復(fù)數(shù)的三角表示（2課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì) 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期春季課題7.3復(fù)數(shù)的三角表示（第一課時(shí)）教科書(shū)書(shū)名：高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)（人教A版2019）教材出版社：人民教育出版社教學(xué)目標(biāo)1.了解、掌握復(fù)數(shù)的三角表示式，了解復(fù)數(shù)的兩種形式的意義；2.了解復(fù)數(shù)的三角形式下的運(yùn)算及法則.教學(xué)內(nèi)容教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的三角形式下的運(yùn)算及其幾何意義.教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的應(yīng)用.教學(xué)過(guò)程溫故知新奠定基礎(chǔ)復(fù)數(shù)的幾何意義：引導(dǎo)探究得出概念問(wèn)題1：我們知道復(fù)數(shù)z＝a＋bi可以由向量的坐標(biāo)唯一確定，向量既可以由它的坐標(biāo)唯一確定，也可以由它的大小和方向唯一確定，觀察分析圖1，能否借助向量的大小和方向這兩個(gè)要素來(lái)表示復(fù)數(shù)呢？你認(rèn)為如何表示？追問(wèn)1：為了解決問(wèn)題1，首先應(yīng)研究什么？追問(wèn)2：如何用文字表述角θ呢？【設(shè)計(jì)意圖】利用教科書(shū)上的探究問(wèn)題，借助復(fù)數(shù)的幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生嘗試定量刻畫(huà)向量的大小和方向，為得出復(fù)數(shù)的三角表示式奠基，這也是得出復(fù)數(shù)三角表示式的第一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié).追問(wèn)3：你能用向量的模，以及以x軸的非負(fù)半軸為始邊，以向量所在射線為終邊的角θ來(lái)表示復(fù)數(shù)z嗎？由復(fù)數(shù)z＝a＋bi的向量表示，易得追問(wèn)4：角θ的終邊落在其余象限時(shí)，上式也成立嗎？成立【設(shè)計(jì)意圖】要求學(xué)生進(jìn)一步借助圖形，得出模和角與平面向量的坐標(biāo)的關(guān)系，從中感受復(fù)數(shù)和平面向量的關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合的思想.這是得出復(fù)數(shù)三角表示式的另一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié).復(fù)數(shù)的三角形式：一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi都可以表示成的形式.其中r是復(fù)數(shù)的模；θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的輻角.叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的三角表示式，簡(jiǎn)稱三角形式.a＋bi叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡(jiǎn)稱代數(shù)形式.自我小測(cè)：1.寫(xiě)出下列復(fù)數(shù)的輻角.i（2）1（3）-1（4）-i（5）0問(wèn)題2：一個(gè)復(fù)數(shù)的輻角的值有多少個(gè)？追問(wèn)：這些輻角的值之間有什么關(guān)系呢？【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生由平面直角坐標(biāo)系中終邊相同的角的特點(diǎn)，得出復(fù)數(shù)輻角的多值性，以及這些值之間相差的整數(shù)倍；類比零向量，了解復(fù)數(shù)為0時(shí)輻角的任意性.問(wèn)題3：在研究問(wèn)題時(shí)，復(fù)數(shù)輻角的多值性有時(shí)會(huì)給我們帶來(lái)不便，為了使任意一個(gè)非0復(fù)數(shù)有唯一確定的“值”作為其所有輻值的代表，你認(rèn)為規(guī)定這種“值”在哪個(gè)范圍內(nèi)比較合適？規(guī)定：在0≤θ<2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作argz.追問(wèn)：一個(gè)非零復(fù)數(shù)輻角的主值有多少個(gè)？【設(shè)計(jì)意圖】給出輻角的主值的概念和取值范圍，讓學(xué)生了解規(guī)定輻角的主值，保證了其唯一性，從而為一些表述和研究帶來(lái)便利.自我小測(cè)：1.寫(xiě)出下列復(fù)數(shù)的輻角的主值.（1）i（2）1（3）-1（4）-i把一個(gè)復(fù)數(shù)表示為三角形式時(shí)，輻角不一定取主值.【設(shè)計(jì)意圖】由學(xué)生容易出錯(cuò)的問(wèn)題，通過(guò)具體事例引出對(duì)復(fù)數(shù)三角表示式的辨析，通過(guò)對(duì)復(fù)數(shù)三角表示式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的分析，得出復(fù)數(shù)三角表示式的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)對(duì)復(fù)數(shù)的三角表示式作出判斷.概念應(yīng)用鞏固新知例1：畫(huà)出下列復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成三角形式.解：（1）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量如圖所示，則，所以（2）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量如圖所示，則，所以或者：，但是輻角不是輻角主值.【設(shè)計(jì)意圖】一方面是讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)復(fù)數(shù)的幾何意義，感受復(fù)數(shù)和平面向量一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系；另一方面是借助與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷角的終邊所在的象限，體會(huì)將復(fù)數(shù)代數(shù)形式化為三角形式的基本方法.例2：分別指出下列復(fù)數(shù)的模和一個(gè)輻角，畫(huà)出它們對(duì)應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式.解：（1）復(fù)數(shù)的模,一個(gè)輻角，對(duì)應(yīng)的向量如圖所示，所以（2）復(fù)數(shù)的模，一個(gè)輻角，對(duì)應(yīng)的向量如圖所示，所以【設(shè)計(jì)意圖】一是通過(guò)幾何直觀，幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)三角形式中.問(wèn)題4：兩個(gè)用代數(shù)形式表示的非零復(fù)數(shù)相等的條件是什么？?jī)蓚€(gè)用三角形式表示的非零復(fù)數(shù)在什么條件下相等呢？?jī)蓚€(gè)復(fù)數(shù)相等兩個(gè)復(fù)數(shù)的模相等且輻角主值相等課堂小結(jié)回顧反思復(fù)數(shù)的兩種形式代數(shù)形式三角形式實(shí)部虛部輻角，輻角主值復(fù)數(shù)的三角形式和代數(shù)形式可以根據(jù)需要進(jìn)行互化.作業(yè)布置目標(biāo)檢測(cè)1.畫(huà)出下列復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成三角形式.下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？如果不是，把它表示成三角形式.3.將下列復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式：4.預(yù)習(xí)課本7.3.2復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期春季課題7.3復(fù)數(shù)的三角表示（第二課時(shí)）教科書(shū)書(shū)名：高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)（人教A版2019）教材出版社：人民教育出版社出版日期：2019年7月教學(xué)目標(biāo)1.了解復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義.2.在知識(shí)的探究過(guò)程和發(fā)現(xiàn)中,感受數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想方法，提升直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).教學(xué)內(nèi)容教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義.教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義的理解.教學(xué)過(guò)程溫故知新奠定基礎(chǔ)問(wèn)題1：我們知道復(fù)數(shù)可以進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算，請(qǐng)回憶一下，復(fù)數(shù)代數(shù)形式加法和乘法運(yùn)算的法則是什么？【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)數(shù)加法、乘法運(yùn)算的法則是研究復(fù)數(shù)加法、乘法運(yùn)算三角表示的出發(fā)點(diǎn)，提出這個(gè)問(wèn)題，激活學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，為本節(jié)課研究復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示進(jìn)行鋪墊.引導(dǎo)探究得出概念問(wèn)題2：上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)一種新的表示方法—三角形式，那么復(fù)數(shù)的加法和乘法運(yùn)算是否能用三角形式來(lái)表示呢?如果把復(fù)數(shù)，分別寫(xiě)成三角形式：，你能計(jì)算和并將結(jié)果分別寫(xiě)成三角形式嗎？不能寫(xiě)成三角形式.復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示：【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，自主探究，側(cè)重經(jīng)歷復(fù)數(shù)乘法的三角表示公式的得出的過(guò)程，從中進(jìn)一步體會(huì)復(fù)數(shù)與三角之間的緊密聯(lián)系.問(wèn)題3：你能用文字語(yǔ)言來(lái)表述復(fù)數(shù)乘法的三角表示公式嗎？?jī)蓚€(gè)復(fù)數(shù)相乘:積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.可簡(jiǎn)述為：模相乘，輻角相加.【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力，幫助學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算三角表示的理解.問(wèn)題4：我們知道復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算具有幾何意義，那么復(fù)數(shù)乘法有沒(méi)有幾何意義呢？由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示，你能得到復(fù)數(shù)乘法的幾何意義嗎？?jī)蓚€(gè)復(fù)數(shù)，相乘時(shí)，如圖，先分別畫(huà)出與，對(duì)應(yīng)的向量，，然后把向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角（如果，就要把繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角），再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到向量，表示的復(fù)數(shù)就是積．這是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生借助圖形進(jìn)行分析，探究得出復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算三角表示的幾何意義，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和合作意識(shí).概念應(yīng)用鞏固新知問(wèn)題5：你能解釋和的幾何意義嗎？【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何意義，進(jìn)一步理解熟悉的乘法運(yùn)算的基本結(jié)論.例1：已知求，請(qǐng)把結(jié)果化為代數(shù)形式，并作出幾何解釋.解：首先做與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量，然后把向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，這樣得到一個(gè)長(zhǎng)度為3，輻角為的向量．即為所對(duì)應(yīng)的向量．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生利用復(fù)數(shù)乘法的三角表示進(jìn)行運(yùn)算，進(jìn)一步熟悉算理和復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算三角表示的幾何意義.例2：如圖,向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+i，把繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到.求向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)(用代數(shù)形式表示).解：向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生了解利用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義可以解決某些與向量旋轉(zhuǎn)、伸縮有關(guān)的復(fù)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題，體會(huì)利用復(fù)數(shù)乘法幾何意義解決問(wèn)題的便捷性.問(wèn)題6：除法運(yùn)算是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算.根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示，你能得出復(fù)數(shù)除法的三角表示嗎？所以【設(shè)計(jì)意圖】在復(fù)數(shù)乘法的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生借助已有的知識(shí)和運(yùn)算技巧推導(dǎo)復(fù)數(shù)除法的三角表示，體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸和類比的數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示：追問(wèn)1：你能用文字語(yǔ)言來(lái)表述復(fù)數(shù)除法的三角表示公式嗎？?jī)蓚€(gè)復(fù)數(shù)相除:商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.可以簡(jiǎn)述為：模相除，輻角相減.追問(wèn)2：你還有其他的推導(dǎo)方法嗎？問(wèn)題7：類比復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，由復(fù)數(shù)除法的三角表示，你能得出復(fù)數(shù)除法的幾何意義嗎？?jī)蓚€(gè)復(fù)數(shù)相除時(shí)，如圖，把向量繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得到向量，表示的復(fù)數(shù)就是商.這是復(fù)數(shù)除法的幾何意義.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)除法三角表示的幾何意義的自主探究，讓學(xué)生進(jìn)一步感受乘法和除法相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，感受向量與復(fù)數(shù)之間的聯(lián)系，同時(shí)感受數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中的作用.例3：計(jì)算并把結(jié)果化為代數(shù)形式.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示公式進(jìn)行運(yùn)算，進(jìn)一步熟悉算理.指導(dǎo)學(xué)生反思：在確保兩個(gè)復(fù)數(shù)都為三角表示形式，才能運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角表示公式進(jìn)行運(yùn)算.課堂小結(jié)回顧反思復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示：即兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘,積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積,積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示：即兩個(gè)復(fù)數(shù)相除,商的模等于被除數(shù)模除以除數(shù)的模所得的商,商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.【設(shè)計(jì)意圖】幫助梳理本節(jié)課的知識(shí)、研究思