2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(新高考)圓錐曲線壓軸解答題?？继茁窔w類(原卷版)

專題13圓錐曲線壓軸解答題?？继茁窔w類

【命題規(guī)律】

解析幾何是高考數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，常作為試卷的拔高與區(qū)分度大的試題，其思維要求高，計算量

大.令同學(xué)們畏懼.通過對近幾年高考試題與模擬試題的研究，分析歸納出以下考點(diǎn)：

（1）解析幾何通性通法研究；

（2）圓錐曲線中最值、定點(diǎn)、定值問題；

（3）解析幾何中的常見模型；

解析幾何的核心內(nèi)容概括為八個字，就是“定義、方程、位置關(guān)系”.所有的解析幾何試題都是圍繞這

八個字的內(nèi)容與三大核心考點(diǎn)展開.

【核心考點(diǎn)目錄】

核心考點(diǎn)一：軌跡方程

核心考點(diǎn)二：向量搭橋進(jìn)行翻譯

核心考點(diǎn)三：弦長、面積背景的條件翻譯

核心考點(diǎn)四：斜率之和差商積問題

核心考點(diǎn)五：弦長、面積范圍與最值問題

核心考點(diǎn)六：定值問題

核心考點(diǎn)七：定點(diǎn)問題

核心考點(diǎn)八：三點(diǎn)共線問題

核心考點(diǎn)九：中點(diǎn)弦與對稱問題

核心考點(diǎn)十：四點(diǎn)共圓問題

核心考點(diǎn)十一：切線問題

核心考點(diǎn)十二：定比點(diǎn)差法

核心考點(diǎn)十三：齊次化

核心考點(diǎn)十四：極點(diǎn)極線問題

【真題回歸】

1.（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）如圖，已知橢圓工+/=1.設(shè)a,8是橢圓上異于尸（0,1）的兩點(diǎn)，且點(diǎn)

12

。］。，!（在線段48上，直線尸AP8分別交直線y=-gx+3于C,。兩點(diǎn).

(1)求點(diǎn)尸到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值;

(2)求IC。的最小值.

22

2.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知雙曲線C:=-2=l(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為尸(2,0),漸近線方程為

y=+yj3x.

(1)求C的方程；

(2)過尸的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)「&,%),。(尤2，%)在。上，且

網(wǎng)過P且斜率為-石的直線與過。且斜率為6的直線交于點(diǎn)從下面①②③中選取兩

個作為條件，證明另外一個成立：

①加在45上；②尸?！ˋ3；③

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

3.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)設(shè)拋物線。：/=20工(0>0)的焦點(diǎn)為幾點(diǎn)。(p,0),過尸的直線交C于

M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線M。垂直于無軸時，|加尸|=3.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線河3與C的另一個交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為a,￡.當(dāng)a-夕取得

最大值時，求直線的方程.

4.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)己知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為無軸、y軸，且過

4(0,-兩點(diǎn).

(1)求E的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)尸(1,-2)的直線交E于N兩點(diǎn)，過加且平行于x軸的直線與線段A3交于點(diǎn)T,點(diǎn)〃滿足

MT=TH.證明：直線過定點(diǎn).

22

5.(2022.全國?統(tǒng)考高考真題)已知點(diǎn)42,1)在雙曲線C:二--J=l(a>l)上，直線/交C于尸，。兩

cia—1

點(diǎn)，直線AP,A。的斜率之和為0.

(1)求/的斜率；

(2)若tanNPAQ=2應(yīng)，求△外。的面積.

【方法技巧與總結(jié)】

1、直接推理計算，定值問題一般是先引入?yún)?shù)，最后通過計算消去參數(shù)，從而得到定值.

2、先猜后證，從特殊入手，求出定點(diǎn)或定值，再證明定點(diǎn)或定值與參數(shù)無關(guān).

3、建立目標(biāo)函數(shù)，使用函數(shù)的最值或取值范圍求參數(shù)范圍.

4、建立目標(biāo)函數(shù)，使用基本不等式求最值.

5、根據(jù)題設(shè)不等關(guān)系構(gòu)建不等式求參數(shù)取值范圍.

【核心考點(diǎn)】

核心考點(diǎn)一：軌跡方程

【規(guī)律方法】

求動點(diǎn)的軌跡方程有如下幾種方法：

(1)直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點(diǎn)的軌跡方程；

(2)定義法：如果能確定動點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程;

（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動點(diǎn)。的坐標(biāo)％、y表示相關(guān)點(diǎn)尸的坐標(biāo)與、％,然后代入點(diǎn)p的坐標(biāo)（5,%）所

滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點(diǎn)。的軌跡方程；

（4）參數(shù)法：當(dāng)動點(diǎn)坐標(biāo)X、y之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找X、y與某一參數(shù)f得到方

程，即為動點(diǎn)的軌跡方程；

（5）交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點(diǎn)的軌跡方

程.

【典型例題】

22

例1.（2022.全國.高三專題練習(xí)）雙曲線Cj-2=13>0力>0）的一條漸近線為y=且一個焦點(diǎn)到漸

ab

近線的距離為百.

（1）求雙曲線方程；

（2）過點(diǎn)（0,1）的直線/與雙曲線交于異支兩點(diǎn)P,Q,OM=OP+OQ,求點(diǎn)/的軌跡方程.

2

例2.（2022春.吉林遼源.高三遼源市第五中學(xué)校?？计谥校┮阎^定點(diǎn)尸（04）的直線/交曲線尤2一5=1于

A,B兩點(diǎn).

（1）若直線/的傾斜角為45。，求|AB|；

（2）若線段A3的中點(diǎn)為求點(diǎn)”的軌跡方程.

例3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，我們通常運(yùn)用類比猜想的方法研究問題.

（1）已知動點(diǎn)尸為圓。=產(chǎn)外一點(diǎn)，過尸引圓。的兩條切線以、PB,A、3為切點(diǎn)，若

PA-PB=0，求動點(diǎn)P的軌跡方程；

22

（2）若動點(diǎn)Q為橢圓M：j+J=l外一點(diǎn)，過。引橢圓M的兩條切線QC、QD,C、。為切點(diǎn)，若

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QCQD=U,求出動點(diǎn)。的軌跡方程；

22

（3）在（2）問中若橢圓方程為=+與=l（a>b>0）,其余條件都不變，那么動點(diǎn)。的軌跡方程是什么

ab

（直接寫出答案即可，無需過程）.

核心考點(diǎn)二：向量搭橋進(jìn)行翻譯

【規(guī)律方法】

把幾何語言轉(zhuǎn)化翻譯為向量語言，然后用向量知識來解決.

【典型例題】

22

例4.（2023?廣西南寧?南寧二中?？家荒＃┮阎獧E圓C:二+與=l（a>6>0）,傾斜角為30。的直線過橢圓

ab

的左焦點(diǎn)耳和上頂點(diǎn)B,且他=1+乎（其中A為右頂點(diǎn)）.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過點(diǎn)"（0,附的直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,且PM=2MQ,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

例5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：4+^=1（a>6>0）的離心率e，點(diǎn)人（。,0）、

ab2

3（0,之間的距離為6.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若經(jīng)過點(diǎn)（0,加）且斜率為左的直線/與橢圓C有兩個不同的交點(diǎn)尸和Q,則是否存在常數(shù)晨使得

OP+。。與共線？如果存在，求上的值；如果不存在，請說明理由.

22

例6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知雙曲線1；:亍-%=1與圓心：尤2+V=4+b2s>0）交于點(diǎn)

4（乙，%）（第一象限），曲線:T為口、一上取滿足x>閭的部分.

（1）若/=木，求b的值；

（2）當(dāng)6=若，口與x軸交點(diǎn)記作點(diǎn)￡、F2,P是曲線「上一點(diǎn)，且在第一象限，且歸耳|=8,求

（b2}b

（3）過點(diǎn)。。，彳+2斜率為的直線/與曲線「只有兩個交點(diǎn)，記為M、N,用。表示OM-ON，并求

OATON的取值范圍.

例7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知雙曲線。:0-營=1伍>03>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，K,且

國瑪|=8,尸（4,6）是C上一點(diǎn).

（1）求C的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與C交于兩點(diǎn)A,B,與直線/：'=3元-12交于點(diǎn)N.設(shè)W4=XAM,NB—BM,

求證：幾+〃為定值.

核心考點(diǎn)三：弦長、面積背景的條件翻譯

【規(guī)律方法】

首先仍是將題目中的基本信息進(jìn)行代數(shù)化，坐標(biāo)化，遵循直線與圓錐曲線題目通解中的套路，即設(shè)點(diǎn)

設(shè)線、直由聯(lián)立、看判別式、韋達(dá)定理.

將有關(guān)弦長、面積背景的問題進(jìn)行條件翻譯時，一般是應(yīng)用弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式及面積公

式（在圓中要用半徑、半弦、弦心距組成的直角三角形求弦長）將有關(guān)弦長、面積的條件翻譯為：（1）關(guān)

于某個參數(shù)的函數(shù)，根據(jù)要求求出最值；（2）關(guān)于某個參數(shù)的方程，根據(jù)要求得出參數(shù)的值或兩參數(shù)間的

關(guān)系.

【典型例題】

22

例8.（2022春?內(nèi)蒙古呼和浩特?高三呼市二中階段練習(xí)）已知橢圓C：I+匕=1（“>0）的左、右焦點(diǎn)分別

CL8

為耳，F(xiàn)2,p為C上一點(diǎn)，且當(dāng)我口X軸時，I尸用=5.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)C在點(diǎn)尸處的切線交x軸于點(diǎn)Q,證明：|「耳閶=|尸耳卜|。耳|.

例9.（2022春?江蘇徐州?高三期末）已知橢圓C：捺+/=1（。＞。＞（））的離心率為】f,直線/過C的焦

點(diǎn)且垂直于x軸，直線/被C所截得的線段長為0.

（1）求C的方程；

（2）若C與y軸的正半軸相交于點(diǎn)P,點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B在C上，PA±PB,

/R4S=60。，求一的的面積.

例10.（2022春?浙江金華?高三期末）已知雙曲線C：?-Y=1上一點(diǎn)尸（4,3）,直線y=-x+b（6＜0）交C于

A,3點(diǎn).

（1）證明：直線E4與直線PB的斜率之和為定值；

（2）若P出的外接圓經(jīng)過原點(diǎn)。，求弘8的面積.

核心考點(diǎn)四：斜率之和差商積問題

【規(guī)律方法】

在面對有關(guān)等角、倍角、共線、垂直等幾何特征時，可設(shè)法將條件翻譯成關(guān)于斜率的關(guān)系式，然后將

斜率公式代入其中，得出參數(shù)間的關(guān)系式，再根據(jù)要求做進(jìn)一步的推導(dǎo)判斷.

【典型例題】

例11.（2022?浙江?模擬預(yù)測）已知曲線C上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)網(wǎng)石,0）和直線x=孚的距離之比恒為

好

2

（1）求曲線C的方程；

（2）記曲線的左頂點(diǎn)為A,過3（4,0）的直線/與曲線C交于P,。兩點(diǎn)，P,。均在y軸右側(cè)，直線AP,

AQ與y軸分別交于M，N兩點(diǎn).若直線MB,的斜率分別為%,k2,判斷％42是否為定值.若是，求

出該定值；若不是，請說明理由.

例12.（2022春?云南昆明?高三昆明市第三中學(xué)校考期末）如圖，已知拋物線C：y2=4x,過焦點(diǎn)尸斜率

大于零的直線/交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)。.

（1）若線段A8的長為5,求直線/的方程；

（2）在C上是否存在點(diǎn)使得對任意直線/,直線M3的斜率始終成等差數(shù)列，若存在求點(diǎn)M

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

例13.（2022.安徽?校聯(lián)考二模）已知橢圓C:反+反=1（〃〉匕>0）經(jīng)過點(diǎn)

/b2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）橢圓C的右頂點(diǎn)為A,若點(diǎn)P,。在橢圓C上，且滿足直線轉(zhuǎn)與A。的斜率之積為《，求△人P?面

積的最大值.

例14.（2022春?云南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：提+，=1（4>6>0）的離心率為日,

H1,是C上一點(diǎn).

（1）求C的方程.

（2）設(shè)A,8分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)。（1,0）作斜率不為。的直線/,/與C交于P,。兩點(diǎn)，

直線AP與直線8。交于點(diǎn)記AP的斜率為匕，8。的斜率為心.證明：①，為定值；②點(diǎn)M在定直線

上.

核心考點(diǎn)五：弦長、面積范圍與最值問題

【規(guī)律方法】

弦長和面積的最值問題首先需要將弦長和面積表達(dá)出來，弦長可用弦長公式求出；面積的表達(dá)以直線

與橢圓相交得到的一Q45為例，總結(jié)一下高考中常見的三角形面積公式.對于一。45,有以下三種常見的

表達(dá)式：

5

①Sa4B=g|Al-|O"l（隨時隨地使用，但是相對比較繁瑣，想想弦長公式和點(diǎn)到直線距離）②

SoAB=^\OM\-\yi-y2\（橫截距已知的條件下使用）

③S=gI|?歸—X?|（縱截距已知的條件下使用）

【典型例題】

22

例15.（2021秋?上海普陀?高三曹楊二中階段練習(xí)）已知橢圓°：土+匕=1,過點(diǎn)尸（0,4）作關(guān)于y軸對稱

84

的兩條直線4,4，且4與橢圓交于不同兩點(diǎn)AB4與橢圓交于不同兩點(diǎn)。，C.

（1）己知4經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，求4的方程；

（2）證明：直線AC與直線交于點(diǎn)。（0,1）；

（3）求線段AC長的取值范圍.

，2

例16.(2022?四川達(dá)州?統(tǒng)考一模)平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:土+丁=1,橢圓石：r土+

416

2

二=1.設(shè)點(diǎn)尸為橢圓C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)尸的直線、=辰+加交橢圓E于48兩點(diǎn)，射線尸。交橢圓E

4

于點(diǎn)Q.

⑴求慍lod的值；

(2)求-A5Q面積的最大值.

22

例17.(2022春.吉林通化?高三梅河口市第五中學(xué)?？计谀?已知橢圓C:=+==l(a>b>0)短軸的兩個

ab

頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形，直線3x+4y+6=0與圓d+(y-b)2=/相切.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)加(6,0)作兩條互相垂直的直線/14,與橢圓C分別交于四點(diǎn)，如圖，求四邊形

AC3。的面積的取值范圍.

核心考點(diǎn)六：定值問題

【規(guī)律方法】

求定值問題常見的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān).

(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

【典型例題】

例18.(2022春.廣東肇慶.高三肇慶市第一中學(xué)校考階段練習(xí))已知雙曲線C:十方=l(a>0,10)的禺心率

是2,直線/過雙曲線C的右焦點(diǎn)尸，且與雙曲線C的右支交于兩點(diǎn).當(dāng)直線/垂直于x軸時,

|AB|=6.

（1）求雙曲線c的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）記雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別是9E,直線AD與8E交于點(diǎn)P,試問點(diǎn)尸是否恒在某直線上？若是,

求出該直線方程；若不是，請說明理由.

22

例19.（2022春?湖南株洲?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：「+==1（°>6>0）的右焦點(diǎn)為F上頂

ab

點(diǎn)為耳，下頂點(diǎn)為層，為等腰直角三角形，且直線廠片與圓尤?+丁=1相切.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過尸（0,2）的直線/交橢圓C于。，E兩點(diǎn)（異于點(diǎn)與，2），直線⑸E,與。相交于點(diǎn)Q.證明：點(diǎn)

。在一條平行于無軸的直線上.

22

例20.（2022春?北京豐臺?高三北京豐臺二中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓石』+2r=1（〃〉》〉0）過點(diǎn)為

ab

A（-2,0）,3（0,1）.

（1）求橢圓E的方程及其焦距；

（2）過點(diǎn)尸（-2,1）的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)C。，直線分別與x軸交于點(diǎn)M,N,求揶

的值.

核心考點(diǎn)七：定點(diǎn)問題

【規(guī)律方法】

求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證

（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線

的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求

點(diǎn)；

（3）求證直線過定點(diǎn)（%,%）,常利用直線的點(diǎn)斜式方程y-%=%）或截距式y(tǒng)=履+6來證明.

【典型例題】

例21.（2023?河南鄭州?高三階段練習(xí)）已知拋物線。：9=2"無（其中°>6-40）的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)、M、

N分別為拋物線C上兩個動點(diǎn)，滿足以為直徑的圓過點(diǎn)產(chǎn)，設(shè)點(diǎn)E為的中點(diǎn)，當(dāng)所時，

點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3-2后,0）.

（1）求拋物線C的方程；

（2）直線上牛、NP與拋物線的另一個交點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)P、。分別為AAf、3N的中點(diǎn)，證明：直

線尸。過定點(diǎn).

22

例22.（2023春?甘肅蘭州?高三蘭化一中校考階段練習(xí)）已知橢圓C：鼻+斗=1（〃>人>0）的離心率為

ab

I，右頂點(diǎn)為4上頂點(diǎn)為3,右焦點(diǎn)為R斜率為2的直線經(jīng)過點(diǎn)A,且點(diǎn)尸到直線的距離為拽.

25

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線/：>=丘+帆與橢圓C交于E、尸兩點(diǎn)（E、P兩點(diǎn)與A、8兩點(diǎn)不重合），且以所為直徑的圓

過橢圓C的右頂點(diǎn)，證明：直線/過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

例23.（2023?江蘇蘇州?蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知動圓M與圓A:（x+君『+>2=4及圓

8:（x-石『+丁=4中的一個外切，另一個內(nèi)切.

（1）求動圓圓心服的軌跡C的方程；

（2）若直線/與軌跡C相交于P、。兩點(diǎn)，以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過軌跡C與無軸正半軸的交點(diǎn)。，證明

直線/經(jīng)過一個不在軌跡C上的定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

核心考點(diǎn)八：三點(diǎn)共線問題

【規(guī)律方法】

證明共線的方法：（1）斜率法：若過任意兩點(diǎn)的直線的斜率都存在，通過計算證明過任意兩點(diǎn)的直線的

斜率相等證明三點(diǎn)共線；（2）距離法：計算出任意兩點(diǎn)間的距離，若某兩點(diǎn)間的距離等于另外兩個距離之和，

則這三點(diǎn)共線；（3）向量法：利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線；（4）直線方程法：求出過其中兩點(diǎn)的直線方

程，在證明第3點(diǎn)也在該直線上；（5）點(diǎn)到直線的距離法：求出過其中某兩點(diǎn)的直線方程，計算出第三點(diǎn)到

該直線的距離，若距離為0,則三點(diǎn)共線.（6）面積法：通過計算求出以這三點(diǎn)為三角形的面積，若面積為

0,則三點(diǎn)共線，在處理三點(diǎn)共線問題，離不開解析幾何的重要思想：“設(shè)而不求思想”.

【典型例題】

22

例24.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知E:=-2=l（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為尸?，點(diǎn)F?到￡的一條漸近線

ab

的距離為0，過點(diǎn)尸2的直線與E相交于43兩點(diǎn).當(dāng)ABIx軸時，|A2|=2應(yīng).

（1）求E的方程.

（2）若N是直線x=l上一點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)共線時，判斷直線AN的斜率是否為定值.若是

定值，求出該定值；若不是定值，說明理由.

22_

例25.（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知橢圓C的方程為二+2=1（。>6>0）,右焦點(diǎn)為尸（虛,0）,且離心

ab

率為亞.

3

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)M,N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線MN與曲線d+y2=b"x>0）相切.證明：M,N,尸三點(diǎn)共線的

充要條件是|MN|=石.

-r2273

例26.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓E-.—+5=1（。>b>0）經(jīng)過點(diǎn)C（O,1）,離心率為。為

a2

坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓石的方程;

（2）設(shè)A、8分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn)，。為橢圓E上一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），直線8交x軸于點(diǎn)

。為直線AD上一點(diǎn)，S.OPOQ=4,求證：C、B、。三點(diǎn)共線.

核心考點(diǎn)九：中點(diǎn)弦與對稱問題

【規(guī)律方法】

對于中點(diǎn)弦問題常用點(diǎn)差法解決.

【典型例題】

fv2I

例27.（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知橢圓氏.+￡=l（a>b>0）的離心率為5，點(diǎn)A,2分別為橢圓

E的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)C在E上，且ABC面積的最大值為2班.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)尸為E的左焦點(diǎn)，點(diǎn)。在直線x=-4上，過/作。尸的垂線交橢圓E于M,N兩點(diǎn).證明：直

線OD平分線段MN.

例28.（2023春?江蘇南京?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）己知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)1,在橢圓C：

22

?+==1（a>8>0）上，直線/：y=x+機(jī)與C交于A,2兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為直線0M的斜率

ab

為

（1）求C的方程;

（2）若加=1,試問C上是否存在P,。兩點(diǎn)關(guān)于/對稱，若存在，求出P,。的坐標(biāo)，若不存在，請說明

理由.

例29.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為戶，準(zhǔn)線為/,記準(zhǔn)線/與x軸

的交點(diǎn)為A,過A作直線交拋物線C于Af（占,乂），?%，%）（%>占）兩點(diǎn).

(1)若％+無2=2p,求|MF|+pVF|的值;

(2)若/是線段AN的中點(diǎn)，求直線MN的方程;

(3)若P,Q是準(zhǔn)線/上關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)，問直線PM與QN的交點(diǎn)是否在一條定直線上？請說明理

由.

核心考點(diǎn)十：四點(diǎn)共圓問題

【規(guī)律方法】

證明四點(diǎn)共圓的方法：

方法一：從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個圓上，若能證明這一點(diǎn)，則可

肯定這四點(diǎn)共圓.

方法二：把被證共圓的四個點(diǎn)連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂

角相等，則可肯定這四點(diǎn)共圓(根據(jù)圓的性質(zhì)一一同弧所對的圓周角相等證).

方法三：把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其中一個外角等于其內(nèi)對角時，

則可肯定這四點(diǎn)共圓(根據(jù)圓的性質(zhì)一一圓內(nèi)接四邊形的對角和為180°,并且任何一個外角都等于它的內(nèi)

對角).

方法四：證明被證共圓的四點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，或證明被證四點(diǎn)連成的四邊形其中三邊中垂線

有交點(diǎn))，則可肯定這四點(diǎn)共圓(根據(jù)圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡為圓).

【典型例題】

例30.(2022春.山西運(yùn)城.高三校考階段練習(xí))已知點(diǎn)M(4,4)在拋物線r：/=2py上，過動點(diǎn)尸作拋物線

的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、3,且直線上4與直線尸3的斜率之積為-2.

(1)證明：直線過定點(diǎn)；

(2)過A、3分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C、。，問：是否存在一點(diǎn)尸使得A、C、P、O四點(diǎn)共

圓？若存在，求所有滿足條件的尸點(diǎn)；若不存在，請說明理由.

例31.(2022?浙江麗水?高三統(tǒng)考競賽)如圖，已知拋物線d=4y的焦點(diǎn)為尸，直線/：＞=〃?與拋物線交于

兩點(diǎn)，過。,E分別作拋物線的切線4,4，《4交于點(diǎn)A.過拋物線上一點(diǎn)M(在/下方)作切線4,交

4，，2于點(diǎn)B,C.

(1)當(dāng)m=1時，求_ABC面積的最大值;

(2)證明A、B、F、C四點(diǎn)共圓.

例32.(2022?全國?高三專題練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知動點(diǎn)尸滿足

OP=mOA+nOB，且〃"=1.設(shè)動點(diǎn)P形成的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)7(2,2)的直線/與曲線C交于M,N兩點(diǎn)，試判斷是否存在直線/,使得A,B,M,N四點(diǎn)共

圓.若存在，求出直線/的方程；若不存在，說明理由.

核心考點(diǎn)十一：切線問題

【規(guī)律方法】

(1)若點(diǎn)是圓必+產(chǎn)=/上的點(diǎn)，則過點(diǎn)P的切線方程為x()x+.

(2)若點(diǎn)是圓/+/=戶外的點(diǎn)，由點(diǎn)。向圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,則弦AB所

在直線方程為xox+yoy=r-.

22

（3）若點(diǎn)？（%，%）是橢圓5+多=1上的點(diǎn)，則過點(diǎn)P的切線方程為岑+岑=L

abab

22

（4）若點(diǎn)？（%,%）是橢圓會+}=1外的點(diǎn)，由點(diǎn)尸向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,則弦

AB所在直線方程為岑+券=1.

/b2

【典型例題】

22

例33.（2023?全國?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓土+匕=1的左、右

43

頂點(diǎn)分別為A3,過左焦點(diǎn)耳的直線與橢圓交于點(diǎn)RQ（點(diǎn)。在點(diǎn)P的上方）.

（1）求證：直線AP,42的斜率乘積為定值；

（2）過點(diǎn)尸,。分別作橢圓的切線，設(shè)兩切線交于點(diǎn)M,證明：MF^PQ.

丫226

例34.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓C:1+當(dāng)=1（〃>10）的右焦點(diǎn)為尸（1,0）,且點(diǎn)尸（遙,空）在

ab2

橢圓C上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）過橢圓一上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)Q，作圓。：/+9=；的切線，切點(diǎn)分別為

b—3

3

N（M,N不在坐標(biāo)軸上），若直線MN的橫縱截距分別為機(jī)，n,求證：工+4為定值

3mn

例35.（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知中心在原點(diǎn)的橢圓口和拋物線上有相同的焦點(diǎn)（1，。），橢圓口的離

心率為拋物線「2的頂點(diǎn)為原點(diǎn).

（1）求橢圓口和拋物線「2的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)尸為拋物線「2準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作拋物線「2的兩條切線以，PB,其中AB為切

點(diǎn).設(shè)直線上4,尸3的斜率分別為尤，k2,求證：尢履為定值.

核心考點(diǎn)十二：定比點(diǎn)差法

【典型例題】

22

例36.已知橢圓C:j+[=1(a>6>0)的離心率為—,過右焦點(diǎn)尸且斜率為％（左＞0）的直

ab2

線與C相交于A,3兩點(diǎn)，若A尸=3FB,求左

例37.已知'+（=1,過點(diǎn)尸（0,3）的直線交橢圓于A,B（可以重合），求騙取值范圍.

22

例38.已知橢圓L+乙=1的左右焦點(diǎn)分別為"，F(xiàn)2,A,B,P是橢圓上的三個動點(diǎn)，且

62

尸片=2耳入，PF2=*B若A=2,求〃的值.

核心考點(diǎn)十三：齊次化

【典型例題】

例39.已知拋物線C：V=4x,過點(diǎn)（4,0）的直線與拋物線C交于尸，。兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).證明:

々00=90°.

例40.如圖，橢圓E:]+y2=i,經(jīng)過點(diǎn)且斜率為％的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P,Q

（均異于點(diǎn)40,-1）,證明：直線AP與A。的斜率之和為2.

例41.已知橢圓。:工+>2=1,設(shè)直線/不經(jīng)過點(diǎn)￡（0,1）且與C相交于A,8兩點(diǎn).若直線己4與直

線巴2的斜率的和為-1,證明：直線/過定點(diǎn).

核心考點(diǎn)十四：極點(diǎn)極線問題

【典型例題】

22

例42.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓C:、+q=l（a>6>0）的離心率為短軸長為26.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)A,8分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，若過點(diǎn)尸（4,0）且斜率不為。的直線/與橢圓C交于/、N兩

點(diǎn)，直線AM與相交于點(diǎn)0.證明：點(diǎn)。在定直線上.

2

例43.（2022.全國?高三專題練習(xí)）己知A,8分別是雙曲線-匕=1的左，右頂點(diǎn)，直線/（不與坐

4

標(biāo)軸垂直）過點(diǎn)N（2,0）,且與雙曲線E交于C,￡＞兩點(diǎn).

（1）若CN=3ND,求直線/的方程；

（2）若直線AC與80相交于點(diǎn)尸，求證：點(diǎn)P在定直線上.

22

例44.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓。:=+與=1（。＞0,。＞0）與丫軸的交點(diǎn)A3（點(diǎn)A位于點(diǎn)B

ab

的上方），F(xiàn)為左焦點(diǎn)、,原點(diǎn)。到直線E4的距離為走6.

2

（1）求橢圓C的離心率；

（2）設(shè)匕=2,直線了=履+4與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)求證：直線與直線AN的交點(diǎn)G在定直

線上.

【新題速遞】

1.（2023春?福建泉州?高三階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系宜刀中，已知點(diǎn)尸（1,0）,直線/：x=-l,

P為平面上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線/的垂線，垂足為點(diǎn)Q,分別以尸。，PF為直徑作圓C1和圓C2,且圓C1

和圓C2交于P,R兩點(diǎn)，且NPQR=NPFR.

（1）求動點(diǎn)P的軌跡E的方程；

（2）若直線乙：%=切+。交軌跡E于A,8兩點(diǎn)，直線4：x=l與軌跡E交于M,。兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M

在第一象限，點(diǎn)4B在直線4兩側(cè)，直線4與6交于點(diǎn)N且?忸N|=|ANHMM，求鉆面積的最大

值.

2.(2023?北京?高三專題練習(xí))己知橢圓C中心在原點(diǎn)0,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，其離心率為正，一個焦點(diǎn)為

2

尸(0』).

(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)P且不與坐標(biāo)軸垂直的直線Z與橢圓相交于A,8兩點(diǎn)，直線。4,。3分別與直線y=2相交于M,N

兩點(diǎn)，若4/ON為銳角，求直線/斜率上的取值范圍.

3.(2023?青海海東?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(%)=2xlnx-§+%-l.

(1)求曲線y=/(可在x=l處的切線方程；

(2)若y=〃x)在點(diǎn)A處的切線為4,函數(shù)g(x)=e一b的圖象在點(diǎn)B處的切線為4，4〃4,求直線

48的方程.

22

4.(2023春?重慶?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知橢圓G：t+A=l(a>6>0)的左右焦點(diǎn)分別為耳,工，右頂點(diǎn)

ab

為A,上頂點(diǎn)為8,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，|Q4|=2|OB|.

(1)若△8月區(qū)的面積為4TL求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)如圖，過點(diǎn)尸(1,0)作斜率右左>0)的直線/交橢圓G于不同兩點(diǎn)M，M點(diǎn)〃關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)為

S,直線SN交x軸于點(diǎn)T,點(diǎn)尸在橢圓的內(nèi)部，在橢圓上存在點(diǎn)。，使OM+ON=。。，記四邊形OMQN

的面積為S-求竺儂二￡的最大值.

k

22

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：I+J.uim〉人〉。）的右頂點(diǎn)為4（五,0）,過左焦點(diǎn)尸的直線

ab

x="-l（rw0）交橢圓于M,N兩點(diǎn)，交y軸于尸點(diǎn)，PM=AMF，PN=/JNF,記OMN,△。咋，

△ON6（工為C的右焦點(diǎn)）的面積分別為E，邑，邑.

（1）證明：幾+〃為定值；

（2）若工=〃電+〃S3,-4＜2＜-2,求機(jī)的取值范圍.

6.（2023?四川成都?統(tǒng)考二模）已知橢圓5+==1（。＞人＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為用，鳥，離心率e=，2,

CTb2

2

—=2.

c

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)片的直線/與該橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且歸M+EN|=2爭，求直線/的方程.

7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)耳耳分別是橢圓￡＞:￡+[=1（“＞。＞0）的左、右焦點(diǎn)，過尸?作傾斜角為三

ab3

的直線交橢圓。于4,8兩點(diǎn)，耳到直線AB的距離為3,連接橢圓。的四個頂點(diǎn)得到的菱形面積為4.

（1）求橢圓。的方程；

（2）已知點(diǎn)Af（-LO）,設(shè)E是橢圓。上的一點(diǎn)，過及加兩點(diǎn)的直線/交,軸于點(diǎn)C,若CE=2EM，求九

的取值范圍；

（3）作直線4與橢圓。交于不同的兩點(diǎn)P,Q,其中P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,0）,若點(diǎn)N（0j）是線段PQ垂直平分

線上一點(diǎn)，且滿足NRNQ=4,求實(shí)數(shù)f的值.

22

8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，A3為橢圓￡：三+:=1（。>%>0）的左、右頂點(diǎn)，焦距長為

ab

25點(diǎn)P在橢圓E上，直線尸APB的斜率之積為j

（1）求橢圓E的方程；

（2）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C（-2,2）,直線PC交橢圓E于點(diǎn)M（M,P不重合），直線8Moe交于點(diǎn)

G.求證：直線AP,AG的斜率之積為定值，并求出該定值.

9.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知尸，F(xiàn)分別是橢圓6：17/+16尸=17的上、下焦點(diǎn)，直線4過點(diǎn)少且

垂直于橢圓長軸，動直線4垂直乙于點(diǎn)G,線段G廠的垂直平分線交4于點(diǎn)H，點(diǎn)H的軌跡為C?.

（1）求軌跡C?的方程；

（2）若動點(diǎn)P在直線/"->-2=。上運(yùn)動，且過點(diǎn)P作軌跡C2的兩條切線出、PB,切點(diǎn)為A、B,試猜

想ZPFA與Z.PFB的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論的正確性.

22

10.（2023春?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓1