高中數(shù)學(xué) 對(duì)數(shù) 知識(shí)點(diǎn)精講及重點(diǎn)題型訓(xùn)練（解析版）

4.3對(duì)數(shù)

?知識(shí)導(dǎo)圖

?知出精講

考點(diǎn)一對(duì)數(shù)的概念

如果談=N(a>0,且存1),那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=lognN,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N

叫做真數(shù).

考點(diǎn)二對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)

⑴對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①〃og/=N；②log“"=b(a>0,且存1).

(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則

如果。>0且存1，M>0,N>0,那么

@logfl(W)=loglogJV；

/M

②log==log“M-logaN；

N

③10go=n\ogaM(nGR)；

n

④log/冊(cè)=TogaM冽，〃￡R,且機(jī)網(wǎng)).

一m

lo^N

(3)換底公式：logW="；------(〃，b均大于零且不等于1).

logab

重點(diǎn)題型

（-）求對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域問(wèn)題

例1.（1）、下列對(duì)數(shù)式中，與指數(shù)式7,=9等價(jià)的是（）

A.log7x=9B.log,x=-7C.log79=xD.logY9=7

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系直接判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,log7X=9等價(jià)于79=》，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,1咤/=-7等價(jià)于9-=x,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,log?9=x等價(jià)于7*=9,C正確；

對(duì)于D,k）g,9=7等價(jià)于/=9（x>0,x/l）,D錯(cuò)誤.

故選：C.

（2）.（2021?全國(guó)?高一專題練習(xí)）（多選）下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）

A.零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)

B.任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式

C.以10為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)

D.以e為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)

【答案】BCD

【分析】對(duì)于A：由對(duì)數(shù)的定義即可判斷；

對(duì)于B：用對(duì)數(shù)的定義即可判斷；

對(duì)于C：由常用對(duì)數(shù)的定義即可判斷；

對(duì)于D：由自然對(duì)數(shù)的定義即可判斷.

【詳解】對(duì)于A:由對(duì)數(shù)的定義可知：零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù).故A正確；

對(duì)于B：只有符合。>0,且awl,N>Q,才有優(yōu)=Nox=logaN,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：BCD.

【變式訓(xùn)練1-1】、(2021?江西省吉水中學(xué)高一階段練習(xí))使式子log(2,f六有意義的x的取值范圍是

()

A.(2,+co)B.C.(-°°,2)D.g,l]u(l,2)

【答案】D

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的意義建立不等式組求解即可.

【詳解】要使式子1。坳1)—一有意義，

I)2-x

.1

'2x-l>0X>2

貝<2x—1w1,即<xw1,

2-x>0x<2

解得或l<x<2,

2

所以X的取值范圍是(；,ju(l,2).

故選：D

【變式訓(xùn)練1-2】、(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))有下列說(shuō)法：

①以10為底的對(duì)數(shù)叫作常用對(duì)數(shù)；

②任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式；

③以e為底的對(duì)數(shù)叫作自然對(duì)數(shù)；

④零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù).

其中正確的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的相關(guān)概念和性質(zhì)，一一判斷每個(gè)選項(xiàng)，可得答案.

【詳解】根據(jù)常用對(duì)數(shù)以及自然對(duì)數(shù)的概念可知①③正確，根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)可知④正確，

只有當(dāng)。>0且時(shí)，指數(shù)式a，=N才可以化成對(duì)數(shù)式，②錯(cuò)誤，

故選：C

(二)對(duì)數(shù)與指數(shù)互化

例2.(1)、(2021?全國(guó)?高一單元測(cè)試)(多選題)下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的是()

A.54=625與log4625=5B.lO^=與炮。.=一2

[J=16與log-16=；1,._1

c.D.95=3與log93=—

【答案】BD

【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化公式，依次驗(yàn)證每個(gè)選項(xiàng)即可得解.

【詳解】對(duì)于A,54=625可化為：logs625=4,故不正確；

對(duì)于B,10-2=0.01可化為：|go.oi=_2,故正確；

對(duì)于C,（￡|4=16可化為：腕316=一4,故不正確；

對(duì)于D,9：=3可化為：1°893=；，故正確.

故選：BD

（2）、（多選題）（2021?全國(guó)高一專題練習(xí)）下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的一組是（）

A.10°=1與1g1=0B.27^=:與I°g27：=一:

（：.嗨9=2與9；=3D.嗨5=1與51=5

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的結(jié)論逐個(gè)分析可得答案.

【詳解】

對(duì)于A,10°=lolgl=0,A正確；

-1111

對(duì)于B,273=-?log-=一一，B正確；

327733

2

對(duì)于C,log39=2^3=9,C不正確；

1

對(duì)于D,log55=1<=>5=5,D正確.

故選：ABD.

【變式訓(xùn)練2-1】.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化不正確的一組是（）

B.8Q=；與logsgu.g

A.e°=Tnl=0

C.log39=2與95=3D.Iog77=l與7=7

【答案】C

【分析】結(jié)合指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的知識(shí)確定正確答案.

【詳解】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化可知：

對(duì)于選項(xiàng)A：e°=l等價(jià)于lnl=O,故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：86）=」等價(jià)于1。88!=-!，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：logs9=2等價(jià)于h=9,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)。：1。877=1等價(jià)于7:7,故D正確；

故選：C.

【變式訓(xùn)練2-2】.（2023?全國(guó)?高一假期作業(yè)）（多選題）下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的一組是（

A.e°=l與lnl=0B.logs9=2與95=3

1111

1

C.83=］與k）g85=-§D.log77=12g7=7

【答案】AD

【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化公式，依次驗(yàn)證每個(gè)選項(xiàng)即可得解.

【詳解】解：對(duì)于e°=l可化為：0=log/=lnl=0,A正確，

對(duì)于logs9=2可化為：32=9,B不正確，

對(duì)于83=上可化為與，1。隊(duì)不=鼻（不正確，

223

對(duì)于log77=l可化為：7'=7,D正確，

故選：AD.

.（三）解對(duì)數(shù)方程

例3.（1）、（2021?江蘇?淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處高一期中）若log?%：7,貝拉=

【答案】:##0.125

O

【分析】將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，由此求得X的值.

【詳解】依題意10g2》=-3,所以》=2-3="

O

故答案為：—

O

（2）.（2022?全國(guó)?高一專題練習(xí)）方程In（log/）=0的解是（）

A.1B.2C.eD.3

【答案】D

【分析】利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)果.

【詳解】?.Tn(log3X)=。，.?.log3X=e°=l,.?.x=3.

故選：D.

【變式訓(xùn)練3-1】、(2023秋?貴州黔東南?高一統(tǒng)考期末)若貝匹=.

【答案】V3/3I

【分析】將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式來(lái)求得正確答案.

【詳解】由1083。=；，則q=3；=g

故答案為：V3

【變式訓(xùn)練3-2】、(2022?安徽模擬預(yù)測(cè)(文))方程In(logs》)=。的解是()

A.1B.2C.eD.3

【答案】D

【分析】利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)果.

【詳解】??Tn(log3X)=0,.?.log3X=e°=1,??.%=3.

故選：D.

例4.(2023?全國(guó)?高一假期作業(yè))求下列各式中x的值.

(l)log3(log4(log5x))=l

(2)logs(log4(log5x))=0

【答案】⑴x=5"；

(2)625.

【分析】(1)利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系化簡(jiǎn)即可；

(2)利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系化簡(jiǎn)即可.

【詳解】(1)由1。83(1。84(1。85%))=1可得，1084(1。85月=3,

3

則log5x=4=64,

所以X=56，

（2）由log3（bg4（log5X））=0可得，log4（log5X）=l,

log5X=4,所以x=54=625.

【變式訓(xùn)練4-1】、(2022?高一課時(shí)練習(xí))求下列各式中的x值:

(l)log5x=3；

(2)log2(2x+l)=3；

⑶bg，=3；

o

(4)log28'=-3.

【答案］⑴工25

可

(4)-1

【分析】將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，從而可得出答案.

【詳解】（1）解：因?yàn)閘og5X=3,

所以x=53=125；

（2）解：因?yàn)閘og2（2x+l）=3,

7

所以2X+1=23=8,解得X=]

（3）解：因?yàn)閗）g，=3,

O

所以=所以X=:；

（4）解：因?yàn)閘og2&'=-3,

所以8、=2-3=8-，所以x=-L

（四）用對(duì)數(shù)型公式及換底公式化簡(jiǎn)求值

例5.（1）、（2020?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）Iog5；+log53等于（）

10

【答案】A

【解析】因?yàn)閘og51+log53=log5Qx3j=log5l=0.

故選：A.

log53

(2)、(2023秋?高一課時(shí)練習(xí))2log32-log3y+log38-5=()

A.1B.2

C.—1D.—5

【答案】C

【分析】由對(duì)數(shù)式的運(yùn)算規(guī)則化簡(jiǎn)求值.

【詳解】原式=21og32-(log332-log39)+31og32-3=510g32-(51og32-2)-3=-l.

故選：C

【變式訓(xùn)練5-1】、(2022秋?江蘇徐州?高一統(tǒng)考期中)(多選題)下列結(jié)論正確的是()

A.(衛(wèi))="5"方B,ln(lne)=0

C.{(a-n)2=a-?t(aeR)D.(1g2)-+lg5xlg20=l

【答案】BD

【分析】利用指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可判斷BD選項(xiàng)；利用根式的性質(zhì)可判

斷C選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，篇『="5〃「5,人錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，ln(lne)=lnl=O,B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，［(。-兀)2=|a-7t|(aeR),C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，(lg2)2+lg5xlg20=(lg2)2+lg5(lg2+lgl0)=lg2(lg2+lg5)+lg5

=lg2+lg5=lgl0=l,D對(duì).

故選：BD.

,11

【變式訓(xùn)練5-2】、(2021?上海市行知中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試)已知實(shí)數(shù)滿足:2，'=27,貝卜+一=

xV

【答案】|

【分析】由已知指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式求出X/的值，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出工+工

xy

【詳解】因?yàn)?]=2>'=27,所以x=log/7,y=log227,

nj[|-1+1-=；1+\1=110§327-+110§2c72l=lo§27r3=T1

1

火Jxylog327log22723?

2

故答案為：?

例6.（2023秋?吉林通化?高三校考階段練習(xí)）計(jì)算下列各式的值：

(1)0.25-2+［曰一;Igl6-21g5+出；

（2）2叫+得

a

【答案】①三

⑵2

【分析】根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則直接化簡(jiǎn)求解即可.

【詳解】(1)0.25-3一;Igl6-21g5+［；］=42+3^-1lg24-21g5+l

3333

=16+--2(lg2+lg5)+l=16+--2+l=y.

l0821810

(2)2^+f^+lg20-lg2-log32.log23+(V2-l)=^+^1+21g2+lg5-lg2-l+(V2-l)

13

=-+-+lg2+lg5-l+l=l+l=2.

44

【變式訓(xùn)練6-1】.(2023春?湖南岳陽(yáng)?高一校考開(kāi)學(xué)考試)計(jì)算

77--4Q--?

(D(y)3-(y)O5+(0.008)3x—+(7t-l)°

1

?2

(2)log23log34+(lg5)+lg51g20+-lgl6-2臉？

【答案】⑴5

(2)1

【分析】（1）根據(jù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.

(2)根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)的換底公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.

【詳解】(1)解：由指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)，可得:

49__?3J247-2,47°10

-(y)05+(0.008)3X—+(K-1)°=+x----1-1=-------1-25x----1-1=--------1-3=—

I4II259325939

(2)解：由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)的換底公式，可得:

91

3

10g23.logs4+(1g5)一+1g51g20+51g16-2臉

]g3,1g4421g2

=+lg5(lg5+lg20)+1lg2-3=+lg5.lg(5x20)+21g2-3

lg2lg3lg2

=2+21g5+21g2-3=21gl0-1=1.

(五)與對(duì)數(shù)有關(guān)的條件求值問(wèn)題

例7、(2020?浙江高一課時(shí)練習(xí))已知二次函數(shù)/(》)=(炮°)/+2%+4坨。的最小值為3,求(log“5『+

log.2-log“50的值.

【答案】1.

【解析】?//(x)=(lga)x2+2x+41g。的最小值為3，

(1)1(1>11

lga>0,/(x)min=f——=lgax--^+2x-------+41ga=41ga---------=3,

IIgaJ(Iga)IIgaJIIggaa

即4(lga)2—31ga—l=0,(41ga+l)(lga—1)=0,貝Hga=l,.?.a=10.

22

???(logfl5)2+log“2.logfl50=(lg5)+lg2-lg50=(lg5)+Ig2(lg5+1)=Ig5(lg5+lg2)+lg2=1.

X

例8、(2021?安順市第三高級(jí)中學(xué)(文))(1)已知21g(x-2y)=lgx+lgy,求一的值.

y

(2)設(shè)石滿足2x+lnx=3,工2滿足ln(l—')—2x=l求再+X2的值.

x

【答案】(1)一=4；(2)1.

y

【分析】

(1)利用對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)已知條件，因式分解然后求得土的值.

y

(2)利用換元法化簡(jiǎn)已知條件，結(jié)合函數(shù)〃x)=2x+lnx的單調(diào)性求得否+%=1.

【詳解】

(1)由2坨(》一2歹)=電e+坨＞得聯(lián)工一2方=也0),

???(x-2)y=xy

.,.x2-5xy+4y2=0,(x-j^)(x-4y)=0,

Y

即一=1或4.

y

又%>0)>0,%-2>>0,

???土=1舍去，故土=4.

yy

(2)由題意得2再+111再=3,ln(l—%2)-2%=1,ln(l-x2)+2(l-x2)=3,

令1—%2=1，則2%+1/E=3.

???/(X)=2x+Inx在(0,+8)單調(diào)遞增,

**t—再，

再+x2=1.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，考查對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

(六)對(duì)數(shù)的綜合應(yīng)用

例11.(1)、(2023秋?河北保定?高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)在百端待舉、日理萬(wàn)機(jī)中，毛澤東主席仍不忘我國(guó)

的教育事業(yè).1951年9月底，毛主席在接見(jiàn)安徽參加國(guó)慶的代表團(tuán)時(shí)，送給代表團(tuán)成員一一渡江小英雄馬毛

姐一本精美的筆記本，并在扉頁(yè)上題詞：好好學(xué)習(xí)，天天向上.這8個(gè)字的題詞迅速在全國(guó)傳播開(kāi)來(lái)，影響

并指導(dǎo)著一代代青少年青春向上，不負(fù)韶華.他告訴我們：每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，持之以恒，收獲不止一點(diǎn)點(diǎn).把

學(xué)生現(xiàn)在的學(xué)習(xí)情況看作1.每天的“進(jìn)步率"為3%,那么經(jīng)過(guò)一個(gè)學(xué)期(看作120天)后的學(xué)習(xí)情況為

(1+3%)12°?34.711,如果每天的"遲步率”為3%,同樣經(jīng)過(guò)一個(gè)學(xué)期后的學(xué)習(xí)情況為(1-3%)皿。0.026,經(jīng)

過(guò)一個(gè)學(xué)期，進(jìn)步者的學(xué)習(xí)情況是遲步者學(xué)習(xí)情況的1335倍還多，按上述情況，若"進(jìn)步"的值是"遲步"的

值的10倍，要經(jīng)過(guò)的天數(shù)大約為(保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：吆103。2.013,1g97al.987)()

入片

人好

閡率

回

A.28B.38C.60D.100

【答案】B

【分析】根據(jù)題意建立指數(shù)方程，指數(shù)式化對(duì)數(shù)式求解方程，再利用換底公式，轉(zhuǎn)化為常用對(duì)數(shù)運(yùn)算即可.

【詳解】設(shè)要經(jīng)過(guò)"天，"進(jìn)步"的值是"遲步”的值的10倍，

103

W

2.013-1.987-0.026

故選：B.

(2)、(2022?廣東汕頭?高三階段練習(xí))核酸檢測(cè)分析是用熒光定量PCR法，通過(guò)化學(xué)物質(zhì)的熒光信號(hào)，對(duì)

在PCR擴(kuò)增進(jìn)程中成指數(shù)級(jí)增加的靶標(biāo)DN4實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)，在尸CR擴(kuò)增的指數(shù)時(shí)期，熒光信號(hào)強(qiáng)度達(dá)到閥值

時(shí)，。股的數(shù)量X與擴(kuò)增次數(shù)〃滿足lgX.=〃lg(l+M+lgX。，其中X。為DM4的初始數(shù)量，p為擴(kuò)增效率.

己知某被測(cè)標(biāo)本。AM擴(kuò)增12次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉?lái)的1000倍，則擴(kuò)增效率p約為()(參考數(shù)據(jù)：

025

IOa1.778,IO*?5ss0.562)

A.2