高二數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性講義 第26講圓錐曲線中定值問題

第26講圓錐曲線中定值問題

【題型目錄】

題型一：圓錐曲線中線段長為定值問題

題型二：圓錐曲線中三角形四邊形面積定值問題

題型三：圓錐曲線中有關(guān)斜率定值問題

題型四：圓錐曲線中有關(guān)向量定值問題

題型五：圓錐曲線中角為定值問題

【典型例題】

題型一：圓錐曲線中線段長為定值問題

【例1】(2022?全國?高二課時(shí)練習(xí))已知橢圓［+《=1.

11

(1)若過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)引兩條互相垂直的弦AB、MN.求證：洞+麗是定值;

1I

(2)若尸、。在橢圓上且OPLOQ.求證：研+而T是定值.

【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析

【分析】(1)對(duì)兩條弦所在直線的斜率是否同時(shí)存在進(jìn)行分類討論，設(shè)出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立，

結(jié)合弦長公式計(jì)算可證得結(jié)論成立；

(2)對(duì)直線0尸、。。的斜率是否同時(shí)存在進(jìn)行分類討論，設(shè)出直線OP的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用兩

點(diǎn)間的距離公式計(jì)算可證得結(jié)論成立.

(1)證明：不妨弦A8、MN過橢圓的左焦點(diǎn)，其中α=3,?=2√2.c?=√7≡P^=l

當(dāng)AB、MN中有一條為長軸時(shí)，另一條為過焦點(diǎn)且平行于短軸的弦,

X=-IX=-I

聯(lián)立爐2可得.8，故該過焦點(diǎn)且平行于短軸的弦長為乎,

—+—=1y=±§3

198

1I1317

yιι∣?j—7+?j—7=—I—=—.

人JlAM?MN?61648,

當(dāng)gW中沒有一條為長軸時(shí)，設(shè)α一,%=T

γ=?(x+l)

聯(lián)立直線AB與橢圓方程得Iχ22

=>W+8)X2+18?2Λ?+%2-72=0,

——+—=I

98

Δ二324〃—4(9公+8)(9?2-72)=482(?2+l)>0,

I8jt29?2-72

由韋達(dá)定理可得%+電=------------，X,X=------z-----

9^+82-9?2+8

2222

1J(l8?)-4(9?+8)(9fc-72)48儼+1)

根據(jù)弦k公式A8∣=Ji+女2J(χ∣+wJ-4為々=Jl+k2-

9r+89?2+8

用替換上式中的女即得IMNI=f?48(J12+1)

髀9+8A?

11%2+88?2+917

因此網(wǎng)卡?MN?-48(?2+l)+48(?2+l)

48,

11_17

綜上'∣ABj+∣W∣-48"

（2）證明：分以下兩種情況討論:

當(dāng)Jl線OP的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線OP的斜率為機(jī)（機(jī)#0）,

y=IWC

2

272πι.272病π,1,,2,,72(l+w)

聯(lián)立/2InX=32'則y=,、，。，則QP-=X2+2=_\__μ

—+工=18+9〃？9∕n^+811-8+9"

98

41+Λ

72(m2+l)

用-布替換上式中的也即得|002=Im

▼8W2+9

m

9加2÷8Sin2+917

囚此葉+?0Qf~72(/+1)+72(/Ti2+1)

72,

當(dāng)0P、。。中有一條斜率不存在時(shí)?，另一條斜率為0,

1111171117

此時(shí)研+鬲=5+丁五，因此的+鬲=濟(jì)

1117

綜上所述，所+鬲=方

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：

（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；

（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

【例2】（2022?湖南?寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線G:丁=4》的焦點(diǎn)與橢圓E：

22

5→3=ig>b>0)的右焦點(diǎn)F重合，橢圓E的長軸長為4.

(1)求橢圓E的方程;

(2)過點(diǎn)F且斜率為欠的直線/交橢圓E于AB兩點(diǎn)，交拋物線G于M,N兩點(diǎn)，請(qǐng)問是否存在實(shí)常數(shù)f,使

2t

畫+網(wǎng)為定值？若存在，求出/的值；若不存在，說明理由.

丫2V22

【答案】(1):+《=1，⑵存在，，=一§

【分析】(1)由題意可得c=l,α=2,即可得從=3,即可求得橢圓方程；

(2)設(shè)直線/的方程為y=衣(*-1),與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可求得MBI=IlFu1；再將直線

4征+12t(8+3r)?2+6

方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可求得IMNI=三U，然后計(jì)算得畫+網(wǎng)=12(j+1)，即

可求得答案.

(1)解：因?yàn)閽佄锞€G:/=4x的焦點(diǎn)為(1,0),所以c=l,乂4=2,則序=/—'2=3,

2^)

故橢圓E的方程為：—+??l;

43

(2)解：設(shè)Aa,—)、B(J?,%)'加(電，，3)、N(X4，yJ，

X2y2

—+—=1

設(shè)直線/的方程為yA(X-I),與橢圓E的方程聯(lián)立?43

j=?(x-l)

得(3+4公卜2-Sk2x+4k2-n=0,

.?8』45-12

??…=許

22-12(Λ2+I)

Λ?AB?=Λ∕1÷????(?,+?)4X1X2=

3+4公

y2_4工

設(shè)直線/的方程y=乂…),與拋物線G的方程聯(lián)立;.(1)

得人2-(2d+4卜+公=0,

,

?.X3+X4=-P—,WX4=?

...4(?2+l)

V

???MN?=X+X+2=：

34K

._2_t3+4/tk2(8+3r)Λ2+6

,'∣AB∣+∣Λ7∕V∣-6(?2+l)+4(?2+l)-12(?2+1)，

2?2

要使畫+畫為常數(shù)，則8+3f=6,解得f=-],

221

故存在…鼠使得南+畫為定值Fl

【例3】(2022?江蘇?南京市中華中學(xué)高三階段練習(xí))已知點(diǎn)B是圓C:(X-I)2+V=16上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)F

(-1,0),線段BF的垂直平分線交BC于點(diǎn)P.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

(2)設(shè)曲線E與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為4,A2,Q為直線廣4上的動(dòng)點(diǎn)，且0不在X軸上，QA/與E的另一

個(gè)交點(diǎn)為M，與E的另一個(gè)交點(diǎn)為N,證明：△FMN的周長為定值.

【答案】(1).+亡=1，⑵證明見解析

43

【分析】(1)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可知尸尸+PC為定值，可知?jiǎng)狱c(diǎn)軌跡為橢圓；

(2)分別設(shè)出。、M、N的坐標(biāo)，聯(lián)立方程，解出M、N的坐標(biāo)，并求出直線MN的方程，利用其經(jīng)過右

焦點(diǎn)，即可證得周長為定值.

(I)因?yàn)辄c(diǎn)P在8尸垂直平分線上，所以有PF=PB,所以：PF+PC=PB+PC=BC=r=4,即/乎+PC

為定值4>2,所以軌跡E為橢圓，且o=2,C=I,所以從=3,

所以軌跡E的方程為：—+??=1.

43

(2)由題知：4(一2,0)，4(2,0),設(shè)。(4,/),M(xl,yl),N(X2,y2)

則樂A=：,?≈p所以QV方程為：y.(x+2),04方程為：y=gx-2),

’54-2/18f

聯(lián)立方程:可以得出M-.

、27+產(chǎn)’27+1

(2t2-6-61]

同理可以計(jì)算出點(diǎn)N坐標(biāo):

—6力

當(dāng)右W存在，即產(chǎn)≠9,即fx±3時(shí)，kMN=

所以直線的方程為=-息(2/_6)

MNX

I---3--+--廠Z-J

6t6t6t

即：y---Z——X+-Z——=_-Z——(X-1),所以直線過定點(diǎn)(1,0),

產(chǎn)一9產(chǎn)一9/一9

即過橢圓的右焦點(diǎn)K，所以△FMN的周長為4“=8.

當(dāng)不存在，即?=9,即r=±3時(shí),

可以計(jì)算出占=々=1，周長也等于8.

所以△FMN的周長為定值8.

)2

【例4】(2022?北京?高三開學(xué)考試)已知橢圓C:，+方=l(α>6>0)的長軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為

A(-2,0),8(2,0)離心率為日.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵M為橢圓C上除A,B外任意一點(diǎn)，直線AM交直線x=4于點(diǎn)N,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)。且與直線BN

垂直的直線記為/,直線BM交了軸于點(diǎn)尸，交直線/7點(diǎn)。，求證：留I為定值.

【答案】⑴9+V=ι,⑵證明見解析.

【分析】(1)由頂點(diǎn)坐標(biāo)求得。，由離心率求得c,再求出b得橢圓方程;

(2)設(shè)MU,,χ),寫出直線AM方程求得N點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線BN的斜率，得直線/斜率及方程，再求得直

BPIX-XJ

線BM的方程可得其與y軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出兩直線交點(diǎn)。坐標(biāo)，由I掠I=zQ)j可得結(jié)論.

(1)由已知α=2,又e=￡=￡=立，C=百，所以b=√7≡∕=l,橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為《+V=1；

a224

丫2

(2)設(shè)M(%,y),γ∣≠0,則才+弁=1,龍；+4y；=4,

直線村的方程為y=∕?(χ+2),令』得>=梟，即NA.),

e?I.xl+2X1+2

_%+2_3義，I_LBNK=-六—，直線/的方程是丁=一”-乙

β7v

^4-2~xl+2%'

直線BM的方程為廣力（X-2）,令X=O得Y=-念,即9，一出），

X=-6

Fll-因?yàn)閄；+4）,；=4,故解得“，_2（x∣+2）,即QF

y

網(wǎng)..IM1

所以身=

?-?∣-6-0∣31

22

【例5】（2022?湖南師大附中高三階段練習(xí)）設(shè)不用分別是圓C:三+4=l（α>b>0）的左、右焦點(diǎn)，M是C

ah~

上一點(diǎn)，歷鳥與XME與C的另一個(gè)交點(diǎn)為M且直線MN的斜率為正

4

⑴求橢圓C的離心率.

（2）設(shè)。（0,1）是橢圓C的上頂點(diǎn)，過。任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于兩點(diǎn)，過點(diǎn)。作線段

AB的垂線，垂足為。，判斷在），軸上是否存在定點(diǎn)凡使得IRQl的長度為定值？并證明你的結(jié)論.

【答案】（1）也，（2）存在，證明見解析

【分析】（1）由題意，表示點(diǎn)”的坐標(biāo)，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，可得出。力,c的等量關(guān)系，再根據(jù)"C

的性質(zhì)，可得齊次方程，即可得答案；

（2）根據(jù)橢圓上頂點(diǎn)的性質(zhì)，可得b的值，進(jìn)而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)出直線AB的方程，并聯(lián)立且消

元整理一元：次方程，寫韋達(dá)定理，根據(jù)垂直，解得截距的值，得到直線過定點(diǎn)，根據(jù)圓的性質(zhì)，直徑所

對(duì)的圓周角為直角，半徑為定值，可得圓心便是答案.

（1）由題意知，點(diǎn)M在第?象限”是C上點(diǎn)且M5與X軸垂直，

?2b2

.?.M的橫坐標(biāo)為c.當(dāng)X=C時(shí),y=-,[??]Mc,—.

b2

又直線MN的斜率為它,

所以?2^√2,

tan∕M"g=a,

42c~2ac~4

即b2=^-ac=a2-C2,即c2-?-^-ac-a2=0,

22

則解得e=或e=—JΣ（舍去），K∣Je=.

222

（2）已知。（0,1）是橢圓的上頂點(diǎn)，貝IJb=1,-=^,a2=b2+c2,.-.a=^2,橢圓的方程為片+丁=1,

a22

易得直線AB的斜率必然存在，設(shè)直線A3的方程為丁="+〃必（%,乂）,3（孫必），

y=kx+m

由可得(1+2公)/+4^^+2(機(jī)2-1)=0(*),

x2+2y2=2

_-Aktn_2(獷-1)

所以玉+x

2一1+2公R2-『a公

又βA=(?η,y∣-1),?O3=(Λ2,%T)，

DA?DB=xlx2+(y∣-1)(%—I)=XlX2+(煙+加一1)(依2+加?1)

*12*42

=(k+l)x1x2+?(∕w-l)(x1+Λ2)+(W-1)

??%(…尚+(，*-1)2,

2(w2-l)(?2+l)-4?2(m2-w)+(l+2?2)(∕n-l)2

-1+2公一

化簡(jiǎn)整理仃3m2-2m-i=0，得"?=或，〃=1.

當(dāng)〃?=1時(shí)，直線AB經(jīng)過點(diǎn)￡),不滿足題意；

當(dāng)，〃=時(shí)滿足方程(*)中△>0，故直線AB經(jīng)過N軸上定點(diǎn)G[0,-

又。為過點(diǎn)O作線段AB的垂線的垂足，故。在以QG為直徑的圓上，取QG的中點(diǎn)為R(O,；)則眼。|為

17

定值，且IRa=5∣oGl=I

【例6】(2022?貴州?黔西南州金成實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期末(理))已知橢圓C:￡+營=1(〃>6>0)的離心率為岑,

A、B分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，OAB的面積為1.

(1)求橢圓C的方程；

⑵設(shè)P的橢圓C上一點(diǎn)，直線R4與y軸交于點(diǎn)M,直線M與X軸交于點(diǎn)N.求證：∣4V∣?忸M為定值.

【答案】⑴工+V=I,(2)見解析

4

【分析】(1)由給定條件建立mb的方程組，再求解即得；

(2)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出直線AaBP方程,進(jìn)而求得點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，再計(jì)算IANI?忸即可得解.

(1)依題意e?=~^-=1--^7=-=>α=2?,

a2a2a24

又SOAB=gab=Inab=2,解得α=2,8=1,

所以橢圓C的方程為二+V=L

(2)設(shè)點(diǎn)P(??,%),而A(2,0),B(0,l),且x0<2,%<l,xj+4yj=4,

當(dāng)XoHO時(shí)，直線AR丫=93(”一2),點(diǎn)M(0,守-),

Xo-ZZ-XO

∣BW∣=∣ι-yw∣=H+?∣,

直線8P：V-I=&ZL,點(diǎn)N(?j^J,0),

?1-%

∣∕W∣=∣2-xJ=∣2+-^-∣,

Jo-I

?AN???BM∣=∣l+^-∣?∣2+-?-|

X「2%-1

_￡+4)片+Uy。-4Λ0-8y°+4∣_,x。%-4x0-8%+8=4

2+2

??-?-%II??-?-2y0+2

當(dāng)Xo=O時(shí)，y0=-?,?BM?=2,∣A7V∣≈2,所以∣4V∣?∣8M∣=4

所以IATVHBM是定值.

【例7】(2022.江蘇.高二專題練習(xí))已知耳，用為橢圓C：J+∕=l(a>b>O)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)6(1,0)

且垂直于X軸的直線被C截得的弦長為3,過點(diǎn)［的直線交C于A,B兩點(diǎn).

(1)求C的方程；

(2)若直線AB的斜率不為0,過A,8作直線X=T的垂線，垂足分別是E,F,設(shè)EB與AF交于點(diǎn)G,直

GD

線X=T與X軸交于點(diǎn)。，求證：行為定值.

GF?

【答案】⑴江+片=1,(2)證明見解析

43

隹=3

【分析】(1)由題意可得a,解方程即可求出",b,c,即可得出C的方程；

C=I

(2)當(dāng)直線A8的斜率不存在時(shí)，滿足題意，當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k(x+l),

設(shè)A(AyJ,S(?,y2),聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得為+毛,馬，表示出E3,4F的方程,

兩式相減可求出G的橫坐標(biāo)為-|,所以G為。耳垂直平分線上一點(diǎn)，即可求出答案.

(1)解：因?yàn)檫^尸2且垂直于X軸的直線被C截得的弦長為3,所以竺=3,①

因?yàn)镃的右焦點(diǎn)為g(l,0),所以c=l,②聯(lián)立①②可得α=2,fe=√3,

所以C的方程為=+￡=1.

43

(2)證明：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，易知D(-4,0),6(TO),

所以IG扁DI二L

當(dāng)直線ΛB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=M%+l),

22

聯(lián)立y=Z(χ+l)與二+上=1,

43

得(3+4后2b2+8心+442-12=0,

設(shè)Aa，yj，B(X2,%)，

-Rt24/2-12

則x∣+x,=-^v,X1X2=,,A>O恒成立,

'-3+4/"23+4M

由題可知E(Yy),F(T,%),

則EB的方程為y-y=a+4),①

"的方程為y-%="子(χ+4),②

X1+4

②■■①得M_y?二J_5(X+4)—乃-B(X+4),

X1+4X2+4

因?yàn)閥-%≠o,所以1==75+4)+二7*+4)

?l十4X?2十4

11%+“2+8

------+--------(-%+4)=(x+4),

(X+4)(X+4)

(x∣+4x2+4JI2

(%+4乂%+4)

所以x+4=

xλ+x2+8

xlx2+4(x1+X2)÷16

+16

3+4〃3+4M

-Sk2

+8

3+4Λ2

4?2-12+4?(-8?2)+16(3+4?2)

-8二+8(3+4有

36+36?23

^24+24?2-2'

所以X=-?∣,所以G的橫坐標(biāo)為

又JD(TO),M(TO),所以G為。K垂直平分線上一點(diǎn)，所以k=L

綜上，—τ∑r=l.

GF?

【題型專練】

1.(2021?山東?高三開學(xué)考試)在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，己知點(diǎn)耳(-#,0),∕?(√6,0),動(dòng)點(diǎn)M滿足

?MF]+?MF2?=4y∕3,記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程；

⑵圓V+y2=4的切線與C相交于A,8兩點(diǎn)，尸為切點(diǎn)，求∣∕?∣?∣PB∣的值.

【答案】(1)二+爐=1，(2)?PA?-?PB?=4

126

【分析】(1)結(jié)合橢圓的定義求得α,"c,由此求得C的方程.

(2)當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，求得IM,∣PB∣,從而求得I期.|尸網(wǎng)；當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)出直線AB的

方程，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系列方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系，求得

OAOB=Q，由此判斷出NAO3=90。，結(jié)合相似三角形求得IPAHP用

(1)因?yàn)閃*∣+∣M周=4石>2卡=山瑪所以點(diǎn)M的軌跡曲線C是以耳，B為焦點(diǎn)的橢圓.

?-γ~

設(shè)其方程為A+2=l(α>6>0),

aZr

則2。=4石，/—從=6,解得。=26，b=?∣6?

所以曲線C的方程為二+￡=1.

126

(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，尸(土2,0),此時(shí)IPARPBI=2,則IPAIlpB∣=4.

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為N=辰+，〃,

由直線AB與圓f+V=4相切可得提ψ=2,化簡(jiǎn)得加=4①+1).

y=kx+nι,

22

聯(lián)立xy得（2/+1）寸+4Amr+2/-12=0，Δ>0.

.112+-6^^，

設(shè)A（Xl，x）,B（x2,y2）.

-4hn2∕n*2-l2

則

N+x2=中2

2k2+?2?2÷1

所以QA?QB=xlx2+y%

=(k2+ljx1x2+?m(xl+Jt2)+“,

22

(?+l)(2∕n-12)4k2m2

+m~

2?2+l2?2+l

3∕M2-I2(?2+1)

2Z:2+1

12(Λ2+1)-12(?2+1)

2?2+l

所以NAoB=90。，所以＜AO8為直角三角形.

由OP_LAB,可得△AOPs2?08P,

IPAIIQPI

所以羽=鬲，所以∣PA∣?∣PB∣=∣OP∣2=4.

綜上，IPAl?∣PB∣=4.

2.(2022?湖北?高三開學(xué)考試)在平面直角坐標(biāo)系XOy中，已知定點(diǎn)片(TO),6(1,0),動(dòng)點(diǎn)例滿足

IM制+|%|=2后.記點(diǎn)M的軌跡為C.

(1)求曲線C的方程；

端AB為l定值,

(2)經(jīng)過Fl且不垂直于坐標(biāo)軸的直線/與C交于AB兩點(diǎn),X軸上點(diǎn)P滿足IM=I陽，證明:

并求出該值.

【答案】(l)J+y2=l,(2)證明見解析,2√2

【分析】(1)利用橢圓的定義求點(diǎn)M的軌跡方程C；

(2)設(shè)出直線/為：γ=Λ(x+l)Λ≠O,聯(lián)立橢圓方程，求出兩根之和，兩根之積，從而表達(dá)出弦長∣AB∣,

AB

再求出AB中點(diǎn)，進(jìn)而表達(dá)出AB的垂直平分線，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，得到耳P的長，得到為定值.

(1)由橢圓的定義可知：”的軌跡為以￡(TO),鳥(LO)為焦點(diǎn)的橢圓，且IM同+∣M周=2&

則可得2Q=2?∕∑,C=1,所以α=JΣ,/=/一/=2-1=1,

所以C的方程為上+

(2)設(shè)直線/為：y=k(x+l),%K0,

則聯(lián)立,+y2=］得：(1+2公卜2+4∕χ+-2=0,

2?2-2

設(shè)A(Xl,χ),B(x2,%),則%+w=-吾正

?+2k2

X+%=%(占+毛)+2%=??r'

2A(Ik2-I)2√2(l+?2)

則IABI=J1+入

1+2公1+2公，

'2公k)

中點(diǎn)坐標(biāo)為

AB~l+2k2'l+2k2)

所以他的垂直平分線為,-強(qiáng)k=-1#（+適2小

E

令…得：一,

k2?/?k2

所以P-,0,憂PI=I-一J=±+J

1+2公)1'11+2二1+2F

2加(1+用

1+2小=2&

l+fc2

l+2p

3.（2023.全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓￡，+a=1（。＞。＞0）過點(diǎn)小,

，且點(diǎn)B到其兩個(gè)焦點(diǎn)距離之

和為4.

（1）求橢圓E的方程;

（2）設(shè)。為原點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓E的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)C（LO）的直線/與橢圓E交于P,。兩點(diǎn)，且直線/與X軸不重

合，直線AP,A。分別與y軸交于M,N兩點(diǎn).求證：IaWHOM為定值.

【答案】（I）三+＞2=1，⑵證明見解析

4

'2a=4

【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義可得｛13,,即可求出〃、h,從而得解;

l∕+h

(2)由(D可得A點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)直線/斜率時(shí),直接求出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo),從而得到直線方程，即可求出IOMHoNl

的值，當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y=M-i)(%xO),P(多,%),Q(X2,必)，聯(lián)立直線與橢圓方

程，消元、列出韋達(dá)定理，表示出直線方程，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出IoMHOM的值；

2a=4(G2

?a=2r

(I)解：依題意《131,解得，1,所以橢圓方程為土+丁=1；

k+療=iI"=14

、P

(2)解：由(1)可知Az(-2,0),當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=l,代入橢圓方程得L+V=ι,

解得y=士享不妨設(shè)此時(shí)尸(1,亭，Q(l,-亭,

所以直線AP的方程為y=且(X+2),即M(O,正)，

63

直線A。的方程為y=-3(x+2),即N(O,-3)，

63

所以∣QM∣?∣QN∣=g;

當(dāng)宜線/斜率存在時(shí)，設(shè)直線I的方程為y=-X-1)(kw0),

y=k(x-↑)

由得(4∕+l)f-8公X+4∕-4=0,

—+y=l

14'

依題意，Δ=Mk4-4(?2+l)(4λ2-4)=48fc2+16>0,

設(shè)尸即M),%⑼，則一品4?2-4

XX=

i24?2+l

又直線口的方程為y=U?(χ+2),

令X=O,得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為％=言，即M(O,0?],

x1+2IXl+2J

同理,得心言)，

所以IOMIioM=句%=4?(O(-l)=4'丁當(dāng)一(%+/)+1]

’(x1+2)(X2+2)(XI+2)(X2+2)Λ1X2+2(XI+X2)+4

4?2-4

4k?T+D

4?2+l4二+1北二叱-4-8^+4^+1)_I2lr_?

4公一4?6kz4&2-4+16&2+16/+4-36?~3

+-+4λ

4k2+14?2+l

綜上可得，∣0MHONl為定值，定值為g.

4.(2023?全國?高三專題練習(xí))動(dòng)點(diǎn)M(X,y)與定點(diǎn)F(G,0)的距離和M到定直線/:x=2G的距離之比是

常數(shù)也,記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

2

⑴求曲線C的方程；

⑵設(shè)p(八〃)是曲線C上的一動(dòng)點(diǎn)，由原點(diǎn)。向圓(X-W)?+(y-a)2=2引兩條切線，分別交曲線C于點(diǎn)AB,

若直線OAOB的斜率均存在，并分別記為匕&，試問|0年+|08『是否為定值？若是，求出該值；若不是，

請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)￡+==1，⑵是定值，定值為9

【分析】(1)根據(jù)題意列式化簡(jiǎn)方程網(wǎng)=J(Ar"):K=Yi即可;

d卜-2甸

(2)直線OB的方程分別為y=>,y=&x,設(shè)Aa,χ),3(x2,%),根據(jù)直線與圓相切可得左,修是方程

2222

(m-2)?-Imnk+n-2=0的兩個(gè)根，結(jié)合韋達(dá)定理與橢圓的方程可得k&=-；,進(jìn)而求得IOAf+∣0β∣關(guān)

于K，網(wǎng)的表達(dá)式，代入左芯=-；求解即可

⑴山題意，點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(√3,θ)的距離IMH=NX一可+丫，,點(diǎn)M到直線Zrx=2√3的距離

d=?x-2^?,所以也?==等,即2(x-Gy+2y2=(x-2√J),化簡(jiǎn)得'+?=1,故曲

線C的方程為鳥+4=1；

0J

⑵山題意可得，直線。4,。8的方程分別為丫=審,丫=&》，設(shè)4(4乂),8(々,%).

由直線與圓(》-加)2+(丫-〃)2=2相切可得

2r2

=>-2^?I-2mnky+/-2=0,同理-2)A；-Imnk1+n-2-0,

所以《內(nèi)是方程(>-2*-2,"成+Y_2=0的兩個(gè)根，所以z√-2≠0,

因?yàn)镻(加,〃)是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，所以q→q=ln1-2=-2("2-2),

則有桃2=勺~4=-；，

m-22

y=k>x66

2

聯(lián)立方程f21=>X=—-T，所以d=?∏中，

一+匚=11+2匕?+2k.

I63

所以I。p=3+備，同理幽=3+合

所以曬+幽=6+3島肝+/J=6+3x（；編卷碼,

因?yàn)樯?=_；,所以0+2%；）?（1+2片）=1+2好+26+46片=2+2將+2片，

所以I網(wǎng)RoBf=6+3=9.

5.（2022?重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)下（虛,0）,動(dòng)點(diǎn)M（X,y）到直線/”=2應(yīng)的距離為d,且

d^41?MF?,記例的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程；

（2）過M作圓Q:/+：/=：的兩條切線MP、MQ（其中尸、Q為切點(diǎn)），直線MP、仞。分別交C的另一點(diǎn)

為A、B.從下面①和②兩個(gè)結(jié)論中任選其一進(jìn)行證明.

①EHPM為定值；

②∣M4∣=∣MB∣.

【答案】（1）1+1=1,（2）條件選擇見解析，證明見解析

【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于x、y的等式，化簡(jiǎn)后可得出曲線C的方程；

（2）設(shè)材（∕,%）、Ha,X）、鳳毛，必），分X：=g、其#g兩種情況討論，在笫一種情況下,直接驗(yàn)證OM±04：

在第二種情況下，設(shè)直線的方程為y=fcr+m,由直線與圓相切結(jié)合韋達(dá)定理可得出OMLOW.

選①，分析出RUMOPsRjAOP,利用三角形相似可求得∣R4∣?∣PM∣的值；

選②，分析可知IQAl=IC呵，結(jié)合勾股定理可證得結(jié)論成立.

（1）解：由題意知∣2√Σ-x∣=√Lj（x-√∑y+y2,兩邊平方整即得/+2/=4,

所以，曲線C的方程為日+《=1.

42

⑵證明：設(shè)〃（X0，幾）、Aa，x）、B[x2,y2）,

當(dāng)片=g時(shí)，Jo=p則不妨設(shè)點(diǎn)M（手,苧），則點(diǎn)A（手，一手1或A卜手，竽）

此時(shí)。M?OA=O,W∣JOM104：

當(dāng)“"g時(shí)，設(shè)宜線MA：y=Ax+，〃，

由直線MA與圓O:/+/=,相切可得卡｝=鬢，即3加=4(1+二)，

聯(lián)立4可得(2二+1)χ2+4切W+2/-4=0,

Δ=16?W-4(2?z+l)(2w2-4)=8(4?2+2-∕π2)=y(4?2+l)>0,

由韋達(dá)定理可得%+玉=-黑i,X由=察二;，

ZK+1Zk+I

2

則OM?OA=XoXl+y0γ1=x0x0+(Ax0+〃?)(煙+m)=(1+公卜OXl+faπ(x0+x1)÷∕π

(?+k1?(lnΓ-4^-4k2m2÷w2(l+2fc2)3m2-4∩+?2)

1+2公1+2公

所以，Q例，。4,同理可得OM，。&

選①，由QΛ∕_L3及OP_LAM可得RLMOPSRJAOP,

則需=犒，所以，∣∕>M?∣M=∣O葉=：

選②，出。M>LOA及OMJ_03可得：A、。、B:：點(diǎn)共線，則IoAI=IO同，

又IMAF=IOAf+10閘2=|08『+|0叫2=∣M8∣2,因此，?MA?=?MB?.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：

（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；

（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

6.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓的C的方程：?+?=l.

63

（1）設(shè)尸為橢圓C異于橢圓左右頂點(diǎn)A、Λ上任一點(diǎn),直線PA的斜率為匕，直線P4的斜率為自，試證明匕“

為定值.

（2）求橢圓中所有斜率為1的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程.

⑶設(shè)橢圓上一點(diǎn)42,1）,且點(diǎn)“，N在C上，且AM,4V,ADLMN,。為垂足.證明：存在定點(diǎn)。，使得

IDQl為定值.

【答案】(l)-g,(2)x+2y=0(-2≤x≤2),(3)存在點(diǎn)嗒,使得|項(xiàng)為定值.

【分析】(1)設(shè)夕(X。,幾)，則為2=3-斗，再根據(jù)斜率公式代入即可計(jì)算匕?&的值；

⑵設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為尸α,y),Q(%,%),利用點(diǎn)差法可得χ+2y=0,聯(lián)立直線和橢圓，即可得X的

范圍

(3)設(shè)出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，在斜率存在時(shí)設(shè)方程為y=京+機(jī)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)已知條件,

已得到加次的關(guān)系，進(jìn)而得直線MN恒過定點(diǎn)，在直線斜率不存在時(shí)要單獨(dú)驗(yàn)證，然后結(jié)合直角三角形的性

質(zhì)即可確定滿足題意的點(diǎn)。的位置.

⑴設(shè)P(%,%),a(-疝。)，4(疝0)，因?yàn)镻為橢圓C上一點(diǎn)，所以興］=1,所以%2=3-與,

2

3?

所以K=.*/Z，"=一顯后，所以),o2j---

2?

Xq+yJ6XQ—VO

x0+√6x0-√6X0-6x0'-62

故如叢為定值-;.

(2)設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為Pa,χ),Q(w,%),PQ的中點(diǎn)為M(x,y).則立+止=1,①

63

五+五=1,(2),①減②得：V-V>'∣2~>,220,笠三+-/"'、(y+%)=0.

636+3=63(x∣-xj

又玉+x,=2x,y∣+%=2y,^i~—=1,.?.χ+2y=0.

XLX2

?+Z=l

由于弦中點(diǎn)軌跡在已知橢圓內(nèi)，聯(lián)立，63???x=±2

x+2y=0

故斜率為1的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程：x+2y=0(-2<x<2)

(3)設(shè)點(diǎn)Ma,yj,N(Λ2,y2),

若直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為：)，="+，”,

代入橢圓方程消去y并整理得：(1+2Λ2)x