解三角形大題綜合-2023年新高考數(shù)學(xué)（首屆新高考江西、廣西、貴州、甘肅專用）

々題01濘屆新高考-解三角形大題綜合（濘屆新高考江西、

廣西、貴州、什內(nèi)專用）

一、解答題

1.（2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考二模）已知”BC中，."=2,D為一45中點(diǎn)，8=&一

（1汨3c=8,求-4C的長度；

（2^JC=2BC,求乙?。的值.

snB

2.（2023?山西朔州懷仁市第一中學(xué)校校考模抵預(yù)測）在銳角中，已知

11tanC_③

---------=----,且c=2.

tan.4tanB2

（1冰tan.JtanB的值；

（2后角。取得最小值時(shí)，求UBC的面積.

3.（2023?湖南邵陽郃陽市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）在厶険。中，角A,B,C所對(duì)的

邊分別是。，b,c,若38s（.4+刃=8s2c+2.

（1球角。的大??；

（2話…，求dMC的面積S的最大值.

4.（2023?安徽合肥?合肥市第六中學(xué)?？寄Ｏ牅y）在①4asinC=3c8s.4,

②60cos=￡=M&7smB這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充

完整的題.

在厶好。中，角.4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,a=3&.

（2洌］圖，。為邊HC上一點(diǎn)，DC=DB,AB工BD,求dLBC的面積.

5.（2023?安敏合肥?合肥一中?？寄M預(yù)測）記75c的內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為

b,c,已知8sB=g.

（1球8s：g+tan-的值；

（2期5=4,S.m=2竝，求c的值

6.（2023?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)?？紕窦葴y）記JLBC的內(nèi)角WBC的對(duì)邊分

別為a立c,分別以。也，為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為S,,S：,S,,已知

E+S.-S.=布,如。=立

*a5

(怵33c的面積3

(2港sinzisinB=@，求J

3

7.（2023?山東赧?統(tǒng)考師測）在厶空。中，角4BC所對(duì)的邊分別為。也c,且

ABAC+B.4BC=2CACB

（1浩成等比數(shù)列，求角c的大??；

（2帶）=1,sin'B-sin'J=-^-sin':C,求dlffC的面積.

8.（2023?山東泰安統(tǒng)考軸既測）在上LBC中，角.4、B、。的對(duì)邊分別是a、b.c,

且28sC.sinjJ-cosJ=0.

（1球角C的大小3

（2港N.4C5的平分線交.45于點(diǎn)D,且8=2,BD=2AD,求亠“。的面積.

9.（2023?山東濟(jì)寧?喜祥縣第一卬鉞考三模）已知銳角-15c的內(nèi)角A,B,。的對(duì)

邊分別為。，b,c,且=c、

（1球角A的大??；

（2港a=6,求方+c的取值范圍

10.（2023?福建廈門?統(tǒng)考爵展測）記=15。的內(nèi)角兒BC的對(duì)邊分別為冬瓦％已知

abcosW-出c+cPcosB=0.

（1球。的值;

(2)點(diǎn)D在線段3c上，NR4C=120：NZJD=45：CD=1,求=LBC的面積.

11.（2023福建南平?統(tǒng)考模師測）已知UBC中，角一4,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,

l-cos2BsinC-hCosC

且

sin26sinC-cosC

（1冰.4的大小;

（2?殳且D是BC邊上的高，且3=2,求-LBC面積的最小值.

12<2023?福建泉州?校聯(lián)考模擬預(yù)測也銳角亠MC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

旦=(ez2-J-C2|(tan-4-tanB|.

（1球角A的大小

（2港邊a=&,邊BC的中點(diǎn)為D,求中線長的取值范圍.

13.（2023?湖睛水泡1儲(chǔ)水中學(xué)?？寄M預(yù)測）銳角亠血?的內(nèi)角.4,B,C的對(duì)邊

分另物a,b,c,已知出MsinC+csin8)=4asin8sinC,b1+c--a:=8,

（1球8sA的值及"BC的面積；

（2）/A的平分線與BC交于。，DC=23。，求a的值.

M.（2023?黑龍江?黑龍江婚中學(xué)?？级＃┰?BC中，以。，b,c分別為內(nèi)角A,

B,C的對(duì)邊，且8s：3+cos'C-8s'.4=1-sin3-sinC

（1球A;

（2期a=2",6=4,求力C的面積;

（3帶。=2bcos8,a=3,求BC邊上中線長.

15.（2023?黑龍江哈爾濱?哈師大附中統(tǒng)考三模）我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》

中記述了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三邊長，求它的面積，用現(xiàn)代式子表示即為：

S=J；……①（其中內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a、b、cS

為UBC的面積）

（1）證明公式①：

⑵已知35c三條邊友\皿?,心的高分別為力=卓也=立力=加，求S.

16.（2023?黒龍江哈爾濱哈九中?？嫉趂t預(yù)測）已知厶怨。的內(nèi)角.4,B,C的對(duì)邊分

2忑acsinC

別為a,b,c,且tan-4+tanB

亠c：-b:(sinJ

（［球cosH的值j

（2毆X。為BC邊上的高，a=6,求X。的最大值.

17.（2023?山西?校聯(lián)考博妳測）如圖，在亠4。中，。為邊BC上一點(diǎn),

AB=26BD=\,AD=j.

（1球角B；

（2雙下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，求角C.

G）AC=2,.4D<CD}

②8SNDAC=0

14

18.（2023吉林長春長春吉大附中會(huì)學(xué)校?？寄；诇y）在上匕。中，內(nèi)角.4,B,

c所對(duì)的邊分別為％b,c,已知C=2,C=p

（1m2sin2K+sin（23-C）=sinC時(shí)，求"BC的面積；

（2球厶■。周長的取值范圍.

19.（2023?云南保山?統(tǒng)考二模）如圖，在平面四邊形AB8中，￡3=1,5c=3,

AD=CD=2.

（1）當(dāng)四邊形-?0內(nèi)接于圓。時(shí)，求角C；

（2后四邊形-顧8面積最大時(shí)，求對(duì)角線助的長.

20.（2023?遼寧遼寧賣給中學(xué)?？俭l預(yù)測）已知母。中，WnC=g

2

2

tan-4+tanB=jV?>

（1冰tan.4;

（2港點(diǎn)D為ac邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，求NMC的余弦值.

21.（2023?云南?校聯(lián)考艶既測）已知函數(shù)力、）=4對(duì)皿冋0》+看>&的相鄰兩

條對(duì)稱軸之間的距離為三.

（1球函數(shù)力x）在區(qū)間弓耳］上的值域；

（2左銳角厶4。中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,，，旦力山=召，Ka=8,

c=#+虛，求-IBC的面積.

22.（2023?黑龍江±慶大慶賣給中學(xué)?？忌耦A(yù)測）在厶結(jié)。中，角.4,B,C所對(duì)的

邊分別為。，b,c,已知匕-』=2a8&BcosC,其中，.

（1球角8的大?。?/p>

（2期/+3c：=12-5ac,求ALBC面積的最大值.

23.（2023?黑龍江哈爾濱哈爾濱三中?？寄Ｏ牅y）在JLBC中，角45C的對(duì)邊分

別為。也%已知方=出一〃2.

厶tanA一_

（1球不萬的值；

（2球tanC的最大值

24.（2023?安敏滁州?安敏省定遠(yuǎn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知dMC的內(nèi)角」B,C的對(duì)

邊分別為b'c,向量p=(a,c-b),

q=(sinC+sinB,sinA+sinB),曰p"q一

(1球角。；

(2港。=3朮2ABe的面積為苧，求dLBC的周長.

25.(2023?安敏淮北?統(tǒng)考二模)已知J1BC的角.4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

c(sinC->^sinB|=(a-&)(sin.4+sinB|.

(怵4;

(2帶3BC的面積為4，sin3=l+cosC,點(diǎn)。為邊BC的中點(diǎn)，求⑶的長.

26.(2023?江蘇南京南京師大附中?？寄M預(yù)測)已知。、b、c分別為的三個(gè)

內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長，a=2,且S+2)(sinK-sin3)=c(sin3-sinC).

(1球角A的值3

(2或AL8C面積的取值范圍.

27.(2023?江蘇無錫根聯(lián)考三模)已知"5C的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是*b,

c,且______.

在①=asinB；②/sinC+cosC=^--}③匕‘+c：—a：=^^。,911.4這三個(gè)

2a3~

條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面橫線上，并加以解答.

(怵A;

(2錯(cuò)b=2,c=3,點(diǎn)N為.4C的中點(diǎn)，點(diǎn)M滿足面?=2礪，且硏，C"相交于點(diǎn)尸,

求cosZBPC.

(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)

28.(2023?湖南長沙長郡中學(xué)校聯(lián)考骸測)記"BC的內(nèi)角小B,C的對(duì)邊分別

sinC+siaB

為a,b,c,已知tan4=

cosC+cosB

(1球.4的值3

(2港d険。是銳角三角形，求上匕的取值范圍.

29.(2023?浙江校聯(lián)考劇既測)在-L5C中，角45。的對(duì)邊分別為。也c旦

dcosC+csinB=a.---------------=6^/2,

sin_4+2sinB'

(1球如

(2床X。邊上中線長的取值范圍.

30.(2023?湖北?黃岡中學(xué)校聯(lián)考齣既測)如圖，在平面四邊形ABC。中，.2_.僞,

(1錯(cuò)HC=J7,求的面積；

(2港乙1DC=W，8=2餡，求1312匚山.

V題01首屈新高考-解三角形大題綜合（首屆新高考江西、

廣西、貴州、甘肅專用）

一、解答題

1.（2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考二模）已知”BC中，."=2,D為一45中點(diǎn)，8=&一

（1汨3c=8,求-4C的長度；

（2^JC=2BC,求乙?。的值.

snB

【答案】（1）2

⑵奪

【分析】（D由余弦定理和互補(bǔ)角的余弦關(guān)系即可求解J

（2）根據(jù)余弦定理和正弦定理即可求解

【詳解】（1〉在厶血'中，由余弦定理得，

一,DMBD^CIy-BC:0

cosZdijjL=-----------------------二—t

2BDCD4

cosZADC=-cosABDC=------>

4

在AlDC中，AC*2=.4D2+CD:-2AD-CDcosZADC=4,

所以.4C的長度為2.

（2）設(shè)BLx,貝ijHC=2x,在和中分別利用余弦定理得

,4x*+1-24x2+4-x2

cosA=------------=----------------,

2-2xxl22xx2

解得》=粵（負(fù)根舍）

因?yàn)橐?DC+Z5JDC=n>

所以sinzL!DC=sinZBDC,

在厶38中，由正弦定理得史上些=變=走，

sinBCD5

HnsinZ.ADCJ15

sin35

2.（2023?山西朔州?懷仁市第一中學(xué)校校考匐ft預(yù)測）在銳角匕15。中，已知

11tanC_c

------------------------,-c=2.

tanJtanB2

（1球tanJtanB的值；

（2心角。取得最小值時(shí)，求zUBC的面積.

【答案】(l)tan.4tan5=2

3近

【分析】3）根據(jù)正切兩角和公式逬行化簡求得結(jié)果;

(2)根據(jù)均值不等式、正弦定理以及面積公式進(jìn)行求解即可

【詳解】(1)因?yàn)?4+2+C=;c,所以tanC=tan/兀一(月+3)]=-tan(.4+8)=皿4+^^

L」tanJtanB-1

rrnu11tHIlC匕白、?tHlU-tHIlB1皿4-13118

因?yàn)?--------=----,所LA-----=-------,

tan.4tanB2tan-ftaaB2tanzltanS-1

在銳角三角形中，團(tuán)L4>OjanB>0,所以tanJ-tanB>0)

所以tanAtanB=2tan.4tanB-2,即tan.4tanB=2;

⑵由⑴可知,tanC=2（高+靠=tan-4-tanB>2>/tanJtanB=20,

當(dāng)且僅當(dāng)tarU=tanB=e時(shí)，上述等號(hào)成立，

由tanJ=tanB=6>0得43《。5]>

所以sin.4=sinB=半,

由tanC=2&同理可得sinC=羋，

c_2_a_b

由正弦定理可得sinC20sin.4sinB,解得，

亍

所以S，”=\bsinC=Lx0百金叵=血

'由223

3.（2023?湖南邵學(xué)校考模蠣測）在亠険。中，角A,B,C所對(duì)的

邊分另|J是。，b,c,若38s（4+B）=cos2c+2.

（1球角。的大小；

（2港，=6,求3BC的面積S的最大值.

t答案】（時(shí)

(2)3若

【分析】（1）根據(jù)內(nèi)角和關(guān)系和誘導(dǎo)公式，二倍角余弦公式化簡方程，可求cosC,由

此可得角C的大小J

（2）由條件根據(jù)余弦定理可得標(biāo)+炭-36=Y3結(jié)合基本不等式求質(zhì)的最大值，結(jié)

合三角形面積公式求S的最大值.

【詳解】⑴因?yàn)?s(4+3)=8S(JC-C)=-8SC,COS2C=2COS-C-1,

所以38s(4+8)=8S2c+2可化為28s：C丁38SC+1=0,

所以(28SC+1)(8SC+1)=0,又因?yàn)閏osCe(Tl)

解得cosC=_g,又因?yàn)镃e(Oi),

所以。嚀2jr.

(2)由余弦定理得8sC="二'=-［，所以+爐-C'=Y6,

2ab2

又c=6,所以a，十斤一36=T?b,

所以庁+尸=36-4b,

又因?yàn)闋t+工2為"當(dāng)且僅當(dāng)。=。時(shí)等號(hào)成立，

所以36-附22而，所以就412,當(dāng)且僅當(dāng)。=匕=2』時(shí)等號(hào)成立，

所以三角形的面積S=:MsinC=正加43出，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2』時(shí)等號(hào)成立，

24

所以三角形面積的最大值為38

4.(2023?安徽合肥?合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測》在①4asinC=3ccosH,

②66cos與￡=M7sm3這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充

完整的題.

在dLBC中，角.4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,a=3應(yīng).

(1求sinA；

(2)如圖，。為邊KC上一點(diǎn)，DC=DB,ABtBD,求厶^。的面積.

【答案】(1)|

(2)6

【分析】3)若選擇條件①，利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

計(jì)算可得；若選擇條件②，利用正弦定理將邊化角，再利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式求出

8S4，即可求出smg,最后利用二倍角正弦公式計(jì)算可得，

⑵設(shè)SD=DC=3x(x>0),易知.4D=5x,.4B=4x,再利用余弦定理求出工，最后

由面積公式計(jì)算可得.

【詳解】(1)若選擇條件①，在二山c中44sinC=3c8sN,

由正弦定理得4Wn.4sinC=3sinC8sM)

vsinC^O,.\4sinJ=3cosJ>BP16sin:-4=9cos2J=9(l-sin;A),

/.25sin-A=9f

yvsin.4>0,..smJ=1

B+C

若選擇條件②，Q的8s^/lO^sinB

2

二6dcos=?s^O^sinB,艮卩6sinBsiny=sinJsinB,

又?.,sinBwO,/.6siny=^710sinJ,3f|^x6siny=sin-cosy,

7L，所以Wn令0,所以8s*嚟，則

因?yàn)?￡(0,兀)，所以

A.t>A-\/10

sin-=.1-005*-=----->

2\210

2WnM=2環(huán)血之

2210105

(2)設(shè)即=DC=3x(x>0),易知月D=5x,zL5=4x,

因?yàn)閄n.4=^■目A為銳角，所以8SK=Jl-sin==g

在dlffC中，由余弦定理〃二=b：+r-2bccosN,

即18=(5x+3x『+(4xf-2x8x-4x4,解得》=膽或》=-叵(舍去)，

544

所以c=4x=次，ft=8A=27iO,

:=；3csin/=；x>>^Ux2"vA'^xW=6.

5.(2023?安雷自肥?合肥一中?？寄Ｏ牅y)記d4BC的內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為。,

b,c,已知8s8=；.

(1球8S-+tan：與￡的值；

(2期b=4,*即=2收，求c的值.

【答案】(1)|

(-)c=^2或c=3^2

【分析】(1)利用二倍角公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得;

（2）由面積公式求出/，再由余弦定理得到關(guān)于，的方程，解得即可.

【詳解】（1）因?yàn)?sB=；,

.,A+C

？B、4―C1+8S5?

所以cos*—+tarr-------=-----------+--------

⑺人222T+C

COS------------

2

1*cos51-8S（月+C）

2l+8S（a+C）

屮屮

_1+8SB1^COSB_X3W_8

=—2—"l-cosB="2-—11=1

3

（2）因?yàn)?sg=；,sinB=71-cos-B=,

33

因?yàn)镾,j“=20,即;acsinB=：ac-二^=2應(yīng)，所以出'=6,

再由余弦定理知方=a'+c：-2ac8sB,即手=（；）+c：-2x6x；,

即廠-2a-+36=0,解得c'=2或相=18

所以c=&或c=30（負(fù)值舍去）.

6.（2023?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)?？寄；诇y）記厶^。的內(nèi)角43c的對(duì)邊分

別為。也*分別以。也。為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為s,,s：：s,,已知

S[+S：—S[=^,sinC=~^~?

（1球dLBC的面積；

（2浩皿如山選，求J

3

【答案】⑴今

⑵當(dāng)

【分析】（D根據(jù)面積公式及余弦定理得到曲8SC=2,再求出cosC,即可求出而，

最后由面積公式計(jì)算可得；

（2）由正弦定理求出」方，即可得解

snC

【詳解】（1）由題意得S,=?歩.*=正才，s、=並臚，s、=&,

22424,4

貝|JS,+S「S、=並a：+且三一走c?=出，即優(yōu)一C?+尸=4,

444

由余弦定理得8s八鼻L,整理得而8SC=2,則8SC＞。，又T

則8sC=Jl—j^^j=?￡,所以ab=coH=君，＞m=—odsinC=-j

（2）由正弦定理得芻=，==三，

snBsin.4smC

c:abab書」

所以sin2CsitusinBsin4sinB的，

3

則木二退或裊=不(舍去)，所以cSiG萼

7.(2023?山東鮫統(tǒng)考前測)在UBC中，角45c所對(duì)的邊分別為。力工，目

.4BAC-^RABC=2CACB

(1語a/，c成等比數(shù)列，求角。的大??；

(2港。=1,且sin'B-sin；Nnlsin'C,求d43C的面積.

【答案】(1g

⑵亜

10

【分析】3)根據(jù)題意，利用額量積的定義化簡得到cbcosX-cacos5=238SC,再

由余弦定理得到標(biāo)+加=2庁，結(jié)合^=",求得。=6=c,即可求解；

(2)由(D知"+加根據(jù)題意，利用正弦定理可得爐-標(biāo)=；。)聯(lián)立方程組

求得a瓦C的值，結(jié)合余弦定理求得8s/=qg,得到stn.4=甯，利用面積公式，即

可求解.

【詳解】⑴因?yàn)橥叽?市.函=2百.通，

根據(jù)向量的數(shù)量積的定義，可得cbcosX+ca8s5=238sC,

由余弦定理可得"二一二《.歩-「一"=2±-"一「,整理得出+斤=年，

222

因?yàn)?。也，成等比?shù)列，所以工=農(nóng)，解得a=b=c

所以JLB。為等邊三角形，所以C=g.

(2)解：由(1)知?dú)i+爐=勿’,

又由sin--B-sin:月C,根據(jù)正弦定理可得加-a：=｝；,

聯(lián)立方程組，解得c=卷2"

因?yàn)樨?1,所以C=莖，a=迫,

55

由余弦定理可得cos力=￥=遇，所以sin月="。1=亙，

2bc1010

所以厶^。的面積為S=，csinN」xlx述乂息=亜

2251010

8.（2023?山東毅?統(tǒng)考劇既測）在上山C中，角X、B、C的對(duì)邊分別是。、b、c,

且28sC-sinB-—j+cosX=0

6丿

（1球角。的大小;

（2港/HCB的平分線交HB于點(diǎn)。，且8=2,BD=lAD,求5c的面積.

【答案］⑴C嚀2冗

⑵座

2

1分析】（1）根據(jù)兩角和的正余弦公式變形可求出結(jié)果；

（2升艮據(jù)角平分線定理得a=2b,法一:在3BC中，根據(jù)余弦定理得c=jb,^ACD

中，根據(jù)余弦定理求出b,再根據(jù)面積公式可束岀面積；法二：根據(jù)S,““+S，,a,=S,,“

求解即可.

【詳解】（1）由已知可得2ssCjqsinB+<8sBj-cos（8+C）=0,

*73sinBcosCcosBcosC-（cosBcosC-sinBsinC|=0

整理得，sinB（73cosC+sinC）=0,

因?yàn)?w（0,兀）,戶似staBwO,

所以48sC+sinC=0,

即tanC=—y/3>

因?yàn)椋?€（0,兀）,所以C哼2冗

（2）由題意得,==:即°，所以〃=2兒

BCBD2a2

法一：

在dlBC中，廠="十斤一8szzte3=4戸+/-2x2dx0x（一（）=7。）

所以c="b.在AHCD中，WD=g,

所以HD：=AC2-CD2-2ACCDcos^ACD，

即￡l=b'+2?-2bx2x丄，

92

將,=網(wǎng)代入整理得〃一動(dòng)+18=0,解得。=3或6=6一

若b=6,則a=12,c=6幣,BD=4j.AD=2幣,

所以在厶BCD中，得8SNCD5=也+?二蛆』4"):2：-12：(°,

2BDCD1677

同理可得8s乙1DC<O即NBDC和乙0c都為鈍角，不符合題意,排除

所以。=3,。=6,

Si=gMsinl20=竽

法二：

因1^/為JSA.|{.IJA/BslI-=*SA-l0(,"

^lx22(sin60+lx2asin60=ladsinl20,所以匕+。=；劭

因?yàn)閍=2。，所以匕=3,a=6,

所以耳M=]而411120=券

9.(2023?山東濟(jì)寧?喜祥縣第一中急考三模)已知銳角=15c的內(nèi)角A,B,。的對(duì)

邊分別為。，b,c,目/:

(怵角A的大小;

(2雷a=6,求He的取值范圍.

【答案】(畤

⑵(6同2]

【分析】(D利用誘導(dǎo)公式及正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式求出cosH,

即可得解；

(2)利用正弦定理將邊化角，轉(zhuǎn)化為角B的三角函數(shù)，再由B的取值范圍，求出b+c的

范圍.

…2b-ca2b-c_a

【佯解】3丿由8s(A+B)=8s(3+C)'即cos(z-c)-cos(n-A]'

/H2b-ca

胃---k=----7>

cosCcos/

由正弦定理可得(2sinB-sinC)cosJ=sinJcosC,

所以2sin3cosJ=sin.48SC+sinC8s=sin(/+C),

所以2sinReossin8,因?yàn)?w（0,兀），所以sin3>0,

所以8s.4=：,又月e((U),所以

⑵由正弦定理訪=烏=詣

得-成

所以b+c=—^―（sin8+sinC）=4/snB-sin

sinJ

=4/sinB*sin—cosB-cos—sinB:

33

4應(yīng)sinB-4cosB^^sinB71

8sBj=12叫；?

6

因?yàn)檎技?。為銳角三角形，目$=(

0<B<-

所以2解得

0<史_3「62

32

兀K兀2兀

所以於,8+?

6S235T

気，

所以sin加靜3+*卜（64,12],

W，

所以)+c的取值范圍為(6近12]

10.(2023?福建摩門,統(tǒng)考模?頃測〉記35c的內(nèi)角43c的對(duì)邊分別為。也仁已知

abco-出c+ePeosB=0?

(1球〃的值;

(2)點(diǎn)。在線段BC上，N'A/C=120：/A4D=45：8=L求“BC的面積.

【答案】⑴a=3

【分析】(1)根據(jù)正弦定理、三角函數(shù)的和差角公式將條件變形可得答案；

SCD

(2)由言=而可得一45=/C,然后由余弦定理可解出■鋁MC,即可得答案；或

利用正弦定理結(jié)合結(jié)合條件求4c5=30,然后再利用余弦定理及三角形面積公式即

得.

[詳解】（1）由正弦定理得：^sinficos.-1-道sinC-oWn4cos5=0.

所以a(sia4co十cos.4sinS|=毎inC

所以asin(月+3)=招sinC.

所以zTsinC=WsinC>

因?yàn)閃nC>0,所以4=0

4C--4Dsin75,

,SttnCD

(2)法b因?yàn)?—~=而，

2

又即75=sin（45+sin30卜爭等+孝十罕,

所以~TD=1，即?鋁=X。.

AJD

在亠西C中，由余弦定理得

cod,呪:產(chǎn)丁,所以2妨-3=-血

所以4B=4C=1,

所以S=lxlxlxsinl20=—

224

法2：

1

設(shè)ZACB=e,在AKCD中，由正弦定理得:

sin(75+矽sn75,

廠亠亠acV3

同理在JLBC中皿60-8)=sinl20'

所以g加75+丈底屮。叫，

sin75sinl20

所以爭團(tuán)亂血限"邛，又6W,

所以9=30、即￡5=工。

在oLBC中，由余弦定理得

8&4=X"3c=3得2AB：_3=_AB：,所以/B=.4C=1

2ABAC

所以S1W,=lxlxlxsinl20=—.

?-,"<24

11.（2023?福建南平?統(tǒng)考勘既測）已知厶空（?中，角且，B,C的對(duì)邊分別是db,c,

_l-cos2BsinC+cosC

tq------------=-----------------

sin23sinC-cosC

(1球/的大小;

(2?殳.4。是BC邊上的高，且WD=2,求zLBC面積的最小值.

【答案】

(2)4^2-4.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用二倍角公式和角的正余弦公式化簡求解作答.

(2)利用三角形面積公式化簡得a=蟲加，再利用余弦定理結(jié)合均值不等式求解作答

4

【詳解】3)在JL5C中，由匕噺］=sin,-8s,及二倍角公式,得

sin23sinC-cosC

sinBsinC-cosC

--=~f

cosBsinC-cosC

SPsinBsinC-sinBcosC=cosBstnC-^cosBcosC)整理得sin(3+C)-8s(B+C)=0,

因此tan(3-C)=-l,即［anX=l,而OvWc兀，

所以

4

(2)由(1)及已知>得，0=1ax2=：加sin￡,即有a=/■be?

2244

由余弦定理得〃=〃+/-2配cos：,即爐"-J_枝加,

因此丄丘二=b1+r-V2dc,即丄十應(yīng)兒=b：^c2>2bc>

88

于是於28(2-&),當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，而*4=￥兒，

所以aLBC面積的最小值為—x8(2-V2)=4V2-4.

4

1242023?福建泉州?校聯(lián)考?；诇y廄銳角亠鋁。中，角43c所對(duì)的邊分別為a,bx,

且2u=(爐-￥C2-b:|(tarL4-tan5).

(1球角A的大?。?/p>

(2港邊a=&,邊友'的中點(diǎn)為D,求中線.8長的取值范圍.

t答案】⑴

4

【分析】(D由余弦定理結(jié)合正弦定理，可得出角的正切即可求出角；

(2)由|萬|：=；(毎亠/)：，結(jié)合正弦定理應(yīng)用輔助角公式，根據(jù)銳角三角形中角的

范圍，即可應(yīng)用三角函數(shù)值域求出范圍

t詳解】(1)由余弦定理得2c：=為8網(wǎng)血4-團(tuán)團(tuán),

即c=a8sB(tan.4-tanB|>

sin.4sinB

由正弦定理得sinC=sin4cosB(tan4-tanB|=SIL4COSB

cos-4cosB

.‘門sin13+3)sin-4sinC

=sux48sB——---------=-------------,

co&4cos3cos-4

???snC*0,.\sn-4=C0Su4,艮卩taa4=1,

71

二月

4

(2)由余弦定理得：2=>+C2-辰,則/

|JD|*=-(^B+JC);=-(r+i-+72&c)

44,

由正弦定理得二=三=咼=2

snBsinCSIIL4

所以b=2sinB:c=2sinC)

(牛_B卜率sinB8sB-snB)=^2(-cos2B+sn2B(+品

be=4sinBsinC=4sinBsin

=2sin；25一升0

0<5<-

因?yàn)槭卿J角三角形，所以2即

o揖一242

42

則:<28-：<1<sinj2B-：；41,二bee(25/2,2+5/2]

中線.4D長的取值范圍是j孚，與2

13.(2023?河］翁水?河】偷水中學(xué)?？寄M預(yù)測)銳角"5C的內(nèi)角.4,B,C的對(duì)邊

分別為。，b,c,已知J5(6sinC+csinB)=4asinBsinC,b:+c:-a:=8,

(1球cosH的值及oLSC的面積；

(2)々的平分線與5c交于。，DC=23。，求。的值.

【答案】(l)cosJ=-,Sltl=2-75j

(2)a=2/.

【分析】（D結(jié)合正弦定理邊角互化即可求出月=g,即可求出cos-4的值；再由余弦定

理求出加=8,由三角形的面積公式求出的面積；

（2）因?yàn)?/的平分線與3。交于。，所以，再由三角形的面積公式和

余弦定理即可求出答案

【詳解】（D根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理邊角互化得

（sinBsinC*sinCsinB）=4sinAsinBsinC,

SP2^sinBsinC=4sin-4sinBsinC,因?yàn)橥逤E（O㈤,

所以WnBwO,sinC#O,

所以31n.4=正，因?yàn)樵阡J角dl5C中，心卜?，所以/

2I2丿3

所以8s月=；,因?yàn)榕?c，y,=8,

所以b2+c*-er=2bc8s月=8,解得be=8,

所以dLSC的回積S=ijcsinz!=~x8x—=2->/3

222

（2）因?yàn)椤ǖ钠椒志€與交于D,DC=2BD,所以黑㈤,=京型“，

即:尻40《1130。=；*；-加511130。，所以b=2r,由于bc=8,

所以b=4,c=2所以〃=。：+/-8=4+16-8=12,所以a=2&.

14.（2023?黑龍江黒龍江實(shí)聆中學(xué)?？级＃┰赿LBC中，以。，b,c分別為內(nèi)角A,

B,C的對(duì)邊，geos-B+cos"'C-cos-J=1-sinB-sinC

（1球A；

Q浩a=M,6=4,求dL3C的面積；

（3期。=2bcos8,。=3,求BC邊上中線長.

t答案】⑴,弋

（2）64

⑶學(xué)或卒

22

t分析】（D由平方關(guān)系及正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得3

（2）首先由余弦定理求出一再由面積公式計(jì)算可得；

（3）由正弦定理將邊化角，即可求出3=*或3=：,再分別求出中線的長度.

J0

【詳解】(1)由8s，3-cos，C一8S，月=1一sinBsinC得

sin2月=sirr5+sin*C-sinBsinC,

由正弦定理可得=b'+c：-be)

由余弦定理可得8s荘/J葢弓

因?yàn)?€（01），所以.4、.

（2）因?yàn)椤?2々，6=4且=萬一be,

所以28=16+c，-4c,解得c=6或c=-2(舍去),

所以S.&=；^csinJ=-X4X6X2LL

（3）因?yàn)閍=2bcos3,由正弦定理可得sin,4=2sin3cos8,

即Wn2B邛,因?yàn)?4=（所以3do弓，則2吋0專）,

所以23=§或23=扌，即或3

3336

當(dāng)3弋時(shí)-15C為等邊三角形，所以BC邊上中線長為381nm=攣;

332

當(dāng)B=1時(shí)，則CET-B」，所以d"。為直角三角形，又。=3,

62

3_b_C

由正弦定理，一=丄^=-=，即一"ii=1■=—■,

eh上王sm.4sin5stnCsin-sin—sin—

263

所以。=/，c=2后所以BC邊上中線長為

綜上可得5C邊上中線長為亭或孚

15.（2023,黑龍江哈爾濱?哈師大附中統(tǒng)考三模）我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九童》

中記述了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三邊長，求它的面積，用現(xiàn)代式子表示即為：

Su*八一尸?。荨伲ㄆ渲雄炭?。內(nèi)角W5C所對(duì)的邊分別為a&jS

為的面積）

（1）證明公式①；

⑵已知“5C三條邊以\鼠;疑的高分別為兒=殍,力,=也也=旃，求S.

t答案】（1）證明見解析；

(2)S=6

【分析】（D在alBC中，過點(diǎn)X作WD/BC,設(shè).40=力，BD=X,CD=yf算出

h=M,-s+f）一,然后利用面積公式即可證明；

2a

（2）由ah.=憤=優(yōu)可設(shè)a=姮t.b=也k.c=眄k,k>0,代入三角形面積公式

5210

可得S=或統(tǒng)=丄七解出七，求出4,即可求解.

202

【詳解】（1）在disc中，.M=c,HC=6,BC=a,

過點(diǎn)工作4?丄5C,設(shè).5=方，BD=x,CD=yf

J4azc2-[a:+c:-b2y

2222

iiJ4(fc-(a^c-bfc2^a:-b2

:.S」ah」aY----：--------'Ia:c-

22la2

八、宀jAZ14cz.111"應(yīng)而

(2)由。力“=她=。力一.b.c=-.—.—

，?."e

Q=------k1b=—k1c=------kf內(nèi)>0,

5210

”方亠丄尸一丄方

I丄a^c2-bl創(chuàng)，

則s25102

22

歹1J157151

2532

-^-k2=丄上,:?k=2事,

202”

a=2y/3.b=^yio.c=y/2.

所以s=：曲=；xRJx孚=5

16.（2023?黑龍江哈爾濱哈九中?？寄M預(yù)測）已知厶紡C的內(nèi)角4B,。的對(duì)邊分

2出acsinC

別為用b,c,且tanJ+tanB

(a：^c:-b:JsinJ

（1球8sx的值；

（2）1殳貝O為8c邊上的高,a=?求NO的最大值.

【答案】（1）8S.4=：

t分析】（1）根據(jù)余弦定理化邊為角，并通過三角恒等變換化簡可得口值=出,由此

可求8s.4,

（2）根據(jù)三角形面積關(guān)系得gbe,再根據(jù)余弦定理得兒范圍，由此可求且。的最

大值.

【詳解】（1）因?yàn)槎^絲警一^tanN+tanS,

（d+c-iIsinJ

出sinC_sinJsin3

所以（/十。二一工）cos