2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章第5講：橢圓（附答案解析） (二)

2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第8章第5講：橢圓

【考試要求】1.理解橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程2掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)

稱性、頂點(diǎn)、離心率）.3.掌握橢圓的簡單應(yīng)用.

■落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.橢圓的定義

把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)用的距離的和等于賞數(shù)（大于甲尸2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定

點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.

2.橢圓的簡單幾何性質(zhì)

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

丸

圖形

B\OIF\/B2X

^+^=l（a>6>0）$15》>0）

標(biāo)準(zhǔn)方程

范圍-且一-b〈xWb且一

41（—久0）,。2（圓0）,4（0,—a）,>2（0,〃），

頂點(diǎn)

Bi（0,一b）,&（0,。田（一AO）,&伉0）

軸長短軸長為四，長軸長為四

焦點(diǎn)小】（一c0）,&（gO）尸1（0,—c）,尸2（0,c）

焦距|F1尸2|=筵

對(duì)稱性對(duì)稱軸：X軸和V軸,對(duì)稱中心：原點(diǎn)

離心率e=-（O<e<l）

a

a,b,c的關(guān)系層=/+02

【常用結(jié)論】

橢圓的焦點(diǎn)三角形

橢圓上的點(diǎn)尸（xo,次）與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PQB叫做焦點(diǎn)三角形.如圖所示，設(shè)NFiPB=e.

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(1)當(dāng)尸為短軸端點(diǎn)時(shí)，。最大，s△甲叫最大.

1n

Q)S&FPF,=-|PFi||PF2|sin0=/72tan-=c[yo].

1-22

(3)1尸F(xiàn)l|max=a+c，|P尸l|min=a—c.

[>Fi]+|P可|

(4)|PR|?|PF2|WI2j=/.

(5)4c2=|PF||2+|尸尸2|2—2|尸尸山尸尸21cos6.

(6)焦點(diǎn)三角形的周長為2(“+c).

工思考辨析A

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,尸2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.(X)

(2)橢圓是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形.(V)

(3)三+W=1(,”W〃)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.(X)

(4)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.(X)

工教材改編題：！

1.橢圓看+(=1上點(diǎn)尸到上焦點(diǎn)的距離為4,則點(diǎn)尸到下焦點(diǎn)的距離為()

A.6B.3C.4D.2

答案A

解析由橢圓方程三+二=1,得標(biāo)=25,即。=5,設(shè)下焦點(diǎn)為Q,上焦點(diǎn)為則|

+\PF2\=2a=\0,因?yàn)閨尸后|=4,所以|PFi|=6,即點(diǎn)尸到下焦點(diǎn)的距離為6.

2.已知桶圓C：5+?=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2，°)，則C的離心率為()

A11「也門2yli

A.-oR.-C.---D.---

3223

答案C

解析由已知可得從=4,c=2,則次=/十°2=8,所以。=2/，

則離心率=—.

a2

3.若橢圓C：t+q=l，則該橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為()

43

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A.3B.2+S

C.2D.3+1

答案A

解析由題意知。=2,b=3,所以c=l,則橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為a+c=3.

■探究核心題型

題型一橢圓的定義及其應(yīng)用

例1(1)(2022?麗江模擬)一動(dòng)圓尸與圓4：(x+l)2+V=l外切，而與圓8：(X-1)2+爐=64

內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心P的軌跡是()

A.橢圓B.雙曲線

C.拋物線D.雙曲線的一支

答案A

解析設(shè)動(dòng)圓尸的半徑為廠，

又圓/：(x+l)2+V=l的半徑為1,圓8：(x-iy+V=64的半徑為8,

則|B4|=r+l,|Pfi|=8-r,

可得|別+|P8|=9,又9>2=網(wǎng)

則動(dòng)圓的圓心P的軌跡是以/,8為焦點(diǎn)，長軸長為9的橢圓.

(2)設(shè)點(diǎn)P為橢圓C：，+(=1(G>2)上一點(diǎn)，R,尸2分別為C的左、右焦點(diǎn)，且/￡尸乃=60。,

則△Pg的面積為.

答案平

3

解析方法一由題意知，0=山2—4.

又/Q尸尸2=60。，\PF[\+\PF2\=2a,

|尸/2|=2M2—4,

22

A|FIF2|=(\PFtI+\PF2\)~2\PFy||PF2|-2IPF)||PF2|COS60°

=4層一3|PF|||PF2|=4出一16,

二|尸網(wǎng)||P尸2|=g,

???Sfg=，尸~||尸尸2畫1160。

316乂3

——x—x—

232

=撞

3

方法二由題意得〃=4,ZFIPF2=60°,A=4Xtan30°=^.

八廠"23

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延伸探究若將本例(2)中“/FiPB=60°”改成“PF1LPF2”，求尸2的面積.

解:PFJPB,

I尸Q|2+尸尸2|2=|尸周2=4(，-4)

—4a2—16,

又|PQ\+\PF2\=2a,\PF{F+|PFM=(|PQ|+\PF^~2\PF^PF^,

.,.|PFI|-|PF2|=8,

S&PFR=，PB||PF2|=4.

思維升華橢圓定義的應(yīng)用技巧

(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、求焦點(diǎn)三角形的周長、面積及求弦長、最值

和離心率等.

(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長和面積問題.

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知△/8C的周長為12,8(0,-2),C(0,2),則頂點(diǎn)Z的軌跡方程為()

A.J-MxWO)

1216

B.—+-^=l(y^O)

1216V

C.—+-^=1(x^0)

1612

D.—+^=l(y^O)

1612

答案A

解析:△/Be的周長為12,頂點(diǎn)8(0,—2),C(0,2),

/.|5q=4,，陰+0C|=12-4=8,

二點(diǎn)/到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，

又8>4,

二點(diǎn)4的軌跡是橢圓，且a=4,c—2,

：.b2=\2,

橢圓的方程為^—l~L=l(xWO).

1216

(2)(2023?鄭州模擬)若F為橢圓C：丘+左=1的右焦點(diǎn)，A,8為C上兩動(dòng)點(diǎn),則△羽尸周

2516

長的最大值為()

A.4B.8C.10D.20

答案D

解析如圖，設(shè)a為橢圓c的左焦點(diǎn)，

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則由橢圓的定義可得△”尸的周長為|/尸|+醫(yī)用+=2a—I+2〃一|8尸11+玄司=4a+/現(xiàn)

-\AF\\-\BF\|=20+|Z8|一|4Fi|一|,

當(dāng)aB,Fi共線時(shí)，MB|一/B|一質(zhì)i|=0,

當(dāng)Z,B,E不共線時(shí)，\AB\-\AF\\-\BF^,

所以△/8F周長的最大值為20.

題型二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

命題點(diǎn)1定義法

例2(2023?南京模擬)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為凡(0,2),22(0,-2),尸為橢圓上任意一點(diǎn),

若回尸2|是「尸i|,的等差中項(xiàng)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A看+F

B?導(dǎo)導(dǎo)I

C.J史=1

1612

答案D

解析由題意|PQ|+|P廠2|=2/出|=8=2”，故。=4,又c=2,貝！|6=23,

焦點(diǎn)在y軸上，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+$1.

命題點(diǎn)2待定系數(shù)法

例3己知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)P(#,1),巳(一3,一3),

則該橢圓的方程為.

答案

93

解析設(shè)橢圓的方程為陽N+犯？2=1(加>0,/7>0,且加#〃).

將尸2代入方程，

r6加+"=1,

3加+2〃=1,

解得’1

n——.

3

所以橢圓的方程為止+迷=1.

93

思維升華根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法

(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義.

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(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的〃，6.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，

一般可設(shè)所求橢圓的方程為加?+"=i(m>o,心°,〃層哂不必考慮焦點(diǎn)位置，用待定系

數(shù)法求出加，〃的值即可.

丫22

跟蹤訓(xùn)練2(1)“14<5”是方程+±v=1表示橢圓”的()

k15k

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析當(dāng)方程上+上=1表示橢圓時(shí)，必有.5—A0,所以1<上5且％W3,

k—15—k

k-1于5—k,

當(dāng)lv%<5時(shí)，該方程不一定表示橢圓，例如當(dāng)左=3時(shí)，方程變?yōu)?+產(chǎn)=2,它表示一個(gè)圓,

即“1VK5”是“方程上+上=1表示橢圓”的必要不充分條件.

k~\5-k

(2)(2022-南京師大附中模擬)已知過橢圓三+鳥=1(>6>0)的左焦點(diǎn)萬(-1,0)的直線與橢圓交

aLb~

于不同的兩點(diǎn)4B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)C,Q是線段48的三等分點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程是()

6554

cf+JD*=l

3243

答案B

解析如圖，不妨設(shè)/(xo,泗)在第一象限，由橢圓的左焦點(diǎn)尸式一1,0),點(diǎn)C,E是線段48

的三等分點(diǎn),

得C為工為的中點(diǎn)，乃為8C的中點(diǎn),

所以xo=l,

所以！+普=1,

解得州=里，即

所以a*卜，-3,

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將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入橢圓方程得之+超=1,

ab2

即吃+空=1,

aL4a~

結(jié)合居一%2=?=],解得標(biāo)=5,〃=4,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是廿±L

題型三橢圓的幾何性質(zhì)

命題點(diǎn)1離心率

例4（1）（2022?太原模擬）設(shè)人，B是橢圓￡：，+'=1（心6>0）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)石且斜

率為目的直線交橢圓于點(diǎn)尸，若2NPFIF2=NPF2FI,則橢圓E的離心率為（）

A.45+1BA/5—1

n也

C.—D.—

32

答案B

解析因?yàn)檫^點(diǎn)Q且斜率為火的直線交橢圓于點(diǎn)P,且2NPRF2=NPF2R,則有/尸吊尸2

3

=30°,NP尸2尸1=60。，

因此，在△PQ尸2中，NQPF2=90。，令橢圓半焦距為c,于是得|PB|=|￡B|cos30o=Sc,

|尸尸2|=|尸I尸2|?sin30。=0,

c2

由橢圓定義得2Q=|PK|+|PB|=(S+1)C,則e=-=-F--=-電一1,

a^3+1

所以橢圓￡的離心率為3—1.

（2）（2022?全國甲卷）橢圓C：=1伍乂>0）的左頂點(diǎn)為4點(diǎn)尸，0均在C上，且關(guān)于y軸

對(duì)稱.若直線ZP,/。的斜率之積為L則C的離心率為（）

4

?11

A.—B.—Cr.-Dn-

2223

答案A

解析設(shè)尸（相，"）（〃W0）,

則。（一"?，n）,易知/（—a,0）,

所以自p,自°=—----2〃2=J（*）

m-\-a—m-raa-加/4

因?yàn)辄c(diǎn)尸在橢圓c上，

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所以勺+3=1，得〃2=/（Q2—加2）,

n-rt~n-

思維升華求橢圓離心率或其范圍的方法

⑴直接求出a,c,利用離心率公式e=￡求解.

a

(2)由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式e=\/l—々求解.

(3)構(gòu)造a,c的方程,可以不求出a,c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.

命題點(diǎn)2與橢圓有關(guān)的范圍(最值)問題

例5(1)(2023?長沙模擬)已知B，B為橢圓三+二=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)，橢圓的離心

率為；，M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為(

?！?兀

答案

解析如圖所示，當(dāng)點(diǎn)Af為橢圓的短軸頂點(diǎn)時(shí)，NFiMF?最大,

：.\MO\^b,\MF^a,|0乃|=以

NOMFz=4,

故/FIMF2=匹,

3

所以NFig的最大值為三.

3

(2)如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓^十m=1(6>0)的離心率e=L尸，/分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右

4bz2

頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則兩?日的最大值為.

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答案4

解析由題意知a=2,因?yàn)閑=*=L

a2

所以C=l,所以/>2=〃2—C，2=3,

故橢圓的方程為W+式=1.

43

設(shè)尸點(diǎn)的坐標(biāo)為(xo,次)，一2WxoW2,一3

代入三+￡=1,得或=3一3成

434

因?yàn)镕(—1,0),A(2,0),

所以PF=(一1—xo,—yo)9PA=(2—XQ,—yo),

-*,-*-ii

所以戶產(chǎn)—xo—2+京=——xo+1=—(xo—2)2,

所以當(dāng)祀=一2時(shí)，際■?日取得最大值4.

思維升華與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法

(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì).

(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù).

(3)利用不等式，尤其是基本不等式.

的左、右焦點(diǎn)分別為Q,

跟蹤訓(xùn)練3(1)(2023?鎮(zhèn)江模擬)已知橢圓E：5+,=13>6>0)F2,

上頂點(diǎn)為/，射線NFI交橢圓E于點(diǎn)8,以48為直徑的圓過尸2,則橢圓E的離心率是()

答案D

解析由題意

設(shè)則|B產(chǎn)2|=2l,

又以為直徑的圓過尸2,

所以

所以“2+(2”一f)2=(a+/)2,

解得-fa,

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所以|83|=*,

在△NFiB和△SAB中，由余弦定理得

COSAAF\F2=~9

a

4c2+-a2——a22?

/cll993c2—a2

cosNBFR=------------------=---------,

__22ac

2,2c-〃

3

因?yàn)?/p>

ZAFiF2+Z5FIF2=180°,

所以cosNZEB+cosNBE尸2=0,

即色+我工0,

alac

整理得標(biāo)=502,

所以e=￡=立.

a5

(2)已知橢圓5+E=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為尸(c,0),上頂點(diǎn)為4(0,b),直線x=且上存在一點(diǎn)

a1b1c

P滿足（即+法）?萬=0,則橢圓的離心率的取值范圍為（)

ria號(hào)〕

A.2JB._2J

或匚，1]（0,闿

C.L2JDL2」

答案C

解析取N尸的中點(diǎn)0,則麗=；（而+法），

所以（而+法）?萬=2匝?崩=0,

所以所以為等腰三角形,

^?\FA\=\FP\,且|砌=4加+廿=%

因?yàn)辄c(diǎn)尸在直線x=Q上，

C

所以|EP|2Q—c,即a》且一c,

CC

所以02《一1,所以e2+e—\20,

ccL

解得心jw年

3一1

又0<e<l,故We<l.

2

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課時(shí)精練

E基礎(chǔ)保分練

1.（2023?昆明模擬）已知橢圓以=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F”Fi，過B的直線交橢圓于"，N兩

43

點(diǎn)，則△FiMN的周長為（）

A.2B.4C.6D.8

答案D

丫

解析由工2+匕=1得。=2.

43

因?yàn)镸,N是橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn)\,B是橢圓的焦點(diǎn)，

所以|Ma|+|A/B|=2a,|7VFi|+|7VF2|=2fl,

因此/\F\MN的周長為|+\MN]+\NFi\=\MF\|+\MF2\+\NF^+\NF\\=2a+2a=4a=?>.

2.（2022?全國甲卷）已知橢圓C：三+j=l（a>6>0）的離心率為上小，在分別為C的左、右

頂點(diǎn)，8為C的上頂點(diǎn).若麗說=—1,則C的方程為()

AX+^-1B{+2=1

181698

C.-+-^=1D.-+/=l

322'

答案B

解析依題意得4(一。,0),力2(。,0),5(0,b),

所以B4=(—a,—b),BA2=(a,~b)9

BA\'BA2=—Q?+/=—(a2—h2)——c2——1,故d=l,

又C的離心率e=-=-=-,

aa3

2222

所以a=3,a=9,b=a—c=3f

所以c的方程為且=1.

98

3.(2022?貴陽模擬)已知尸i,尸2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且NQP尸2=30。，\PF\\

=3|PB|,則橢圓C的離心率為()

,3—1口市T八電+1-3+1

A.LJ.L.\.J.

4243

答案B

解析令|PB|=w,則|PFI|=3加，

\PF\I+=(S+1)機(jī)=2。，

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得k幽3

2

又由余弦定理知，（2。）2=（3加）2+加2一2.37,wcos300,

即4”=加2,

?個(gè)4日相

??m=2c,得。=一，

2

.cin3T

??€~~一="P=.

a(V3+l>2

4.（2023?濮陽模擬）已知橢圓C：=1（〃>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，好,直線y=做%>0）

a2b2

與C交于M,N兩點(diǎn)（其中M在第一象限），若M,Fi，N,用四點(diǎn)共圓，則C的離心率e的

取值范圍是（）

A.l2JB.12J

cH1D[°

答案A

解析設(shè)橢圓的半焦距為c,

由橢圓的中心對(duì)稱性和M,Fi,N,入四點(diǎn)共圓，

知四邊形"QNB為矩形，

所以以為直徑的圓與橢圓C有公共點(diǎn)，

則c>b,即c2>b2=a2—c2,

所以2c2>“2,

5.（多選）（2022?重慶模擬）如圖所示，用一個(gè)與圓柱底面成淤”“引角的平面截圓柱，截面是

一個(gè)橢圓.若圓柱的底面圓半徑為2,0=\則下列結(jié)論正確的是（)

A.橢圓的長軸長等于4

B.橢圓的離心率釁

C.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以4+卜

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D.橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最小值為4—2也

答案CD

解析設(shè)橢圓的長半軸長為。，短半軸長為6,半焦距為c,橢圓長軸在圓柱底面上的投影為

圓柱底面圓直徑，

則由截面與圓柱底面成銳二面角。=匹得2〃=」一=8,解得。=4,A不正確；

3cos（9

顯然6=2,則c=qa2—b2=23,離心率e=C="^,B不正確；

a2

當(dāng)以橢圓長軸所在直線為y軸，短軸所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程為《+9=1，C正確；

橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為a—c=4-2S，D正確.

6.（多選）（2022?白山模擬）橢圓C：;+產(chǎn)=1的左、右焦點(diǎn)分別為丹，F(xiàn)z，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以

下四個(gè)命題中正確的是（）

A.若過點(diǎn)B的直線與橢圓C交于48兩點(diǎn)，則△/8乃的周長為8

B.橢圓C上存在點(diǎn)尸，使得而■?配=0

C.橢圓C的離心率為1

2

D.若尸為橢圓^+產(chǎn)=1上一點(diǎn)，。為圓x2+爐=1上一點(diǎn)，則點(diǎn)尸，。的最大距離為3

4

答案ABD

解析由橢圓C：亍+產(chǎn)=1得”=4,b2=\,c2=a2—b2=3,

過點(diǎn)B的直線與橢圓C交于48兩點(diǎn)，則△ABFi的周長為44=8,故A正確；

因?yàn)閏>b,所以以原點(diǎn)為圓心，以c為半徑的圓交y軸于短軸頂點(diǎn)的外部，所以存在點(diǎn)尸，

使得/尸出尸2=90。，即使得珍?彩=0,故B正確；

橢圓C的離心率e=￡=也，故C錯(cuò)誤；

a2

因?yàn)镻為橢圓長+產(chǎn)=1上一點(diǎn)，0為圓/+產(chǎn)=1上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸，0的坐標(biāo)為尸（2,0）,0（一

4-

1,0）或尸（一2,0）,0（1,0）時(shí)，點(diǎn)P,。的距離最大，|P@max=2+l=3,故D正確.

7.（2022?天津模擬）已知仇一韻，0）是圓上（X—韻產(chǎn)+產(chǎn)=16內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)C是圓4上任意一

點(diǎn)，線段BC的垂直平分線與力C相交于點(diǎn)。.則動(dòng)點(diǎn)D的軌跡方程為.

答案-+/=1

4

解析如圖，連接8。，由題意得|8D|=|CD|,則|8Q+|D4|=|CD|+W|=4>23=M8],

第13頁共19頁

由橢圓的定義可得動(dòng)點(diǎn)。的軌跡為橢圓，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±3,0),長半軸長為2,

故短半軸長為1,故動(dòng)點(diǎn)D的軌跡方程為q+產(chǎn)=1.

8.(2023?平頂山模擬)已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為尸(0,1),橢圓C上的點(diǎn)到f的距離的最小值

為1,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若尸為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，M(3,3),則

的最小值為.

答案1+9=11

解析因?yàn)闄E圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為尸(0,1),所以橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，且c=l,

因?yàn)闄E圓C上的點(diǎn)到廠的距離的最小值為1,所以a—c=l,得a=2,

因?yàn)?2=42一/=3,所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為q+2=1；

43

將M(3,3)代入橢圓方程，得理+^=役＞1,所以/點(diǎn)在橢圓外，

4312

如圖所示，設(shè)橢圓C的另一個(gè)焦點(diǎn)為尸'，

則|P尸|+|尸尸|=4,

所以一尸F(xiàn)|=『M+|PF'1—4.

當(dāng)尸，尸，M三點(diǎn)共線時(shí)，『必+『/'|取得最小值，

且最小值為此牛，|=叱3-0＞+(3+1)2=5,

所以『朋］一「間的最小值為1.

9.已知橢圓C：，+、=1(。汕＞0),焦點(diǎn)￡(一c,0),F2(C,0),左頂點(diǎn)為4,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,

c),4到直線的距離為?b.

(1)求橢圓。的離心率；

(2)若尸為橢圓C上的一點(diǎn)，NF"=60。,△PQ出的面積為也，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解(1)由題意得，4(—4,0),

第14頁共19頁

直線的方程為x+y=c,

因?yàn)?到直線EF2的距離為近b,

2

即與口=亞6,所以a+c=Sb,

VP+122

即(〃+c)2=3按，又b2=a2—c2,

所以(a+c)2=3(層一c2),

所以2c2+ac—岸=(),

即2e2+e-l=0,

解得e=；或e=-M舍)，

所以橢圓C的離心率梏

(2)由(1)知離心率e=2=1,即。=2c,①

a2

因?yàn)?KPB=60。，APFiFz的面積為S，

則;|尸尸山尸尸2|sin600=3,

所以|PFi||PB|=4,

\PFi\+\PF\=2a,

由方程組2

222

\PF\|+|PF2|~2\PF\||PF2|COS60°=(2c),

得a2—《2=3,②

聯(lián)立①②得。=2,c=l,所以從=〃2-02=3,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

10.已知Fi,B是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為橢圓上一點(diǎn)，ZF|PF2=60°.

(1)求橢圓的離心率的取值范圍；

(2)求證：△回尸尸2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).

⑴解不妨設(shè)橢圓的方程為5+，=1(心6>0)，焦距為2c.

在中，由余弦定理得，

COS6。?！箙?+匹尸尸園2

2\PFx\-\PF^

_(甲￥|+|P尸2|)2—2|PQ卜|尸尸2|一「RF

2|PFI|-|PF2|

即4a2—2|產(chǎn)田4c2=1

2\PF\\-\PF^\―2'

所以|?|P/囹=4層一2|尸Q|?|P/囹-4c2,

第15頁共19頁

2

所以3|PFI|-|PF2|=4Z>,

所以「外卜|尸/囹=華.

呼1+此2rl

又因?yàn)閨尸￡卜甲尸2氏12?=/,

當(dāng)且僅當(dāng)|PB|=|Pk2|=。時(shí)，等號(hào)成立，

所以3a2^4（^2—c2）,

所以

a2

所以

2

又因?yàn)?/p>

所以所求橢圓的離心率的取值范圍是1）

⑵證明由（1）可知尸午，

所以S△耳明=，PBHPF2|sin60°

=-X—X—

232

=晶2

3，

所以△QPB的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).

文綜合提升練

11.（多選）（2023?長沙模擬）人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律：衛(wèi)星在以地

球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒定律,

即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等.設(shè)橢圓的長軸長、焦距

分別為2a,2c,下列結(jié)論正確的是（）

A.衛(wèi)星向徑的取值范圍是[a-c,a+c]

B.衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最小，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最大

C.衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越圓

D.衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間

答案ACD

第16頁共19頁

解析根據(jù)橢圓定義知衛(wèi)星向徑的取值范圍是6f+c],A正確；

根據(jù)面積守恒定律，衛(wèi)星在近地點(diǎn)時(shí)向徑最小，故速度最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)向徑最大，故速度

最小，B不正確；

一一1,比值越大，則e越小，橢圓軌道越圓，C正確；

a+c1+e1+e

當(dāng)衛(wèi)星在左半橢圓弧上運(yùn)行時(shí)，對(duì)應(yīng)的速度更慢，根據(jù)面積守恒定律，則運(yùn)行時(shí)間更長，D

正確.

22

12.（2022?邯鄲模擬）已知桶圓彳+點(diǎn)=1的左、右焦點(diǎn)分別為尸2,點(diǎn)尸在橢圓上，設(shè)線

段尸F(xiàn)i的中點(diǎn)為M，且|OB|=QM，則△尸的面積為.

答案V15

解析由題意可得。=3,b—yfi,C=A/9-5=2.

如圖，因?yàn)镺,M分別是為尸2和PQ的中點(diǎn)，所以|PB|=2QM=2Q尸2|=2C=4,根據(jù)橢圓

定義，可得|PQ|=2a—2c=2,又因?yàn)榛厥?|=2C=4,所以cos/尸=-1+1內(nèi)?一|尸尸二

2|PF2|-|FIF2|

_16+16~4_7

2X4X48'

所以sin/PBE=41—cos2/P尸2a=皿，

8

故△PQ尸2的面積為，P&HQ尸2|-sin/尸尸2尸1=而.

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13.（多選）（2023?青島模擬）已知橢圓C