微積分學基本定理

微積分學基本定理微積分學基本定理微積分學基本定理一、變限積分與原函數(shù)的存在性定理9.9(變上限定積分的連續(xù)性)”通過閱讀科技書籍，我們能豐富知識，培養(yǎng)邏輯思維能力；微積分學基本定理微積分學基本定理微積分學基本定理一、變限積分1一、變限積分與原函數(shù)的存在性積分;類似稱為變下限的定積分.定理9.9(變上限定積分的連續(xù)性)證則為變上限的定一、變限積分與原函數(shù)的存在性積分;類似稱為變下限的定積分.于是定理9.10（微積分學基本定理)若f在[a,b]上連續(xù),上處處可導,且由

x的任意性,

f在[a,b]上連續(xù).于是定理9.10（微積分學基本定理)若f在[a,b證由于

f在

x處連續(xù)，因此注1本定理溝通了導數(shù)與定積分這兩個表面上似續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)”這個重要結(jié)論.乎不相干的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系,也證明了“連證由于f在x處連續(xù)，因此注1本定理溝通了導數(shù)與定注2由于f的任意兩個原函數(shù)只能相差一個常數(shù),定理9.11(積分第二中值定理)設

f在[a,b]上可積.(i)若函數(shù)

g在[a,b]上單調(diào)減,且則存所以當f為連續(xù)函數(shù)時,它的任一原函數(shù)F必為注2由于f的任意兩個原函數(shù)只能相差一個常數(shù),定理9(ii)若函數(shù)

g在[a,b]上單調(diào)增,

且則存證這里只證(i),類似可證(ii).證明分以下五步:(1)對任意分割

T：(ii)若函數(shù)g在[a,b]上單調(diào)增,且則存證微積分學基本定理微積分學基本定理(4)綜合(2),(3),得到(4)綜合(2),(3),得到推論即推論即證若

g為單調(diào)遞減函數(shù)，則h非負、單調(diào)減,由定理9.11(i)，因此證若g為單調(diào)遞減函數(shù)，則h非負、單調(diào)減,由定理9即得即得二、換元積分法與分部積分法則證定理9.12（定積分換元積分法）的一個原函數(shù).因此二、換元積分法與分部積分法則證定理9.12（定積分換元積分注與不定積分不同之處:定積分換元后不一定要例1解（不變元,不變限）元積分法時，引入了新變量，此時須改變積分限.保留原積分變量，因此不必改變積分限;用第二換用原變量代回.一般說來，用第一換元積分法時，注與不定積分不同之處:定積分換元后不一定要例1解（不變元例2解（變元,變限）例2解（變元,變限）例3解（必須注意偶次根式的非負性）例3解（必須注意偶次根式的非負性）例4解例4解因此,定理9.13（定積分分部積分法）若

u(x),v(x)為[a,b]上的連續(xù)可微函數(shù),則有定因此,定理9.13（定積分分部積分法）若u(x),v(x)積分的分部積分公式：證因為

uv是在[a,b]上的一個原函數(shù),移項后則得所以積分的分部積分公式：證因為uv是在[a,b]上例5解例5解例6解于是例6解于是其中其中若

u(x),v(x)在[a,b]上有(n+1)階連續(xù)導函數(shù),則三、泰勒公式的積分型余項由此可得以下帶積分型余項的泰勒公式.若u(x),v(x)在[a,b]上有(n+1)階連續(xù)導數(shù),則則定理9.14階連續(xù)導數(shù),則則定理9.14注由推廣的積分第一中值定理,可得拉格朗日型注由推廣的積分第一中值定理,可得拉格朗日型由積分第一中值定理,可得由積分第一中值定理,可得此式稱為泰勒公式的柯西型余項.若記此式稱為泰勒公式的柯西型余項.若記復習思考題復習思考題(2)給出正確證明(