2021新高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)學(xué)案5-1空間幾何體的結(jié)構(gòu)體積與表面積專項(xiàng)練

專題五立體幾何考情分析立體幾何是歷年高考必考知識(shí),高考試卷中一般會(huì)以“兩小一大”的命題形式出現(xiàn).小題主要考查空間幾何體的體積和表面積,空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,空間角,幾何體與球的切、接問(wèn)題等,會(huì)有一定的難度.立體幾何解答題一般是以多面體為載體,考查空間平行與垂直關(guān)系的證明與應(yīng)用、線面角與二面角的求解等問(wèn)題,對(duì)直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)有一定的要求.有時(shí)候會(huì)以圖形翻折、探索性問(wèn)題形式命題,難度中等.對(duì)位置關(guān)系的證明以幾何法為主,空間角的求解問(wèn)題則多數(shù)用向量法.5.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)、體積與表面積專項(xiàng)練必備知識(shí)精要梳理1.空間幾何體的表面積與體積幾何體側(cè)面積表面積體積圓柱S側(cè)=2πrlS表=2πr(r+l)V=S底h=πr2h圓錐S側(cè)=πrlS表=πr(r+l)V=13S底h=13πr圓臺(tái)S側(cè)=π(r+r')lS表=π(r2+r'2+rl+r'l)V=13(S上+S下+S上S下)h=13π(r2直棱柱S側(cè)=Ch(C為底面周長(zhǎng))S表=S側(cè)+S上+S下(棱錐的S上=0)V=S底h正棱錐S側(cè)=12Ch'(h'指斜高V=13S底正棱臺(tái)S側(cè)=12(C+C')h'(C,C'分別是上、下底面周長(zhǎng),h'指斜高V=13(S上+S下+S上球S=4πR2V=43πR2.幾個(gè)常用結(jié)論(1)長(zhǎng)方體從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,則其體對(duì)角線即外接球直徑為a2(2)各棱長(zhǎng)相等(都為a)的三棱錐的幾個(gè)結(jié)論:①高為63a;②表面積為3a2,體積為212a3;③側(cè)棱和底面所成角的正弦值為63;④相鄰兩個(gè)面所成二面角的余弦值為13;⑤內(nèi)切球半徑為612a,外接球半徑為64a(3)正方體與球的幾個(gè)結(jié)論:①設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則其外接球半徑R=32a,內(nèi)切球半徑r=a2,與各棱相切的球(棱切球)半徑為2②設(shè)球的半徑為R,則球的外切正方體的邊長(zhǎng)為2R,內(nèi)接正方體的邊長(zhǎng)為233考向訓(xùn)練限時(shí)通關(guān)考向一空間幾何體的側(cè)面積或表面積1.(多選)(2020山東濰坊高三期末,9)等腰直角三角形直角邊長(zhǎng)為1,現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周,則形成的幾何體的表面積可以為()A.2π B.(1+2)π C.22π D.(2+2)π2.(2020四川達(dá)州高三二診,7)如圖,四面體各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為1的正三角形,其三個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)圓柱的下底面圓周上,另一個(gè)頂點(diǎn)是上底面圓心,圓柱的側(cè)面積是()A.23π B.324π C.2233.(2020全國(guó)Ⅰ,理10)已知A,B,C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn),☉O1為△ABC的外接圓.若☉O1的面積為4π,AB=BC=AC=OO1,則球O的表面積為()A.64π B.48π C.36π D.32π4.(2020安徽皖西南聯(lián)盟高三聯(lián)考,8)魯班鎖(也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方)起源于古代中國(guó)建筑的榫卯結(jié)構(gòu).這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合,十分巧妙.魯班鎖類玩具比較多,形狀和內(nèi)部的構(gòu)造各不相同,一般都是易拆難裝.如圖1,這是一種常見的魯班鎖玩具,圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖,每條棱的長(zhǎng)均為2,則該魯班鎖的表面積為()A.8(6+62+3) B.6(8+8C.8(6+63+2) D.6(8+85.(2020江蘇揚(yáng)州高三三模,15)在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,O為上底面ABCD的中心,設(shè)正四棱柱ABCDA1B1C1D1與正四棱錐OA1B1C1D1的側(cè)面積分別為S1,S2,則S1S2=考向二空間幾何體的體積6.(2020山東泰安三模,6)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載:“芻甍者,下有袤有廣,而上有袤無(wú)廣.芻,草也.甍,屋蓋也.”今有底面為正方形的屋脊形狀的多面體(如圖所示),下底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,上棱EF=32,EF∥平面ABCD,EF與平面ABCD的距離為2,該芻甍的體積為(A.6 B.113 C.314 D7.(2020山東濱州二模,8)我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一條原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異.”意思是夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截,如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.橢球是橢圓繞其長(zhǎng)軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體.如圖,將底面半徑都為b,高都為a(a>b)的半橢球和已被挖去了圓錐的圓柱(被挖去的圓錐以圓柱的上底面為底面,下底面的圓心為頂點(diǎn))放置于同一平面β上,用平行于平面β且與平面β相距任意距離d的平面截這兩個(gè)幾何體,截面分別為圓面和圓環(huán),可以證明S圓=S圓環(huán)總成立.據(jù)此,橢圓的短半軸長(zhǎng)為2,長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為4的橢球的體積是()A.16π3 B.32π3 C.8.(多選)(2020山東青島二中月考,10)沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置,它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成,開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中,細(xì)沙通過(guò)連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí).如圖,某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐組成,圓錐的底面直徑和高均為8cm,細(xì)沙全部在上部時(shí),其高度為圓錐高度的23(細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)).假設(shè)該沙漏漏沙的速度為0.02cm3/s,且細(xì)沙全部漏入下部后,恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆.以下結(jié)論正確的是(A.沙漏中的細(xì)沙的體積為1024π81B.沙漏的體積是128πcm3C.細(xì)沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4cmD.該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是1985s(π≈3.14)9.(2020山東聊城一模,16)點(diǎn)M,N分別為三棱柱ABCA1B1C1的棱BC,BB1的中點(diǎn),設(shè)△A1MN的面積為S1,平面A1MN截三棱柱ABCA1B1C1所得截面面積為S,五棱錐A1CC1B1NM的體積為V1,三棱柱ABCA1B1C1的體積為V,則V1V=,S1S考向三與球相關(guān)的內(nèi)切問(wèn)題10.(2020遼寧東北育才學(xué)校模擬,15)圓錐SD(其中S為頂點(diǎn),D為底面圓心)的側(cè)面積與底面積的比是2∶1,若圓錐的底面半徑為3,則圓錐SD的內(nèi)切球的表面積為.

11.(2020天津和平區(qū)二模,13)農(nóng)歷五月初五是端午節(jié),民間有吃粽子的習(xí)慣,粽子又稱粽籺,俗稱“粽子”,古稱“角黍”,是端午節(jié)大家都會(huì)品嘗的食品,傳說(shuō)這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國(guó)時(shí)期楚國(guó)大臣、愛國(guó)主義詩(shī)人屈原.如圖1,平行四邊形形狀的紙片是由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形構(gòu)成的,將它沿虛線折起來(lái),可以得到如圖2所示粽子形狀的六面體.若該六面體內(nèi)有一球,則該球體積的最大值為.

考向四與球相關(guān)的外接問(wèn)題12.(2020天津,5)若棱長(zhǎng)為23的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為()A.12π B.24π C.36π D.144π13.(2020江西上饒三模,5)半徑為2的球O內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正三棱柱,則正三棱柱的側(cè)面積的最大值為()A.93 B.123 C.163 D.18314.(2020山東濱州二模,14)已知點(diǎn)A,B,C,D均在球O的球面上,AB=BC=1,AC=2,若三棱錐DABC體積的最大值是13,則球O的表面積為.15.(2020山東,16)已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2,∠BAD=60°.以D1為球心,5為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為.

16.(2020山東德州二模,16)《九章算術(shù)》中記載:將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵,將一塹堵沿其一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開,得到一個(gè)陽(yáng)馬(底面是長(zhǎng)方形,且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐)和一個(gè)鱉臑(四個(gè)面均為直角三角形的四面體).在如圖所示的塹堵ABCA1B1C1中,BB1=BC=23,AB=2,AC=4,且有鱉臑C1ABB1和鱉臑C1ABC,現(xiàn)將鱉臑C1ABC沿線BC1翻折,使點(diǎn)C與點(diǎn)B1重合,則鱉臑C1ABC經(jīng)翻折后,與鱉臑C1ABB1拼接成的幾何體的外接球的表面積是.

專題五立體幾何5.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)、體積與表面積專項(xiàng)練考向訓(xùn)練·限時(shí)通關(guān)1.AB解析如果是繞直角邊旋轉(zhuǎn),形成圓錐,圓錐底面半徑為1,高為1,母線就是直角三角形的斜邊,母線長(zhǎng)是2,所以形成的幾何體的表面積S=πrl+πr2=π×1×2+π×12=(2+1)π如果繞斜邊旋轉(zhuǎn),形成的是兩個(gè)圓錐,圓錐的半徑是直角三角形斜邊的高22,兩個(gè)圓錐的母線都是直角三角形的直角邊,母線長(zhǎng)是1,所以形成幾何體的表面積S=2×πrl=2×π×22綜上可知,形成幾何體的表面積是(2+1)π或22.C解析設(shè)圓柱的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l.因?yàn)樗拿骟w各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為1的正三角形,所以2r=1sin60°=233,解得r=33.因?yàn)樗拿骟w各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為1的正三角形,所以棱錐的高為h=63×1=63,3.A解析由題意知☉O1的半徑r=2.由正弦定理知ABsinC=2r,∴OO1=AB=2rsin60°=23,∴球O的半徑R=r2∴球O的表面積為4πR2=64π.4.A解析由題圖可知,該魯班鎖玩具可以看成是一個(gè)棱長(zhǎng)為2+22的正方體截去了8個(gè)正三棱錐所余下來(lái)的幾何體,且被截去的正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則該幾何體的表面積為S=6×(2+22)2-4×12×25.3105解析如圖,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,則正四棱柱ABCDA1B1C1D1的側(cè)面積為S1=4×2×3正四棱錐OA1B1C1D1的斜高為12+32=10,∴正四棱錐OA1B1C1D1的側(cè)面積為S2=4∴6.B解析如圖,作FN∥AE,FM∥ED,連接NM,則多面體被分割為棱柱與棱錐部分,則該芻甍的體積為VFMNBC+VADENMF=13×2×232×2+12×27.C解析∵S圓=S圓環(huán)總成立,∴半橢球的體積為πb2a13πb2a=23πb2a.∴橢球的體積V=43πb2a.∵橢圓的短半軸長(zhǎng)為2,長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為4,∴該橢球體的體積V=48.ACD解析由題圖可知,細(xì)沙在上部時(shí),細(xì)沙的底面半徑與圓錐的底面半徑之比等于細(xì)沙的高與圓錐的高之比,所以細(xì)沙的底面半徑r=23×4=83(cm),所以細(xì)沙的體積V1=13·πr2·2h3=13×64π9×163=1024π81(cm3),故A正確;沙漏的體積V2=2×13×π×h22×h=2×13×π×42×8=2563π(cm3),故B錯(cuò)誤;設(shè)細(xì)沙流入下部后的高度為h1,根據(jù)細(xì)沙體積不變可知1024π81=13×π9.71235解析如圖所示,延長(zhǎng)NM交直線C1C于點(diǎn)P,連接PA1交AC于點(diǎn)Q,連接QM.平面A1MN截三棱柱ABCA1B1C1所得截面為四邊形∵BB1∥CC1,M為BC的中點(diǎn),∴△PCM≌△NBM,∴M為PN的中點(diǎn).∴△A1MN的面積S1=1∵QC∥A1C1,PCP∴△A1QM的面積為23S△A1PM=13S△A1NP,∴S1S=35.∵△BMN的面積=18S四邊形B10.12π解析依題意,圓錐SD(其中S為頂點(diǎn),D為底面圓心)的側(cè)面積與底面積的比是2∶1,所以(πrl)∶(πr2)=2∶1,解得l=6.設(shè)內(nèi)切球的半徑為R,則利用軸截面,根據(jù)等面積可得12×6×62-32=12×(6+6+6)R,解得R=3.11.86π729解析每個(gè)三角形面積是S=12×1×32=由圖形的對(duì)稱性得,小球的體積要達(dá)到最大,需球與六個(gè)面都相切.連接球心和五個(gè)頂點(diǎn),把六面體分成了六個(gè)三棱錐.設(shè)球的半徑為R,所以26=6×13×34×R,解得R=12.C解析∵2R=(23×2)2+(23)2=6,∴13.B解析如圖所示,設(shè)正三棱柱上、下底面的中心分別為O1,O2,底面邊長(zhǎng)與高分別為x,h,則O2A=33x.在Rt△OAO2中,h24+x23=4,化為h2=1643x∴S2=9x2h2=12x2(12x2)≤12x2+12-x222=432,當(dāng)且僅當(dāng)x=6時(shí)取等號(hào),14.81π16解析設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r,∵AB=BC=1,AC=2,則AB2+BC2=AC2,∴△ABC為直角三角形,且r=22.∴S△ABC=12×1×1=12.設(shè)三棱錐DABC體積的最大值為V,則V=13.∵∴D到平面ABC的最大距離h=3VS△ABC=3×1312=2,設(shè)球O的半徑為R,則R2=r2+(hR)2,即R2=222+(215.22π∵∠B1C1D1=∠B1A1D1=∠BAD=60°且B1C1=C1D1,∴△B1C1D1為等邊三角形.∴B1D1=2.設(shè)點(diǎn)O1是B1C1的中點(diǎn),則O1D1=3,易證D1O1⊥平面BCC1B1,設(shè)P是球面與側(cè)面BCC1B1交線上任意一點(diǎn),連接O1P,則O1D1⊥O1P,∴D1P2=D1O12+O1P2,即5=3+O1P2,∴O1P=2.即P在以O(shè)1為圓心,以取BB1,CC1的中點(diǎn)分別為E,F,則B1E=C1F=O1B1=O1C1=1,EF=2,∴O1E=O1F=2,O1E2+O1F2=EF2=4,∴∠EO1F=90°,∴交線EPF=14×216.100π3解析將鱉臑C1ABC沿線BC1翻折,使點(diǎn)C與點(diǎn)B