滬科版八年級數(shù)學(xué)下冊 勾股定理 單元作業(yè)設(shè)計

滬科版八年級數(shù)學(xué)下冊作業(yè)設(shè)計

第18章勾股定理

一、單元信息

基本學(xué)科年級學(xué)期教材版本單元名稱

信息數(shù)學(xué)八年級第二學(xué)期滬科版勾股定理

單元

組織D1自然單元口重組單元

方式

序號課時名稱設(shè)計教師

1第18章單元分析潛山市第三中學(xué)周鵬遠

218.1勾股定理（第一課時）潛山市第三中學(xué)朱琳琳

課時

318.1勾股定理（第二課時）潛山市第三中學(xué)儲慧賢

信息

18.2勾股的逆定理

4潛山市第三中學(xué)李蘭

（第一課時）

18.2勾股的逆定理

5潛山市第三中學(xué)芮蘋

（第二課時）

6第18章單元復(fù)習(xí)潛山市第三中學(xué)周鵬遠

7第18章單元質(zhì)量檢測潛山市第三中學(xué)孔文進

二、單元分析

（-）課標(biāo)要求

探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題。

課標(biāo)在“知識技能”方面指出：經(jīng)歷圖形的抽象、分類、性質(zhì)探討、運動、

位置確定等過程，掌握圖形與幾何的基礎(chǔ)知識和基本技能。在“數(shù)學(xué)思考”方面

指出：建立數(shù)感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力，發(fā)展形

象思維與抽象思維；在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學(xué)活動中，

發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法；學(xué)會獨立思考，體會數(shù)

學(xué)的基本思想和思維方式。在''問題解決”方面指出：初步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)

現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實際問題，增強應(yīng)用意識，提

高實踐能力；獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多

1

樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識；初步形成評價與反思的意識。

（二）教材分析

1.知識網(wǎng)絡(luò)

（三）學(xué)情分析

從學(xué)生的認(rèn)知水平看，在“三角形邊角關(guān)系”一節(jié)，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識三角形三

邊之間的不等關(guān)系，但學(xué)生對三邊之間的二次方關(guān)系的研究還很陌生。而學(xué)習(xí)勾

股定理是進一步認(rèn)識和理解直角三角形的需要，也是后續(xù)有關(guān)幾何度量運算和代

數(shù)學(xué)習(xí)必要的基礎(chǔ)，因而勾股定理具有學(xué)科的基礎(chǔ)性和廣泛的應(yīng)用。

從學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)看，學(xué)生對幾何圖形的觀察，幾何圖形的分析能力已初步

形成。部分學(xué)生解題思維能力比較高，能夠正確歸納所學(xué)知識，通過小組討論交

流，能夠形成解決問題的思路。

從學(xué)生的身心特點看，初二學(xué)生的邏輯思維還是比較薄弱的，通過形象直觀

的圖形去感受發(fā)現(xiàn)新知識，教學(xué)中還是要從具體的實例入手。但另一方面他們比

較喜歡探索，求知欲強，容易接受新事物，這是探究新知識的益處。

三、單元作業(yè)目標(biāo)與學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.經(jīng)歷對問題情景的觀察、分析、一般化等思維活動，提出猜想，體驗勾股

定理的探索過程，體會數(shù)形結(jié)合的思想.

2.了解勾股定理的證明，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣；

3.會運用勾股定理解決簡單的實際問題.

4.結(jié)合具體情景，了解逆命題（逆定理）的概念；理解勾股定理的逆定理，

會用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

8.通過實例了解勾股定理的歷史與應(yīng)用，體會勾股定理的文化價值.

四、單元作業(yè)設(shè)計思路

具體設(shè)計體系如下：

2

基礎(chǔ)性作業(yè)

發(fā)展性作業(yè)

1.經(jīng)歷對問題情景的觀察、分析、一般化等思維活動，提出猜想，體驗勾

股定理的探索過程，體會數(shù)形結(jié)合的思想.

2.了解勾股定理的證明，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣；

3.會運用勾股定理解決簡單的實際問題.

4.結(jié)合具體情景，了解逆命題（逆定理）的概念；理解勾股定理的逆定理,

會用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

5.通過實例了解勾股定理的歷史與應(yīng)用，體會勾股定理的文化價值.

3

18.1勾股定理（第一課時）

一、作業(yè)目標(biāo)

1.理解并掌握勾股定理的內(nèi)容，并能熟練利用其解決三角形中的邊的相關(guān)

計算；

2,對給出的邊長不能確定是直角邊還是斜邊時，會進行分類討論；

3.讓學(xué)生掌握勾股定理在圖形的折疊問題上體現(xiàn)出來的重要的方程思想；

4.通過分層作業(yè)的布置，讓不同水平的學(xué)生都能得到不同的發(fā)展。

二、作業(yè)分析

本次作業(yè)的設(shè)計符合新課程標(biāo)準(zhǔn)對知識點掌握程度的要求，由淺入深、由易

到難，層次分明，符合不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生去練習(xí)。所有題目的設(shè)計重點在于強

調(diào)勾股定理的運用，也強調(diào)了數(shù)學(xué)思想的重要性，即分類討論思想、方程思想。

基礎(chǔ)題讓學(xué)生牢牢鞏固了勾股定理的內(nèi)容，發(fā)展題讓學(xué)生體會到勾股定理在綜合

題中的重要作用。通過這些題目讓學(xué)生了解了勾股定理是直角三角形中求邊長的

重要定理之一，為九年級解直角三角形打下堅實的基礎(chǔ)。

三、作業(yè)展示

基礎(chǔ)性作業(yè)（時間：10分鐘）

1.在用「I"。中，兩條直角邊的長分別為6和8,則斜邊的長為?

A.6B.7C.10D.13

【設(shè)計意圖】本題考查了勾股定理?由題意根據(jù)勾股定理，即可直接求出直角三

角形的斜邊長。

【核心思想】數(shù)學(xué)運算

【答案】C

【解析】

解：由題意得：

該直角三角形的斜邊長為：V62+82=10.

故選C.

2.如圖，正方形.1止萬的面積是I

A.5B.25C.7D.1

【設(shè)計意圖】本題考查勾股定理以及正方形的面積公式，要熟練運用勾股定理。

【核心思想】數(shù)學(xué)運算、邏輯推理

【答案】H

4

【解析】解：設(shè)正方形的邊長為，，

由勾股定理可知：「："+卜’，

.'.r25,

故選：B.

3.已知等腰三角形的一條腰長是15,底邊長是18,則它底邊上的高為；

【設(shè)計意圖】此題考查了勾股定理，用到的知識點是勾股定理、等腰三角形的性

質(zhì)，關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形.

【核心思想】數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)學(xué)建模

【答案】12

【解析】解：過點A作

,-.BD=CD=-BC=-xlS=9,

22

AD=JAC?-CD。=7i52-92=12，

，它底邊上的高為12；

4.如圖，長方形Z8C。中，AB=3,AD=1,N8在數(shù)軸上，若以點/為圓心，

對角線ZC的長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點M,則點”表示的實數(shù)

為;

【設(shè)計意圖】本題主要考查實數(shù)與數(shù)軸、勾股定理等知識,

【核心思想】數(shù)學(xué)運算、直觀想象

【答案】Vio-i

【解析】解：.?.四邊形ABCD是長方形，

：.ZABC=90°,

:AB=3,AD=BC=T,

22

：.AC=^AB+BC=VF+F=Vio，

vAM=AC=,OA=l,

5

.?.點M表示點數(shù)為J元-1.

故選C

5.如圖，在AXBC中，ADLBC,垂足為點/),.18.13,4C?1B.

(1)求.4。的長；

(2)求/*'的長.

【設(shè)計意圖】本題主要考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理公式及其

變形.

【核心思想】數(shù)學(xué)運算

【解析】解：1ID1BC

Z.ADB,(l),\=W.

在Rt^ADB中，丫ZADB=90*，

1/):?Hl):-AB1,

\l):wrm):HI.

.AD>0，

AD12.

⑵在用△ADC中，一/「。從=正，

.?.3+3?心，

、l.

.Cl)>0,

CD_9.

=〃/)+「〃=5+9=11.

發(fā)展性作業(yè)(時間10分鐘)

6.若實數(shù)a、b滿足|a-3I+VK14=0,且a,b恰好是直角三角形的兩條邊，則

該直角三角形的斜邊長為()

A.5B.4C.；或ID.5或8

【設(shè)計意圖】本題考查非負數(shù)的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

基本知識

【核心思想】數(shù)學(xué)運算、直觀想象

【答案】C

【解析】

解：由憶一3|+正==0得a=3,b=4

1當(dāng)a,b是直角邊時，

直角三角形的斜邊二，

2當(dāng)b=4是斜邊時，斜邊為4,

故答案為5或4.

6

7.如圖，四邊形/8C。為矩形紙片.把紙片/8C。折疊，使點8恰好落在邊8

的中點E處，折痕為/E若AD=6，則切7的值是.

【設(shè)計意圖】本題主要考查的是翻折的性質(zhì)，著重強調(diào)勾股定理的方程思想的運

用

【核心思想】數(shù)學(xué)運算、直觀想象、邏輯推理

【答案】8

【解析】解：.??紙片ABCD為矩形，AD=6

：.AD=BC=6,AB=CD,

由翻折的性質(zhì)可知：AB=AE,BF=EF.

設(shè)AB=AE=2x,BF-EF-y,

???E是CD的中點，

DE=x.

在中，由勾股定理得：AD2+DE2=AE2,

即62+X2=4X2,

解得：x-2^3?

AB-AE=2x=4-\/3,

在。中，F(xiàn)C=BC-BF=6-y,

由勾股定理得；FC2+EC2=EF2,

即：(6-.)2+(2溝2=/.

解得V=4.

在Rt”8/中，由勾股定理得：

AF=yjAB2+BF2=^42+,石丫=8.

故答案為8

8.如圖，已知△ABC中，NB=9tT,4816cm,SC-12km,P、Q是

邊上的兩個動點，其中點，從點.l開始沿I一〃方向運動，且速度為每秒1＜八，

點Q從點〃開始沿〃一c一I方向運動，且速度為每秒2〃「，它們同時出發(fā)，

同時停止.

(1)P、Q出發(fā)I秒后，求，Q的長;

7

備用圖

（2）當(dāng)點Q在邊CA上運動時，出發(fā)幾秒鐘后，能形成直角三角形？

【設(shè)計意圖】本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等積

法、及分類討論思想等知識.用時間，表示出相應(yīng)線段的長，化"動''為"靜’'是解

決這類問題的一般思路

【核心思想】數(shù)學(xué)運算、直觀想象

【解析】解：1「運動時間為4秒，

..-2x4-8(cm),BP-AB.IP16-1x4=121，,

在*/q〃中，根據(jù)勾股定理得:

PQ=y/Bfy+BP*=\/圖+12?=Ix/UJlONl;

i12i當(dāng)點Q在Cl邊上，且形成直角三角形時,

過點〃作的垂線，垂足即為點Q,如圖，

在伙'中，根據(jù)勾股定理得：

.11=丫］/尸+121=2O（C"|,

根據(jù)三角形面積公式可得：即=更段=粵5=：,

AC2115

在用一OCQ中，根據(jù)勾股定理得

：12+-,?v2-!）ti|秒I,

5

當(dāng)點Q運動到點.1時，CQ3也形成直角三角形，12?20：216（秒）.

??當(dāng)點Q在邊上運動時，出發(fā)。.?；騅秒鐘后，rQ〃能形成直角三角形.

8

四、作業(yè)評價

等級

評價指標(biāo)備注

ABC

A等，答案正確、過程正確。

B等，答案正確、過程有問題。

答題的準(zhǔn)確性

C等，答案不正確，有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，過程錯

誤、或無過程。

A等，過程規(guī)范，答案正確。

答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。

C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。

A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。

解法的創(chuàng)新性B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。

C等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過程。

AAA、AAB綜合評價為A等；ABB、BBB、AAC綜合

綜合評價等級

評價為B等；其余情況綜合評價為C等。

9

18.1勾股定理（第二課時）

一、作業(yè)目標(biāo)：

1.掌握勾股定理，能運用勾股定理及直角三角形的判定方法來解決簡單的

實際問題。

2,通過小組合作與交流，會選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解決實際問題。

3.理解勾股數(shù)的概念，并掌握簡單的勾股數(shù)。

4.通過勾股定理的簡單應(yīng)用體會數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想。

5.通過畫圖實踐感悟勾股定理的應(yīng)用價值。

二、作業(yè)分析

本次作業(yè)設(shè)計貼合課程綱要的主題，內(nèi)容按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求進行設(shè)計。設(shè)

計本著作業(yè)的實用性、趣味性、層次性、探究性，促使學(xué)生在完成作業(yè)的同時，

積極探索數(shù)學(xué)的本質(zhì)，開拓學(xué)生的視野、思維。在設(shè)計作業(yè)的時候，為了照顧到

學(xué)生個體的差異發(fā)展的需求，我還設(shè)計了層次性作業(yè)，不僅使得優(yōu)等生能在鞏固

基礎(chǔ)知識的同時不斷拓展，使自己的知識量和靈活性都有所提升，而且中等生在

保證基礎(chǔ)知識扎實的情況下有較大的進步，在知識的靈活性運用方面有所提高，

而學(xué)困生則確保能掌握課標(biāo)設(shè)定的教學(xué)底線，從而使每個人都能學(xué)有所得。在作

業(yè)完成后，我又組織學(xué)生首先自查自糾、自己總結(jié)，使學(xué)生在不斷反思總結(jié)中能

力得到進一步的提升。

三、作業(yè)展示

基礎(chǔ)性作業(yè)（時間：10分鐘）

1.如圖，一棵大樹被臺風(fēng)刮斷，若樹在離地面5m處折斷，樹頂端落在離樹底部

12m處，則樹折斷之前高（）.

A.13mB.17mC.18mD.20m

【設(shè)計意圖】勾股定理的定理的簡單應(yīng)用，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，利用勾股

定理來計算解決問題。

【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算。

【答案】C

【解析】

如圖：

在RtaABC中，AB=5米，BC=12米,

10

由勾股定理，得：AC=7AB2+BC2=近2+122=13米

.-.AC+AB=13+5=18米,即大樹折斷之前有18米高.故選C.

2.如圖，一艘輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪

船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，

則兩船相距（）

A.25海里B.30海里C.40海里D.50海里

【設(shè)計意圖】熟練運用勾股定理進行計算，基礎(chǔ)知識，比較簡單。

【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)建模.

【答案】C

【解析】兩船行駛的方向是東北方向和東南方向，

ZBAC=90°,

兩小時后，兩艘船分別行駛了16x2=32海里，12x2=24海里，

根據(jù)勾股定理得：：V302+242=40（海里）故選C.

3.如圖，潛山三中學(xué)校內(nèi)有一塊長方形花壇，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”,

在花壇內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了步，卻踩傷了花草（假設(shè)2

步為1米）

【設(shè)計意圖】本題是勾股定理的簡單應(yīng)用，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好

數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。

【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運算。

【答案】4

【解析】根據(jù)勾股定理得，斜邊的長：回不平=5米，

少走：3+4-5=2米，

因為兩步為1米，所以少走了2x2=4步.故答案為4.

4.如圖，一個工人拿一個2.5米長的梯子，底端A放在距

離墻根C點0.7米處，另一頭B點靠墻，如果梯子的頂部

下滑0.4米，那么梯子的底部向外滑米.

【設(shè)計意圖】勾股定理在實際生活中的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌

握直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運算。

DA

【答案】0.8

【解析】，?8=2.5米，AC=0.7米，

，BC=，4B2-ac2=2.4（米）

?.?梯子的頂部下滑0.4米，

，BE=0.4米，

.,.EC=BC-0,4=2米，

.?.DC=A/DF2-EC2=1.5（米）

；?梯子的底部向外滑出AD=1.5-0.7=0.8（米）.

5.一塊土地的形狀如圖所示，ZB=ZD=90°,AB=20米，BC=15米，CD=7米,

求這塊土地的面積？

【設(shè)計意圖】通過對簡單實際問題的解決，加深對勾股定理的理解，使學(xué)生能利

用它們解決一些簡單的實際問題。

【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算.

【分析】連接AC,則aABC和4ACD均為直角三角形，根據(jù)AB,BC可以求

出AC,根據(jù)AC,CD可以求出AD,根據(jù)直角三角形面積計算可以求出4ABC

和4ACD的面積，四邊形ABCD的面積為兩個直角三角形面積之和.

【解析】解：連接AC,將四邊形分割成兩個三角形，其面積為兩個三角形的面

積之和，

在直角AABC中，AC為斜邊，

在直角4ACD中，AC為斜邊

則AD=V252-72=24（米），

四邊形ABCD面積S=1ABxBC+|ADxCD=234（平方米）.

答：此塊地的面積為234平方米.

12

發(fā)展性作業(yè)（時間：10分鐘）

6.AABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,則aABC的周長為（）

A.42B.32C.42或32D.37或33

【設(shè)計意圖】此題考查了勾股定理及解直角三角形的知識，在解本題時應(yīng)分兩種

情況進行討論，易錯點在于漏解，同學(xué)們思考問題一定要全面，有一定難度。

【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運算、直觀想象。

【答案】C

【解析】解答：此題應(yīng)分兩種情況說明

DBCD

(1)(2)

（1）當(dāng)△ABC為銳角三角形時，在RtZ\ABD中，

BD=V/1S2-AD2=V152-122=9,

在RtAACD中,

CD=y/AC2-AD2=V132-122=5

.\BC=5+9=14

.'.△ABC的周長為：15+13+14=42；

（2）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，

在RtAABD中，BD=y/AB2-AD2=V152-122=9,

在RtAACD中，CD=V/1C2-AD2=V132-122=5,

/.BC=9-5=4.

二AABC的周長為：15+13+4=32

.?.當(dāng)AABC為銳角三角形時，^ABC的周長為42；當(dāng)AABC為鈍角三角形時,

△ABC的周長為32.故選C.

7.如圖是一種“牛頭形”圖案，其作法是：從正方形1開始，以它的一邊為斜邊，

向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作正方形2,以此類

推，若正方形1的邊長為64cm,則正方形7的邊長為cm.

【設(shè)計意圖】熟練運用勾股定理進行計算，根據(jù)探索的規(guī)律解決問題。

【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)建模.

【答案】8

13

【解析】解：假設(shè)正方形1的邊長為內(nèi)，正方形2的邊長為42,……正方形7

的邊長為47,由題意得

22=222

<22+?2?1,2a2=a\,a2=翡。

同理可得夜&3=a2,a3=7I=，皋，

V^4=a3，?,皿二居二盤■，可推測，a7=*8(cm).

故答案為8

8.如下圖，壁虎在一座底面半徑為2.5米，高為20米的糖罐的下底邊沿A處，它

發(fā)現(xiàn)在自己的正上方糖罐上邊緣的B處有一只螞蟻，便決定捕捉這只螞蟻，為了

不引起螞蟻的注意，它故意不走直線，而是繞著糖罐，沿一條螺旋路線，從背后

對螞蟻進行突然襲擊.結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐.請問壁虎

至少要爬行多少路程才能捕到螞蟻？(兀取3)

【設(shè)計意圖】這題是稍微有點難度的問題，使學(xué)生不僅對勾股定理的知識有了更

深的認(rèn)識，而且使學(xué)生的邏輯思維能力有了一定的提升。在解答時將實際問題轉(zhuǎn)

化為數(shù)學(xué)問題是解答的關(guān)鍵.

【核心素養(yǎng)】邏輯思維、數(shù)學(xué)運算。

【分析】首先畫出如圖的圓柱側(cè)面展開圖，再連接AB,再根據(jù)勾股定理求出

AB的長就是壁虎所爬的路程.

【解析】

解：把這個油罐看成一個圓柱體，再畫出它的側(cè)面展開圖(是一個長方形)如下

圖所示：nD

因為A、B兩點間線段最短，所以壁虎至少要爬行線段AB這段路程，才能捕捉

到螞蟻.由題意，得AC=5TI,在RtZXABC中，由勾股定理，得

AB2=AC2+BC2=(2TIX2.5)2+202=152+202=625,

.,.AB=25米.

...壁虎至少要爬行25米才能捕到螞蟻.

14

作業(yè)評價

等級

評價指標(biāo)備注

ABC

A等，答案正確、過程正確。

B等，答案正確、過程有問題。

答題的準(zhǔn)確性

C等，答案不正確，有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，過程錯

誤、或無過程。

A等，過程規(guī)范，答案正確。

答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。

C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。

A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。

解法的創(chuàng)新性B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。

C等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過程。

AAA、AAB綜合評價為A等；ABB、BBB、AAC綜合

綜合評價等級

評價為B等；其余情況綜合評價為C等。

15

18.2勾股定理的逆定理（第一課時）

一、作業(yè)目標(biāo)

1.掌握勾股定理的逆定理，會用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是

直角三角形。

2.理解勾股數(shù)的概念，并掌握簡單的勾股數(shù)。

3.通過勾股定理的逆定理的簡單應(yīng)用體會數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、

方程思想。

4.通過畫圖實踐感悟勾股定理的逆定理在實際生活中的應(yīng)用價值。

5.通過分層作業(yè)的布置，讓不同水平的學(xué)生都能得到不同的發(fā)展。

二、作業(yè)分析

1.幫助學(xué)生正確理解勾股定理的逆定理，掌握應(yīng)用勾股定理的逆定理解題

的格式，通過簡單的計算，體會勾股定理的逆定理是判斷一個三角形是

不是直角三角形的重要依據(jù)。

2.通過作圖題讓學(xué)生了解勾股定理的逆定理是運用直角三角形各種性質(zhì)的

先決條件，它體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想，在生產(chǎn)實踐與現(xiàn)實生活

中有著廣泛的應(yīng)用。

3.通過勾股定理的逆定理的簡單應(yīng)用題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維以及合情推理意識,

加深學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的理解。

4.勾股定理的逆定理和勾股定理一樣，不是憑空想象出來的，而是古代科

學(xué)家們在實踐中逐步發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識的，所以我們在學(xué)習(xí)勾股定理時，也應(yīng)

通過實踐來認(rèn)識和理解它。畫圖、實踐活動的設(shè)計，能讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)

學(xué)的眼光去觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維去思考世界，讓學(xué)生對勾股定理的

逆定理印象深刻，認(rèn)識清楚，理解透徹。

三、作業(yè)展示

基礎(chǔ)性作業(yè)（時間：10分鐘）

1.下列長度的三條線段能組成直角三角形的是（）

A.5,11,12B.3,4,5C.4,6,8D.6,12,13

【設(shè)計意圖】理解勾股數(shù)的概念，掌握常見的勾股數(shù)。

【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運算

【答案】B

【解析】

4因為52+112H122,所以三條線段不能組成直角三角形；

A因為32+42=52,所以三條線段能組成直角三角形；

C.因為42+62。82,所以三條線段不能組成直角三角形；

。.因為62+122。132,所以三條線段不能組成直角三角形.

故選&

2.△ABC滿足下列條件中的一個，其中不能說明△ABC是直角三角形的是（）

A.=（a+c）（a—c）B.a：b：c=1：V3：2

16

C.Z.C=Z.A—Z-BD.ZJ4：Z.5：乙C=3：4：5

【設(shè)計意圖】梳理直角三角形的基本判定方法：有一個角是直角的三角形是直角

三角形；有兩銳角互余的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理。特別要區(qū)分

角的關(guān)系和邊的關(guān)系，不能混為一談。

【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象

【答案】D

【解析】

A.由b2=(a+c)(a—c)可得：c2+b2=a2,可以組成直角三角形，故此選項不

符合題意；

B.12+(V3)2=22,可以組成直角三角形，故此選項不符合題意;

C.由NC=zA-zB,zA+zB+zC=180°,可得：NA=90。，可以組成直角三

角形，故此選項不符合題意；

D.vzA：Z.B：zC=3：4：5,Z.A+zB+Z.C=180°,???最大角zC=75°,二不

能構(gòu)成直角三角形，故選項符合題意;

故選：D.

3.如圖所示，每個小正方形的邊長都相等，A,B,

C是小正方形的頂點，則乙4BC的度數(shù)為

【設(shè)計意圖】勾股定理的逆定理的簡單應(yīng)用，并結(jié)合

等腰三角形的判定“等角對等邊”來考察，初步體會數(shù)

形結(jié)合的思想。

【核心素養(yǎng)】邏輯思維.

【答案】45°

【解析】如圖，連接AC,

設(shè)每個小正方形的邊長都是a,

根據(jù)勾股定理可以得到：AC=BC=V5a,AB=V10a,

v(V5a)24-(V5a)2=(VlOa)2,

???AC2+BC2=AB2,

ABC是等腰直角三角形,

???ZABC=45°

4.如果AABC三邊長為a,b,c滿足|a-5|+Vb-12+(13-c)2=0,則該三

角形是三角形.

【設(shè)計意圖】通過三角形邊長求解的變式訓(xùn)練，加深對勾股定理的逆定理的理解,

并對常見的勾股數(shù)有基本的掌握。

【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運算

【答案】直角

【解析】

???|a-5|+Vb-12+(13—c)2=0,

???a-5=0,b—12=0,13-c=0,

解得a=5,b=12,c=13,

17

a2+b2=c2,?

??.△ABC為直角三角形.）

故答案為直角.//

5.潛山市第三中學(xué)校園內(nèi)有如圖所示的形如四八，//

邊形ABCD的花壇，現(xiàn)測量出48="/

3m,AB1BC,AD=12m,CD=13m,請/

求出該花壇的面積.尸n一,

【設(shè)計意圖】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯

推理能力及合情推理的意識，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達世界。

【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運算

【分析】解此題的關(guān)鍵是能求出^ABC和^CAD的面積，而易錯點在于一定要先

用勾股定理的逆定理說明出△CAD是直角三角形才能求面積。

【答案】36m2

【解析】

連接AC,

在△ABC中，

vZ.B=90°,AB=4m,BC=3m,

:.AC=VAB2+BC2=5(m),

2

SAABC=Ix3x4=6(m),

在△ACD中，

??,AD=12m,AC=5m,CD=13m,

AD2+AC2=CD2,

ACD是直角三角形，

1

2

SAACDx12=30(m).

2

二四邊形ABCD的面積=S&ABC+S^ACD=36m.

發(fā)展性作業(yè)（時間：10分鐘）

6.已知在△ABC中，AB=V5>AC=2V5>BC=5.試在如圖

4x4的方格紙上補全4ABC,使它的頂點都在方格的頂點

上.（每個小方格的邊長為1）

【設(shè)計意圖】通過畫圖進一步理解勾股定理的逆定理的應(yīng)用，在

畫線段的過程中體會勾股定理和勾股定理的逆定理辯證統(tǒng)一的關(guān)

系。

【核心素養(yǎng)】直觀想象、數(shù)學(xué)抽象

【分析】此題主要考查了作圖-應(yīng)用設(shè)計與作圖，關(guān)鍵是掌握如

果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形就

是直角三角形.

【答案】如圖所示:

18

【解析】根據(jù)勾股定理確定B點位置，再連接即可.

此題主要考查了作圖-應(yīng)用設(shè)計與作圖，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長a,b,

c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形就是直角三角形.

7.市教育局為了進一步引導(dǎo)廣大青少年積極參與

科技創(chuàng)新活動，推動“雙減”政策在基層學(xué)校落地

落效，舉辦中小學(xué)機器人創(chuàng)客競賽。我校選手在

積極備賽過程中，設(shè)計了如圖所示的一個三角形

賽道，在AABC中，ZC=90°,乙4=30。，BC=

3nl.機器人甲從點/出發(fā)，沿向點B運動，機

器人乙從點B出發(fā),沿向點C運動，如果機器人甲以2m/s,機器人乙以1小/

s的速度同時出發(fā)勻速運動，設(shè)運動時間為t(s),機器人在運動過程中，當(dāng)t

為秒時，機器人甲、乙所在的位置點P、點Q與點B

構(gòu)成直角三角形。

【設(shè)計意圖】此題考查了勾股定理的逆定理及直角三角形中30。所對的直角邊是

斜邊的一半的知識，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用分類討論思想解決問題的意識，提升學(xué)生的綜

合數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【核心翥養(yǎng)】數(shù)學(xué)建模、邏輯推理

【分析】此題關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理解答，解答時容易漏解，要考慮到當(dāng)

直角頂點分別是點Q或點P時，也就是當(dāng)BP=2BQ或BQ=2BP時，分別列出

關(guān)于t的方程即可求解。

【答案】當(dāng)t為弓或裝秒時，機器人甲、乙所在的位置點P、點Q與點B構(gòu)成直

角三角形。

【解析】

VZC=90°,4A=30。，BC=3m

???AB=2BC=3x2=6m

???動點P以2m/s,Q以Im/s的速度出發(fā)

???BP=AB—AP=6—23BQ=t

???△PBQ是直角三角形

???BP=2BQ或BQ=2BP

當(dāng)BP=2BQ時，

6-2t=2t

解得t4

當(dāng)BQ=2BP時,

t=2(6-2t)

解得t=￡

所以，當(dāng)t為|或9秒時，機器人甲、乙所在的位置點P、點Q與點B構(gòu)成直角

三角形。

19

8.已知等腰三角形ABC的底邊BC=2而cm,。是腰AB上一點，且CD=4cm,

BD=2cm,

(1)求證:CDLAB.

(2)求△ABC的面積.

【設(shè)計意圖】通過勾股定理及勾股定理的逆定理的簡單綜合應(yīng)用，讓學(xué)生深入體

會勾股定理及逆定理的應(yīng)用價值，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用方程思想解決問題的意識。

【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)建模、邏輯推理

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理逆定理，勾股定理，熟記兩個

定理并判斷出△BCD是直角三角形，然后求出AB的長是解題的關(guān)鍵.

(1)首先根據(jù)BD、CD、BC長可利用勾股定理逆定理證明CD1AB：

(2)設(shè)AD=xcm,則AB=(x+2)cm,在Rt△ACD中利用勾股定理列出方程求

解即可得到AD,進一步得到AB,即可得解.

【答案】(1)見解析(2)10cm2

【解析】

證明：VCD=4cm,BD=2cm

ACD2+BD2=424-22=20

vBC=2遍cm,

BC2=20

ACD2+BD2=BC2

BDC是直角三角形

ACD1AB

(2)設(shè)AD=xcm,貝UAB=(x4-2)cm,

vAB=AC,

AC=x+2,

在心△ACD中：CD2=AC2-AD2,

42=(x+2)2-x2,

解得x=3,

???AB=3+2=5cm,

則SAABC=；xABxCD=10cm2

20

作業(yè)評價

等級

評價指標(biāo)備注

ABC

A等，答案正確、過程正確。

B等，答案正確、過程有問題。

答題的準(zhǔn)確性

C等，答案不正確，有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，過程錯

誤、或無過程。

A等，過程規(guī)范，答案正確。

答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。

C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。

A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。

解法的創(chuàng)新性B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。

C等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過程。

AAA、AAB綜合評價為A等；ABB、BBB、AAC綜合

綜合評價等級

評價為B等；其余情況綜合評價為C等。

21

18.2勾股定理的逆定理(第二課時)

一、作業(yè)目標(biāo)

1.掌握勾股定理的逆定理，并能運用勾股定理的逆定理來解決實際問題；

2.理解勾股數(shù)的含義，探索常用勾股數(shù)的規(guī)律：

3.運用勾股定理的逆定理，提高運算能力、邏輯推理能力和應(yīng)用意識；

4.運用三角形三邊的數(shù)量關(guān)系來判斷三角形的形狀，體驗數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)

系，感受定理與逆定理之間的和諧及辯證統(tǒng)一的關(guān)系；

5.通過分層作業(yè)的布置，讓不同水平的學(xué)生都能得到不同的發(fā)展。

二、作業(yè)分析

本次作業(yè)的設(shè)計符合新課程標(biāo)準(zhǔn)對知識點掌握程度的要求，由淺入深、由易

到難，層次分明，符合不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生去練習(xí)。所有題目的設(shè)計重點在于強

調(diào)勾股定理的逆定理的運用，也強調(diào)了數(shù)學(xué)思想的重要性，即分類討論思想、方

程思想。在探究勾股定理的逆定理的活動中，通過一系列富有探究性的問題，滲

透與他人交流、合作的意識和探究精神。通過動腦解決問題，提高綜合運用數(shù)學(xué)

知識和方法解決實際問題，增強應(yīng)用意識，提高實踐能力。在探究勾股定理的逆

定理的活動中，通過一系列富有探究性的問題，滲透與他人交流、合作的意識和

探究精神。

三、作業(yè)展示

基礎(chǔ)性作業(yè)(時間：10分鐘)

1.已知三角形三條邊的長度分別是：①1,V2,V3；②2,3,4；

③3n,4n,5n(n>0)；@32,42,52.其中一定能構(gòu)成直角三角形的有()

A.1組B.2組C.3組D.4組

【設(shè)計意圖】通過簡單運算，加深對勾股定理的逆定理的理解。

【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運算

【答案】B

【解析】

解：①仔+(應(yīng))2=(g)2,故是直角三角形，正確；

②22+32=42,故不是直角三角形，錯誤；

③(3/1)2+(4/1)2=(571)2,故是直角三角形,正確;

④g+(42)2"2)2,故不是直角三角形，錯誤.

故選B.

2.三角形的三邊為a,b,c,由下列條件不能判斷它是直角三角形的是()

A.a:b:c=8:16:17B.a2—b2=c2

C.a2=(b+c)(6—c)D.a:b:c=13:5:12

【設(shè)計意圖】通過探究三邊比例數(shù)量關(guān)系，加深對勾股定理的逆定理的理解。

【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運算

22

【答案】A

【解析】

解：4、因為82+162。172,所以不是直角三角形；

B、因為02-接=。2即c2+b2=a2,所以是直角三角形；

C、因為a2=(b+c)(b—c),EPa2+c2=d2,所以是直角三角形;

0、因為52+122=132,所以是直角三角形.

故選A.

3.一個三角形的三邊分別是2小，V2m,V2m,則它的三個內(nèi)角中最大的角是

________度.

【設(shè)計意圖】抓住三邊關(guān)系的關(guān)鍵，探究最大邊與另外兩邊是否存在相關(guān)的數(shù)量

關(guān)系，加深對勾股定理的逆定理的掌握。

【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運算

【解析】

解：*/(V2m)2+(V2m)2=(2m)2=4m2,

這個三角形是直角三角形，

...它的三個內(nèi)角中最大的角是90。，

故答案為90.

4若一個三角形三邊的長度之比為3:4:5,且周長為60cm,則它的面積是

______cm2.

【設(shè)計意圖】勾股定理的逆定理的簡單應(yīng)用，得出三角形是直角三角形，根據(jù)面

積公式求出結(jié)果.

【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運算

【答案】150cm2

【解析】

一個三角形三邊的長度之比為3:4:5,且周長為60sn,

...三角形三邊為15czn,20cm,25cm,且三角形為直角三角形，

三角形的面積為：1x15cmx20cm=150cm2,

5.在△ABC中，AB=13cm,BC=10cm,BC邊上的中線/￡)=12cm.求AC.

【設(shè)計意圖】本題是勾股定理與逆定理綜合運用，讓學(xué)生能區(qū)分兩個定理的不同

并利用它們來解決一些簡單的問題。

【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運算、邏輯思維

【答案】

13cm.

【解析】

解：40是上的中線，AB=13cm,BC=10cm,AD=12cm,

1

BD=CD=-BC=5cm,

23

52+122=132,故△ABD是直角三角形,

垂直平分BC.

AC=AB=V52+122=13cm.

發(fā)展性作業(yè)(時間10分鐘)

6.若^ABC的三邊長分別為a,b,c且滿足(a+b)(a2+b2-c2)=0,則4ABC

是()

A.等腰三角形或直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【設(shè)計意圖】考查兩式乘積為0時的“或命題”，熟練運用勾股定理的逆定理進行

計算，根據(jù)探索的規(guī)律解決問題。

【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運算、邏輯推理

【答案】B

【解析】

解：(a+b)(a2+b2-c2)=0,

a+b#0,且a2+/—c2=0,

即a?+b2=c2,

...△ABC是直角三角形.

故選B.

7.如圖，在四邊形4BCD中，AB-.BC-.CD-.DA=2:2:3:1,且乙4BC=90°,則

ZDAB的度數(shù)是°.

【設(shè)計意圖】本題考查勾股定理、勾股定理的逆定理的聯(lián)合應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的邏

輯推理能力及合情推理的意識，考驗學(xué)生幾何語言的表達能力。

【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運算、邏輯推理

【答案】135

【解析】

解：AB-.BC-.CD-,DA=2:2:3:1,且ZABC=90°,

AB=BC,

：.^BAC=/.ACB=45°,

24

AB\BC:AC=2:2:2&,

AC:CD-.DA=2V2:3:1,

AC2+AD2=CD2,

：.Z.DAC=90°,

...Z,DAB=450+90°=135°.

故答案為：135.

8.在四邊形/CBD中，DE1AB于點E,DE=12,S^ABD=60,AC=6,BC=8,

求ZC的度數(shù).

【設(shè)計意圖】本題考查勾股定理、勾股定理的逆定理的綜合應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的邏

輯推理能力及合情推理的意識，考驗學(xué)生幾何語言的表達能力。

【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運算、邏輯思維、邏輯推理

【答案】"=90°.

【解析】

解：DE1AB于點E,

AB=10,

又+BC2=62+82=100,AB2=102=100,

AC2+BC2=AB2,

二△4BC是直角三角形，

即4=90°.

25

作業(yè)評價

等級

評價指標(biāo)備注

ABC

A等，答案正確、過程正確。

B等，答案正確、過程有問題。

答題的準(zhǔn)確性

C等，答案不正確，有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，過程錯

誤、或無過程。

A等，過程規(guī)范，答案正確。

答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。

C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。

A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。

解法的創(chuàng)新性B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。

C等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過程。

AAA、AAB綜合評價為A等；ABB、BBB、AAC綜合

綜合評價等級

評價為B等；其余情況綜合評價為C等。

26

第18章勾股定理（復(fù)習(xí)課）

一、作業(yè)目標(biāo)

1.掌握勾股定理，會運用勾股定理解決簡單的實際問題.

2,理解勾股數(shù)的概念，并掌握簡單的勾股數(shù).

3.理解勾股定理的逆定理，會用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

4.會利用勾股定理的逆定理解決簡單的實際問題.

5.通過畫圖實踐，感悟勾股定理及其逆定理的應(yīng)用價值.

二、作業(yè)分析

1.幫助學(xué)生進一步理解勾股定理，能應(yīng)用勾股定理解決一些簡單的問題.

2.幫助學(xué)生進一步理解勾股定理的逆定理，能應(yīng)用勾股定理的逆定理解決

簡單問題.

3.體會勾股定理的逆定理在直角三角形判定中的重要作用.

4.勾股定理與特殊三角形存在性相結(jié)合，它體現(xiàn)了分類討論的重要數(shù)學(xué)思

想，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

5.勾股定理與坐標(biāo)系、數(shù)軸的結(jié)合，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，加深學(xué)生對數(shù)形結(jié)合

思想的理解.

6.畫圖、實踐活動的設(shè)計，能讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去觀察世界，用數(shù)

學(xué)的思維去思考世界，讓學(xué)生對勾股定理及其逆定理印象深刻，認(rèn)識清楚，理解

透徹。

基礎(chǔ)性作業(yè)（時間：12分鐘）

1.由下列線段a,b,c能組成直角三角形的是（）.

A.a—\,b=3,c=3B.a=\,b—3,c=/

C.a=3,b=5,c=7D.a=2,b=#,c=3

【設(shè)計意圖】勾股定理的逆定理的應(yīng)用.

【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運算.

【答案】D.

【解析】因為2?+（＞/可=9=3?,即當(dāng)a=2,b=-\/5,c=3時，/+〃=??成立，此

時a,b,c能組成直角三角形.故答案為D

2.在平面直角坐標(biāo)系中，點尸（