2024年高考數(shù)學重難點突破第7講 隱零點

第7講隱零點利用導數(shù)解決函數(shù)綜合性問題最終都會歸于函數(shù)單調性的判斷,而函數(shù)的單調性與其導函數(shù)的零點有著緊密的聯(lián)系,導函數(shù)零點的判斷、數(shù)值上的精確求解或估計,是導數(shù)綜合應用中最核心的問題.導函數(shù)的零點,根據(jù)其數(shù)值計算的差異可分為以下兩類:(1)數(shù)值上能夠精確求解的,稱為顯零點.(2)能夠判斷其存在但是無法直接表示的,稱為隱零點.對于隱零點問題,由于涉及靈活的代數(shù)變形技巧、抽象縝密的邏輯判斷和巧妙的不等式應用,對學生的綜合能力要求比較高,往往是考查的難點.我們一般可對隱零點“設而不求”,通過一種整體的代換來過渡,再結合其他條件,從而最終解決問題,一般操作步驟如下:第一步:用零點存在性定理判定導函數(shù)零點的存在性,列出一階導函數(shù)零點方程,并結合的單調性,通過取特殊值逼近的方式得到零點的范圍.第二步:以一階導函數(shù)零點為分界點,說明導函數(shù)在左、右兩邊的正、負號,進而得到的極值表達式.第三步:將零點方程適當變形,整體代人極值式子進行化簡證明.有時候第一步中的零點范圍還可以適當縮小.導函數(shù)零點雖然隱形,但只要抓住特征(零點方程),判斷其范圍(用零點存在性定理),最后整體代人即可.請注意,進行代數(shù)式的替換過程中,盡可能將指數(shù)、對數(shù)函數(shù)式用冪函數(shù)替換,這是簡化函數(shù)的關鍵.無參隱零點問題隱零點證明無參不等式恒成立問題:已知無參函數(shù),導函數(shù)方程的根存在,卻無法精確求出,其一般解題步驟為:第一步:求導,判定一階導函數(shù)的單調性,并設方程的根為.第二步:寫出零點等式成立.第三步:取點找出注意確定的合適范圍。第四步:把零點等式變形反帶回,進行簡化,從而求解.【例1】已知函數(shù).證明:.【解析】證明：設為增函數(shù),可設..當時,.當時,..又..,.【例2】已知函數(shù),求證:.【解析】證明：在區(qū)間,上單調遞增,又,在上有唯一實根,且.當時,.當時,.從而當時,取得最小值.由,得,.【例3】已知函數(shù).證明:存在唯一的極大值點,且.【解析】證明：.設,則.當時,.當時,.在單調遞減,在單調遞增.又在零點只有，在零點只有1,且當時,.當時,.當時,.,是在上的唯一極大值點.由得..由得.是在的最大值點,由得..含參隱零點問題含參函數(shù)的隱零點問題:已知含參函數(shù),其中為參數(shù),導函數(shù)方程0的根存在,卻無法求出,其解題步驟為:第一步:設方程的根為.第二步:寫出零點等式成立時,含的關系式.第三步:取點找出的合適范圍,該范圍往往和有關.第四步:反帶回進行求解,通?？梢韵麉?【例1】設函數(shù).(1)討論的導函數(shù)零點的個數(shù).(2)證明:當時.【解析】(1)的定義域為①當時,沒有零點.②當時,單調遞增,單調遞增.在單調遞增.又,當滿足且時,,故當時,存在唯一零點.(2)(證明)由(1)題,可設在的唯一零點為,當時,.當時,.故在單調遞減,在單調遞增,當時,取得最小值,最小值為.由于,.故當時,.【例2】已知函數(shù).當時,證明:.【解析】證明：函數(shù)的定義域為,則.設.,在上單調遞增.又在上有唯一實根.當時,.當時,,從而當時,取得最小值為.由方程的根為,得故,當且僅當時,取等號.又時,.取等號的條件是,及同時成立,這是不可能的,,故.【例3】已知函數(shù).(1)求的單調區(qū)間.(2)證明:當時,方程在區(qū)間上只有一個零點.(3)設,其中,若恒成立,求的取值范圍.【解析】(1),,令得.令得.故的單調減區(qū)間為,單調增區(qū)間為.(2)證(明)設,,則.由(1)題可知在上單調遞增,又,在上只有一個零點.故當,方程在區(qū)間上只有一個零點.(3)由題意得,.令,則.由(2)題得,在區(qū)間上單調遞增且只有一個零點.不妨設的零點為,則當時,,即0,此時單調遞減.當時,,即0,此時單調遞增,函數(shù)的最小值為,且.由得,故.根據(jù)題意,即,解得.故實數(shù)的取值范圍是.隱零點求最值利用隱零點求最值的步驟:第一步:求出一階導函數(shù),并判定其單調性(也可利用二階導函數(shù)來判定).第二步:利用零點存在定理判定存在零點,寫出零點方程,并確定零點取值范圍.第三步:通常極值就是最值,寫出最值表達式.第四步:零點等式變形代人最值表達式,這里常用到一個指對互化的變形方式:【例1】求函數(shù)的最大值.【解析】由已知得令,則函數(shù)在上單調遞增.,存在,使得,其中(指對互化).當時,.當時,.在上單調遞增,在上單調遞減.【例2】求0時的最小值.【解析】.令.上單調遞增.，存在唯一的使得當.故在上單調遞減,在上單調遞增.,由于得,再對兩邊取對數(shù)得..【例3】求的最大值.【解析】令，單調遞減又由零點存在性定理知,存在唯一零點兩邊取對數(shù)可得,即.由函數(shù)為單調增函數(shù)可得當時，.在上單調遞增,在上單調遞減..隱零點求參數(shù)取值范——參變分離參變分離法求解含參不等式恒成立,求參數(shù)取值范圍問題,就是按參變分離的基本步驟.不同的只是分離參數(shù)之后求最值時,無法精確地求出極值,只能用隱零點的方式求出一個范圍,所以所求最值也只是一個范圍.這一類題目,會有一個明顯的特征,就是所求參數(shù)通常為正整數(shù),只有這樣,參數(shù)才能取到一個確定的值?！纠?】已知函數(shù),若對任意的恒成立,求正整數(shù)的最大值.【解析】..單調遞增，。....為3.【例2】已知函數(shù),,若,且不等式在上恒成立,求的最小值.【解析】不等式為在上恒成立,不等式在上恒成立.成立.設,則.當時,.設,在上是增函數(shù),,存在,使得.當時,.當時,.在上單調遞增,在上單調遞減.,則 的最小值為2.【例3】知函數(shù)，若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【解析】由可得分離可得.令..,設.則.在上單調遞增.存在唯一的,使得當時,,即.當時,,即.故在上單調遞減,在上單調遞增.,由于,得.再對兩邊取對數(shù)得...即實數(shù)的取值范圍.隱零點縮小參數(shù)取值范圍——分類討論分類討論法求解含參不等式恒成立,求參數(shù)取值范圍問題,也是按前面的分類討論的基本步驟.不同的是,在驗證某一類參數(shù)范圍是否滿足條件時,要利用隱零點來輔助驗證,從而排除并縮小范圍.【例1】若不等式在上恒成立,求的取值范圍.【解析】由題意,在上恒成立.(1)若,當時,顯然有恒成立,不符題意.(2)若,記,則，顯然在單調遞增.(1)當時,.時,.(2)當時,,.存在,使.當時,.當時,.在上單調遞減,在上單調遞增.當時,,不符合題意.綜上所述,所求的取值范圍是.注意:本題可用后面章節(jié)的端點效應快速【解析】決.【例2】設函數(shù)),對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【解析】令,則成立等價于,①若,當,則,而,即恒成立.②若,則,當,由得是減函數(shù),.又在上是減函數(shù),此時當.③若,在有零點.在區(qū)間,設,在上是減函數(shù),即在有唯一零點,且在上,.在為增函數(shù),即在上.,不合題意.綜上可得,符合題意的的取值范圍是.注意:本題可用后面章節(jié)的端點效應快速解決.【例3】已知1),,若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【解析】令問題轉化為在上恒成立.,注意到.①當時,,,,.存在,使.當時,單調遞減,,不滿足題意.②當時,.,在上單調遞增.,滿足題意.綜上所述,.【例4】已知函數(shù),若對任意恒有不等式成立,求實數(shù)的值.【解析】由