二項式系數(shù)的性質

6.3.2二項式系數(shù)的性質一：學習任務：.理解和掌握二項式系數(shù)的性質，并會簡單應用.（難點）.理解和初步掌握賦值法及其應用.（重點）二：學習重難點教學重點：理解和初步掌握賦值法及其應用.教學難點：理解和掌握二項式系數(shù)的性質，并會簡單應用.三：教學過理（一）教學情境引入：（。+by的展開式的二項式系數(shù)C。，。，C2,…，。，…，。有很多有nnn n n趣的性質，這節(jié)課就讓我們從不同的角度來研究一下吧.（二）基礎知識講解：問題1：你可以分別計算n=l,2,3,4,5,6時的二項式系數(shù)，并將通過合適列表呈現(xiàn)出來嗎？（ff+fi）1 1 2I（tf+A）5 1 331（“+婿 14641（a+b）5 1 5101051（"十孫,…I61520156I問題2：你發(fā)現(xiàn)了哪些規(guī)律?知識點二項式系數(shù)的性質(1)C(1)Cm=Cn—m,

nnCm+Cm-1=Cmnn n+1,=、 77T-1. 77T-1. ⑵即k<-2-時，C隨k的增加而增大；當k>F時，C:隨k的增加而減小.當n是偶數(shù)時，中間的一項CC2取得最大值；當n是奇數(shù)時，中間的兩項C7和CT相等，n n n且同時取得最大值.3）（。+b*的展開式的各二項式系數(shù)的和等于2n.（三）典型例題講解：類型1賦值法的應用例1、求證：在3+與，，的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和.分析：奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為C0+C2+C4+…，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和為nnnCl+C3+C5H.由于(〃+b)n—COan+ClCln-lb+C2Q〃-2b24 卜C九歷中的Q,?？梢匀∪我釺OC\o"1-5"\h\znnn n n n n實數(shù)，因此我們可以通過對〃，h適當賦值來得到上述兩個系數(shù)和.證明：在展開式(Q+b)n-Co。"+Clan-lb+C2Qn—2b24+Cnbn中,n n n n令〃=1,b=—l,貝I］得(1—l)〃=Co—Cl+C2+…+(—1“C>+…+(—nnn n n即C2o+C2+C4H )—(Ci+C3+C5H )=0.nnn n n n因止匕CO+C2+C4+i=C1+C3+C5+…，nnn n n n即在(Q+〃)〃的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和.變式： 已知(1-2x)7=aQ+a]x+a^~\ 1-^x7.求：(l)Q]+%d k%；(2)a]+%+%+”(3)〃o+%+%+綜；(4)%1+%I+\a2\4 卜卬的值，[解]令x=l,則%+%+〃2+%+%+%+。6+。7=_1，令x=-1,則a-ax+a-a3+a-a5+a-a=^.(l)V6Zo=Co=l,*.ax+a2+a^-\ \-a1=—2.(2)由(①一②):2,得-1-37<2^^+^+^= 2 =-1094.(3)由(①+②):2,得-1+37囪+%+%+綜― 2 -1093?(4)法一：(1—2x)7 的展開式中，a0，a2, a4, a6 大于零，而 a1, a3, a5, a7不大于零，\Ia01+1aJ+1a?lH Ha71(ao+a2+a4+a6)—(a1+a3+a5+a7)=1093+1094—2187.法二:,「Ia0I+1a1I+1a21H 卜Ia7I是(1+2x)7展開式中各項的系數(shù)和.??Ia0I+Ia1I+1a2I+…+1a7I=37—2187.類題通法 二項展開式中系數(shù)和的求法(1)對形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c￡R,m,n￡N*)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x=1即可；對(ax+by)n(a,b￡R,n￡N*)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x=y=1即可.(2)一般地，若f(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn,則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1),f(1)+f(―1)奇數(shù)項系數(shù)之和為a0+a2+a4+.= 2 ，f(1)—f(—1)偶數(shù)項系數(shù)之和為a1+a3+a5+.= 2 ［跟進訓練］1.設(1-2x)2022=a0+a1x+a2x2H Ha2022?x2022(x￡R).(1)求a0+a1+a2H Ha2022的值；(2)求a1+a3+a5H Ha2021的值；⑶求Ia0IHIa1IHIa2IH HIa2022I的值；⑷a1H2a2H3a3H…H2022a2022的值.［解］⑴令x=1,得a0+a1+a2H +a2022=(—1)2022=1. ①⑵令x——1,得a0—a1+a2 a2021+a2022=32吵 ②①一②得2(a1+a3H +a2021)=1-32022,1-32022?)a1+a3+a5H +a2021= 2 ⑶VT+1=C2022(-2X)^=--C2022.(2')「，???a2k_1V0(k￡N*)，a2k>0(k￡N).?\Ia0+IaJ+la2+Ia31H +1a2022I=a0-a1+a2-a3+…-a2021+a2022=32022.,X2022(X(ER),(4)V(1—2x)2022=a0+a1x+a?x,X2022(X(ER),2022x2021a￡R)，令X=1得，4044=-4044(1-2x)2021=a1+2a2x+…2022x2021a￡R)，令X=1得，4044=.??a1+2a2+3a3+…+2022a2022=4044.類型2二項式系數(shù)性質的應用3【例2】 已知f(X)=(??/2+3X2)n展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992.(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項.［思路點撥］求二項式系數(shù)最大的項，利用性質知展開式中中間項(或中間兩項)是二項式系數(shù)最大的項；求展開式中系數(shù)最大的項，必須將x，y的系數(shù)均考慮進去，包括“+”“一”號.［解］令X=1，則二項式各項系數(shù)的和為f(1)=(1+3)n=4n，又展開式中各項的二項式系數(shù)之和為2n.由題意知，4n-2n=992.??(2n)2-2n-992=0，??(2n+31)(2n-32)=0，??2n=-31(舍去)或2n=32，??n=5.(1)由于n=5為奇數(shù)，，展開式中二項式系數(shù)最大的項為中間兩項，它們分別是2T3=C2(X3)3(3X2)2=90X6，22T4=C3(x3)2(3x2)3=270x3.一一-一二⑵展開式的通項公式為Tr+1=C53r?x3(5+2r)假設Tr+1項系數(shù)最大，ICr3rNC?t?3r-1,則有〈5 5[Cr3rNCr+1?3r+1,5! 5! (5-r)!r!義^?(6—r)!(r—1)!，5! > 5! [(5—r)!r!?(4—r)!(r+1)!*，79???2Wr<2,Vr￡N*,,??r=4.???展開式中系數(shù)最大的項為T5=C5x3(3x2)4=405x個.類題通法1.求二項式系數(shù)最大的項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質，當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)最大；當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大.2．求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的,需根據(jù)各項系數(shù)的正、負變化情況進行判斷,一般采用列不等式組,解不等式的方法求得．3.求(a+bx)n(”,b￡R)的展開式系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法，設展開式各項系數(shù)分別為A1,4，…，An+1,且第r+1項系數(shù)最大,應用E"1：92,解出r，即得系數(shù)的最大項?［Ar＋1NAr,［跟進訓練］2.已知(x+2x)n的展開式中前3項的系數(shù)為等差數(shù)列.(1)求展開式中含x2的項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項.

［解］［解］(1)?.?已知卜4的展開式中前3項的系數(shù)為等差數(shù)列而(x+2X]n的展開式的通項公式為Tr+1=Cn?2-r?xn-2r,故T=C0Xn=Xn,T=C1??X?Xn-2=n-Xn-2,1n2n2 2T=C2?J.Xn-4=”,"11?Xn-4,3n4 8nn（n-1）.?.2X==14 , ,解得n=8或n=1（舍去）.28??.n=8, Tr+1=C8?J?X8-2r，令8-2r=2,求得r=3,可得展開式中含X2的項為C3?8-X2=7x2.（2）設第r+1項系數(shù)最大，Tr+1=C8?2;?X8-2r,Cr?J-NCr+1?---C82「C8 2r+1CrCr?1三Cr—1?—C82LC8 2r-1求得r=2或r=3,故展開式中系數(shù)最大的項為C2?；?X4=7x4,或C3?8-X2=7X2.即展開式中系數(shù)最大的項為7x4或7x2.類型3利用二項式定理證明整除問題或求余數(shù)【例3】題目見課本35頁第9題,答案見教參39頁類題通法1．利用二項式定理解決整除問題的基本思路利用二項式定理解決整除問題的關鍵是巧妙地構造二項式,其基本思路是：要證明一個式子能被另一個式子整除,只需證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除．因此,一般先將被除式化為含有相關除式的二項式,再展開,此時常采用“配湊法”“消去法”,結合整除的有關知識來處理．2．利用二項式定理求余數(shù)的注意點求余數(shù)時,要注意余數(shù)的范圍,即余數(shù)大于零且小于除數(shù)．利用二項式定理展開變形后，若剩余部分是負數(shù)，要注意進行轉化．四、當堂達標.在(1+x)Mn￡^二)的二項展開式中，若只有x5的系數(shù)最大，則n=()TOC\o"1-5"\h\zA．8 B．9C．10 D．11C［由題意(1+X)n展開式中，X5的系數(shù)就是第6項的二項式系數(shù),因為只有它是二項式系數(shù)中最大的，所以n=10.］.在(a+b)n的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則n=()．4 B．5．6 D．7［在(a+b)n的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則展開式共有7項，I.n=6.］.已知(ax+1)n的展開式中，二項式系數(shù)和為32,則n等于.［二項式系數(shù)之和為Cn+Cn+…+C；=2n=32,所以n=5.］.(1+x)n(3-x)的展開式中各項系數(shù)的和為1024,則n的值為.9［由題意知(1+1)n(3—1)=1024,即2n+1=1024,故n=9.］.在(a-b)10的二項展開式中，系數(shù)最小項是 .-252a5b5［在(a—b)10的二項展開式中，