《建筑力學(xué)與結(jié)構(gòu)》 課件 第三章　構(gòu)件的內(nèi)力、強度和剛度計算

第一節(jié)桿件的變形第三節(jié)壓桿穩(wěn)定第二節(jié)軸向拉（壓）桿第三章構(gòu)件的內(nèi)力、強度和剛度計算120第四節(jié)梁的彎曲能判斷桿件的四種基本變形，能對軸向拉（壓）桿進(jìn)行內(nèi)力和強度計算，了解壓桿穩(wěn)定性的概念，能計算梁的內(nèi)力并畫出內(nèi)力圖，能對梁進(jìn)行強度計算，了解工程中常用靜定結(jié)構(gòu)組成及內(nèi)力特征。學(xué)習(xí)目標(biāo)121122實際工程結(jié)構(gòu)中，許多受力構(gòu)件如橋梁、房屋的梁和柱等，其長度方向的尺寸遠(yuǎn)大于橫向尺寸，這一類構(gòu)件通常稱為桿件，軸線是直線的桿件稱為直桿。桿件在受力以后都將產(chǎn)生一定的變形。在土木工程中，常見桿件的變形分為軸向拉伸與壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲四種基本形式。本章主要研究軸向拉伸與壓縮變形及彎曲變形。桿件的變形第一節(jié)123124桿件在不同受力情況下，會產(chǎn)生不同的變形，分為基本變形和組合變形。一、桿件的四種基本變形1.?軸向拉伸與壓縮當(dāng)桿件受到大小相等、方向相反、作用線與桿件軸線重合的一對外力作用時，桿件將沿軸線方向產(chǎn)生伸長或縮短變形，這種變形稱為軸向拉伸與壓縮，如圖所示。桿件軸向拉伸與壓縮變形1252.?剪切當(dāng)桿件受到大小相等、方向相反、作用線與桿件軸線垂直且相距很近的一對外力作用時，桿件橫截面將沿外力方向產(chǎn)生相對錯動變形，這種變形稱為剪切，如圖所示。工程中常見的受拉鋼板螺栓連接中的螺桿和焊接中的焊縫都是剪切變形的實例。桿件剪切變形1263.?扭轉(zhuǎn)當(dāng)桿件受到大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面與桿件軸線垂直的一對力偶作用時，桿件橫截面將繞軸線產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)動變形，這種變形稱為扭轉(zhuǎn)，如圖所示。桿件扭轉(zhuǎn)變形127工程中常見的攪拌器主軸是扭轉(zhuǎn)變形的實例，如圖所示。攪拌器主軸a）攪拌器主軸受力圖b）攪拌器主軸的結(jié)構(gòu)計算簡圖1284.?彎曲當(dāng)桿件受到與桿件軸線垂直的外力作用時，則桿件軸線由直線變?yōu)榍€，這種變形稱為彎曲，如圖所示。工程中常見的陽臺挑梁的變形是彎曲變形的實例，如圖所示。桿件彎曲變形陽臺挑梁129二、組合變形土木工程中許多構(gòu)件在多種荷載作用下同時產(chǎn)生兩種或兩種以上的基本變形，稱為組合變形。如圖所示，工業(yè)廠房中帶牛腿的邊柱，柱的牛腿以下部分，在柱的自重、屋架和吊車梁傳來的荷載共同作用下，同時產(chǎn)生軸向壓縮變形和彎曲變形，這種變形稱為偏心壓縮。工業(yè)廠房中帶牛腿的邊柱軸向拉（壓）桿第二節(jié)130131土木工程中的構(gòu)件都是由固體材料制成的，如鋼材、木材、混凝土等。這些材料在外力作用下其幾何形狀會發(fā)生改變，稱為變形。當(dāng)構(gòu)件長度方向的尺寸遠(yuǎn)大于其他兩個方向的尺寸時，這種構(gòu)件稱為桿件。桿件的形狀和尺寸可由橫截面和軸線兩個幾何元素來描述。外力沿桿件軸線方向作用的直桿稱為軸向受力桿。軸向受力桿根據(jù)受力方向及對桿件變形的影響不同可分為軸向拉伸桿和軸向壓縮桿。例如，屋架中的桁桿、雨棚的拉桿、懸索、軸向受力的柱及柱間支撐等，如圖所示。132軸向受力桿a）屋架中的桁桿b）雨棚的拉桿c）懸索d）軸向受力的柱e）柱間支撐133常見的軸向受力桿大多是等截面直桿（也可以是變截面直桿）。若在桿件兩端作用有一對離開端截面的力，則桿件處于軸向受拉狀態(tài)，它將引起桿件伸長，同時截面尺寸變小，如圖a所示；若在桿件兩端作用有一對指向端截面的力，則桿件處于軸向受壓狀態(tài)，它將引起桿件縮短，同時截面尺寸增大，如圖b所示。軸向拉伸桿和壓縮桿的變形a）拉伸桿b）壓縮桿134軸向拉伸桿與壓縮桿的受力特點是：沿桿件軸線作用有一對大小相等、方向相反的外力（或其合力）；變形特點是：桿件沿軸線方向伸長或縮短。軸向拉伸桿與壓縮桿簡稱為軸向拉（壓）桿，鏈桿都是軸向拉（壓）桿。135一、軸向拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力1.?內(nèi)力的概念桿件受到外力作用后桿件內(nèi)部相鄰各質(zhì)點間的相對位置就要發(fā)生變化，這種相對位置的變化會導(dǎo)致整個桿件產(chǎn)生變形。將這種由于外力作用而使桿件相鄰兩部分之間相互作用力產(chǎn)生的改變量稱為附加內(nèi)力，簡稱內(nèi)力。內(nèi)力的大小與外力密切相關(guān)，隨著外力的產(chǎn)生而產(chǎn)生，隨著外力的消失而消失。136例如，用雙手拉一根橡膠繩，首先會感覺到橡膠繩也在拉手。這是因為用手拉橡膠繩時，對橡膠繩施加了一對大小相等、方向相反的拉力，而這一對拉力對橡膠繩而言是作用在它上面的外力，這種外力的作用使橡膠繩任意相鄰的兩部分之間會產(chǎn)生內(nèi)力，即橡膠繩拉手的力；其次，還會感覺到當(dāng)手拉橡膠繩力越大時，橡膠繩拉手的力也越大，且橡膠繩伸長越多。但是內(nèi)力的增大不是無限制的，當(dāng)內(nèi)力增大到某一限值時，構(gòu)件將被拉斷或壓壞。為了保證構(gòu)件不被破壞，必須先計算出桿件的內(nèi)力。1372.?求內(nèi)力的基本方法——截面法計算桿件某一截面m-m上的內(nèi)力時，可用一個“假想截面”，在該截面處將桿件切斷分為兩部分，取其中任一部分為研究對象，由于這部分也是處于平衡狀態(tài)的，所以在被切斷的截面上必須有力來代替另一部分對它的作用；根據(jù)這部分平衡條件求出桿件在該截面處的內(nèi)力。這種計算內(nèi)力的方法稱為截面法，截面法是計算桿件內(nèi)力的基本方法。138下面以軸向拉伸桿件為例介紹截面法求內(nèi)力的基本方法和步驟。如圖所示，桿件受到一對軸向拉力作用，計算桿件某一截面m-m上內(nèi)力的步驟如下。（1）截開用一個“假想截面”，在該截面處將桿件切斷為兩部分。（2）代替取切開后的任一部分為研究對象，要使這部分與原來一樣處于平衡狀態(tài)，就必須在被切斷的截面上用內(nèi)力代替另一部分對它的作用。139（3）平衡由于整體桿件原本處于平衡狀態(tài)，所以被切斷后的任一部分也應(yīng)處于平衡狀態(tài)，然后根據(jù)平衡條件建立方程，計算出該截面上的內(nèi)力。由∑Fx=0得FN=F，方向向右。若取右部分為研究對象，由平衡條件可得軸力大小FN′=F，方向向左?？梢奆N與FN′構(gòu)成作用力與反作用力的關(guān)系。140用截面法計算桿的內(nèi)力a）結(jié)構(gòu)b）m-m截面左邊桿的受力圖c）m-m截面右邊桿的受力圖141二、軸向拉（壓）桿的軸力1.?軸力的概念由上圖可知，軸向拉（壓）桿的內(nèi)力作用線與桿件軸線重合。把與桿件軸線重合的內(nèi)力稱為軸力。軸力的正負(fù)號是根據(jù)桿件的變形情況規(guī)定的：當(dāng)桿件受拉而伸長時，軸力背離截面為拉力，取正號；反之為壓力，取負(fù)號。這樣對于圖中的桿件，無論取左或取右部分，所得的軸力結(jié)果相同（數(shù)值相等，正負(fù)號相同）。軸力的常用單位是N（牛頓）或kN（千牛）。1422.?計算軸力的方法由截面法可總結(jié)出計算軸力的方法：軸向拉（壓）桿任一橫截面上的軸力，等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有軸向外力的代數(shù)和。并規(guī)定軸向外力的正負(fù)號：外力遠(yuǎn)離該截面取正號，指向該截面取負(fù)號，簡記為離正指負(fù)，即：FN=∑F

背離-∑F

指向若計算結(jié)果為正說明軸力是拉力，反之是壓力。1433.?軸力圖的繪制描述各橫截面軸力沿桿長方向變化的圖形稱為軸力圖。軸力圖是用平行于桿件軸線的坐標(biāo)表示桿件橫截面的位置，用垂直于桿件軸線的坐標(biāo)表示橫截面上軸力的大小，按一定的比例繪制出表示軸力與截面位置關(guān)系的圖形。軸力為正時畫在橫坐標(biāo)的上方；反之，畫在橫坐標(biāo)的下方。144三、軸向拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力1.?應(yīng)力的概念取兩根粗細(xì)不同但材質(zhì)相同的桿件，用同樣大小的力去拉它們，即受到同樣大小的軸力，當(dāng)拉力逐漸增大時，很明顯，細(xì)桿更容易斷裂，因為其截面上內(nèi)力分布的密集程度較粗桿更大。解決這方面的問題，不僅需要知道構(gòu)件可能沿哪個截面破壞，而且還要知道截面上的哪一點最危險。因此，常以單位面積上的內(nèi)力集度來衡量構(gòu)件受力的強弱程度，并把單位面積上的內(nèi)力集度稱為應(yīng)力。145在國際單位制中，應(yīng)力的單位是帕（Pa）或兆帕（MPa）。1Pa=1N/m21MPa=1N/mm2=106Pa1462.?軸向拉（壓）桿橫截面上的正應(yīng)力分布規(guī)律取一根橡膠材質(zhì)的等直桿（其他材質(zhì)也可），在其側(cè)表面均勻畫上幾條與軸線平行的縱線以及與軸線垂直的橫線，如圖a所示。在桿件兩端施加一對軸向拉力F和F′，拉伸后發(fā)現(xiàn)所有縱線的伸長都相等，仍保持為直線；所有橫線仍保持為直線，并與縱線垂直，只是橫線間距統(tǒng)一增大、縱線間距略有減小。根據(jù)此現(xiàn)象，把桿件設(shè)想為由無數(shù)縱向纖維組成，根據(jù)各纖維的伸長量都相同，可知它們所受的力也相等。147直桿軸向拉伸a）在直桿側(cè)表面畫上縱、橫線b）在直桿兩端沿軸線方向加外力c）橫截面上正應(yīng)力的分布148根據(jù)這種變形特征，可得出以下假設(shè)：直桿在軸向拉（壓）時橫截面仍保持為平面且與桿件的軸線垂直，此假設(shè)稱為平面假設(shè)。根據(jù)這個平面假設(shè)可知，纖維上的內(nèi)力是相等的，桿件軸向拉（壓）時橫截面上的內(nèi)力分布是均勻的，或者說應(yīng)力在橫截面上是均勻分布的。由于內(nèi)力垂直于桿件的橫截面，故應(yīng)力也垂直于桿件的橫截面。把垂直于桿件橫截面的應(yīng)力稱為正應(yīng)力，用符號σ表示。149若所求應(yīng)力橫截面的面積為A，橫截面上的軸力為FN，通過上述試驗分析，則該橫截面上的應(yīng)力計算式為：當(dāng)桿件受軸向壓縮時，情況完全類似，只需將軸力連同負(fù)號一并代入上式計算即可。應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定為：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。150四、軸向拉（壓）桿的強度計算1.?許用應(yīng)力與安全系數(shù)在荷載作用下產(chǎn)生的實際應(yīng)力稱為工作應(yīng)力，用σ表示，按上式計算的應(yīng)力，它隨著外力的變化而變化。任何一種材料，在外力作用下所能承受的應(yīng)力總有一定的限度，超過這一限度，桿件就要被破壞。把材料所能承受的應(yīng)力限度稱為材料的極限應(yīng)力，材料的極限應(yīng)力一般由試驗確定，用σu表示。151在設(shè)計構(gòu)件時，有很多情況難以估計，同時，構(gòu)件在使用時還要留有必要的安全儲備。因此，構(gòu)件的工作應(yīng)力必須小于極限應(yīng)力。土木工程中，常將極限應(yīng)力σu

除以一個大于1的安全系數(shù)n作為構(gòu)件正常工作時所允許承受的最大應(yīng)力，稱為許用應(yīng)力，用［σ］表示，即［σ］=

。安全系數(shù)n由國家的有關(guān)規(guī)定來確定。1522.?軸向拉（壓）桿的強度條件及強度計算為確保軸向拉（壓）桿安全可靠地工作，不致因強度不足而破壞，要求桿橫截面上的最大工作應(yīng)力不得超過材料的許用應(yīng)力，即：式中，σ——桿件橫截面上的正應(yīng)力；

FN——桿件橫截面上的軸力；

A——桿件橫截面面積；

［σ］——桿件材料的許用應(yīng)力。這就是軸向拉（壓）桿的強度條件。153運用上述強度條件時，工作應(yīng)力應(yīng)取桿內(nèi)最大的工作應(yīng)力。對于受到幾個軸向外力作用的等截面直桿，要選擇軸力最大的截面進(jìn)行計算；在變截面桿中，要對不同截面計算應(yīng)力，并選擇應(yīng)力最大的截面進(jìn)行強度計算?？傊?，要使桿件內(nèi)可能產(chǎn)生的應(yīng)力最大的截面滿足強度條件。最大工作應(yīng)力所在的截面稱為危險截面。桿件的破壞往往是從危險截面開始的。利用強度條件可以解決實際工程中有關(guān)構(gòu)件強度的三類問題。154（1）強度校核已知荷載大小、材料的許用應(yīng)力和桿件的截面尺寸，即已知FN、［σ］、A，則可由強度條件判斷桿件是否滿足強度要求。由式（3-1）計算出工作應(yīng)力σ，若σ≤［σ］，則桿件滿足強度要求，否則說明桿件的強度不滿足要求。（2）截面設(shè)計已知荷載、材料的許用應(yīng)力，即已知FN、［σ］，則可由式（3-2）計算出最小截面面積后，再根據(jù)實際情況確定截面形狀和尺寸。155（3）確定許用荷載已知桿件的截面面積和材料許用應(yīng)力，即已知A、［σ］，可由式（3-2）求得構(gòu)件所能承受的最大軸力為：［FN］≤A［σ］再根據(jù)靜力平衡條件確定許用荷載［F］、［q］。156五、軸向拉（壓）桿的變形1.?彈性變形與塑性變形桿件在外力作用下發(fā)生變形，撤除外力后，桿件的變形能完全消失，則稱為彈性變形。用手拉彈簧，當(dāng)拉力在一定范圍之內(nèi)時，放松彈簧，彈簧可恢復(fù)原來的形狀，此變形為彈性變形。如當(dāng)外力撤除后不能恢復(fù)到原來的形狀，留有殘余的變形，此殘留下來的變形稱為塑性變形。如手拉橡皮筋后放松時，發(fā)現(xiàn)橡皮筋被拉長了，這部分拉長不能恢復(fù)的變形就是塑性變形。157由圖可知，桿件在軸向拉力作用下產(chǎn)生伸長變形，設(shè)桿件原長l，變形后長度為l1，則沿縱向的變形（習(xí)慣上稱為縱向變形）Δl為：Δl=l1-l規(guī)定：伸長時取正，壓縮時取負(fù)，其單位為m或mm。桿件的縱向變形量Δl只能表示桿件的總變形，不能說明桿件的變形程度，故用單位長度的變形量來描述桿件變形的程度，單位長度的變形稱為線應(yīng)變，用ε表示為：規(guī)定：拉伸時ε為正，反之為負(fù)，線應(yīng)變無量綱。1582.?胡克定律試驗表明，在彈性范圍內(nèi)，桿件的縱向變形與桿件所受的軸力及桿件長度成正比，與桿件的橫截面面積成反比，這就是胡克定律。其表達(dá)式為：若將

代入式（3-3）可得：

σ=Eε

159式（3-4）是胡克定律的另一種表達(dá)形式。它表明，在彈性受力范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。式（3-3）與式（3-4）中，E稱為材料的彈性模量，與材料的性質(zhì)有關(guān)，由試驗測定，它反映了某種材料抵抗變形的能力，在國際單位制中常用單位為GPa。160※3.?泊松比桿件在受力過程中，其應(yīng)力不超過某一極限值（或其變形不超過彈性范圍）時，其橫向線應(yīng)變ε′與縱向線應(yīng)變ε之間存在一定的比例關(guān)系，即：ε′=-με

式中，比例系數(shù)μ稱為橫向變形系數(shù)或泊松比、泊松系數(shù)，其值因材料而異，由試驗確定。161彈性模量E和泊松比μ都是材料的彈性常數(shù)，其中泊松比μ是無量綱的量。幾種常用工程材料的彈性模量和泊松比見表。幾種常用工程材料的彈性模量和泊松比壓桿穩(wěn)定第三節(jié)162163一、壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定問題在工程中很常見。所謂壓桿穩(wěn)定，就是指受壓桿件保持其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。為了說明壓桿的失穩(wěn)現(xiàn)象，可以做一個簡單的試驗。如圖所示，取兩根橫截面面積相同而長度不同的直木條，橫截面面積A=5×30=150（mm2），兩根木條的長度分別為20mm和1000mm。材料的壓縮強度極限σ=40MPa，沿木條的軸向施加壓力F。164壓桿的失穩(wěn)現(xiàn)象165由試驗可知，長度為20mm的短木條，將其壓壞所需壓力F=σA=40×150=6000N，如圖a所示，且在破壞前基本保持直線形狀；但長度為1000mm的長木條在作用壓力F=30.8N時就產(chǎn)生了明顯的彎曲，如圖b所示，若再增大壓力，則桿件的彎曲變形會突然加大而發(fā)生折斷，如圖c所示。上述試驗表明，受壓細(xì)長直桿較之相同截面的短桿更容易被破壞，這種破壞也稱為喪失工作能力，其原因不是強度不夠，而是其軸線不能維持原有直線形狀的平衡所致。這種在一定軸向壓力作用下，細(xì)長直桿突然喪失其原有直線平衡狀態(tài)的現(xiàn)象稱為壓桿喪失穩(wěn)定性，簡稱失穩(wěn)。同時可知，越是細(xì)長的壓桿越容易失穩(wěn)。166二、壓桿平衡狀態(tài)的三種情況1.如圖a所示，一等截面中心受壓直桿，當(dāng)壓力F不太大時（小于某種界限值Fcr），對壓桿施加一橫向干擾力使其產(chǎn)生微彎，撤去橫向干擾力后，壓桿恢復(fù)到原來的直線狀態(tài)，此時壓桿的直線狀態(tài)的平衡是穩(wěn)定的，稱為穩(wěn)定平衡狀態(tài)。2.如圖b所示，當(dāng)壓力F增大到某一界限值Fcr時，再對壓桿施加一個橫向干擾力使其產(chǎn)生微彎，撤去干擾力后，壓桿維持干擾后的微彎曲狀態(tài)不變，不再回到原來的直線位置，在新的微彎曲狀態(tài)下維持新的平衡。此時壓桿是臨界平衡狀態(tài)，從穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡的界限點。此時的軸向壓力Fcr，稱為臨界力。1673.如圖c所示，當(dāng)壓力F超過臨界力Fcr時，壓桿不能回到原來的直線位置，只能在一定彎曲變形下平衡，甚至折斷，此時稱壓桿的原有直線狀態(tài)的平衡是不穩(wěn)定平衡。壓桿平衡狀態(tài)的三種情況a）壓桿穩(wěn)定平衡狀態(tài)b）壓桿臨界平衡狀態(tài)c）壓桿不穩(wěn)定平衡狀態(tài)168※三、壓桿臨界力理論分析和試驗證明，壓桿臨界力Fcr的大小不僅與壓桿的長度、材料、截面面積有關(guān)，還與壓桿端部的約束情況及截面形狀有關(guān)。當(dāng)材料處于彈性階段時，細(xì)長壓桿的臨界力與其影響因素之間存在如下關(guān)系：式中，E——材料的彈性模量；

I——橫截面慣性矩；

l——壓桿的長度；

μ——與壓桿兩端支承有關(guān)的長度系數(shù)。169式（3-6）由學(xué)者歐拉（Euler）于1744年提出，故稱為壓桿臨界力的歐拉公式。式中，EI稱為壓桿的抗彎剛度，μl稱為壓桿的計算長度。μ的大小與壓桿端部的約束有關(guān)，反映了桿件兩端支承對臨界力的影響。表給出了四種常見桿端支承壓桿的長度系數(shù)和計算長度。170四種常見桿端支承壓桿的長度系數(shù)和計算長度171※四、臨界應(yīng)力壓桿在臨界力的作用下，處于從穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡的臨界狀態(tài)，假定此時壓桿暫時保持直線狀態(tài)，則其橫截面上的平均正壓力稱為臨界應(yīng)力。若用σcr表示臨界應(yīng)力，用A表示壓桿的橫截面面積，則：將式（3-6）代入上式，得：172令i=式中，i——壓桿橫截面的慣性半徑。于是臨界應(yīng)力可寫為：令

，則：173上式為計算壓桿臨界應(yīng)力的歐拉公式，式中λ稱為壓桿的柔度（或稱長細(xì)比）。柔度λ是一個無量綱的量，其大小與壓桿的長度系數(shù)μ、桿長l及慣性半徑i有關(guān)。因為壓桿的長度系數(shù)μ決定于壓桿的支承情況，慣性半徑i決定于截面的形狀與尺寸，所以，柔度λ綜合地反映了壓桿的長度、截面的形狀與尺寸以及支承情況對臨界力的影響。從式（3-7）還可以看出，壓桿的柔度值越大，則其臨界應(yīng)力越小，壓桿就越容易失穩(wěn)。174五、提高壓桿穩(wěn)定性的措施要提高壓桿的穩(wěn)定性，關(guān)鍵在于提高壓桿的臨界力或臨界應(yīng)力，而壓桿的臨界力和臨界應(yīng)力，與壓桿的長度、橫截面形狀及大小、支承條件以及壓桿所用材料等有關(guān)。因此，可以從以下幾個方面考慮。1.?合理選擇材料歐拉公式說明，壓桿的臨界應(yīng)力與材料的彈性模量成正比。所以選擇彈性模量較高的材料就可以提高壓桿的臨界應(yīng)力，也就提高了其穩(wěn)定性。1752.?選擇合理的截面形狀增大截面的慣性矩可以增大截面的慣性半徑，降低壓桿的柔度，從而可以提高壓桿的穩(wěn)定性。在壓桿的橫截面面積相同的條件下，應(yīng)盡可能使材料遠(yuǎn)離截面形心軸，以取得較大的軸慣性矩，從這個角度出發(fā)，空心截面要比實心截面合理，如圖所示。在工程實際中，若壓桿的截面是用兩根槽鋼組成的，則應(yīng)采用如圖所示的布置方式，可以取得較大的慣性矩或慣性半徑。另外，由于壓桿總是在柔度較大（臨界力較?。┑目v向平面內(nèi)首先失穩(wěn)，所以應(yīng)注意盡可能使壓桿在各個縱向平面內(nèi)的柔度都相同，以充分發(fā)揮壓桿的穩(wěn)定承載力。176空心截面和實心截面兩根槽鋼組成的壓桿截面1773.?改善約束條件、減小壓桿長度根據(jù)歐拉公式可知，壓桿的臨界力與其計算長度的平方成反比，而壓桿的計算長度又與其約束條件有關(guān)。因此，改善約束條件，可以減小壓桿的長度系數(shù)和計算長度，從而增大臨界力。在相同條件下，從上表可知，自由支座最不利，鉸支座次之，固定支座最有利。減小壓桿長度的另一方法是在壓桿的中間增加支承，把一根變?yōu)閮筛踔翈赘?。此外，在實際工程中，在可能的情況下可從結(jié)構(gòu)方面采取相應(yīng)的措施。178托架梁的彎曲第四節(jié)179180一、彎曲變形和梁的類型1.?彎曲變形桿件受到與桿件軸線垂直的外力作用時，在這些外力作用下桿件軸線由直線變成曲線，這種變形稱為彎曲變形，如圖所示。凡是以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁。梁181梁是土木工程中應(yīng)用極為廣泛的一種構(gòu)件，它占有特別重要的地位。如圖所示建筑中的樓板梁、圖所示的橋梁、圖所示的吊車梁和圖所示的陽臺挑梁等都屬于梁。樓板梁橋梁182吊車梁陽臺挑梁1832.?梁的類型梁是土木工程中最常見的受彎構(gòu)件之一。軸線是直線的梁稱為直梁。工程中的結(jié)構(gòu)很復(fù)雜，完全根據(jù)實際結(jié)構(gòu)進(jìn)行計算很困難，有時甚至不可能。工程中常將實際結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化，用簡化的圖形來替代實際結(jié)構(gòu)，這種圖形稱為計算簡圖。根據(jù)支座的約束情況，工程中常見的靜定簡單梁有簡支梁、外伸梁和懸臂梁三種形式。184（1）簡支梁一端是固定鉸支座，另一端是可動鉸支座的梁稱為簡支梁，如圖a所示。（2）外伸梁外伸梁的支座同簡支梁，但梁的一端或兩端伸出支座之外，如圖b所示。（3）懸臂梁一端是固定端、另一端是自由端的梁稱為懸臂梁，如圖c所示。185靜定簡單梁的三種形式a）簡支梁b）外伸梁c）懸臂梁186二、梁的內(nèi)力在求出梁的支座反力后，為了計算梁的應(yīng)力，從而對梁進(jìn)行強度計算，需要首先研究梁的內(nèi)力。1.?梁的內(nèi)力——剪力和彎矩研究梁內(nèi)力的方法仍然是截面法。如圖a所示，用“假想截面”將該梁從要求內(nèi)力的位置1-1處切開，使梁分成左、右兩部分，由于梁原來處于平衡狀態(tài)，所以被切開后的左、右兩段梁也處于平衡狀態(tài)?？扇稳∫欢巫鳛檠芯繉ο?。187梁的內(nèi)力a）梁b）1-1截面左側(cè)受力圖

c）1-1截面右側(cè)受力圖1882.?剪力和彎矩的正負(fù)用截面法將梁假想截成兩段后，在截開的截面上，梁的左段和右段的內(nèi)力是作用力與反作用力關(guān)系，如上圖b和上圖c所示，它們總是大小相等、方向相反。但是對任一截面而言，不論研究左段還是右段，截面上的內(nèi)力的正負(fù)號應(yīng)該相同。189（1）剪力的正負(fù)號截面上的剪力FQ使所研究的分離體有順時針方向轉(zhuǎn)動趨勢時規(guī)定為正號，是正剪力，如圖a所示；反之規(guī)定為負(fù)號，是負(fù)剪力，如圖b所示。剪力的正負(fù)a）正剪力b）負(fù)剪力190（2）彎矩的正負(fù)號截面上的彎矩使所研究的分離體產(chǎn)生向下凸變形（下部受拉、上部受壓）時規(guī)定為正號，是正彎矩，如圖a所示；產(chǎn)生向上凸變形（上部受拉、下部受壓）時規(guī)定為負(fù)號，是負(fù)彎矩，如圖b所示。彎矩的正負(fù)a）正彎矩b）負(fù)彎矩1913.?用截面法計算梁指定截面的內(nèi)力計算方法如下：（1）計算支座力。（2）用“假想截面”將梁沿所要求內(nèi)力處的截面截開。（3）取該截面左段或右段為研究對象，并畫出受力圖。（4）利用平面一般力系的平衡方程計算所要求截面處的內(nèi)力。4.?剪力和彎矩計算的規(guī)律從截面法計算剪力和彎矩的過程可知：通過建立坐標(biāo)投影平衡方程和力矩平衡方程分別計算剪力和彎矩，過程煩瑣。在掌握截面法計算內(nèi)力的基礎(chǔ)上，可直接利用外力計算內(nèi)力，其計算規(guī)律如下。192（1）用外力直接求截面上剪力的規(guī)律梁內(nèi)任一截面上的剪力FQ，在數(shù)值上等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）梁段上所有外力在平行于橫截面方向投影的代數(shù)和。用公式可表示為：FQ=∑FL或FQ=∑FR剪力的正負(fù)號：當(dāng)取所求剪力截面左段梁為研究對象求剪力時，所有向上的外力取正號，向下的外力取負(fù)號。當(dāng)取梁右段為研究對象求剪力時，正好相反。即“左上右下剪力為正”。由于力偶在任何坐標(biāo)軸上的投影都等于零，因此作用在梁上的力偶對剪力沒有影響。193（2）用外力直接求截面上彎矩的規(guī)律梁內(nèi)任一截面上的彎矩等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有外力對該截面形心取力矩的代數(shù)和。用公式可表示為：M=∑MC（FL）或M=∑MC（FR）根據(jù)對彎矩正負(fù)號的規(guī)定可知，在左側(cè)梁段上的外力（包括外力偶）對截面形心的力矩為順時針時，在截面上產(chǎn)生正彎矩，為逆時針時在截面上產(chǎn)生負(fù)彎矩。在右側(cè)梁段上的外力（包括外力偶）對截面形心的力矩為逆時針時，在截面上產(chǎn)生正彎矩，為順時針時在截面上產(chǎn)生負(fù)彎矩。即“左順右逆正，反之負(fù)”。194彎矩的正負(fù)號：當(dāng)取所求彎矩截面左段梁為研究對象求彎矩時，所有外力對該截面形心求力矩時順時針方向取正號，逆時針方向取負(fù)號。當(dāng)取梁右段為研究對象求彎矩時，正好相反。即“左順右逆彎矩為正”。195三、梁的內(nèi)力圖——剪力圖與彎矩圖1.?剪力圖和彎矩圖的概念在土木工程中，直觀表明剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況，明確剪力和彎矩的最大值及其所在橫截面的位置，有助于施工人員理解圖紙的設(shè)計意圖，從而采取正確的施工方法。用平行于梁軸的橫坐標(biāo)表示梁橫截面的位置，用垂直于梁軸的縱坐標(biāo)表示相應(yīng)橫截面上的剪力或彎矩，按一定比例繪制出來，這種形象地表示剪力和彎矩沿梁軸線變化情況的圖形，分別稱為剪力圖和彎矩圖，即梁的內(nèi)力圖。196在繪制梁的內(nèi)力圖時，正剪力畫在橫坐標(biāo)軸的上方，負(fù)剪力畫在橫坐標(biāo)軸的下方（畫剪力圖時要求標(biāo)出正負(fù)號），彎矩圖畫在受拉側(cè)（正彎矩畫在橫坐標(biāo)軸的下方，負(fù)彎矩畫在橫坐標(biāo)軸的上方，由于彎矩圖畫在梁的受拉側(cè)，故彎矩圖的正負(fù)號不必標(biāo)出）。將彎矩圖畫在梁軸線受拉側(cè)的目的之一，是便于判別鋼筋混凝土梁中受拉鋼筋的配置位置，即鋼筋混凝土梁中受力鋼筋基本上配置在梁的受拉一側(cè)。1972.?梁內(nèi)力圖的規(guī)律（1）簡支梁在簡單荷載作用下的內(nèi)力圖繪制梁的內(nèi)力圖的基本方法是：先建立剪力方程和彎矩方程，再根據(jù)剪力和彎矩的函數(shù)關(guān)系，采用描點法得到相應(yīng)的剪力圖和彎矩圖。表是應(yīng)用這種方法繪制出的簡支梁在簡單荷載作用下的內(nèi)力圖。198簡支梁在簡單荷載作用下的內(nèi)力圖199（2）直梁在各種荷載作用下內(nèi)力圖的特征直梁在各種荷載作用下內(nèi)力圖的特征見表。直梁在各種荷載作用下內(nèi)力圖的特征200直梁在各種荷載作用下內(nèi)力圖的特征201綜合分析上表的關(guān)系，可以歸納總結(jié)出梁內(nèi)力圖的規(guī)律如下：1）在均布荷載區(qū)段。均布荷載作用方向向下時，剪力圖為下傾斜直線，彎矩圖為向下凸的拋物線。2）無荷載區(qū)段。剪力圖為零線時，彎矩圖為水平直線；剪力圖為水平直線時，彎矩圖為斜直線。3）集中力作用處。剪力圖突變，突變的絕對值等于集中力的大小，突變的方向從左到右畫圖時順著集中力箭頭方向突變；彎矩圖折成尖角，尖角方向與集中力方向相同。4）集中力偶作用處。剪力圖無變化；彎矩圖突變，突變的絕對值等于力偶矩的大小，突變的方向與力偶轉(zhuǎn)向一致。5）剪力為零的截面，彎矩有極值。2023.?梁內(nèi)力圖的繪制梁內(nèi)力圖的繪制方法很多，下面主要介紹用規(guī)律法繪制梁內(nèi)力圖的步驟。（1）求支座反力（懸臂梁可不求）。（2）確定控制截面，將梁進(jìn)行分段。即梁的起、止截面，均布荷載的起、止截面，集中力（包括中間的支座反力）及集中力偶作用截面作為梁的控制截面，相鄰的兩控制截面間為一段。203（3）分析各段梁內(nèi)力圖的大致形狀。由各段梁上的荷載情況，根據(jù)上表確定其對應(yīng)的剪力圖和彎矩圖的形狀。（4）求控制截面的剪力值、彎矩值（剪力圖為水平線時，只需計算一個控制截面剪力值；剪力圖、彎矩圖為斜直線時，只需計算兩個控制截面相應(yīng)內(nèi)力值；彎矩圖為拋物線時，需計算三個控制截面彎矩值，即兩端點和剪力為零點的彎矩值）。（5）連線繪制剪力圖和彎矩圖。（6）檢查校對。204四、梁的正應(yīng)力及其強度條件1.?梁的正應(yīng)力（1）梁橫截面上正應(yīng)力分布為了解正應(yīng)力在橫截面上的分布情況，可先觀察梁的變形，取一彈性較好的矩形截面梁，在其表面畫上一系列與軸線平行的縱向線及與軸線垂直的橫向線，然后在梁的兩端施加一對力偶矩為M的外力偶，使梁發(fā)生純彎曲變形，如圖所示，這時可觀察到下列現(xiàn)象：各橫向線仍為直線，只傾斜了一個角度；各縱向線變成曲線，上部縱向線縮短，下部縱向線伸長。205梁的純彎曲變形206根據(jù)上面所觀察到的現(xiàn)象，推測梁的內(nèi)部變形，可作出如下的假設(shè)和推斷：1）平面假設(shè)。各橫向線代表橫截面，變形前后都是直線，表明橫截面變形后仍保持平面，且仍垂直于彎曲后的梁軸線。2）單向受力假設(shè)。將梁看成由無數(shù)縱向纖維組成，各縱向纖維只受到軸向拉伸或壓縮，不存在相互擠壓。207從上部各層纖維縮短到下部各層纖維伸長的連續(xù)變化中，必有一層纖維既不縮短也不伸長，這層纖維稱為中性層，中性層與橫截面的交線稱為中性軸，如上圖c所示。中性軸將梁橫截面分為受壓和受拉兩個區(qū)域。由兩個假設(shè)可知，正應(yīng)力沿截面高度也是線性分布的，離中性軸距離相同的纖維變形相同，應(yīng)力也相同。正應(yīng)力的分布規(guī)律是中性軸處正應(yīng)力為零，上、下邊緣處正應(yīng)力最大，如圖所示。208梁橫截面上的正應(yīng)力分布209（2）梁的最大正應(yīng)力計算梁橫截面上最大正應(yīng)力發(fā)生在梁橫截面上、下邊緣處，與彎矩成正比，與抗彎截面系數(shù)Wz成反比。梁內(nèi)最大彎矩Mmax所在的截面稱為危險截面，該截面距中性軸上、下最遠(yuǎn)邊緣處有最大的拉應(yīng)力和最大的拉壓力，最大的拉應(yīng)力和拉壓力所在的點稱為危險點。梁的最大應(yīng)力計算公式為：式中，Wz為抗彎截面系數(shù)，它是衡量截面抗彎能力的一個幾何量。210不同截面的抗彎截面系數(shù)a）矩形截面b）圓形截面c）空心圓截面2112.?梁的正應(yīng)力強度條件（1）正應(yīng)力強度條件為保證梁的安全工作，梁內(nèi)的最大正應(yīng)力不得超過材料的許用應(yīng)力，這就是梁的強度條件。材料的抗拉、抗壓能力相同時，正應(yīng)力強度條件可表達(dá)為：212當(dāng)材料的抗拉與抗壓能力不同時，常將梁的截面做成上、下與中性軸不對稱的截面。例如鑄鐵梁抗壓強度高、抗拉強度低，常做成倒T形截面，如圖a所示，受拉區(qū)的面積較大以彌補材料的抗拉強度不足，受壓區(qū)面積較小以充分發(fā)揮材料的抗壓強度，其正應(yīng)力分布規(guī)律如圖b所示，應(yīng)同時滿足抗拉和抗壓強度條件的要求。倒T形梁的正應(yīng)力分布規(guī)律a）倒T形梁b）正應(yīng)力分布規(guī)律213（2）正應(yīng)力強度條件的應(yīng)用根據(jù)正應(yīng)力強度條件可解決工程中有關(guān)強度方面的三類問題。1）校核強度。已知梁的橫截面形狀和尺寸、材料及所受荷載，校核梁是否滿足正應(yīng)力強度條件。2）設(shè)計截面。已知梁的荷載和所用材料，可根據(jù)強度條件，先計算出所需的最小抗彎截面系數(shù)，然后根據(jù)梁的截面形狀，由Wz值確定截面的具體尺寸。2143）確定許用荷載。已知梁的材料、橫截面形狀和尺寸，根據(jù)強度條件先算出梁所能承受的最大彎矩，即：Mmax≤Wz×［σ］然后由Mmax與荷載的關(guān)系，算出梁所能承受的最大荷載。2153.?提高梁抗彎強度的措施在梁的彎曲中，控制梁強度的主要因素是梁的最大正應(yīng)力，梁的正應(yīng)力強度條件

為設(shè)計梁的主要依據(jù)，由這個條件可看出，對于一定長度的梁，在承受一定荷載的情況下，應(yīng)設(shè)法適當(dāng)?shù)匕才帕核艿牧?，使梁最大的彎矩絕對值降低，同時選用合理的截面形狀和尺寸，使抗彎截面模量W值增大，以使設(shè)計出的梁滿足節(jié)約材料和安全適用的要求。216（1）合理布置梁的受力情況在工程實際容許的情況下，提高梁強度的重要措施是合理安排梁的支座和加荷方式。簡支梁和外伸梁的彎矩圖a）簡支梁及彎矩圖b）外伸梁及彎矩圖217（2）選用合理的截面形狀從彎曲強度考慮，比較合理的截面形狀是使用較小的截面面積卻能獲得較大抗彎截面系數(shù)的截面。截面形狀和放置位置不同，Wz/A比值不同，因此，可用比值Wz/A來衡量截面的合理性和經(jīng)濟性，比值越大，所采用的截面就越經(jīng)濟合理。218簡