應用彈塑性力學ch5-part3-簡單的彈塑性力學問題匯編

5.6簡單的彈塑性力學問題5.6簡單的彈塑性力學問題5.3平面問題嚴格地講,所有力學問題都屬于三維空間物體的受力問題.但是某些工程問題中,結構形狀、受力和約束情況都具有一定的特點，這些問題只要經(jīng)過適當?shù)暮喕土W抽象化處理，就可轉(zhuǎn)化為所謂的“平面問題”。平面問題的特征是：所有力學行為都可以看作是在一個平面內(nèi)發(fā)生的，因而在數(shù)學上屬于二維的問題。5.3.1平面問題的特點及分類平面問題共分兩大類，即平面應力問題和平面應變問題。平面應力問題主要出現(xiàn)在薄板中。對于薄板，如果它所受的力（體力及面力）均平行于板的中面而且沿板的厚度不變。將與板中面垂直的方向設為z軸，因為板很薄，所以與z有關的所有應力均近似為0，即5.3平面問題嚴格地講,所有力學問題都屬于三維空間物體由于時的板面上無外力作用，則邊界條件成為板很薄，外力不沿厚度變化，則板內(nèi)與z有關的應力均為零剩下的應力分量也與z無關，因此退化為x,y的函數(shù)由于時的板面上無外力作用，則邊界因此非零的應力分量只有，且設這三個應力分量只與x,y有關，與z無關。平面應變問題是指某一方向的尺寸比另外兩個方向大很多（如無限長的柱體），所受的力均平行于橫截面且沿柱體的長度不變。因為沿z軸方向長度是無限的，所以沿z軸方向的近似為0，且假設沿另外兩個方向的位移u,v與z無關。由幾何方程可知有許多工程問題是很接近平面應變問題的，如擋土墻、重力壩、某些化學容器及發(fā)動機的汽壓管等可以簡化為平面應變問題處理能達到工程精度。因此非零的應力分量只有5.3.2直角坐標系下平面問題的基本方程一、平面應力問題在平面應力問題中，物體內(nèi)任意一點的應力分布為位移分布為應變分布為5.3.2直角坐標系下平面問題的基本方程一、平面應力問題其中不是獨立的。在彈性狀態(tài)下，根據(jù)得平面應力問題，三類方程可以簡化。1、靜力平衡方程將平面應力分量表達式代入平衡方程，得另外一個平衡方程自行滿足。其中不是獨立的。在彈性狀態(tài)下，根據(jù)2、應變協(xié)調(diào)方程平面應力情況下，應變協(xié)調(diào)方程只有下面一個3.本構關系彈性狀態(tài)下，本構關系應服從彈性本構關系，將物體內(nèi)一點的應力狀態(tài)和應變狀態(tài)表達式代入廣義胡克定律，得2、應變協(xié)調(diào)方程平面應力情況下，應變協(xié)調(diào)方程只有下面一個3.在解平面應力問題時，除了上述三類基本方程外，還需考慮邊界條件和屈服條件。4、邊界條件設薄板側面上點的法線為n,方向余弦為，該點處作用的面力為，則應力邊界條件為在板的上、下表面，法線的方向余弦是，作用在面上的外力均為零，因此靜力邊界條件為在解平面應力問題時，除了上述三類基本方程外，還需考慮邊界條件二、平面應變問題在平面應變問題中，物體內(nèi)任一點的位移場、應變場及應力場有下面的特點：位移場應變場應力場二、平面應變問題在平面應變問題中，物體內(nèi)任一點的位移場、應變1、靜力平衡方程和應變協(xié)調(diào)方程根據(jù)平面應變狀態(tài)下應力場和應變場的特點容易證明，此時與平面應力有完全相同的靜力平衡方程和應變協(xié)調(diào)方程，因此這里不重復給出。2、本構關系將代入廣義胡克定律，可得到彈性狀態(tài)下的本構關系可見，平面應力問題中的E換成，就得到，可見兩類平面問題可以統(tǒng)一起來求解。1、靜力平衡方程和應變協(xié)調(diào)方程根據(jù)平面應變狀態(tài)下應力場和應變綜上所述，在彈性狀態(tài)下，兩類平面問題，都必須滿足平衡微分方程、應變協(xié)調(diào)方程和本構方程。這三類方程共有6個，含有6個未知函數(shù)，加上具體的邊界條件，從理論上是可求解的，但在數(shù)學上要求得這類偏微分方程的解析解是很困難的。對于某些簡單問題，可以采用逆解法和半逆解法求解，如采用應力函數(shù)方法。應力函數(shù)假定體力X及Y是零，則平衡微分方程可以簡化為齊次方程綜上所述，在彈性狀態(tài)下，兩類平面問題，都必須滿足平衡微分方程將本構方程代入?yún)f(xié)調(diào)方程得由第一式對x求偏導,第二式對y求偏導,然后再將兩式相加,整理得整理得:即將本構方程代入?yún)f(xié)調(diào)方程得由第一式對x求偏導,第二式對y求偏導上式是拉普拉斯方程或應力表示的協(xié)調(diào)方程,它與應變協(xié)調(diào)方程是等價的,同時對于常體力情況該方程也是一樣的.從平面應變的本構關系出發(fā)也能得到此方程,可以說在彈性狀態(tài)下適用于兩類平面問題.設在橫截面上任一點均存在一個應力函數(shù)。能滿足下式這樣定義的應力函數(shù)能滿足平衡方程式(5.70)，且將其代入后得到即上式稱為雙調(diào)和方程或應力函數(shù)表示的協(xié)調(diào)方程，也叫相容方程，適用于無體力的彈性力學問題。上式是拉普拉斯方程或應力表示的協(xié)調(diào)方程,它與應變協(xié)調(diào)方程是等對于常體力情況，應力函數(shù)解可寫成相容方程與無體力情況一樣為重調(diào)和方程。在彈性狀態(tài)下，物體內(nèi)任一點的應力函數(shù)均應滿足重調(diào)和方程，也可以將應力邊界條件表示為應力函數(shù)的形式。這樣先求出物體內(nèi)應力函數(shù)，再由式（a)求出應力分量。(a)一般地，應力函數(shù)可以選為多項式或級數(shù)的形式，具體選擇什么樣的多項式及級數(shù)依具體問題的邊界條件來確定。對于常體力情況，應力函數(shù)解可寫成相容方程與無體力情況一樣為重一、應力函數(shù)取一次多項式§平面問題的多項式解答應力分量：應力邊界條件：結論：（1）線性應力函數(shù)對應于無面力、無應力的狀態(tài)。（2）把任何平面問題的應力函數(shù)加上一個線性函數(shù)，并不影響應力。二、應力函數(shù)取二次多項式1.對應于，應力分量。一、應力函數(shù)取一次多項式§平面問題的多項式解答應力分量：應力結論：應力函數(shù)能解決矩形板在方向受均布拉力（設）或均布壓力（設）的問題。如圖（a）。2.對應于，應力分量。結論：應力函數(shù)能解決矩形板受均布剪力問題。如圖3-1（b）。圖3-1（a）（b）（c）結論：應力函數(shù)能解決矩形板在方向受均布拉3.應力函數(shù)能解決矩形板在方向受均布拉力（設）或均布壓力（設）的問題。如圖（c）。三、應力函數(shù)取三次多項式對應的應力分量：結論：應力函數(shù)（a）能解決矩形梁受純彎曲的問題。如圖所示的矩形梁。（a）圖3.應力函數(shù)能解決矩形板在方向受均布拉力四、應力函數(shù)在梁的彈性彎曲問題中的應用梁的彈性彎曲問題可簡化為平面應力問題,如圖所示的簡支梁,沿z向(圖中未畫出)取單位長度,梁內(nèi)任意一點的應力狀態(tài)滿足MMhhLyxo假設梁兩段作用有力偶M,由于直接求解三類方程困難，這里用逆解法來求解．四、應力函數(shù)在梁的彈性彎曲問題中的應用梁的彈性彎曲問題可簡化梁上、下表面處的邊界條件是在梁的左右兩端，無法滿足精確的應力邊界條件，只能由圣維南原理寫出靜力等效的邊界條件(5.77)(5.78)(5.79)(5.80)(a)梁上、下表面處的邊界條件是在梁的左右兩端，無法滿足精確設應力函數(shù)為其中c為待定參數(shù)。設定的函數(shù)(b)顯然滿足雙調(diào)和方程。由應力函數(shù)與應變分量的關系，可求得應力分量(5.81)(5.82)將(c)代入式(a)，得(5.83)因此，有(b)(c)設應力函數(shù)為其中c為待定參數(shù)。設定的函數(shù)(b)顯然滿足雙調(diào)和求得代定參數(shù)后，得到梁內(nèi)各點的應力分量為由于矩形截面的慣性矩為故應力分量的表達式為(5.85)(5.84)上述結果與材料力學所得到的解答完全相同。對于梁的端部，以上解答與實際情況存在一定的誤差，但根據(jù)圣維南原理，這只會影響梁的端點附近的應力分布，其它部位沒有影響。求得代定參數(shù)后，得到梁內(nèi)各點的應力分量為由于矩形截面的慣性矩應變分量：根據(jù)本構關系可求出梁內(nèi)任意一點的應變場為(5.86)將上式代入幾何方程得(5.87)積分式(d)的前兩式得(5.88)(d)(e)應變分量：根據(jù)本構關系可求出梁內(nèi)任意一點的應變場為(5.8將(e)代入(d)的最后一個方程，得整理得(5.89)上式左邊只與x有關，而右邊只與y有關，由此得式中，是一個待定常數(shù)。整理上式得(f)將(e)代入(d)的最后一個方程，得整理得(5.89)上式左積分上述兩式，得(5.90)將式（g）代入（g),得(5.91)式中均為待定常數(shù)，根據(jù)位移邊界條件確定。如為簡支邊的邊界條件(5.92)(g)(h)(i)積分上述兩式，得(5.90)將式（g）代入（g),得(5.9將式(i)代如式(h)，得因此，得式(j)中取可得撓度曲線方程((j)此曲線方程同材料力學中得出的結論一致。注：當梁的截面形式或荷載作用情況比較復雜時，將應力函數(shù)取為多項式形式可能會產(chǎn)生較大的誤差，這時可選應力函數(shù)為三角形式的級數(shù)解，這里不再進一步討論。將式(i)代如式(h)，得因此，得式(j)中取§專題-1圓環(huán)或圓筒受均布壓力壓力隧洞已知：求：應力分布。確定應力分量的表達式：邊界條件：（a）將(a)式代入，有：（b）p1p2§專題-1圓環(huán)或圓筒受均布壓力壓力隧洞已知：求：應力分（b）式中有三個未知常數(shù)，二個方程不通用確定。對于多連體問題，位移須滿足位移單值條件。位移多值項要使單值，須有：B=0，由式（b）得將其代回應力分量式（4-12），有：p1p2（b）式中有三個未知常數(shù)，二個方程不通用確定。對于多連體問題28周向應力徑向應力軸向應力（5.116）稱Lamè（拉美）公式28周向應力徑向應力軸向應力（5.116）稱Lamè（拉美）（5.116-b）（1）若：(二向等壓情況)（2）若：（壓應力）（拉應力）p1p2p1（5.116-b）（1）若：(二向等壓情況)（2）若：（壓（3）若：（壓應力）（壓應力）（4）若：——具有圓形孔道的無限大彈性體。邊緣處的應力：p2（3）若：（壓應力）（壓應力）（4）若：——具有圓形孔道31

厚壁圓筒的筒壁應力值31厚壁圓筒的筒壁應力值當時，厚壁筒問題化為一個具有圓孔的無限大彈性薄板或具有圓形孔道的無限大彈性體，它們的應力分量為當圓筒僅受內(nèi)壓時,圓筒內(nèi)的應力是第一主應力,而是第三主應力,故有從上式可見,圓筒內(nèi)壁的最大.假設材料服從Tresca屈服條件,則圓筒內(nèi)壁將首先達到屈服,此時有當時，厚壁筒問題化為一個具解上式得這里,就是問題的彈性極限壓力值,它與圓筒的內(nèi)外半徑之比有關.當時，?？梢姡攺椥詿o限空間內(nèi)的圓柱形孔洞受到內(nèi)壓作用（如有壓隧洞）時，其內(nèi)表面開始屈服時的壓力值與洞的半徑無關。此外，當內(nèi)外半徑之比a/b較小時，僅僅加大圓筒的外半徑，并不會明顯提高筒的彈性極限壓力值。例如當a/b=1/3時，；當，即時。因此，在設計高壓圓筒時，不能只是采取加大圓筒厚度的辦法來提高其強度，必須采用其他的措施，如采用高強度材料或?qū)A筒施加預應力等。解上式得這里,就是問題的彈性極限壓力值,它與圓在彈性區(qū)，部分，應力分布規(guī)律仍可前面的彈性解給出，但是要把其中的a改為c，內(nèi)壓力改為r=c處的應力值。在塑性區(qū)，平衡微分方程仍能成立，即如果材料服從Tresca屈服條件，則在塑性區(qū)內(nèi)處處有在彈性區(qū)，部分，應力分布規(guī)律仍將屈服條件代入平衡微分方程，則方程化為積分上式，得利用邊界條件，可以確定出待定常數(shù)C,代入上式即得到塑性區(qū)內(nèi)的應力分量為再利用屈服條件，得到將屈服條件代入平衡微分方程，則方程化為積分上式，得利用邊界條綜上，可得到塑性區(qū)內(nèi)的應力解為注意，當時，由上式得綜上，可得到塑性區(qū)內(nèi)的應力解為注意，當下面根據(jù)彈性區(qū)和塑性區(qū)交界的連續(xù)條件，確定彈性區(qū)的應力分布以及交界圓周線的半徑c。彈性區(qū)和塑性區(qū)交界的應力連續(xù)條件為考慮到在處，有上式表示在彈性區(qū)無限接近交界的內(nèi)側，材料趨近屈服另外，將彈性區(qū)域彈性解表達式中的a改為c,外壓力改為外層彈性區(qū)的邊界應力，經(jīng)整理后得和塑性區(qū)的外邊界比較，最后得到彈塑性分解線所滿足的方程下面根據(jù)彈性區(qū)和塑性區(qū)交界的連續(xù)條件，確定彈性區(qū)的應力分布以綜上所述,最終得到應力解為1)彈性區(qū)綜上所述,最終得到應力解為1)彈性區(qū)2)塑性區(qū)3)交界線由應力解可以發(fā)現(xiàn),在彈性區(qū)和塑性區(qū)的交界,徑向應力連續(xù)而周向應力卻間斷,這正是彈塑性問題的特殊之處.

當塑性區(qū)擴展到整個截面時,可得到塑性極限狀態(tài)下的內(nèi)壓力為2)塑性區(qū)3)交界線由應力解可以發(fā)現(xiàn),在彈性區(qū)和塑性區(qū)的交界

板中開有小孔，孔邊的應力遠大于無孔時的應力，也遠大于距孔稍遠處的應力，稱為孔邊應力集中。應力集中的程度與孔的形狀有關。一般說來，圓孔孔邊的集中程度最低。這里簡略討論圓孔孔邊應力集中問題，較為復雜的孔邊應力集中問題一般用復變函數(shù)方法，在第五章中進行討論。一、矩形板左右兩邊受集度為q的均布拉力§專題-2圓孔的孔邊應力集中板中開有小孔，孔邊的應力遠大于無孔時的應力，也遠大于

設有矩形薄板，在離開邊界較遠處有半徑為的小圓孔，在左右兩邊受均布拉力，其集度為，如圖

以遠大于

的某一長度為半徑，以小孔中心為圓心作圓，根據(jù)