中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納提分精練專題01全等模型-倍長中線與截長補(bǔ)短(原卷版+解析)

專題01全等模型--倍長中線與截長補(bǔ)短全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型（倍長中線模型、截長補(bǔ)短模型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.倍長中線模型【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法．（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時用，不太會有自己畫中線的時候）?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】1、基本型：如圖1，在三角形ABC中，AD為BC邊上的中線.證明思路：延長AD至點E，使得AD=DE.若連結(jié)BE，則；若連結(jié)EC，則；2、中點型:如圖2，為的中點.證明思路：若延長至點，使得，連結(jié)，則;若延長至點，使得，連結(jié)，則.3、中點+平行線型：如圖3,，點為線段的中點.證明思路：延長交于點(或交延長線于點)，則.1．(2023·山東煙臺·一模）（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在中，若，，點D為BC邊的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使，再連接BE，可證，從而把AB、AC，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在中，點D是BC的中點，于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，判斷與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，，AF與DC的延長線交于點F、點E是BC的中點，若AE是的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．2．(2023·河南南陽·中考模擬）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第69頁的部分內(nèi)容：如圖，在中，D是邊BC的中點，過點C畫直線CE，使，交AD的延長線于點E，求證：證明∵（已知）∴，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．在與中，∵，（已證），（已知），∴，∴（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．（1）【方法應(yīng)用】如圖①，在中，，，則BC邊上的中線AD長度的取值范圍是______．（2）【猜想證明】如圖②，在四邊形ABCD中，，點E是BC的中點，若AE是的平分線，試猜想線段AB、AD、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）【拓展延伸】如圖③，已知，點E是BC的中點，點D在線段AE上，，若，，求出線段DF的長．3．(2023·河北·中考模擬）倍長中線的思想在丁倍長某條線段（被延長的線段要滿足兩個條件：線段一個端點是圖中一條線段的中點；線段與這條線段不共線)，然后進(jìn)行連接，構(gòu)造三角形全等，再進(jìn)一步將某些線段進(jìn)行等量代換，再證明全等或其他的結(jié)論，從而解決問題．【應(yīng)用舉例】如圖（1），已知：為的中線，求證：．簡證：如圖（2），延長到，使得，連接，易證，得，在中，，．【問題解決】（1）如圖（3），在中，是邊上的中線，是上一點，且，延長交于，求證：．（2）如圖（4），在中，是邊的中點，分別在邊上，，若，求的長．（3）如圖（5），是的中線，，且，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系_及位置關(guān)系_．模型2.截長補(bǔ)短模型【模型解讀】截長補(bǔ)短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程，截長補(bǔ)短法（往往需證2次全等）。截長：指在長線段中截取一段等于已知線段；補(bǔ)短：指將短線段延長，延長部分等于已知線段?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】（1）截長：在較長線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段。例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①在AD上取一點F，使得AF=BE，證DF=DC；=2\*GB3②在AD上取一點F，使DF=DC，證AF=BE（2）補(bǔ)短：將短線段延長，證與長線段相等例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①延長DC至點M處，使CM=BE，證DM=AD；=2\*GB3②延長DC至點M處，使DM=AD，證CM=BE1．(2023·安徽淮南·八年級期中）利用角平分線構(gòu)造“全等模型”解決問題，事半動倍．（1）尺規(guī)作圖：作的平分線．【模型構(gòu)造】（2）填空：①如圖．在中，，是的角平分線，則______．（填“”、“”或“”）方法一：巧翻折，造全等在上截取，連接，則．②如圖，在四邊形中，，，和的平分線，交于點．若，則點到的距離是______．方法二：構(gòu)距離，造全等過點作，垂足為點，則．【模型應(yīng)用】（3）如圖，在中，，，是的兩條角平分線，且，交于點．①請直接寫出______；②試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．2．(2023·河南·模擬預(yù)測）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．某同學(xué)做了如下探究，延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)該是______．（2）如圖②，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論是否依然成立？若成立，請說明理由；若不成立，寫出正確的結(jié)論，并說明理由．（3）如圖③，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/時的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/時的速度前進(jìn)1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．3．(2023·遼寧大連·八年級期末）已知點D是△ABC外一點，連接AD，BD，CD，．(1)【特例體驗】如圖1，AB＝BC，α＝60°，則∠ADB的度數(shù)為；(2)【類比探究】如圖2，AB＝BC，求證：∠ADB＝∠BDC；(3)【拓展遷移】如圖3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于點E，AC＝kDE，直接寫出的值（用k的代數(shù)式表示）．課后專項訓(xùn)練：1．(2023·四川成都·八年級期中）如圖中，點為的中點，，，，則的面積是______．2．(2023·北京·中考真題）在中，，D為內(nèi)一點，連接，，延長到點，使得(1)如圖1，延長到點，使得，連接，，若，求證：；(2)連接，交的延長線于點，連接，依題意補(bǔ)全圖2，若，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．3．(2023·內(nèi)蒙古·中考真題）下面圖片是八年級教科書中的一道題：如圖，四邊形是正方形，點是邊的中點，，且交正方形外角的平分線于點．求證．（提示：取的中點，連接．）。(1)請你思考題中“提示”，這樣添加輔助線的意圖是得到條件：；(2)如圖1，若點是邊上任意一點（不與、重合），其他條件不變．求證：；(3)在（2）的條件下，連接，過點作，垂足為．設(shè)，當(dāng)為何值時，四邊形是平行四邊形，并給予證明．4．(2023·江蘇·九年級期中）【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖①，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD至點E，使DE＝AD，連接BE．請根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB，依據(jù)是．A．SAS；B.SSS；C.AAS；D.HL(2)由“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形之中．(3)【初步運(yùn)用】如圖②，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求證AE＝FE．(4)【靈活運(yùn)用】如圖③，在△ABC中，∠A＝90°，D為BC中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．試猜想線段BE、CF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．5．(2023·山東·九年級專題練習(xí)）數(shù)學(xué)興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，，，D是BC的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．【閱讀理解】小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：（1）如圖1，延長AD到E點，使，連接BE．根據(jù)______可以判定______，得出______．這樣就能把線段AB、AC、集中在中．利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線AD的取值范圍是．【方法感悟】當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件時，可考慮做“輔助線”——把中線延長一倍，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中，這種做輔助線的方法稱為“中線加倍”法．【問題解決】（2）如圖2，在中，，D是BC邊的中點，，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：．【問題拓展】（3）如圖3，中，，，AD是的中線，，，且．直接寫出AE的長＝______．6．(2023·浙江臺州·八年級階段練習(xí)）八年級一班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進(jìn)行了探究試驗活動，請你和他們一起活動吧．(1)【閱讀理解】如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍．小聰同學(xué)是這樣思考的：延長至E，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍．在這個過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是______；中線的取值范圍是______．(2)【理解與應(yīng)用】如圖2，在中，點D是的中點，點M在邊上，點N在邊上，若．求證：．(3)【問題解決】如圖3，在中，點D是的中點，，，其中，連接，探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．7．(2023·山東臨沂·八年級期末）（1）問題解決：如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．①如圖1，若α＝90°，根據(jù)教材中一個重要性質(zhì)直接可得AD＝CD，這個性質(zhì)是；②在圖2中，求證：AD＝CD；（2）拓展探究：根據(jù)（1）的解題經(jīng)驗，請解決如下問題：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求證BD+AD＝BC．8．(2023·北京·九年級專題練習(xí)）如圖，在三角形中，，，是邊的高線，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交于點F．(1)依題意補(bǔ)全圖形，寫出____________°(2)求和的度數(shù)；(3)用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．9．(2023·吉林·公主嶺市范家屯鎮(zhèn)第二中學(xué)校九年級期末）我們定義：如圖1，在中，把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．當(dāng)時，我們稱是的“旋補(bǔ)三角形”，邊上的中線叫做的“旋補(bǔ)中線”，點A叫做“旋補(bǔ)中心”．特例感知：（1）在圖2，圖3中，是的“旋補(bǔ)三角形”，是的“旋補(bǔ)中線”．①如圖2，當(dāng)為等邊三角形時，與的數(shù)量關(guān)系為________；②如圖3，當(dāng)時，則長為___________．猜想論證：（2）在圖1中，當(dāng)為任意三角形時，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．10．(2023·湖北孝感·八年級期中）（1）感知：如圖1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC數(shù)量關(guān)系為：．（2）探究：如圖2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的結(jié)論是否成立？請作出判斷并給予證明．（3）應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于點E，試判斷AB，AC，BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．專題01全等模型--倍長中線與截長補(bǔ)短全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型（倍長中線模型、截長補(bǔ)短模型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.倍長中線模型【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法．（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時用，不太會有自己畫中線的時候）?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】1、基本型：如圖1，在三角形ABC中，AD為BC邊上的中線.證明思路：延長AD至點E，使得AD=DE.若連結(jié)BE，則；若連結(jié)EC，則；2、中點型:如圖2，為的中點.證明思路：若延長至點，使得，連結(jié)，則;若延長至點，使得，連結(jié)，則.3、中點+平行線型：如圖3,，點為線段的中點.證明思路：延長交于點(或交延長線于點)，則.1．(2023·山東煙臺·一模）（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在中，若，，點D為BC邊的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使，再連接BE，可證，從而把AB、AC，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在中，點D是BC的中點，于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，判斷與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，，AF與DC的延長線交于點F、點E是BC的中點，若AE是的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，證明見解析；（3）AF+CF＝AB，證明見解析．【分析】（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，據(jù)此可得答案；（2）延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得出BE+BM＞EM即可得出結(jié)論；（3）如圖③，延長AE，DF交于點G，根據(jù)平行和角平分線可證AF＝FG，易證△ABE≌△GEC，據(jù)此知AB＝CG，繼而得出答案．【詳解】解：（1）延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖①所示，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，∵，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AD＜5；故答案為：1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF；證明：延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，如圖②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）AF+CF＝AB．如圖③，延長AE，DF交于點G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中

CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、角的關(guān)系等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．2．(2023·河南南陽·中考模擬）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第69頁的部分內(nèi)容：如圖，在中，D是邊BC的中點，過點C畫直線CE，使，交AD的延長線于點E，求證：證明∵（已知）∴，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．在與中，∵，（已證），（已知），∴，∴（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．（1）【方法應(yīng)用】如圖①，在中，，，則BC邊上的中線AD長度的取值范圍是______．（2）【猜想證明】如圖②，在四邊形ABCD中，，點E是BC的中點，若AE是的平分線，試猜想線段AB、AD、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）【拓展延伸】如圖③，已知，點E是BC的中點，點D在線段AE上，，若，，求出線段DF的長．【答案】（1）1＜AD＜5；（2）AD=AB+DC．理由見解析；（3）DF=3．【分析】（1）延長AD到E，使AD=DE，連接BE，證△ADC≌△EDB，推出AC=BE=4，在△ABE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出AB-BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可；（2）結(jié)論：AD=AB+DC．延長AE，DC交于點F，證明△ABE≌△FEC（AAS），推出AB=CF，再證明DA=DF即可解決問題；（3）如圖③，延長AE交CF的延長線于點G，證明AB=DF+CF，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）延長AD到E，使AD=DE，連接BE，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=4，在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，∴6-4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5；（2）結(jié)論：AD=AB+DC．理由：如圖②中，延長AE，DC交于點F，∵AB∥CD，∴∠BAF=∠F，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴CF=AB，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠BAF=∠FAD，∴∠FAD=∠F，∴AD=DF，∵DC+CF=DF，∴DC+AB=AD；（3）如圖③，延長AE交CF的延長線于點G，∵E是BC的中點，∴CE=BE，∵AB∥CF，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC（AAS），∴AB=GC，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=DF+CF，∵AB=5，CF=2，∴DF=AB-CF=3．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識點，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．3．(2023·河北·中考模擬）倍長中線的思想在丁倍長某條線段（被延長的線段要滿足兩個條件：線段一個端點是圖中一條線段的中點；線段與這條線段不共線)，然后進(jìn)行連接，構(gòu)造三角形全等，再進(jìn)一步將某些線段進(jìn)行等量代換，再證明全等或其他的結(jié)論，從而解決問題．【應(yīng)用舉例】如圖（1），已知：為的中線，求證：．簡證：如圖（2），延長到，使得，連接，易證，得，在中，，．【問題解決】（1）如圖（3），在中，是邊上的中線，是上一點，且，延長交于，求證：．（2）如圖（4），在中，是邊的中點，分別在邊上，，若，求的長．（3）如圖（5），是的中線，，且，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系_及位置關(guān)系_．【答案】；（1）詳見解析；（2）5；（3），【分析】【應(yīng)用舉例】由全等的性質(zhì)可得AB=EC，由三角形三邊關(guān)系可得AC+CE>AE，即AB+AC>2AD；故答案為EC，AE；【問題解決】（1）由題意不難得到所以∠BGD=∠BED=∠AEF=∠DAC，∴有AF=EF；（2）延長ED到G，使DG=ED，連結(jié)CG、FG，不難得到EF=FG，另同（1）有△BDE≌△CDG，所以∠FCG=∠FCD+∠GCD=∠FCD+∠EBD=90°，CG=BE=3，由勾股定理可得FG即EF的長；（3）由全等三角形的性質(zhì)可以得到解答．【詳解】【應(yīng)用舉例】【問題解決】如圖延長到，使得連接易證得，．如圖，延長到，使得連接易證得，垂直平分即在中，，，理由如下：如圖3，延長AD到G，使AD=DG，延長DA交EF于P，連結(jié)BG，則不難得到△BGD≌△CAD，∴BG=AC，∠GBD=∠ACD，∠DGB=∠DAC，又AF=AC，∴BG=AF，∴∠ABG=∠ABD+∠GBD=∠ABD+∠ACD=180°-∠BAC=∠EAF，∴在△ABG和△EAF中，，∴△ABG≌△EAF，∴EF=AG=2AD，∠EFA=∠DGB=∠DAC，∵∠DAC+∠PAF=180°-∠FAC=180°-90°=90°，∴∠EFA+∠PAF=90°，∴∠APF=90°，∴EF⊥AD．【點睛】本題考查全等三角形的綜合運(yùn)用，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．模型2.截長補(bǔ)短模型【模型解讀】截長補(bǔ)短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程，截長補(bǔ)短法（往往需證2次全等）。截長：指在長線段中截取一段等于已知線段；補(bǔ)短：指將短線段延長，延長部分等于已知線段。【常見模型及證法】（1）截長：在較長線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段。例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①在AD上取一點F，使得AF=BE，證DF=DC；=2\*GB3②在AD上取一點F，使DF=DC，證AF=BE（2）補(bǔ)短：將短線段延長，證與長線段相等例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①延長DC至點M處，使CM=BE，證DM=AD；=2\*GB3②延長DC至點M處，使DM=AD，證CM=BE1．(2023·安徽淮南·八年級期中）利用角平分線構(gòu)造“全等模型”解決問題，事半動倍．（1）尺規(guī)作圖：作的平分線．【模型構(gòu)造】（2）填空：①如圖．在中，，是的角平分線，則______．（填“”、“”或“”）方法一：巧翻折，造全等在上截取，連接，則．②如圖，在四邊形中，，，和的平分線，交于點．若，則點到的距離是______．方法二：構(gòu)距離，造全等過點作，垂足為點，則．【模型應(yīng)用】（3）如圖，在中，，，是的兩條角平分線，且，交于點．①請直接寫出______；②試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）①；②6；（3）①120°；②，理由見解析．【分析】（1）直接利用角平分線的作法作圖即可；（2）①根據(jù)三角形的性質(zhì)：大邊對大角即可解答；②如圖：過點作，垂足為點，利用角平分線的性質(zhì)證得BE=EF=EC,即E為BC的中點，進(jìn)而求得EF的長即可；（3）①利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和即可解答；②在上截取，連接；再證明得到，；再證明，最后利用全等三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：（1）如圖所示（2）①∵∴大于；故答案為；②如圖：過點作，垂足為點，∵和的平分線，交于點∴BE=EF=EC,即BE=BC=6∴EF=6,即點到的距離是6故答案為6；（3）①∵∠A=60°∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°∵，是的兩條角平分線，且，交于點．∴∠CBE+∠BCF==60°∴180°-∠CBE+∠BCF=120°；②，理由如下：在上截取，連接，則，∴，，由①知：，∴，∴，∴，又∵，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴．．【點睛】本題主要考查了角平分線的作法、性質(zhì)定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．2．(2023·河南·模擬預(yù)測）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．某同學(xué)做了如下探究，延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)該是______．（2）如圖②，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論是否依然成立？若成立，請說明理由；若不成立，寫出正確的結(jié)論，并說明理由．（3）如圖③，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/時的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/時的速度前進(jìn)1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．【答案】（1）EF=BE+DF；（2）結(jié)論EF=BE+DF仍然成立；理由見解析；（3）此時兩艦艇之間的距離是210海里【分析】（1）根據(jù)題意證明△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，可得EF=FG，根據(jù)FG=DG+DF=BE+DF，可得EF=BE+DF；（2）延長FD到點G．使DG=BE．連結(jié)AG，同（1）的方法證明即可；（3）連接EF，延長AE、BF相交于點C，應(yīng)用（2）的結(jié)論可得EF=AE+BF進(jìn)而氣得的長，即兩艦艇之間的距離【詳解】（1）EF=BE+DF，證明如下：在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案為EF=BE+DF．（2）結(jié)論EF=BE+DF仍然成立；理由：延長FD到點G．使DG=BE．連結(jié)AG，如圖②，∵∠B+∠ADF=180°,∠ADG+∠ADF=180°,∴∠B=∠ADG,在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；（3）如圖③，連接EF，延長AE、BF相交于點C，∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，∴符合探索延伸中的條件，∴結(jié)論EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里．答：此時兩艦艇之間的距離是210海里．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，方位角的計算，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．3．(2023·遼寧大連·八年級期末）已知點D是△ABC外一點，連接AD，BD，CD，．(1)【特例體驗】如圖1，AB＝BC，α＝60°，則∠ADB的度數(shù)為；(2)【類比探究】如圖2，AB＝BC，求證：∠ADB＝∠BDC；(3)【拓展遷移】如圖3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于點E，AC＝kDE，直接寫出的值（用k的代數(shù)式表示）．【答案】(1)60°(2)證明見解析；(3)．【分析】（1）在BD上取點E，使BE=CD，證明△ABE≌△ACD(SAS)，由全等三角形的性質(zhì)得出∠BAE=∠CAD，AE=AD，由等邊三角形的性質(zhì)可得出答案；（2）在DC的延長線上取一點H，使BD=BH，證明△ABD≌△CBH(SAS)，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；（3）延長DC至H，使CH=AC，連接BH，證明△ABC≌△HBC(SAS)，由全等三角形的性質(zhì)得出AB=BH，，證出△BDH為等邊三角形，在Rt△CED中，設(shè)ED=m，則CE=2m，由等邊三角形的性質(zhì)得出DH=BH=AB=km+2m，則可得出答案．（1）解：在BD上取點E，使BE=CD，如圖1所示：∵，，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∵∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠COD，∴∠ABE=∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴（SAS），∴，，∴，∴△AED是等邊三角形，∴∠ADB=60°；故答案為：60°；（2）證明：在DC的延長線上取一點H，使，如圖2所示：∴，∵，，∴，∵AB＝BC，，∴，又∵，即，∴，在△ABD和△CDH中，∴(SAS)，∴，∴；（3）解：延長DC至H，使CH=AC，連接BH，如圖3所示：圖3∵∠ACB+∠BCD=180°，∠BCH+∠BCD=180°，∴∠ACB=∠BCH，∵AC=CH，BC=BC，∴（SAS），∴，，∵，∴，∴，設(shè)，則，∵∴，∴，又∵，∴△BDH為等邊三角形，∴，∴．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造出全等三角形以及等邊三角形性質(zhì)的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練：1．(2023·四川成都·八年級期中）如圖中，點為的中點，，，，則的面積是______．【答案】30【分析】延長至，使，連接CE，得到，證明，得到，進(jìn)而證明，即可求出△ABC面積．【詳解】解：如圖，延長至，使，連接CE，∴，∴在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，．故答案為：30【點睛】本題考查了三角形的全等，勾股定理逆定理等知識，根據(jù)中點的意義添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．2．(2023·北京·中考真題）在中，，D為內(nèi)一點，連接，，延長到點，使得(1)如圖1，延長到點，使得，連接，，若，求證：；(2)連接，交的延長線于點，連接，依題意補(bǔ)全圖2，若，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)；證明見解析【分析】（1）先利用已知條件證明，得出，推出，再由即可證明；（2）延長BC到點M，使CM＝CB，連接EM，AM，先證，推出，通過等量代換得到，利用平行線的性質(zhì)得出，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得到．(1)證明：在和中，，∴，∴，∴，∵，∴．(2)解：補(bǔ)全后的圖形如圖所示，，證明如下：延長BC到點M，使CM＝CB，連接EM，AM，∵，CM＝CB，∴垂直平分BM，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆用，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等，第二問有一定難度，正確作輔助線，證明是解題的關(guān)鍵．3．(2023·內(nèi)蒙古·中考真題）下面圖片是八年級教科書中的一道題：如圖，四邊形是正方形，點是邊的中點，，且交正方形外角的平分線于點．求證．（提示：取的中點，連接．）。(1)請你思考題中“提示”，這樣添加輔助線的意圖是得到條件：；(2)如圖1，若點是邊上任意一點（不與、重合），其他條件不變．求證：；(3)在（2）的條件下，連接，過點作，垂足為．設(shè)，當(dāng)為何值時，四邊形是平行四邊形，并給予證明．【答案】(1)AG=CE(2)過程見解析(3)，證明過程見解析【分析】對于（1），根據(jù)點E是BC的中點，可得答案；對于（2），取AG=EC，連接EG，說明△BGE是等腰直角三角形，再證明△GAE≌△CEF，可得答案；對于（3），設(shè)BC=x，則BE=kx，則，，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)表示EP的長，利用平行四邊形的判定得只要EP=FC，即可解決問題．(1)解：∵E是BC的中點，∴BE=CE．∵點G是AB的中點，∴BG=AG，∴AG=CE．故答案為：AG=CE；(2)取AG=EC，連接EG．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=90°．∵AG=CE，∴BG=BE，∴△BGE是等腰直角三角形，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°．∵CF是正方形ABCD外角的平分線，∴∠DCF=45°，∴∠ECF=90°+45°=135°．∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠FEC=90°．∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△GAE≌△CEF，∴AE=EF；(3)當(dāng)時，四邊形PECF是平行四邊形．如圖．由（2）得，△GAE≌△CEF，∴CF=EG．設(shè)BC=x，則BE=kx，∴，．∵EP⊥AC，∴△PEC是等腰直角三角形，∴∠PEC=45°，∴∠PEC+∠ECF=180°，．∴，當(dāng)PE=CF時，四邊形PECF是平行四邊形，∴，解得．【點睛】這是一道關(guān)于四邊形的綜合問題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定等知識．4．(2023·江蘇·九年級期中）【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖①，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD至點E，使DE＝AD，連接BE．請根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB，依據(jù)是．A．SAS；B.SSS；C.AAS；D.HL(2)由“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形之中．(3)【初步運(yùn)用】如圖②，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求證AE＝FE．(4)【靈活運(yùn)用】如圖③，在△ABC中，∠A＝90°，D為BC中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．試猜想線段BE、CF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)A(2)1＜AD＜7(3)見解析(4)BE2+CF2＝EF2，證明見解析【分析】[問題情境](1)根據(jù)全等三角形的判定定理解答；(2)根據(jù)三角形的三邊關(guān)系計算；[初步運(yùn)用]延長AD到M，使AD=DM，連接BM，證明△ADC≌△MDB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；[靈活運(yùn)用]延長ED到點G，使DG=ED，連接GF，GC，證明△DBE≌△DCG，得到BE=CG，根據(jù)勾股定理解答．(1)解：在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB(SAS)，故選：A；(2)解：由(1)得：△ADC≌△EDB，∴AC=BE=6，在△ABE中，AB?BE<AE<AB+BE，即8?6<2AD<8+6，∴1<AD<7，答案為：1<AD<7；(3)解：延長AD到M，使AD=DM，連接BM，如圖②所示：∵AD是△ABC中線，∴CD=BD，在△ADC和△MDB中，，∴△ADC≌△MDB(SAS)，∴BM=AC，∠CAD=∠M，∵AC=BF，∴BM=BF，∴∠M=∠BFM，∵∠AFE=∠BFM，∴∠BFM=∠CAD=∠M，∴AE=FE；(4)解：線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系為：BE2+CF2=EF2；理由如下：延長ED到點G，使DG=ED，連接GF，GC，如圖③所示：∵ED⊥DF，DG=ED，∴EF=GF，∵D是BC的中點，∴BD=CD，在△BDE和△CDG中，，∴△DBE≌△DCG(SAS)，∴BE=CG，∠B=∠GCD，∵∠A=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∴∠GCD+∠ACB=90°，即∠GCF=90°，∴Rt△CFG中，由勾股定理得：CF2+GC2=GF2，∴BE2+CF2=EF2．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系以及勾股定理的應(yīng)用等知識；熟練掌握三角形的三邊關(guān)系和勾股定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．5．(2023·山東·九年級專題練習(xí)）數(shù)學(xué)興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，，，D是BC的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．【閱讀理解】小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：（1）如圖1，延長AD到E點，使，連接BE．根據(jù)______可以判定______，得出______．這樣就能把線段AB、AC、集中在中．利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線AD的取值范圍是．【方法感悟】當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件時，可考慮做“輔助線”——把中線延長一倍，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中，這種做輔助線的方法稱為“中線加倍”法．【問題解決】（2）如圖2，在中，，D是BC邊的中點，，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：．【問題拓展】（3）如圖3，中，，，AD是的中線，，，且．直接寫出AE的長＝______．【答案】（1）；；；；（2）見解析；（3）8．【分析】（1）根據(jù)三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)以及三角形三邊的關(guān)系求解即可；（2）延長ED使DG=ED，連接FG，GC，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，然后利用SAS證明，得到，，進(jìn)而得到,最后根據(jù)勾股定理證明即可；（3）延長AD交EC的延長線于點F，根據(jù)ASA證明，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）在和中，∴，∴．∵，∴，即，∴，∴，解得：；故答案為：；；；；（2）如圖所示，延長ED使DG=ED，連接FG，GC，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，∴，∴在中，，∴；（3）如圖所示，延長AD交EC的延長線于點F，∵，，在和中，，∴，，∵，∴，∵，∴．【點睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定方法，三角形的三邊關(guān)系，“中線加倍”法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造全等三角形．6．(2023·浙江臺州·八年級階段練習(xí)）八年級一班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進(jìn)行了探究試驗活動，請你和他們一起活動吧．(1)【閱讀理解】如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍．小聰同學(xué)是這樣思考的：延長至E，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍．在這個過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是______；中線的取值范圍是______．(2)【理解與應(yīng)用】如圖2，在中，點D是的中點，點M在邊上，點N在邊上，若．求證：．(3)【問題解決】如圖3，在中，點D是的中點，，，其中，連接，探索與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)；(2)證明見解析(3)，理由見解析【分析】（1）由證明得出，在中，由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）延長至點，使，連接、，同（1）得：，由全等三角形的性質(zhì)得出，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，在中，由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；（3）延長至，使，連接，由（1）得：，由全等三角形的性質(zhì)得出，，證出，證明得出，則．（1）解：延長至E，使，連接，是邊上的中線，，在和中，，，，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，，即，，，；故答案為：；；（2）證明：延長至點，使，連接、，如圖2所示：同（1）可證：，，，，∴MD是線段NF的垂直平分線，，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，；（3）解：，理由如下：延長至，使，連接，如圖3所示：由（1）得：，，，，，即，，，∵，，∴，在和中，，，，．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，解題的關(guān)鍵是通過作輔助線證明三角形全等．7．(2023·山東臨沂·八年級期末）（1）問題解決：如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．①如圖1，若α＝90°，根據(jù)教材中一個重要性質(zhì)直接可得AD＝CD，這個性質(zhì)是；②在圖2中，求證：AD＝CD；（2）拓展探究：根據(jù)（1）的解題經(jīng)驗，請解決如下問題：如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求證BD+AD＝BC．【答案】（1）①角平分線上的點到角的兩邊距離相等；②見解析；（2）見解析．【分析】（1）①根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可解決問題；②如圖2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．只要證明△DEA≌△DFC即可解決問題；（2）如圖3中，在BC時截取BK=BD，BT=BA，連接DK．首先證明DK=CK，再證明△DBA≌△DBT，推出AD=DT，∠A=∠BTD=100°，推出∠DTK=∠DKT=80°，推出DT=DK=CK，由此即可解決問題；【詳解】（1）①根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可知AD＝CD．所以這個性質(zhì)是角平分線上的點到角的兩邊距離相等．故答案為：角平分線上的點到角的兩邊距離相等．②如圖2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，∴DE＝DF，∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，∵∠E＝∠DFC＝90°，∴△DEA≌△DFC，∴DA＝DC．（2）如圖3中，在BC上截取BK＝BD，BT＝BA，連接DK．∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBK＝∠ABC＝20°，∵BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝80°，∵∠BKD＝∠C+∠KDC，∴∠KDC＝∠C＝40°，∴DK＝CK，∵BD＝BD，BA＝BT，∠DBA＝∠DBT，∴△DBA≌△DBT，∴AD＝DT，∠A＝∠BTD＝100°，∴∠DTK＝∠DKT＝80°，∴DT＝DK＝CK，∴BD+AD＝BK+CK＝BC．【點睛】本題考查三角形綜合題、等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，具體的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．8．(2023·北京·九年級專題練習(xí)）如圖，在三角形中，，，是邊的高線，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交于點F．(1)依題意補(bǔ)全圖形，寫出____________°(2)求和的度數(shù)；(3)用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)圖見解析，°(2)，(3)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，補(bǔ)全圖形即可；（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，求得∠BAD=∠BAC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ABE=∠E，由三角形內(nèi)角和定理在△ABE中，∠ABE+∠E+∠BAC=180°-∠CAE，便可求得∠BAF+∠ABF，再由三角形外角的性質(zhì)可得∠FBC；（3）在EF上取點M，使EM=BF，連接AM，由△ABF≌△AEM求得AF=AM，∠BAF=∠EAM，再由∠CAE=60°可得△AFM是等邊三角形，便可解答；（1）解：如圖分別以A，C為圓心，以AC為半徑作弧，兩弧交于點E，連接BE交AD于點F，則∠CAE=60°；（2）解：∵，是邊的高線，∴，∵線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，又，∴，在中，，∴∴又∵是邊的高線，∴∵∠BFD=∠BAF+∠ABF，∴．（3）解：如圖，在EF上取點M，使EM=BF，連接AM，∵AB=AE，∠ABF=∠AEM，BF=EM，∴△ABF≌△AEM（SAS），∴AF=AM，∠BAF=∠EAM，∵∠D