǎn)二拋物線的幾何性質(zhì)1.(2016課標(biāo)Ⅰ,10,5分)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D,E兩點(diǎn).已知|AB|=42,|DE|=25,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A.2B.4C.6D.8答案B2.(2018課標(biāo)Ⅲ,16,5分)已知點(diǎn)M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若∠AMB=90°,則k=.

答案2考點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系1.(2018課標(biāo)Ⅰ,8,5分)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)(-2,0)且斜率為23的直線與C交于M,N兩點(diǎn),則FM·FNA.5B.6C.7D.8答案D2.(2017課標(biāo)Ⅰ,10,5分)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點(diǎn),直線l2與C交于D,E兩點(diǎn),則|AB|+|DE|的最小值為()A.16B.14C.12D.10答案AB組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2016浙江,9,4分)若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是.

答案92.(2015陜西,14,5分)若拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2-y2=1的一個(gè)焦點(diǎn),則p=.

答案22考點(diǎn)二拋物線的幾何性質(zhì)(2015浙江,5,5分)如圖,設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A,B,C,其中點(diǎn)A,B在拋物線上,點(diǎn)C在y軸上,則△BCF與△ACF的面積之比是()A.|BF|-C.|BF|答案A考點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系(2017北京,18,14分)已知拋物線C:y2=2px過點(diǎn)P(1,1).過點(diǎn)0,(1)求拋物線C的方程,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;(2)求證:A為線段BM的中點(diǎn).解析本題考查拋物線方程及性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系.(1)由拋物線C:y2=2px過點(diǎn)P(1,1),得p=12所以拋物線C的方程為y2=x.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為14,0(2)由題意,設(shè)直線l的方程為y=kx+12(k≠0),l與拋物線C的交點(diǎn)為M(x1,y1),N(x2,y2由y=kx+12則x1+x2=1-kk2,x1x因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1),所以直線OP的方程為y=x,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1,x1).直線ON的方程為y=y2x2因?yàn)閥1+y2x1x=k=(2k-所以y1+y2x1故A為線段BM的中點(diǎn).方法總結(jié)在研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系時(shí),常涉及弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、面積等問題.一般是先聯(lián)立方程,再根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系,用設(shè)而不求,整體代入的技巧進(jìn)行求解.易錯(cuò)警示在設(shè)直線方程時(shí),若要設(shè)成y=kx+m的形式,注意先討論斜率是否存在;若要設(shè)成x=ty+n的形式,注意先討論斜率是不是0.C組教師專用題組考點(diǎn)一拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程(2013課標(biāo)Ⅱ,11,5分,0.474)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2),則C的方程為()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x答案C考點(diǎn)二拋物線的幾何性質(zhì)1.(2014課標(biāo)Ⅱ,10,5分,0.262)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△OAB的面積為()A.334B.938答案D2.(2013四川,6,5分)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)到雙曲線x2-y2A.12B.32答案B3.(2016天津,14,5分)設(shè)拋物線x=2pt2,y=2答案64.(2014湖南,15,5分)如圖,正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a,b(a<b),原點(diǎn)O為AD的中點(diǎn),拋物線y2=2px(p>0)經(jīng)過C,F兩點(diǎn),則ba=答案1+25.(2014上海,3,4分)若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與橢圓x29+y2答案x=-2考點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系1.(2014遼寧,10,5分)已知點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上,過點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B,記C的焦點(diǎn)為F,則直線BF的斜率為()A.12B.23C.3答案D2.(2016江蘇,22,10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l:x-y-2=0,拋物線C:y2=2px(p>0).(1)若直線l過拋物線C的焦點(diǎn),求拋物線C的方程;(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)P和Q.①求證:線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2-p,-p);②求p的取值范圍.解析(1)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為p2由點(diǎn)p2,0所以拋物線C的方程為y2=8x.(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),線段PQ的中點(diǎn)M(x0,y0).因?yàn)辄c(diǎn)P和Q關(guān)于直線l對(duì)稱,所以直線l垂直平分線段PQ,于是直線PQ的斜率為-1,則可設(shè)其方程為y=-x+b.①由y2=2px,因?yàn)镻和Q是拋物線C上的相異兩點(diǎn),所以y1≠y2,從而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化簡(jiǎn)得p+2b>0.方程(*)的兩根為y1,2=-p±p2+2pb,從而y0=因?yàn)镸(x0,y0)在直線l上,所以x0=2-p.因此,線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2-p,-p).②因?yàn)镸(2-p,-p)在直線y=-x+b上,所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,所以p<43因此,p的取值范圍是0,評(píng)析本題主要考查直線和拋物線的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系,考查運(yùn)算求解能力及推理論證能力.3.(2015湖南,20,13分)已知拋物線C1:x2=4y的焦點(diǎn)F也是橢圓C2:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),C(1)求C2的方程;(2)過點(diǎn)F的直線l與C1相交于A,B兩點(diǎn),與C2相交于C,D兩點(diǎn),且AC與BD同向.(i)若|AC|=|BD|,求直線l的斜率;(ii)設(shè)C1在點(diǎn)A處的切線與x軸的交點(diǎn)為M,證明:直線l繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí),△MFD總是鈍角三角形.解析(1)由C1:x2=4y知其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1).因?yàn)镕也是橢圓C2的一個(gè)焦點(diǎn),所以a2-b2=1.①又C1與C2的公共弦的長(zhǎng)為26,C1與C2都關(guān)于y軸對(duì)稱,且C1的方程為x2=4y,由此易知C1與C2的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為±6,32,所以聯(lián)立①,②得a2=9,b2=8.故C2的方程為y29+(2)如圖,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).(i)因AC與BD同向,且|AC|=|BD|,所以AC=BD,從而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③設(shè)直線l的斜率為k,則l的方程為y=kx+1.由y=kx+1,x2=4y得x2-4kx-4=0.而x1,x2是這個(gè)方程的兩根,所以x1由y=kx+1,x28+y29=1得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而x3,x4是這個(gè)方程的兩根,所以x將④,⑤代入③,得16(k2+1)=162k即16(k2+1)=16所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±64即直線l的斜率為±64(ii)由x2=4y得y'=x2,所以C1在點(diǎn)A處的切線方程為y-y1=x12(x-x1),即y=x令y=0,得x=x12,即Mx12,0,所以FM=x12,-1.而FA=(x1,y1-1),于是因此∠AFM是銳角,從而∠MFD=180°-∠AFM是鈍角.故直線l繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí),△MFD總是鈍角三角形.【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共40分)1.(2019屆湖南三湘名校教育聯(lián)盟第一次大聯(lián)考,12)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),以AF、BF為直徑的圓分別與y軸相切于點(diǎn)M,N,則|MN|=()A.233B.3C.4答案C2.(2018浙江11月學(xué)考,18)如圖,在同一平面內(nèi),A,B為兩個(gè)不同的定點(diǎn),圓A和圓B的半徑都為r,射線AB交圓A于點(diǎn)P,過P作圓A的切線l,當(dāng)rr≥A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.拋物線答案D3.(2018浙江溫州模擬,7)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),其焦點(diǎn)在x軸上,又拋物線上的點(diǎn)A(-1,a)與焦點(diǎn)F的距離為2,則a=()A.4B.4或-4C.-2D.-2或2答案D4.(2018云南昆明質(zhì)檢,7)已知點(diǎn)M是拋物線C:y2=2px(p>0)上一點(diǎn),F為C的焦點(diǎn),MF的中點(diǎn)坐標(biāo)是(2,2),則p的值為()A.1B.2C.3D.4答案D5.(2018廣東珠海3月模擬,7)已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn),且在第一象限,PA⊥l,垂足為A,|PF|=4,則直線AF的傾斜角等于()A.7π12B.2π3C.3π答案B6.(2018福建六校4月聯(lián)考,10)已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過F且斜率為1的直線交E于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,其垂直平分線交x軸于點(diǎn)C,MN⊥y軸于點(diǎn)N.若四邊形CMNF的面積等于7,則拋物線E的方程為()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x答案C7.(2017山西五校3月聯(lián)考,11)已知拋物線C:y2=2px(p>0)上一點(diǎn)(5,m)到焦點(diǎn)的距離為6,P、Q分別為拋物線C與圓M:(x-6)2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)|PQ|取得最小值時(shí),向量PQ在x軸正方向上的投影為()A.2-55B.25-1C.1-2121D.答案A8.(2018安徽六安一中4月月考,10)若曲線y=2xx-A.22B.6C.3D.22+3答案D二、填空題(共5分)9.(2019屆遼寧沈陽東北育才學(xué)校第三次模擬,14)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A(6,3),P為拋物線上一點(diǎn),且P不在直線AF上,則△PAF周長(zhǎng)的最小值為.

答案13三、解答題(共25分)10.(2019屆四川成都外國(guó)語學(xué)校開學(xué)考試,20)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A為拋物線C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn),過點(diǎn)A的直線l交拋物線C于另一點(diǎn)B,交x軸的正半軸于點(diǎn)D,且有|FA|=|FD|.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí),△ADF為正三角形.(1)求拋物線C的方程;(2)若直線l2∥l且l2和拋物線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E,試問直線AE是否過定點(diǎn),若過定點(diǎn),求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請(qǐng)說明理由.解析(1)由題意知Fp2,0,設(shè)D(t,0)(t>0),則FD的中點(diǎn)為p+2t由p+2t4(2)由(1)知F(1,0),設(shè)A(x0,y0)(x0>0),D(xD,0)(xD>0),因?yàn)閨FA|=|FD|,則|xD-1|=x0+1,由x0>0得xD=x0+2,故D(x0+2,0),故直線l的斜率為k=-y02,因?yàn)橹本€l故可設(shè)直線l2的方程為y=-y02x+b,代入拋物線方程得y2+8y0·y-8by0=0,由題意知Δ=64y02+32by0=0,得b=-2y0當(dāng)y02≠4時(shí),kAE=yE-y0xE-x0=4y0y0思路分析(1)根據(jù)