直擊2024年高考-高三數(shù)學(xué)函數(shù)考點精講（全國版）

函數(shù)考點精講——函數(shù)的概念與性質(zhì)

1.函數(shù)的定義

設(shè)A，8是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系了,使對于集合A中的任意一個數(shù)

x,在集合3中都有唯一確定的數(shù)/(%)和它對應(yīng)，那么就稱2為從集合A到集合3的一個

函數(shù)，記作y=/(x),xeA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做定義域；與x的值相對應(yīng)

的V值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛F(x)|xeA｝叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合3的子集.

2.函數(shù)的要素及相同函數(shù)

一個函數(shù)的構(gòu)成要素為定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所

以，如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱這兩個函數(shù)相等.

3.求函數(shù)的定義域要注意以下幾點

(1)分式的分母不為0;

(2)偶次根式的被開方數(shù)大于等于0；

(3)零次幕的底數(shù)不為0；

(4)對數(shù)的真數(shù)大于零；

(5)指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；

(6)實際問題對自變量的限制.

4.抽象函數(shù)的定義域

(1)若函數(shù)/(元)的定義域為［a/］,則〃g(x))的定義域由a<g｛x)<b求出.

(2)若函數(shù)〃g(x))的定義域為［a,6］，則f(x)的定義域為g(x)在xe的值域

5.函數(shù)值域的求法

(1)圖象法；

(2)直接法；

(3)配方法；

(4)換元法；

(5)分離常數(shù)法；

(6)單調(diào)性法；

(7)基本不等式法.

6.幾種常見初等函數(shù)的值域

(1)一次函數(shù)y=kx+b(k為常數(shù)且上0)的值域為R.

(2)反比例函數(shù)y=改為常數(shù)且存0)的值域為(-00,0)U(0,+oo).

X

(3)二次函數(shù)>=〃必+Z?x+c(〃，b,c為常數(shù)且存0),

當(dāng)〃>0時，二次函數(shù)的值域為廣，+00);

4a

一

當(dāng)〃<0時，二次函數(shù)的值域為(-8,].

4〃

求二次函數(shù)的值域時，應(yīng)掌握配方法：y=ax2+bx+c=a(x+—)2+.

2a4tz

(4)y=sin,r和y=cosx的值域為y=tanr的值域為R.

(5)指數(shù)函數(shù)y=優(yōu)(。>0,。wl)的值域為(0,+℃).

(6)對數(shù)函數(shù)y=log?！?,aw1)的值域為R.

5.函數(shù)的表示法

(1)解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

(2)圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

(3)列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系

6.分段函數(shù)

(1)分段函數(shù)的概念

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，則這種函數(shù)

稱為分段函數(shù).分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).

(2)分段函數(shù)的定義域和值域

分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集.

7.復(fù)合函數(shù)

設(shè)y是"的函數(shù)y=/(a),M是x的函數(shù)"=g(x),如果g(x)的值全部或部分在/(a)的

定義域內(nèi)，則y通過〃成為尤的函數(shù)，記作y=/(g(x)),稱為由函數(shù)y=/(")與"=g(x)復(fù)合

而成的復(fù)合函數(shù).

8.單調(diào)性的概念

一般地，設(shè)函數(shù)/(%)的定義域為/,區(qū)間D1/:

如果吃w。,當(dāng)王〈當(dāng)時，都有/(%)</(%),那么就稱/(左)在區(qū)間。上是單調(diào)遞增；

如果也，W€。,當(dāng)石〈天時，都有了(再)>/(%),那么就稱/(X)在區(qū)間。上是單調(diào)遞減；

9.單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)，那么就說函數(shù)y=/(x)在區(qū)間D上具

有單調(diào)性性，區(qū)間。叫做y=/(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間.

10.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法

(1)利用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，步驟如下：

a.取值：設(shè)為，w為該區(qū)間內(nèi)任意的兩個值，且王＜々；

b.作差變形：作差/(不)-/(多)，并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷

差值符號的方向變形；

c.定號：確定差值的符號，當(dāng)符號不確定時，可考慮分類討論；

d.判斷：根據(jù)定義作出結(jié)論.

(2)利用函數(shù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性.

(3)利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性.

(4)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

已知〃=g(x)在儂，句上是增(減)函數(shù)，＞=/(〃)在區(qū)間。3),g。)](或區(qū)間[gS),g(a)])

上是增(減)函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)y=〃g(x)]在團(tuán)，切上一定是單調(diào)的，具體分為以下四種情

況，可記為“同增異減”.

〃=g(x)y=/(〃)y=/[gW]

增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)

增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)

減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)

減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)

11.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)丁=/(可的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足

(1)對于任意的xe/，都有(1)對于任意的XG/,都有

/(%)?/；

條件

(2)存在使得(2)存在不￡/,使得/(入0)="

結(jié)論M為最大值M為最小值

12.函數(shù)的奇偶性定義

偶函數(shù)：對于函數(shù)y=/(x),如果對于其定義域。中的任意給定的實數(shù)x,都有-xe。，并且

f(-x)=f(x),就稱函數(shù)丫=/(X)為偶函數(shù).

奇函數(shù)：對于函數(shù)y=/(x),如果對于其定義域D中的任意給定的實數(shù)X,都有-久6。，并且

/(-X)=-/(無)，就稱函數(shù)y=f(無)為奇函數(shù).

不是所有的函數(shù)都是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們稱那些既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)的函數(shù)為非奇非

偶函數(shù).

13.判斷函數(shù)奇偶性的方法

(1)利用定義判斷.

(2)利用定義的等價形式判斷：

/(%)+/(-x)=。o/(%)是奇函數(shù)；

=是偶函數(shù)?

(3)利用圖象判斷：

/(X)的圖象關(guān)于原點對稱of(x)是奇函數(shù);

/(%)的圖象關(guān)于y軸對稱o/(%)是偶函數(shù).

(4)四則運算判斷:

/(X)g(x)/(x)+g(x)f(x)-g(x)/(x)g(x)/(g(x))

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

14.二次函數(shù)的概念

形如/(x)=ax2+bx+c(aw0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).

15.表示形式

⑴一般式：+bx+c(a^0).

(2)頂點式："r)=〃aTz)2+k(ar0),其中(/z,%)為拋物線的頂點坐標(biāo).

(3)兩根式：/(%)二Q(X—%)(%—%2)，其中王，馬是拋物線與入軸交點的橫坐標(biāo)，

16.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)解析式/(x)=ax2+bx+c(a>0)f(x)=ax2+bx+c(a<0)

luh

圖象（拋物線）

定義域R

4ac-b2、/4ac-b2

值域r[/，+°°)(8，)3

4〃4a

b

對稱性函數(shù)圖象關(guān)于直線x=———對稱

2a

b4ac-b2

頂點坐標(biāo)

2a4a

奇偶性當(dāng)b=0時是偶函數(shù)，當(dāng)b9時是非奇非偶函數(shù)

bb

在（—8,---］上是減函數(shù)；在（-8,——］上是增函數(shù)；

2a2a

單調(diào)性

bb

在［_+8）上是增函數(shù).在［_+8）上是減函數(shù).

2a2a

當(dāng)》=一2時，當(dāng)x=-2時，

2a2a

最值

22

?z、4ac-ba,、4ac-b

/(九)min一/(X)max-

4A〃4Aa

17.二次函數(shù)圖象常用結(jié)論

（1）函數(shù)/O）=奴之+"+c（a*0）的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)是方程依2+法+C=0的實根.

yjb1-4ac

⑵若占，々為?。?。的實根，則信）在尤軸上截得的線段長應(yīng)為人—%|=⑷.

（3）當(dāng)。＞°且△＜0（AW0）時，恒有八尤）＞0（/（x）?°）；當(dāng)。＜°且A＜0（AW0）時，恒有

18.基函數(shù)的概念

一般地，形如y=x"（“GR）的函數(shù)稱為哥函數(shù)，其中底數(shù)尤為自變量，。為常數(shù).

19.幾個常見基函數(shù)的圖象與性質(zhì)

￡

31

函數(shù)y=xy=x2%丁二一

y=x^X

y=x

*區(qū)：

圖象尸￡

~\~2x

定義域RRR[0,+co){x|xw0}

值域R[0,+oo)R[0,+oo){y|yw0}

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)

在（_oo,0）上單調(diào)遞在（—8,0）和

在R上單在R上單在［0,+oo）上單調(diào)

單調(diào)性減；在［0,+8）上單（0,+00）上單調(diào)遞

調(diào)遞增調(diào)遞增遞增

調(diào)遞增減

過定點過定點(0,0),(1,1)過定點（1,1）

函數(shù)考點精講——指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

1.根式

(1)〃次方根

如果x"=a,那么x叫做。的〃次方根，其中且weN*.

當(dāng)〃是奇數(shù)時，正數(shù)的〃次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的〃次方根是一個負(fù)數(shù).這時，用符號正表

示.

當(dāng)〃是偶數(shù)時，正數(shù)的〃次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).這時，正數(shù)。的正的〃次方根用

符號標(biāo)表示，負(fù)的〃次方根用符號-正表示.可以合并寫成土布(a>0).

負(fù)數(shù)沒有偶次方根.0的任何次方根都是0,記作我=0.

(2)根式的相關(guān)概念

式子標(biāo)叫做根式，這里〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).

(詬尸=a(n6N*,且〃〉1)；

j-7a(w為大于1的奇數(shù))，

同(〃為大于0的偶數(shù)).

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

我們規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是『二叱①〉。，小，“eN*,且力>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指

數(shù)塞的意義是。亍=」(a>0,“eN*,且〃>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)賽等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)暴沒有

an

意義.

3.有理數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)

rsr+s

aa=a(a>0fr,seQ)；

(")s=a"(a>0,r,SEQ)；

(ab)〃=arbr(a>0,0〉0,reQ).

4,無理數(shù)指數(shù)累

一般地，無理數(shù)指數(shù)幕a"a是無理數(shù))是一個確定的實數(shù).有理數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)

同樣適用于無理數(shù)指數(shù)幕.

5.指數(shù)函數(shù)定義

一般地，函數(shù)y=，m>0,且。力1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中X是自變量，函數(shù)的定義域是R.

6.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

7.對數(shù)的相關(guān)概念

一般地，如果a'=N（a>°，且awl）,那么數(shù)x叫做以。為底N的對數(shù)，記作x=log.N,其中

?叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

8.兩種特殊的對數(shù)

常用對數(shù)：將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把1°&。"記作IgN.

自然對數(shù)：在科學(xué)技術(shù)中常使用以無理數(shù)e=2.71828…為底數(shù)的對數(shù)，以e為底的對數(shù)稱為自

然對數(shù)，并把“且，"記為InN.

9.對數(shù)恒等式

產(chǎn)小=Ng>U,且a21,N>0)

10.對數(shù)同底運算法則

如果且"LM>0,N>0,那么:

log“(M-N)=logaM+logaN

M

logn—=logaM-logaA^

n

log。M=n\ogaM(neR)

11.對數(shù)換底公式

,,log,b

log^=j-------

al°gca(a>0,且awl；c>0,且c*l；6>0)

log。b=---

特別地：l°g/且"1，6片1)

12.對數(shù)函數(shù)的定義

一般地，我們把函數(shù)y=log〃x(?>0,且awl)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定

義域是(0,+oo).

13.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

G<a<\a>l

3,卜二1yk；.r=l

：產(chǎn)log/

圖象

：月og.x

定義域(0,+00)

值域R

過定點(1,0),即x=l時，y=0

性質(zhì)

在(0,+8)上是減函數(shù)在(0,+8)上是增函數(shù)

14.對數(shù)函數(shù)圖象間的關(guān)系

函數(shù)y=log.尤(a>0,且awl)的圖象與'=》的圖象關(guān)于％軸對稱，即底數(shù)互為倒數(shù)的