2023年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽(預(yù)賽)一試預(yù)測卷三(含解析)

2023年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽(預(yù)賽)暨2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽

一試仿真模擬卷(三)

一、填空題(每題8分，共64分)

1.若acos2x-0cosx?-l對任意實數(shù)x成立，則a+h的最大值為.

2.滿足z238_z-l=0且|Z|=1的復(fù)數(shù)Z有個.

3.若函數(shù)/(x)=l-d臉+/在上恒大于0,則a的取值范圍是.

4.正八面體有8個面、6個頂點，甲選擇其中3個面的中心構(gòu)成三角形，乙選擇其中3

個頂點構(gòu)成三角形，則甲、乙二人選擇的三角形相似的概率是.

5.正三棱柱ABC-AB'C'BC的底面邊長和高都是1,在底面ABC上取一點P,設(shè)平面

與平面ABC的二面角為2，平面PAC'與平面ABC的二面角為尸，則cos(a+￡)的最大值為

6.已知函數(shù)f(x)=Qsinx+)cosMQ,匕￡Z)，且滿足{x"(x)=0}={x|/(/(%))=0},則整

數(shù)對(。,份有個.

7.拋物線丁=2》的焦點為E設(shè)M是拋物線上一動點，當(dāng)筮最小時，M點的坐標(biāo)為

a2+ab+b2=169

8.正實數(shù)。、b、c滿足<82+80+<?2=196,貝Ia/?+Z?c+c。=.

c2+ca+〃=225

二、解答題（共56分）

9.（16分）正實數(shù)a、b、c滿足-L+4+-V<9.證明：存在以a、b、c為三

4ab-c

長的三角形.

10.（20分）已知雙曲線「親?—方=1（。〉0口〉0）的離心率為2,過點尸（0,〃2）（加〉0）斜率

為1的直線交雙曲線「于A、8兩點，且4P=3PB,OAOB=3.

（1）求雙曲線方程；

（2）設(shè)頂點為P（0,p）開口向上的拋物線與雙曲線「相切于M、N兩點.求△PMN面積的

最小值.

11.（20分）已知函數(shù)/（幻=加+桁+。義域為區(qū).當(dāng)工€伊）的時，"。）-爐區(qū)2018,

且當(dāng)xe[-2,3]時，/（%）的最大值為10.

（1）求/（X）在R上的最小值；

（2）若存在實數(shù)相、n,使得|%2+儂；+〃區(qū)4（x）對任意xe[T,l]恒成立，求實數(shù)%的最

小值.

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一試仿真模擬卷（三）詳細(xì)解析

jr741

1.2.解:當(dāng)工=—時，可知a+b<2.當(dāng)“=—,b=—時，原式等價于一Qcosx-lf20(

3333

恒成立.故a+人的最大值為2.

2.0.解：由題意知|z+l|=|z2°R=l,又|z|=l,故Z=—]±Ti.代入得z2°l8—z—l#0,

故解有。個.

3.F—,-)U(l,+°o).解：首先知。>0且1.當(dāng)a>l時，

L322/2

2

log2u%<0<x,

因此/(x)恒大于0.

當(dāng)（）<a<l時，若/（x）在（；,；）上恒大于0,則@2AX）-A6>,,因此0<a<g,

且（182am-0N°'故'""I綜上所述,aeUjUQ'E）.

4.—.解：甲有三種情況：等腰直角三角形、直角邊比為1:Q的直角三角形、正三角

35

形.一共有56種.其中等腰直角三角形有24種；直角邊比為1:五的直角三角形有24種；正

三角形有8種.

乙有兩種情況：等腰直角三角形、正三角形.共有20種.其中正三角形有8種；等腰直

角三角形有12種.

因此，兩三角形相似的概率為"x工+2乂總=以

5620562035

n

5.—-解：作點尸到平面的投影P',作PM，48'于M,P'NLA'C于N,則

19

NPMP'=a,ZPNP'=ft,過P'作分別交AB'于"'，交4C于N'.

代>/3

設(shè)MN=aWl,=則P'M=——x,P'N=一(a—x),故

22

PP'273PP'2>/3

tana=---=-,--tanp=

P'M3xP'N3(a-x)

2打2628

所以tan(a+￡)---------->---------->--------f

3x(?-x)-43x(1-%)-4￡413

4-

由于tan(cr+/?)>，因此tan(a+4)<0,a+0e.

又tan(cr+/?)>~~~，故以雙二+夕)<-葛,當(dāng)且僅當(dāng)P為BC中點時等號成立.

6.7.解：由條件知，/(0)=0,則b=0,/(x)=6zsinx,貝i」{x|/(x)=0}={Qr|A￡Z},

所以=當(dāng)女工0時無解，所以所以〃=±3,±2,±1,0,(〃力)共有7個.

7.(1,±V2).解：設(shè)點M(x,y),則(地j=4-4x+l=］一,令4*—1=/,則「<()

\MO)4X2+SX4X2+8X

時”21,，>()時，

MO

產(chǎn)匕14—-

,+10+?-44，

t

當(dāng)且僅當(dāng)f=3即x=1時等號成立.故M點的坐標(biāo)為(1,±V2).

8.112>/3.解：由方程構(gòu)造△ABC及點。，使N4CB=ZBCC=zON=—,且Q4=?,

3

OB=b,OC=c,則AB=13,3C=14,04=15.驗證知條件成立.故

cccc12^-12^-1.171.、

S^ABC=S&OAB+S^OBC+5AOAC="?^Sin—+-bSlO—+-C?S10—=—(^+^+C?),

由△ABC三邊長知A到BC距離為12,故S?8C=；x。B<容=(也可由海倫公式得出),

因止匕，ab+bc+ca=112'/3.

9.不妨設(shè)aWbWc,只需證c<a+A.假設(shè)cNa+b,則由"cV,知《2脂/〃，且

4c~

；>abc>ab(a+b)>2〃射,

則-5-N4.故

ab

c11111,,，，2

9>-z-H—z-H———T—~+16ab

a2b2c2a2b

4-----+4----+16a力-N9A/16a力一>9,

4a24b2V

矛盾.

22

10.(1)由雙曲線離心率為2知，c=2a,b=?,雙曲線方程化為「—當(dāng)=1,設(shè)直

a23a2

線方程為y=x+m,聯(lián)立得

2x2—2mx—m2—3a1=0.①

2Q2

設(shè)A(%,y),B(x2,y2),則M+W=〃2,X}X2=-...-.因為A「=3尸R,所以玉二一3/，

又%+%2="，解得玉="|〃2，x2=~?代入%工2="2"解得毋=6。2.又因為3=

222

OA-OB=x{x2+yxy2=m-3a=3a,所以6=],此時△〉().

代入①式，得2f—2在x-9=0,判別式△〉()，方程有兩個不同實根.因此〃=1符合題

2

意.故雙曲線方程為/一二=1.

3

(2)設(shè)拋物線的方程為y=qf+Mq>0),即/二工㈠一刀，與雙曲線聯(lián)立消去工得

q

qy2-3y+3p+3q=0,

由相切知判別式△=9-4q(3p+34)=0,解得p=―竺-,代入

句

qy2—3y+3p+3q=O,

o4

得Qy2.3y+丁=0,角星得y=-.

4q2q

代入X2=j_(y—p)解得

q

因止匕S4PMN='」玉一wl，y"一

22444V4q-V4qJ

令1+3=A,則q2=Y—且Ql，要求KPMN的最小值，只需求J工a>D的最小值，

4q4K-4VZ-l

只需求/」(女>1)的最小值.

3x2(m-

令/*)=1則八幻

X-1(1)2(X-l)2

當(dāng)/'(x)=0時，x=0或}當(dāng)x=T時，/(x)取得極小值.

當(dāng)女=|時，q=J,%.的取得最小值為‘

11.(1)由題設(shè)知Ka-Df+foc+c區(qū)2018在[2018,+co)上恒成立.

當(dāng)a=l時,gx+c區(qū)2018在[2018,+oo)上恒成立.若b=0,則|c區(qū)201&若b>0,取

*>2018￡,則bx+c>2()18,矛盾.若人<(),則取X〉""8,則入x+c<—2018,矛盾.

bh

當(dāng)a>l時，取x>max[l,max{°，2018c}一],則

(a一1)

(a-l)x+b>max{0,2018-c},

由于％>1,則

[(a—\)x+b\x>max{0,2018—c},即

(a-I)%2+bx+c>max{c,2018}>2018,

矛盾.

當(dāng)a<l時，取x〉max1巴幽=答出心卜則

(〃-l)x+b<min{0,-2018—c},

由于x>1,則[(a—l)x+〃]x<min{0,—2018—c},即

(a-l)x2+bx+c<min{c,-2018}<-2018,

矛盾.