2023-2024學(xué)年初中數(shù)學(xué)9年級數(shù)學(xué)人教版上冊課時練 正多邊形和圓

課時練第24章圓

24.3正多邊形和圓

一、選擇題

L一個正八邊形中最長的對角線等于a,最短的對角線等b,則這個正八邊形的面積為（）

A.a2+b2B.a2-b2C.a+bD.ab

2.。的內(nèi)接多邊形周長為3M，。的外切多邊形周長為5石，則下列各數(shù)中與此圓的

周長最接近的是（）

A.%B.2%C.3萬D.4萬

3.下列命題：①垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧；②在同圓或等圓中

相等的圓心角所對的弧相等；③在同圓或等圓中如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角

相等；④圓內(nèi)接四邊形的對角互補.其中正確的命題共有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

4.如圖，PA,PB是回。的切線，A、B為切點，MPB=40。，點C是回。上不同于A,B的任意

一點，貝靦ACB的度數(shù)為（）

A.70°B.40°C.110°D.70°或110°

5.如圖，AB,AC是回。的切線，B、C為切點，射=50。，點P是圓上異于8、C的點，則姐PC

A.65°B.115°C.115°或65°D.130°或65°

6.如圖，在回。中，OA=AB,OC0AB,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.弦AB的長等于圓內(nèi)接正六邊形的邊長B.弦AC的長等于圓內(nèi)接正十二邊形的邊長

C.AC=BCD.國BAC=30°

7.如圖,邊長為4的正六邊形ABCDEF的中心與坐標(biāo)原點0重合,AF^x軸,將正六邊形ABCDEF

繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)〃次，每次旋轉(zhuǎn)60。，當(dāng)"=2020時，頂點A的坐標(biāo)為（）

小

A.（-2,273）B.（-2,-273）C.（2,-273）D.(2,2g)

8.如圖，在回。中，OA=AB,。電B,則下列結(jié)論正確的有（)

①弦AB的長等于圓內(nèi)接正六邊形的邊長；

②弦AC的長等于圓內(nèi)接正十二邊形的邊長；

③AC=8C;

④回BAC=30°.

A.1個B.2個C.3個D.4個

9.如圖，在（。中，點A,B,C在（。上，且NACB=100°,則/￡=()

A.80°B.100°C.120°D.160"

10.如圖，A3是半圓。的直徑，ABAC=2.0°,則ZD的度數(shù)是（）

A.70°B.100°C.110°D.120°

二、填空題

11.一條弦所對的圓心角的度數(shù)為95。，這條弦所對的圓周角的度數(shù)為.

12.若正八邊形的邊長為2-&,則此正八邊形的面積是.

13.如圖，A、3、C、。為一個正多邊形的頂點，。為正多邊形的中心，若NAD3=20。,

則這個正多邊形的邊數(shù)為

14.如圖，在扇形A05中，點C、0在48上，連接A。、2C交于點E,若ZAC?=120。，CD

的度數(shù)為50。，則NAEB='

15.如圖所示，A、B、C、D是一個正n邊形的頂點，。為其中心，若射。8=18。，則。=

D

O'

三、解答題

16.如圖，在三角形ABC中，0C=9O°,/是內(nèi)心，直線8/與AC交于點。，過點。作0E〃4

與BC交于點E,直線日與交于點F.證明：OF回4.

17.如圖，在圓內(nèi)接正六邊形ABCZJE尸中，半徑0。=4,。6_13。，垂足為G,求這個正六

邊形的中心角、邊長和邊心距.

18.如圖，正六邊形ABCDEP的中心為原點0,頂點在x軸上，半徑為2cm.求其各

個頂點的坐標(biāo).

19.如圖，2）。的半徑為R,求。的內(nèi)接正六邊形、的外切正六邊形的邊長比

和面積比s內(nèi)：s外.

20.已知等腰ABC中，AB=AC.

（1）如圖1,若C。為［ABC的外接圓，求證：AOLBC,

(2)如圖2,若AB=AC=10,3c=12,/為ABC的內(nèi)心，連接/C,過點/作ZD〃3C交

AC于點。，求/D的長.

21.已知A、B、C,D四點在同一圓上，請僅用無刻度直尺完成下列作圖.（不寫作法，保

留作圖痕跡）

（1）如圖①，AB=CD,在圖①中作出該圓的一條直徑;

（2）如圖②，AB、BC、CD是圓內(nèi)接正五邊形的三條邊，在圖②中作出該圓的圓心.

22.如圖，六邊形A8CDEF是：。的內(nèi)接正六邊形.

（1）求證：在六邊形4BCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分NBAF.

S,

（2）設(shè)一。的面積為六邊形ABCDEF的面積為S?,求丁的值.

23.如圖M、N分別是回。的內(nèi)接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE、…、正n

邊形ABCDEFG...的邊AB、BC上的點，且BM=CN,連接OM、ON

(1)求圖1中13MoN的度數(shù)

(2)圖2中EIMON的度數(shù)是.圖3中回MON的度數(shù)是

(3)試探究回MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系是

參考答案

1.D2.C3.A4.D5.C6.D7.B8.C9.D10.C

11.47.5°或132.5°.

12.4A/2-4

13.九

14.145

15.10

16.證明：回NATO是△曲的外角，

團ZAID=NBA/+ZABI=-ABAC+-ZABC=45°,

22

DEIIAI,

國NEDI=NAID,

ffijZECI=|ZACB=45°=ZEDI,

團E、C、。、/四點共圓，

SZDIE=180°-ZACB=90°,

團"3=90。，

^ZAIF=90°-45°=ZAID,ZFAI=ZDAI,AI=AI,

團MD/回MF/(ASA),

^AD=AF,即，AZ)廠是等腰三角形,且4是頂角的角平分線，

BDF±AI.

17.解：連接0。，

團六邊形ABCDEF為正六邊形，

360°

SZCOP=——=60°.

6

⑦OC=OD,

團△COD為等邊三角形.

團CD=OC=4,

團六邊形ABCDEF是正六邊形，

團5。=4,

團OG工BC,

0CG=-BC=-x4=2,

22

在用COG中，由勾股定理得：

回OG=VOC2-CG2=A/42-22=2A/3.

團正六邊形ABCDEB的中心角為60。，邊長為4,邊心距為2G.

18.解：過點E作EG取軸，垂足為G,連接。E,

360°小。

0OE=OD,0fOD=------=60°,

6

HBOED是正三角形，EfOG=60°,EIOEG=30°,

回OE=2cm,0OGE=9O°,

回0G=J。￡=lcm,EG=《OE?-OG?=挺-E=6cm,

點E的坐標(biāo)為（1,6），

又由題意知點。的坐標(biāo)為（2,0）,

由圖形的對稱性可知A（—2,0）,8（-1,—石），C（1,一乖,）,F（-1,若）.

故這個正六邊形ABCDEF各個頂點的坐標(biāo)分別為A（—2,0）,B（—1,一相），C（1,一豆）,

D(2,0),E(1,6)，F(xiàn)(-1,坦).

由正多邊形的性質(zhì)可得："OC=/DOC'=60°,OD=OC,OC=OD'

0AOCD.AOCD'為等邊三角形

E1OD=OC=CD=R,CD=OC=OIJ

由題意可得：OD±CD',

EZCW=30°

設(shè)。D=x,則OC'=2x,由勾股定理得Y+R2=(2x>

解得X=3R,C'D'=OC'=OD'=^-R

33

AB:A'B'=CD:CD'=?.2

EZCW=30°

0ZCOC=ZCOD-ZCOD=30°=1/COD,OH為4COD的角平分線

0OH±CD

在R/ZXODH中,/DOH=30°,OD=R,解得OH=?R

2

ff2

S^DOC=；CDxOH=qR2,S"=1CDxOD=^R

22

S內(nèi)：S外=6sADOC:6s△￡),0c=R:R=3:4

故AB:A'B'=A/3:2；S內(nèi)：S外=3:4

20.(1)證明：連接OB、OC,回AB=AC,

04在BC的垂直平分線上

又EIOB=OC,回。也在BC的垂直平分線上

0AO1BC

（2）連接4并延長交BC于點F,過點/分別作/G,AC于點G,出，Afi于點H

13AB=AC,/為ABC的內(nèi)心，0AF±BC,BF=CF=6,

^AF=^AB2-BF2=8

設(shè)IH=IF=IG=r,由^NABC~S7ABi+S7BCI+^VACI

11

可得：-（10+10+12）-r=-xl2x8

0r=3

設(shè)CF=CG=a,貝！JAH=AG=10—a,BF=BH=\2-a

町0-〃+12-。=10

解得：a=6即CG=6

⑦ID〃BC,C/平分NAC3,

回N1=N2=N3

ID=DC=x,DG=6—x

在中，IG2+GD2=ID2

15

回3?+（6—x）9=/解得：x=—

0ZD=—

4

21.解：（1）如圖，EF即為所求；

(2)如圖，點。即為所求.

22.解：(1)連接AE,AD,AC,

回六邊形ABCDEF是；。的內(nèi)接正六邊形,

^\EF=ED=CD=BC,

^S\FAE=^EAD=SDAC=^CAB,

即過頂點A的三條對角線四等分Z&W;

(2)過點。作OGEIOE于G,連接0E,

設(shè)圓。的半徑為r,

SEF=BC=ED=r,AD=2r,

在正六邊形ABCOEF中，

0O￡D=0OD￡=6O",

EEEOG=30°,

回EG=^r，

回0G;y]0E2-EG2=￥「，

團正六邊形ABCDEF的面積=6x,xrx，^r=地r2,

222

圓0的面積二)產(chǎn),

叱=&=*

2

23.(1)如圖，連接OB、0C,則OC=O3,

MC是一。內(nèi)接正三角形，

360°

中心角？BOC于=120?,

國點。是o內(nèi)接正三角形ABC的內(nèi)心，

團ZOBM=-ZABC=30°,NOCN=-ZACB=30°,

22

0NOBM=NOCN,

BM=CN

在AOMB和.ONC中，,40BM=ZOCN,

OB=OC

EOMB工ONC(SAS),

0ZBOM=/CON,

回ZMON=ZBON+NBOM=ZBON+Z.CON=ZBOC=120°,

故答案為：120。；

（2）如圖1,連接OB、OC,

四邊形ABCD是O內(nèi)接正方形，

360°

中心角ZBOC=——