2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破第5講 零點(diǎn)存在的判定與證明（原卷版）

第5講零點(diǎn)存在的判定與證明零點(diǎn)問(wèn)題是導(dǎo)函數(shù)的一個(gè)重要研究方向,也是一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn),屬于一元等式問(wèn)題,其求解需要綜合前面的極值、單調(diào)性和最值來(lái)考慮.而極值點(diǎn)本身又是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),所以這里會(huì)層層環(huán)繞,分析起來(lái)比較麻煩,這是零點(diǎn)問(wèn)題的一個(gè)難點(diǎn).第二個(gè)難點(diǎn)是結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理來(lái)賦值找零點(diǎn),這里會(huì)涉及不等式放縮法,如果不太理解賦值問(wèn)題,等學(xué)習(xí)了不等式放縮法后,專門講解賦值問(wèn)題,那時(shí)再回過(guò)頭來(lái)理解.下面我們先來(lái)學(xué)習(xí)與零點(diǎn)相關(guān)的定義和定理.1.函數(shù)的零點(diǎn):一般的,對(duì)于函數(shù),我們把方程的實(shí)數(shù)根叫作函數(shù)的零點(diǎn).2.零點(diǎn)存在性定理:如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,并有,那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn),即,使得.注意:零點(diǎn)存在性定理使用的前提是在區(qū)間連續(xù),如果是分段的,那么零點(diǎn)不一定存在.3.零點(diǎn)存在定理的推論:若在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)且連續(xù),則在的零點(diǎn)唯一.4.函數(shù)的零點(diǎn),方程的根,兩圖像交點(diǎn)之間的聯(lián)系.設(shè)函數(shù)為,則的零點(diǎn)即為滿足方程的根,若,則方程可轉(zhuǎn)變?yōu)?即方程的根在坐標(biāo)系中為交點(diǎn)的橫坐標(biāo),其范圍和個(gè)數(shù)可從圖像中得到.由此看來(lái),函數(shù)的零點(diǎn),方程的根,兩圖像的交點(diǎn)這三者各有特點(diǎn),且能相互轉(zhuǎn)化:函數(shù)的零點(diǎn)方程的根方程的根函數(shù)與的交點(diǎn).在解決有關(guān)根的問(wèn)題以及已知根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍這些問(wèn)題時(shí)要用到這三者的靈活轉(zhuǎn)化.【例】對(duì)于方程,無(wú)法直接求出根,可以拆分構(gòu)造函數(shù)圖像的交點(diǎn),畫(huà)出圖像可判定其零點(diǎn)必在中.求無(wú)參函數(shù)零點(diǎn)求解無(wú)參函數(shù)零點(diǎn)的一般解題步驟:第一步:利用導(dǎo)函數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn),畫(huà)出函數(shù)大概的趨勢(shì)圖(能夠描述函數(shù)性質(zhì)的圖像).第二步:在嚴(yán)格的單調(diào)區(qū)間上找點(diǎn),使得在上存在唯一零點(diǎn).注意:若在區(qū)間,,存在唯一極大值,且極大值小于零或者存在唯一極小值,且極小值大于零,則這個(gè)區(qū)間上不存在零點(diǎn).【例1】已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間.(2)判斷的零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.【例2】已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.討論含參函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)——分類討論討論含參函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)的一般解題步驟:第一步:利用導(dǎo)函數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn),通常極值點(diǎn)用參數(shù)表示:.第二步:討論出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,通常分為極值點(diǎn)在區(qū)間的左、中、右三種情況討論.第三步:結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和極值和零點(diǎn)存在定理的推論來(lái)確定零點(diǎn)個(gè)數(shù),我們通常分為情況討論:(1)函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào),若滿足在上存在唯一零點(diǎn).若不滿足在上不存在零點(diǎn).(2)若在區(qū)間上,存在唯一極大值,則分為下面三種情況:①極大值在上不存在零點(diǎn).②極大值在上存在唯一零點(diǎn).③極大值若,,則在上存在兩個(gè)零點(diǎn).若,則在上存在一個(gè)零點(diǎn).若,則在上無(wú)零點(diǎn).【例1】已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),討論在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【例2】已知函數(shù),其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),,討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.求含參函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)——參變分離【例1】已知函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).由零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍——分類討論這里分類討論的步驟和前面討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)的步驟類似,不再?gòu)?fù)述,不同的是需要選取符合題設(shè)零點(diǎn)個(gè)數(shù)要求的參數(shù)范圍,以及會(huì)用不等式放縮來(lái)賦值找零點(diǎn)(在后面的章節(jié)中會(huì)有詳細(xì)講解),我們也可以通過(guò)取極限的方式來(lái)粗糙地確定零點(diǎn),在考試時(shí),這也是一種較快的解題方式,一般來(lái)說(shuō),判卷不嚴(yán)格也算對(duì),但也可能會(huì)扣分.【例1】已知函數(shù)R).(1)討論的單調(diào)性.(2)若有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.【例2】已知函數(shù),(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),且).（1）討論的單調(diào)性.（2）若有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍。【例3】已知函數(shù),若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.由零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍——參變分離參變分離法解已知含參函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù),反求參數(shù)取值范圍問(wèn)題的一般步驟:第一步:的零點(diǎn)方程的解,參變分離后得.第二步:利用導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的函數(shù)圖像.第三步:討論常值函數(shù)和函數(shù)圖像在區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)